函數(shù)極限與連續(xù)65564PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)極限與連續(xù)65564( (一一) )本章內(nèi)容小結(jié)本章內(nèi)容小結(jié)一、本章的主要內(nèi)容一、本章的主要內(nèi)容函數(shù)的定義；函數(shù)的幾種特性；復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)與初等函數(shù)的概念；數(shù)列與函數(shù)極限的定義；極限的運(yùn)算法則；無窮小與無窮大的概念；兩個(gè)重要極限；無窮小的比較；函數(shù)在點(diǎn)與區(qū)間的連續(xù)性及間斷性；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。第1頁/共38頁二、幾個(gè)常用的基本極限limxxxc cc0()（1 ）= , ( 為常數(shù)）；0lim0 xxx= x（2） ；1lim0 x=x（3） ；1lim0（4）， ( 為正的常數(shù)) ；x=xlimmm 1mnnxnmnan= mba xa xa=nmb xb

2、xbnmaaabbbab00-01-101010100,當(dāng)+（5）0, 當(dāng)+, 當(dāng)(其中 、 、 、和 、 、 、 都是常數(shù)，且0,0)；第2頁/共38頁sinlim1xx=x0（6） ；tanlim1xx=x0（7） ；1lim 1exx+=x（8） ；10lim 1ett+t=（9） ；lim0 ( | 1 )xxqq（1 0） .三、幾個(gè)充要條件00lim( )( )()xxxxxf xAf xAx0()當(dāng) 時(shí)（1 ） ； 00lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xAf xf xA000（2） ；lim( )lim( )lim( )xxxf xAf xf xA（3） ；0

3、000lim( )()lim( )lim( )()xxxxxxf xf xf xf xf x000（4） .第3頁/共38頁表 13-10()lim( ) 無窮大xxxf x 0()1lim0( ) 無窮小xxxf x( )0f x 有倒數(shù)關(guān)系0( )0() 當(dāng) 時(shí)f xAaxxax 0()lim( )() 函數(shù)的極限常數(shù)xxxf xAlim( )xf xA0lim( )xxf xA000lim( )() 右連續(xù)xxf xf x000lim( )() 左連續(xù)xxf xf x00lim( )() 點(diǎn)連續(xù)xxf xf x第4頁/共38頁lim( )xf xA0lim( )xxf xA00lim(

4、)() 點(diǎn)連續(xù)xxf xf xlim數(shù)列的極限 nnxAlim( )xf xAlim( )xf xA00lim( ) 右極限xxf xA00lim( ) 左極限xxf xA10lim(1)zzze1lim 1xxex1xz0sinlim1xxx續(xù)表第5頁/共38頁六、本章關(guān)鍵詞六、本章關(guān)鍵詞函數(shù) 極限 連續(xù)條 件結(jié) 論00000lim0lim( )()( )()( )()lim( )( ) lim( )( )(1) 如果 或 (2) 如果 在 ， 內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)(3) 如果 在 ， 內(nèi)連續(xù)， 且 ，xxxxbxayf xf xyf xa byf xa bf xf bf xf b 0( )( )(

5、)( )那么 在點(diǎn) 連續(xù)那么 在 ， 內(nèi)連續(xù)那么 在 ， 上連續(xù)yf xxyf xa byf xa b第6頁/共38頁( (二二) ) 常見問題分類及解法常見問題分類及解法一、求函數(shù)的定義域一、求函數(shù)的定義域分式的分母不等于零；偶次方根式中，被開方式大于等于零；含有對(duì)數(shù)的式子，真數(shù)式大于零；反正弦、反余弦符號(hào)內(nèi)的式子絕對(duì)值小于等于1；分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集； 函數(shù)的定義域就是指使函數(shù)有意義的自變量 的取值范圍. 判斷函數(shù)有意義的方法有以下幾種：x第7頁/共38頁例例1 1 求下列函數(shù)的定義域：21arccos(318)32yxxx(1) ；2ln(52)10710 xyxxx(

6、2) .解解所求定義域應(yīng)使函數(shù)式中各部分都有意義，即求解不等式組。(1)若使函數(shù)有意義，必須2123201719|318| 133xxxxxx或，解得，171933x故所求函數(shù)定義域?yàn)?；第8頁/共38頁(2)若使函數(shù)有意義，必須22520571002,510010 xxxxxxxx，解得，2102,5.5xxx故所求函數(shù)的定義域?yàn)榍医饨?2.4故所求函數(shù)的定義域?yàn)?x第9頁/共38頁二、判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同二、判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同 一個(gè)函數(shù)的確定取決于其定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系的確定，因此判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同必須判斷其定義域是否相同，且要判斷函數(shù)表達(dá)式是否統(tǒng)一即可。例例3 3 判斷下列各對(duì)函數(shù)是否相

7、同？21( )cos( )(1 cos )22xf xg xx(1) 與 ；|( )( )1xf xg xx(2) 與 .利用定義域和對(duì)應(yīng)法則來判斷。221( )cos( )(1 cos )22( )( )1( )cos(1 cos )( ),( )( )22( )( )xf xg xxf xg xxf xxg xf xg xf xg x(1)因?yàn)榈亩x域是一切實(shí)數(shù)，而的定義域也是一切實(shí)數(shù)，所以與具有相同的定義域；又因?yàn)榧磁c具有相同的對(duì)應(yīng)法則，所以與是相同的函數(shù)；解解第10頁/共38頁|( )0( )1( )( )xf xxg xxf xg x(2)因?yàn)槎x域是的一切實(shí)數(shù)，而的定義域 是一切實(shí)

8、數(shù)，所以與不是相同的函數(shù)。三、判斷函數(shù)奇偶性三、判斷函數(shù)奇偶性 判斷函數(shù)的奇偶性，主要的方法就是利用定義，其次是利用奇偶的性質(zhì)，即奇(偶)函數(shù)之和仍是奇(偶)函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)之積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)之積仍是偶函數(shù)；一奇一偶之積是奇函數(shù)。第11頁/共38頁例例4 4 判斷下列函數(shù)的奇偶性：1( )(01)1xxaf xaaa(1) 且 ；322( )(2tan)f xxxx(2) 。解解(1) 用定義判斷111()( )111xxxxxxaaafxf xaaa 因?yàn)?，1( )1xxaf xa所以 是奇函數(shù)；(2) 用性質(zhì)判斷3222tanxxx因?yàn)?是奇函數(shù)， 是偶函數(shù)，322( )(2tan

9、)f xxxx所以 是奇函數(shù)。第12頁/共38頁四、數(shù)列極限的求法四、數(shù)列極限的求法利用數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則、性質(zhì)以及已知極限求極限。1.nn 若數(shù)列通項(xiàng)的分子、分母都是關(guān)于 的多項(xiàng)式，則用分子 分母中 的最高次項(xiàng)的冪函數(shù)數(shù)同除分子分母，然后由四 則運(yùn)算法則求極限。例例5 5 求下列數(shù)列極限：23225lim353nnnnnn(1) ；2221lim534nnnnn(2) ；21lim32nnnn(3) .第13頁/共38頁解解2323125lim03531nnnnnnn(1) 原式 ；221122lim3455nnnnn(2) 原式 ；211lim1321nnnn(3) 原式 .第14頁/

10、共38頁2、若通項(xiàng)中含有根式，一般采用先分子或分母有理化，再求 極限的方法。22lim(1) 求 。nnnn例例6 6對(duì)通項(xiàng)式有理化得222222(1)(1)lim1nnnnnnnnnn原式2221111limlim211111nnnnnnnnn 。解解第15頁/共38頁3、若所求極限是無窮項(xiàng)之和，通常先利用等差或等比數(shù)列的 前n項(xiàng)和公式求和，再求極限。231111lim 1( 1)2222 求 nnn 例例7 7解解11112aqn 先求由，所構(gòu)成的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，再求極限，112lim112原式nn 212lim1 ( 1)332nnn 第16頁/共38頁4、利用兩邊夾逼定理求數(shù)列極限，

11、方法是將極限式中的每一項(xiàng) 放大或縮小，并使放大、縮小后的數(shù)列具有相同的極限。222lim2 求 nnnnnnnn例例8 8解解2222(1,2, ),(1,2, )nnnnininninnnin因?yàn)?22222nnnnnnnnnnnnnn所以 2222211limlim1limlim111nnnnnnnnnnn而 ， 222lim1.2nnnnnnnn故 第17頁/共38頁5.11lim 1e 若通項(xiàng)式為形如形式的不定式，一般采用重要極限 求極限。nnn例例9 9 求下列極限：31lim 11nnn(1) ；3lim.1nnnn(2) 解解1lim 1e.nnn用重要極限求極限1 21lim

12、11(1) 原式nnn 1211lim 1lim 1e11 ；nnnnn第18頁/共38頁21 1222lim 1lim111nnnnnn (2) 原式21122222lim11e .11nnnn 五、函數(shù)極限的求法五、函數(shù)極限的求法 函數(shù)的極限比數(shù)列的極限復(fù)雜，原因有兩個(gè)，一是自變量的變化過程多；二是函數(shù)式復(fù)雜；因此，求函數(shù)的極限首先要觀察自變量的變化和函數(shù)表達(dá)式，然后選擇適當(dāng)方法.一般地，函數(shù)極限有以下幾種求法：第19頁/共38頁 數(shù)列極限的求法也適合求函數(shù)的極限. 000lim. 利用函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)的極限，即若 在 處連續(xù)，則有 xxf xxxf xf x241lim.54 求 xx

13、xx例例1010解解21454xxxx因?yàn)楹瘮?shù)在處連續(xù)， 2411lim4.854xxfxx所以 若求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限，則利用極限存在的充 要條件求極限。即函數(shù)在某一點(diǎn)極限存在的充要條件是 函數(shù)在該點(diǎn)的左右極限存在且相等。第20頁/共38頁例例1111 已知 213231113limlim.sin13xxxxxf xxxf xf xxx，求，解解 1xf x在處，求的左右極限 211limlim230 xxf xxx ， 11limlim10 xxf xx ， 1lim0 xf x所以 ； 3xf x在處，求的左右極限 33limlim12xxf xx ， 33limlim sin1s

14、in3 1xxf xx ， 3limxf x所以 不存在. 33limlimxxf xf x因?yàn)?，第21頁/共38頁0100sinlim111111lim 1e 利用兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限。即若所求極限為形如 形式的不定式，并且極限式中含有三角函數(shù)，一般通 過三角函數(shù)的恒等變換再利用重要極限 求 極限；若所求極限為形如 形式的不定式，并且所求函 數(shù)易轉(zhuǎn)化為 或 的形式，通常采用 求極限。xuuxxxxuux第22頁/共38頁0sin7lim.arcsin5 求 xxx例例1212解解00因?yàn)橐阎獦O限為形式不定式，且含有三角函數(shù)，則有0sin757lim7arcsin55xxxxxxx原式0

15、0sin arctan5sin777limlim.7arcsin555xxxxxx1cos10lim cos. 求 xxx例例1313解解101lim 1exxx因?yàn)樗髽O限為形式不定式，由得1cos10lim 1cos1e.xxx原式第23頁/共38頁 利用無窮小量的特性以及無窮小量與無窮大量的關(guān)系求極 限。即無窮小量與有界變量之積仍是無窮小量；有限個(gè)無 窮小量之積仍是無窮小量；有限個(gè)無窮小量之代數(shù)和仍為 無窮小量等。無窮小量與無窮大量的關(guān)系是互為倒數(shù)。例例1414 求下列函數(shù)的極限：201limsin cos(1) ；xxxx22223lim4(2) .xxxx解解(1) 利用無窮小量的性

16、質(zhì)求該極限，201limsin cos0所以 ；xxxx210sincos因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ，均是無窮小量，而為有界變量，xxxx第24頁/共38頁(2) 利用無窮大量與無窮小量的關(guān)系求該極限。22223540因?yàn)楫?dāng)時(shí)，xxxx2224lim023所以 ， xxxx六、判斷函數(shù)連續(xù)性六、判斷函數(shù)連續(xù)性 利用函數(shù)連續(xù)性的等價(jià)定義，對(duì)于分段函數(shù)在分界點(diǎn)的連續(xù)性，可用函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的充要條件以及初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)的結(jié)論等來討論函數(shù)的連續(xù)性。22223lim4所以 ，極限不存在。xxxx 第25頁/共38頁 220210202352 討論 在，處的連 續(xù)性.xexf xxxxxxxx 例例151

17、5解解02由已知，均是分界點(diǎn).xx 00000limlim 21 limlim 21101在處，而，xxxxxxf xef xxf 0所以在處連續(xù)；f xx 222222limlim 215limlim353在處， ，xxxxxf xxf xxx 2lim2.所以極限不存在，故在處不連續(xù)xf xf xx第26頁/共38頁 1sin000.1sin0 討論當(dāng) ， 為何值時(shí)，函數(shù) ，在處連續(xù)abxxxf xaxxxbxx例例1616解解0在分界點(diǎn)處x 000011limlimsin1limlimsin0.， ，xxxxf xxf xxbbxxfa 000limlim0 若使在處連續(xù)，必須使 成立，

18、xxf xxf xf xf110.即，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處連續(xù)baabx 第27頁/共38頁(三) 思考題思考題1、討論分段函數(shù)連續(xù)性的關(guān)鍵是什么？2、奇、偶函數(shù)有何性質(zhì)？3、函數(shù)的極限比數(shù)列的極限復(fù)雜，為什么？4、無窮小與無窮大是什么關(guān)系？答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案第28頁/共38頁(四) 課堂練習(xí)題課堂練習(xí)題22211 lim.321、求nnnn112 lim 1.、求nnn013 lim.2sin、求xxex224 .1、求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間yx答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案第29頁/共38頁返返 回回1、是著重討論分段函數(shù)的分界點(diǎn)的連續(xù)性.第30頁/共38頁返返 回回2、奇(偶)函數(shù)之和仍是奇(偶)函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)之積是偶 函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)之積仍是偶函數(shù)；一奇一偶之積是奇 函數(shù).第31頁/共38頁返返 回回3、首先是