流體力學(xué)課件7不可壓縮流體

1、17.1流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析 在前面的章節(jié)中，我們主要討論了理想流體和黏性流體的一元流動(dòng)，為解決工程實(shí)際中大量存在的一元流動(dòng)問(wèn)題奠定了理論基礎(chǔ)。但是，許多實(shí)際流體的流動(dòng)差不多都是空間的流動(dòng)，即流場(chǎng)中流體的速度和壓強(qiáng)等流動(dòng)參數(shù)在二個(gè)或三個(gè)坐標(biāo)軸方向都發(fā)生變化。7.1.1流體微團(tuán)的概念 在連續(xù)性介質(zhì)模型中，流體質(zhì)點(diǎn)是宏觀上充分小，可視為只有質(zhì)量而無(wú)體積的“點(diǎn)”，流體微團(tuán)則是由大量流體質(zhì)點(diǎn)所組成的具有一定體積的微小流體團(tuán)。第第7章章 不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)2從理論力學(xué)知道，剛體的運(yùn)動(dòng)可以分解為平移和旋轉(zhuǎn)兩種基本運(yùn)動(dòng)。流體運(yùn)動(dòng)要比剛體運(yùn)動(dòng)復(fù)雜得多，流體微團(tuán)基本運(yùn)動(dòng)形式有平移運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和

2、變形運(yùn)動(dòng)等，而變形運(yùn)動(dòng)又包括線變形和角變形兩種。流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式與微團(tuán)內(nèi)各點(diǎn)速度的變化有關(guān)。為了便于討論，先研究二元流動(dòng)的情況。設(shè)方形流體微團(tuán)中心點(diǎn)M的流速分量為 ux和uy (圖7-1)，則微團(tuán)各側(cè)邊的中點(diǎn)A、B、C、D的流速分量分別為：第第7章章 不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)3第第7章章 不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)4可見(jiàn)，微團(tuán)上每一點(diǎn)的速度都包含中心點(diǎn)的速度以及由于坐標(biāo)位置不同所引起的速度增量?jī)蓚€(gè)組成部分。微團(tuán)上各點(diǎn)公有的分速度ux和uy使它們?cè)赿t時(shí)間內(nèi)均沿x方向移動(dòng)一距離uxdt。沿y方向移動(dòng)一距離uydt。因此，我們把中心點(diǎn)M的速度ux和uy定義為流體微團(tuán)的平移運(yùn)

3、動(dòng)速度。微團(tuán)左、右兩側(cè)的A點(diǎn)和C點(diǎn)沿x方向的速度差為 。當(dāng)這速度差值為正時(shí)，微團(tuán)沿x方向發(fā)生伸長(zhǎng)變形；當(dāng)它為負(fù)時(shí)，微團(tuán)沿x方向發(fā)生縮短變形。單位時(shí)間，單位長(zhǎng)度的線變形稱為線變形速度。以exx表示流體微團(tuán)沿x方向的線變形速度，則dxxuxxudtdxdtdxxuexxxx第第7章章 不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)5第第7章章 不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)6類似的研究分析，可以得到流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度分量為：因而角速度矢量為：角速度大小為：角速度矢量的為沿微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)方向按右手定則確定。7第第7章章 不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)類似的研究分析，可以得到流體微團(tuán)角變形速度為：的下標(biāo)

4、表示發(fā)生角變形所在的平面。8一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)是由上述四種基本運(yùn)動(dòng)形式復(fù)合而成的。M點(diǎn)的速度可以表達(dá)為：上列三式中，右邊第一項(xiàng)為平移速度，第二、三項(xiàng)是微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的速度增量，第四項(xiàng)和第五、六項(xiàng)分別為線變形運(yùn)動(dòng)和角變形運(yùn)動(dòng)所引起的速度增量。可見(jiàn)，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為平移運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，線變形運(yùn)動(dòng)和角變形運(yùn)動(dòng)之和。這就是亥姆霍茲速度分解定理。第第7章章 不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)97.2 有旋運(yùn)動(dòng)流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度在流場(chǎng)內(nèi)不完全為零的流動(dòng)稱為有旋流動(dòng)。自然界和工程中出現(xiàn)的流動(dòng)大多數(shù)是有旋流動(dòng)，例如大氣中的龍卷風(fēng)，管道中的流體運(yùn)動(dòng)，繞流物體表面的邊界層及其尾部后面的流

5、動(dòng)都是有旋流動(dòng)。設(shè)流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度為(x，y，z，t)，則渦量在x，y，z坐標(biāo)上的投影為：第第7章章 不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)10渦量是空間坐標(biāo)和時(shí)間的矢性函數(shù)：所以，它也構(gòu)成一個(gè)向量場(chǎng)，稱為渦量場(chǎng)。渦量連續(xù)性方程為：第第7章章 不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)11在渦量場(chǎng)中可以畫(huà)出表征某一瞬時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度向量方向的曲線，稱為渦線。在給定的瞬時(shí)，渦線上各點(diǎn)的角速度向量在該點(diǎn)處與渦線相切。沿渦線取一微小線段ds，由于渦線與角速度向量的方向一致，所以，ds沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量dx、dy、dz必然和角速度向量的三個(gè)分量x、y 、z 成正比，即這就是渦線的微分方程。第第7

6、章章 不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)12渦線是和管軸同軸的同心圓。 在渦量場(chǎng)中任意畫(huà)一封閉曲線，通過(guò)這條曲線上的每一點(diǎn)所作出的渦線構(gòu)成一管狀的曲面，稱為渦管。若曲線無(wú)限小，則稱為微元渦管。設(shè)A為渦量場(chǎng)中一開(kāi)口曲面，微元面dA的外法線單位向量為 ，渦量在 方向上的投影為n。則面積分稱為渦通量。nn第第7章章 不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)13有旋流動(dòng)的一個(gè)重要的運(yùn)動(dòng)學(xué)性質(zhì)是：在同一瞬間，通過(guò)同一渦管的各截面的渦通量相等。這一性質(zhì)可表示為微元渦管截面愈小的地方，流體的旋轉(zhuǎn)角速度愈大。由于流體的旋轉(zhuǎn)角速度不可能為無(wú)窮大，所以渦管截面不可能收縮為零。也就是說(shuō)，渦管不可能在流體內(nèi)部開(kāi)始或終止

7、，而只能在流體中自行封閉成渦環(huán)，或者終止于和開(kāi)始于邊界面，例如自然界中的龍卷風(fēng)開(kāi)始于地面，終止于云層。第第7章章 不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)14對(duì)于有旋流動(dòng)，其流動(dòng)空間既是速度場(chǎng)，又是渦量場(chǎng)。渦量場(chǎng)中的渦線，渦管，渦通量等概念分別與流速場(chǎng)中的流線，流管，流量等概念相對(duì)應(yīng)，而渦線方程和渦管的渦通量方程則分別與流線方程和元流連續(xù)性方程相對(duì)應(yīng)。通常，渦通量是利用速度環(huán)量這個(gè)概念來(lái)計(jì)算的。在流場(chǎng)中任取一封閉曲線s，則流速沿曲線s的積分 稱為曲線s上的速度環(huán)量。并規(guī)定積分沿s逆時(shí)針?lè)较蚶@行為 的正方向。s第第7章章 不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)151.斯托克斯定理式中，s為流場(chǎng)中任意封

8、閉曲線；A是曲線s所圍成的曲面；是曲面A的外法線單位向量。 上式稱為斯托克斯定理。定理給出了速度環(huán)量和渦通量之間的關(guān)系：沿任意封閉曲線s的速度環(huán)量等于通過(guò)以該曲線為邊界的曲面A的渦通量。即162.湯姆遜定理湯姆遜定理指出：在理想流體的渦量場(chǎng)中，如果質(zhì)量力具有單值的勢(shì)函數(shù)，那么，沿由流體質(zhì)點(diǎn)所組成的封閉曲線的速度環(huán)量不隨時(shí)間而變：即推論：根據(jù)斯托克斯定理，沿曲線s的速度環(huán)量等于通過(guò)以s為邊界的曲面的渦通量，因此，速度環(huán)量不隨時(shí)間變化亦意味著渦通量不隨時(shí)間而變。所以，質(zhì)量力具有單值勢(shì)函數(shù)的理想流體的流動(dòng)，如果在某一時(shí)刻是有旋流動(dòng)，那么，在以前和以后也是有旋流動(dòng)；如果在某一時(shí)刻是無(wú)旋流動(dòng)，那么，在以

9、前和以后也是無(wú)旋流動(dòng)。也就是說(shuō)，這種流體的渦旋具有不生、不滅的性質(zhì)。17和一元流連續(xù)性方程相似，三元流連續(xù)性微分方程的推導(dǎo)，是在流場(chǎng)中選取邊長(zhǎng)為dx、dy、dz的正六面體微元控制體，寫(xiě)出流出和流入該空間的質(zhì)量流量平衡條件。由于流體不可壓縮，質(zhì)量流量平衡條件可用體積流量平衡條件來(lái)代替，即在dt時(shí)間內(nèi)流出和流入微元控制體的凈流體體積為零。因而，在dt時(shí)間內(nèi)，沿x方向流出和流入微元控制體的凈流體體積為第第7章章 不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)18同理，在dt時(shí)間內(nèi)沿y, z方向流出和流入微元控制體的凈流體體積分別為：根據(jù)不可壓縮流體連續(xù)性條件，dt時(shí)間內(nèi)沿x、y、z方向流出和流入微元控制體的凈

10、流體體積之和應(yīng)為零，即這就是不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程。這個(gè)方程對(duì)恒定流和非恒定流都適用。第第7章章 不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)不可壓縮流體動(dòng)力學(xué)19第八章第八章 繞繞 流流 運(yùn)運(yùn) 動(dòng)動(dòng)在自然界和工程實(shí)際中，存在著大量的流體繞物體的流動(dòng)問(wèn)題，即繞流問(wèn)題。例如， 飛機(jī)在空氣中的飛行，河水流過(guò)橋墩，火力發(fā)電廠的高煙囪周?chē)目諝饬鲃?dòng)，粉塵顆粒在空氣中的飛揚(yáng)或沉降，水處理中固體顆粒污染物在水中的運(yùn)動(dòng)，晨霧中水滴在空氣中的下落等。流體的繞流運(yùn)動(dòng)，可以有多種方式，或者流體繞靜止物體運(yùn)動(dòng)，或者物體在靜止的流體中運(yùn)動(dòng)，或者兩者兼之，均為物體和流體作相對(duì)運(yùn)動(dòng)。不管是哪一種方式，我們研究時(shí)，都是把坐標(biāo)固結(jié)于物體，將物體

11、看作是靜止的，而探討流體相對(duì)于物體的運(yùn)動(dòng)。因此，所有的繞流運(yùn)動(dòng)，都可以看成是同一類型的繞流問(wèn)題。20在大雷諾數(shù)的繞流中，由于流體的慣性力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于作用在流體上的黏性力，黏性力相對(duì)于慣性力可以忽略不計(jì)，將流體視為理想流體，由理想流體的流動(dòng)理論求解流場(chǎng)中的速度分布和壓強(qiáng)分布。但是在靠近物體的一薄層內(nèi)，由于存在著強(qiáng)烈的剪切流動(dòng)，黏性力卻 大到約與慣性力相同的數(shù)量級(jí)，因此，在這一薄層(稱為附面層)內(nèi)，黏性力不能忽略。在附面層內(nèi)，由于存在著強(qiáng)烈的剪切渦旋運(yùn)動(dòng)，黏性對(duì)繞流物體的阻力、能量耗損、擴(kuò)散和傳熱等問(wèn)題，起著主要的作用。基于上述緣由，在處理大雷諾數(shù)下的繞流問(wèn)題時(shí)，可以用附面層理論處理附面層內(nèi)的流動(dòng)，而

12、用理想流體動(dòng)力學(xué)理論求解附面層外流場(chǎng)中的流動(dòng)，將兩者銜接起來(lái)，就可以解決整個(gè)繞流問(wèn)題。第八章第八章 繞繞 流流 運(yùn)運(yùn) 動(dòng)動(dòng)218.1 無(wú) 旋 流 動(dòng)當(dāng)流動(dòng)為無(wú)旋時(shí)，將使問(wèn)題的求解簡(jiǎn)化，因此提出了無(wú)旋流動(dòng)的模型。流場(chǎng)中各點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角速度等于零的運(yùn)動(dòng)，稱為無(wú)旋流動(dòng)。在無(wú)旋流動(dòng)中，有第八章第八章 繞繞 流流 運(yùn)運(yùn) 動(dòng)動(dòng)22第八章第八章 繞繞 流流 運(yùn)運(yùn) 動(dòng)動(dòng)23因此，無(wú)旋流動(dòng)的前提條件是根據(jù)全微分理論，上列三等式是某空間位置函數(shù)(x，y，z)存在的必要和充分條件。它和速度分量ux、uy、uz的關(guān)系表為下列全微分的形式：第八章第八章 繞繞 流流 運(yùn)運(yùn) 動(dòng)動(dòng)24函數(shù)稱為速度勢(shì)函數(shù)。存在著速度勢(shì)函數(shù)的流動(dòng)，稱

13、為有勢(shì)流動(dòng)，簡(jiǎn)稱勢(shì)流。無(wú)旋流動(dòng)必然是有勢(shì)流動(dòng)。展開(kāi)勢(shì)函數(shù)的全微分，有比較上兩式的對(duì)應(yīng)系數(shù)，得出第八章第八章 繞繞 流流 運(yùn)運(yùn) 動(dòng)動(dòng)25即速度在三坐標(biāo)上的投影，等于速度勢(shì)函數(shù)對(duì)于相應(yīng)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)。事實(shí)上，通過(guò)速度勢(shì)這個(gè)函數(shù)，不僅可以描述x、y、z這三個(gè)方向的分速度，而且可以反映任意方向的分速度。根據(jù)方向?qū)?shù)的定義，函數(shù)在任一方向 上的方向?qū)?shù)為上式右邊是速度 的三個(gè)分量在 上的投影之和，應(yīng)等于 在 上的投影us，即速度在某一方向的分量等于速度勢(shì)函數(shù)對(duì)該方向上的偏導(dǎo)數(shù)。ususs第八章第八章 繞繞 流流 運(yùn)運(yùn) 動(dòng)動(dòng)26存在著勢(shì)函數(shù)的前提是流場(chǎng)內(nèi)部不存在旋轉(zhuǎn)角速度。存在著勢(shì)函數(shù)的前提是流場(chǎng)內(nèi)部不存在

14、旋轉(zhuǎn)角速度。根據(jù)湯姆遜關(guān)于旋渦守恒定理所引伸出的推論，只有內(nèi)部不存在摩擦力的理想流體，才會(huì)既不能創(chuàng)造旋渦，又不能消滅旋渦。摩擦力是產(chǎn)生和消除旋渦的根源，因而一般只有理想流體流場(chǎng)才可能存在無(wú)旋流動(dòng)。而理想流體模型在實(shí)際中要根據(jù)黏滯力是否起顯著作用來(lái)決定它的采用。工程上所考慮的流體主要是水和空氣，它們的黏性很小，如果在流動(dòng)過(guò)程中沒(méi)有受到邊壁摩擦的顯著作用，就可以當(dāng)作理想流體來(lái)考慮。 水流和氣流總是從靜止?fàn)顟B(tài)過(guò)渡到運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)靜止時(shí)，顯然沒(méi)有旋轉(zhuǎn)角速度。根據(jù)湯姆遜定理，對(duì)于可按理想流體處理的水和空氣的流動(dòng)，從靜止到運(yùn)動(dòng)，也應(yīng)保持無(wú)旋狀態(tài)。第八章第八章 繞繞 流流 運(yùn)運(yùn) 動(dòng)動(dòng)27例如，通風(fēng)車(chē)間用抽風(fēng)的

15、方法使工作區(qū)出現(xiàn)風(fēng)速，工作區(qū)的空氣即從原有靜止?fàn)顟B(tài)過(guò)渡到運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，流動(dòng)就是無(wú)旋的。所以，一切吸風(fēng)裝置所形成的氣流，可以按無(wú)旋流動(dòng)處理。 相反，利用風(fēng)管通過(guò)送風(fēng)口向通風(fēng)地區(qū)送風(fēng)，空氣受風(fēng)道壁面的摩擦作用，流動(dòng)在風(fēng)道內(nèi)是有旋的，流入通風(fēng)地區(qū)后，又以較高的速度和靜止空氣發(fā)生摩擦，所以只能維持有旋，而不能按無(wú)旋處理。飛機(jī)在靜止空氣中飛行時(shí)，靜止空氣原來(lái)是無(wú)旋的。飛機(jī)飛過(guò)時(shí)，空氣受擾動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，仍應(yīng)保持無(wú)旋。只有在緊靠機(jī)翼的近距離內(nèi)，流體受固體壁面的阻礙作用，流動(dòng)才有旋。此外，即使流動(dòng)是有旋的，當(dāng)它的流速分布接近于無(wú)旋，也可以有條件有范圍地按無(wú)旋處理。第八章第八章 繞繞 流流 運(yùn)運(yùn) 動(dòng)動(dòng)28現(xiàn)在，我們把速度勢(shì)函數(shù)代入不可壓縮流體的連續(xù)性方程：其中同理得出第八章第八章 繞繞 流流 運(yùn)運(yùn) 動(dòng)動(dòng)29上述方程稱為拉普拉斯方程。滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)。因此，不可壓縮流體勢(shì)流的速度勢(shì)函數(shù)，是坐標(biāo)(x，y，z)的調(diào)和函數(shù)，而拉普拉斯方程本身，就是不可壓縮流體無(wú)旋流動(dòng)的連續(xù)性方程。第八章第八章 繞繞 流流 運(yùn)運(yùn) 動(dòng)動(dòng)30第八章第八章 繞繞 流流 運(yùn)運(yùn) 動(dòng)動(dòng)8.2 平面無(wú)