雙曲線的離心率

1、雙曲線的離心率2x1 .已知雙曲線a22 .過(guò)雙曲線勺ay24。=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=x,則雙曲線的離心率為(b2324=1(aA0,b>0)的右焦點(diǎn)F作一條直線，當(dāng)直線斜率為2時(shí)，直線與雙曲線左、右兩支各有b2一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線斜率為3時(shí)，直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為(2X3.過(guò)雙曲線工一ab2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F(c,0)(c>0),作圓222a.X+y=的切線，切點(diǎn)為E,延長(zhǎng)FE4交雙曲線右支于點(diǎn)P,若OP=艮-Of*,則雙曲線的離心率為(2x4.若點(diǎn)P(2,0)到雙曲線三a2yY=1(a

2、>0,b>0)的一條漸近線的距離為b2J2,則該雙曲線的離心率為(2一，x5.已知F1,F2是雙曲線a2二=1(a>0,bA0)的兩焦點(diǎn)，以點(diǎn)F1為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形MF1F2,若邊bMFi的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是6.22，一xy如圖，F(xiàn)1、F2是雙曲線不-彳=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于abA、B.若AABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為7.當(dāng)雙曲線C不是等軸雙曲線時(shí)，我們把以雙曲線C的實(shí)軸、虛軸的端點(diǎn)作為頂點(diǎn)的橢圓稱為雙曲線C的“伴生橢圓”.則離心率為J3的雙曲線的“伴生橢圓”的離心率為2X8

3、 .已知點(diǎn)P是雙曲線-2a22=1,(a>0,b>0)右支上一點(diǎn),b2Fi,F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),I為APFiF2的內(nèi)心，若S"1八1八八一一=Sf2+3S&f2成立，則雙曲線的離心率為(9 .已知巳下2分別是雙曲線22xyC：=%=1(aA0,bA0)的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),abP為雙曲線右支上的一點(diǎn)，PF1與以F2為圓心,2x10 .已知雙曲線a2yb211 .已知A是雙曲線2x2aG是APF的重心,of2為半徑的圓相切于點(diǎn)Q,且Q恰好是PF1的中點(diǎn)，則雙曲線=1(a>0,b>0)的漸近線與實(shí)軸的夾角為30，則雙曲線的離心率為2yb2=

4、1(a>0,b>0)的左頂點(diǎn)，F(xiàn)1,F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),若GA=?PFi,則雙曲線的離心率為C的離心率為()P為雙曲線上一點(diǎn),2212.雙曲線1_與=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F、F2,過(guò)F2的直線與雙曲線的右支交于A、B兩ab點(diǎn)，若AFiAB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則e2=()V2X2213 .設(shè)雙曲線F=1(aA0,bA0)的漸近線與拋物線y=x+1相切，則該雙曲線的離心率等于()abx2v214 .設(shè)雙曲線C：q=1(aA0,b>0)的離心率為e,右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)Q(3a,0),若C上存在一點(diǎn)P,使得ab22AP_LPQ,則15.

5、過(guò)雙曲線X-Vr=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)A作斜率為1的直線，該直線與雙曲線的兩條ab漸近線的交點(diǎn)分別為B,C.若2AB=BC,則雙曲線的離心率是()22XV16.已知F1、F2分別是雙曲線C：f-q=1的左、右焦點(diǎn)，若F2關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰落在以E為圓心，|OF1|ab為半徑的圓上，則雙曲線C的離心率為22XV17 .設(shè)FF2分別為雙曲線-2-12=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|十|PF2|=3b,ab9|PF111PF2|=ab,則該雙曲線的離心率為()4x2y218 .若點(diǎn)P是以F1,F2為焦點(diǎn)的雙曲線二=1上一點(diǎn)，滿足P

6、F1_LPF2,且PF1|=2PF2,則此雙曲線的離心a2b2一，率為.22219 .已知F為拋物線y2px(Pa0)的焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線_2_當(dāng)=1(a>04>0)的兩條漸近線分別交ab于A、B兩點(diǎn).若4AFB為直角三角形，則雙曲線的離心率為.220 .如圖，F(xiàn)1,F2是橢圓C1:+V2=1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A,B分別是C1,C2在第二，第四象限的公共點(diǎn)，42222xvxV若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是.21,雙曲線C1：-2一上7二1與雙曲線C2:下一上7=-1的離abab11心率分力1j為自和,則下+-=e1±-=1(己>0.>

7、;0)22.已知雙曲線口一"的左焦點(diǎn)為F,若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率的取值范圍是22xV23.設(shè)F1、F2分別為雙曲線-y看=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線的右支上存在一點(diǎn)P,使abPF1PF2=0，且&FPF典三邊長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列，則此雙曲線的離心率為參考答案1. .A【解析】試題分析：由漸近線方程得，B=4eM,:+b2=5.故選a.a3Va23考點(diǎn)：求雙曲線的離心率.2. D【解析】試題分析：由題意°b2<-<3,a222即4<c-a<9,所以5<

8、;£2<10,即J5<e<Ji0.aa考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì).【方法點(diǎn)晴】在研究雙曲線的性質(zhì)時(shí)，半實(shí)軸、半虛軸所構(gòu)成的直角三角形是值得關(guān)注的一個(gè)重要內(nèi)容；雙曲線的離心率涉及的也比較多.由于e=E是一個(gè)比值，故只需根據(jù)條件得到Q關(guān)于a,b,c的一個(gè)關(guān)系式，利用b2=c2-a2消去b,然后變形求e,并且需注意e>1.3. C【解析】試題分析：由OP=2OEOF得OE=1(OP+OF),所以E是FP的中點(diǎn)，設(shè)F2是右焦2點(diǎn)，則O是FF2的中點(diǎn)，所以O(shè)E/F2P,又E切點(diǎn)，即OE_LFP,所以F2P_LPF,所以PF=3a,于是由PF2=2OE=a,點(diǎn)P雙曲線上，故PF-

9、PF2=2a,2,22,、2,2、2C10rCV10一,PF+PF2=FF2有(3a)+a=(2c)，得-2=一,即e=,故選C.a4a2考點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì).4. A【解析】試題分析：雙曲線2x2ab2=1的一條漸近線為bxay=0,由題意j2b=J2,化簡(jiǎn)、a2b2得a=b,所以c=Ja2+b2=J2a,e=5/2,故選A.a考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì).5. A【解析】試題分析：由等腰直角角形MF1F2得F1F2=MF12c="2b-c2-ac-a2=0251.e-e1=0,e=2考點(diǎn)：雙曲線方程及性質(zhì)6. B【解析】試題分析：因?yàn)锳ABF2為等邊三角形，不妨設(shè)AB=BF2=AF2=m

10、,A為雙曲線上一點(diǎn),F1A-F2A=F1A-AB=F1B=2aB為雙曲線上BF2-BF1=2a,BF2=4a,F1F2=2c,由/ABF2=60°,則NF1BF2=120",在F1BF2中應(yīng)用余弦定理得：4c2=4a216a2-22a4acos120>彳導(dǎo)c2=7a2,貝Ue2=7=e=41.考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)7. D【解析】試題分析：不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為22xy-22=1(a>0,b>0),則其“伴生橢圓”的方aba22程為二+與=1.;，石，ababb2一1+f,解得=2,所以其“伴生橢圓”的離心率e=1-2=;故選D.b22考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單

11、性質(zhì)8. C【解析】試題分析：如圖，設(shè)圓I與LPF1F2的三邊F1F2,PF1,PF2分別相切于點(diǎn)E,F,G,連接IE,IF,IG,則IE1FiF2,IF_LPFi,IG1PF2,它們分別是l_IF1F2IPF11_IPF2的高，11r1111r,SLIPF1;金黑|pFi|mif=2pfi,s_ipf2=2m|pF2|黑IG=-|PF2,1rSl=一父F2F1MIE=-F2F1，其中r是LPF1F2的內(nèi)切圓的半2122一*.1rr.rr徑*Slip,f=SIF-S,bFF二PF1=二PF2+F1F2,兩邊約去二得：1-22L1222421 .11111PF=|PF+-|1FF根據(jù)雙曲線定義，

12、得PF1-PF2=22,己"干2|=&，2a=c,所c一以離心率為e=2,故選C.ap考點(diǎn)：雙曲線的離心率【思路點(diǎn)睛】離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下五種情況，直接求出a,c,從而求出e構(gòu)造a,c的齊次式，求出e采用離心率的定義以及橢圓的定義來(lái)求解根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解構(gòu)建關(guān)于e的不等式，解出e的取1值范圍。本題中，根據(jù)題設(shè)條件I為APF1F2的內(nèi)心，又S緲F=S妍2+S西尸2，可以建立關(guān)于焦半徑和焦距的關(guān)系。從而找出a,c之間的關(guān)系，求出離心率e。9. A【解析】試題分析：由題意of2為半徑的圓相切于點(diǎn)Q，且Q恰好是PFl的中點(diǎn)，連接

13、F2Q,則EQ_LPRPF=FF=2,cPQQFP為雙曲線右支上的一點(diǎn)，所以PFPF=2SPP122+c2a,F1Q=c+a,在直角三角形22FiQF2,QF22+QF12=FiF22,，(a+c)2+c2=(2c)2,化簡(jiǎn)得a2ac_2c=°,式子的兩端同乘以a2,可得2e2e-1=0,解得e=1-",又因?yàn)閑>1,.e=1,所以應(yīng)選A.22考點(diǎn)：雙曲線的離心率10. C【解析】試題分析：漸近線方程為y=±2x.由于漸近線與實(shí)軸夾角為30口，所以也=tan30©=aa3所以e=11+(-)2=紂，故選C.a3考點(diǎn)：離心率計(jì)算問(wèn)題.11. .B【解

14、析】試題分析：OA|0GOF1OP若GA=2-PF1，所以GA/PF1,又因?yàn)镚是年F1F2的重心，所以1,所以g=ee=£=3,故選B.3c3a考點(diǎn)：1.雙曲線的幾何性質(zhì)；2.三角形重心的性質(zhì).12.C【解析】試題分析：由雙曲線的定義可得AF1-AF2=2a,AFi+|BFi-AB|=4a,因?yàn)锳Fi=|AB,所以BFiBFi-BF2=2a,兩式相加可得=4a,代入BFiBF2=2a可得因?yàn)?A=90,BF1=4a所以AF1=|AB=2屆,AF=ABBF2所以4c2=fe2=AF12+|AF：=20a2-8V2a2,所以e2考點(diǎn)：雙曲線的定義.13.A【解析】試題分析：由題知：雙曲

15、線的漸近線為又因?yàn)闈u近線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以y=±ax,所以其中一條漸近線可以為ba2一,*-一x=x+1只有一個(gè)解b所以-b222-4=0a=4b*c=a"比2=”5be=£BF2=2a.考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)14. A【解析】試題分析：根據(jù)題意可知，點(diǎn)P在以（2a,0）為圓心，以a為半徑的圓上，可以得到圓的方程為（x-2a）2+y2=a2,該題可轉(zhuǎn)化為圓與雙曲線有除右頂點(diǎn)以外的公共點(diǎn)，即方程組22L.L=1aa2b21有解，聯(lián)立消元得I222b2_22(12)x-4ax3a-ba=0,其中一個(gè)根為3a2-b2x=a,另一個(gè)根為-,根據(jù)題思可知baa3a2

16、-b2.八、丁匚(a,3a),baa.2.2整理得a>b，即(x-2a)2y2=a2a2>c2-a2,從而解得e<J2,結(jié)合雙曲線的離心率的取值范圍，可知e(1,J2),故選A.考點(diǎn)：雙曲線的離心率.15. C【解析】試題分析：過(guò)右頂點(diǎn)A斜率為一1的直線為y=-x+a,與漸近線y=2x聯(lián)立可得aB-a,-ab-,與漸近線、a+ba+b,b-ay=bx聯(lián)立可得C-aaababa_b,由2AB=BC可得2、222-a-a=-a,整理得b=2a.e=J51a+b,a-ba+b考點(diǎn)：1.雙曲線方程與性質(zhì)；2.直線方程；3.向量的坐標(biāo)運(yùn)算16. B【解析】試題分析：由題意得r(-c.O

17、J.FJgO),雙曲線的漸近線方程為。工-Q，二0,已到漸近線的距離d=u蕓=6；昆關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為A,與心乂與漸近線交于點(diǎn)E,可得民.4=25；而8為尾金的中點(diǎn)，。為馬鳥的中點(diǎn)，所以兀8，所以上=90'；在三角形&AF二中,&舒=FtF2,即尸+45-=4/,而小+>=/,可得/=4產(chǎn)，所以離心率e=-=1.選B.口考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì).相關(guān)知識(shí)點(diǎn)：點(diǎn)到線的距離d二三三當(dāng)二；雙曲線-J一三二1,離心率e=-,a*3*G妙+那=L.【思路點(diǎn)睛】首先設(shè)出點(diǎn)F2的坐標(biāo)（c,0）,然后作出其關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)A,連接FiA（如上圖）.易得F1AHOB且F

18、1A=2BO然后可求出點(diǎn)F2到漸近線的距離為b,OB=a所以FiA=2a,AF2=2b,同時(shí)可得，F(xiàn)1A_LAF2,最后由勾股定理即可求出b,c的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率.17. B|PFi|PF2|=3b(|PFi|+|PF2|2-(|PFi-PF2)=4PFi|PF2又因?yàn)開91PFi1'|PF26abb_422c,一二二所以有9b-4a=9ab解得a3或b1=a3（舍），所以c2db2255=1=二e二一aa9,即3,故選擇B考點(diǎn)：雙曲線性質(zhì)18,新試題分析：由雙曲線的定義可知PF1-PF2=2PF2PF2=PF2=2a,2,2222.PF_LPF2，二PF1|+|PF2=|F1F2，即5PF2|=4c.52a=4c2,、.5a=c,e=考點(diǎn)：1雙曲線的定義；2雙曲線的離心率.19.5試題分析：拋物線白準(zhǔn)線方程為x=-R,雙曲線的漸近線方程為2by=±x,則交點(diǎn)Aa22a【解析】試題分析：由雙曲線定義根據(jù)點(diǎn)p為雙曲線上一點(diǎn)，所以lPF一PF2II=2a,又B（-匕_型）.所以要