21控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

1、第一節(jié)第一節(jié) 時(shí)域數(shù)學(xué)模型時(shí)域數(shù)學(xué)模型微分方程微分方程第二章第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第一節(jié) 控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型項(xiàng) 目?jī)?nèi) 容教 學(xué) 目 的 如何從實(shí)際的物理系統(tǒng)過渡到數(shù)學(xué)系統(tǒng)，理解物理系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、數(shù)學(xué)系統(tǒng)三者的統(tǒng)一；如何建立控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型。教 學(xué) 重 點(diǎn) 如何建立控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型。教 學(xué) 難 點(diǎn)及 其 處 理 關(guān)于數(shù)學(xué)模型的一些基本概念。從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，逐步分層次講解。數(shù)學(xué)模型的基本概念數(shù)學(xué)模型的基本概念中學(xué)時(shí)中學(xué)時(shí)的函數(shù)概念：的函數(shù)概念：在在電路電路的學(xué)習(xí)中對(duì)函數(shù)概念的理解：的學(xué)習(xí)中對(duì)函數(shù)概念的理解：自動(dòng)控制系統(tǒng)自動(dòng)控制系統(tǒng)對(duì)函數(shù)概念的理解：對(duì)函數(shù)概念的

2、理解：( )yf xxy自變量，因變量xy激勵(lì)電路系統(tǒng)響應(yīng)xy控制量控制系統(tǒng)被控制量研究對(duì)象的復(fù)雜程度加深一一 引引 言言同樣的x和y，在不同的課程學(xué)習(xí)中，思維方式發(fā)生了變化：中學(xué)時(shí)的函數(shù)是一個(gè)純數(shù)學(xué)的概念；在電路和控制系統(tǒng)中增加了人的因素。可以用數(shù)學(xué)的方法來解決工程中遇到的實(shí)際問題，可以通過自動(dòng)控制原理課程把數(shù)學(xué)、工程、控制三者聯(lián)系統(tǒng)一起來。u數(shù)學(xué)模型的定義數(shù)學(xué)模型的定義：能夠描述控制系統(tǒng)輸出量和輸入量數(shù)量關(guān)系的表達(dá)形式。實(shí)際物理系統(tǒng)理想化物理模型數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)模型線性化線性數(shù)學(xué)模型無量綱化可用數(shù)學(xué)模型標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型u按輸入輸出的表達(dá)形式按輸入輸出的表達(dá)形式數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型的分類l微分

3、方程（時(shí)間域）l傳遞函數(shù)（復(fù)數(shù)域）l動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖（各元件傳函的連接關(guān)系）l響應(yīng)曲線（step、pulse）l頻率特性（bode圖、nyquist圖、nichols圖）v分析法v試驗(yàn)法數(shù)學(xué)模型建立（建模）的方法數(shù)學(xué)模型建立（建模）的方法單輸入單輸出線性定常集中參數(shù)連續(xù)系統(tǒng)微分方程單輸入單輸出線性定常集中參數(shù)連續(xù)系統(tǒng)微分方程的一般形式為：的一般形式為：式中，c(t)是輸出量；r(t)是輸入量。為了所表示系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性，一般限定 。 1011110111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmdddac tac tac ta c tdtdtdtdddbr tbr tbr

4、 tb r tdtdtdt微分方程的一般形式微分方程的一般形式mn二二 時(shí)域數(shù)學(xué)模型時(shí)域數(shù)學(xué)模型-微分方程微分方程建立系統(tǒng)建立系統(tǒng)(或元件或元件)的微分方程的一般步驟的微分方程的一般步驟1、根據(jù)系統(tǒng)(或元件)的工作原理，確定其輸入量和輸出量；2、按照系統(tǒng)中元件所遵循的科學(xué)規(guī)律(物理或化學(xué)定律等)，圍繞輸入量、輸出量及有關(guān)中間量，列寫原始方程式，構(gòu)成微分方程組；3、消去中間變量，得到只含有輸出量和輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)的微分方程；4、標(biāo)準(zhǔn)化。 例1 對(duì)下圖RC無源網(wǎng)絡(luò)，列寫以u(píng)i(t)為輸入量，uo(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程式。n電氣系統(tǒng)(1)由KVL，得( )( )( )iou tRi tu t

5、( )( )odu ti tCdt又因?yàn)?2)消去中間變量 i(t)( )( )( )oiodu tu tRCu tdt(3)標(biāo)準(zhǔn)化( )( )( )ooidu tRCu tu tdt解： 例2 對(duì)兩級(jí)RC無源網(wǎng)絡(luò)，列寫以u(píng)i(t)為輸入量，uo(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程式。11( )( )( )0iRCu tutut12( )( )( )0CRoututu t11 1( )( )RutRi t22 2( )( )RutR i t11211( ) ( )( )Cuti ti t dtC221( )( )ou ti t dtC對(duì)L1，由KVL得對(duì)L2，由KVL得列出各元件的輸入變量和輸出變量的

6、關(guān)系式R1：R2：C1：C2：解：121122112222( )( )()( )( )oooid u tdu tRC R CRCR Cu tu tdRdCtt321 2122( )( )()( )( )oooiTd u tdu tTTTTu tu tdtdt111TRC222TR C312TRC或式中：v提醒注意上題中如果把第一級(jí)電路的輸出看作是第二級(jí)電路的輸入，直接利用例1的結(jié)論，可列方程如下：1111( )( )( )ccidutRCutu tdt221( )( )( )oocdu tR Cu tutdt消去中間變量uc1(t)，得：2112211222( )( )()( )( )oooi

7、d u tdu tRC R CRCR Cu tu tdtdt原因：后級(jí)電路的電流i2影響前級(jí)電路的輸出電壓uc1(t)。負(fù)載效應(yīng) 例3 由理想運(yùn)算放大器組成的有源網(wǎng)絡(luò)如圖，列寫以u(píng)i(t)為輸入量，uo(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程式。01( )( )0i ti t0 0( )( )iR i tu t1 111( )( )( )oRi ti t dtu tC由KVL：1、由KCL：2、消去中間變量 并標(biāo)準(zhǔn)化，得： 01( )( )i ti t、i01i( )( )( )odu tdu tR CRCu tdtdt ii( )( )( )odu tdu tTu tdtdt 或解：n機(jī)械系統(tǒng) 例4 一

8、個(gè)由彈簧、質(zhì)量、阻尼器組成的做直線運(yùn)動(dòng)的力學(xué)系統(tǒng)。圖中，m為物體的質(zhì)量，k為彈簧系數(shù)，f為粘性摩擦(阻尼)系數(shù)，F(xiàn)(t)為物體受到的外作用力，y(t)為物體的位移。試列寫質(zhì)量m在外力F(t)作用下，位移y(t)的運(yùn)動(dòng)方程。 f22( )( )( )( )kfd y tF tmgF tF tmdt( )( )fF tf vf dy tdt1、由牛頓第二定律：由虎克定律：摩擦力和速度成正比：0( ) ( )kF tk y ty0kymg其中22( )( )( )( )d y tdy tmfky tF tdtdt2、消去中間變量Fk(t)和Ff(t)，并整理得：f22( )( )( )( )d y

9、tdy tmfky tF tdtdt機(jī)械力學(xué)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：211221122122( )( )()( )( )oooid u tdu tRC R CRCR CRCu tu tdtdt相似系統(tǒng)便于用一個(gè)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)去研究與其相似的相似系統(tǒng)便于用一個(gè)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)去研究與其相似的復(fù)雜系統(tǒng)，也為控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真提供了基礎(chǔ)。復(fù)雜系統(tǒng)，也為控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)仿真提供了基礎(chǔ)。v提醒注意兩級(jí)濾波電路網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型：相似系統(tǒng)建立系統(tǒng)建立系統(tǒng)(或元件或元件)的微分方程的一般步驟的微分方程的一般步驟1、根據(jù)系統(tǒng)(或元件)的工作原理，確定其輸入量和輸出量；2、按照系統(tǒng)中元件所遵循的科學(xué)規(guī)律(物理或化學(xué)定律等)，圍繞輸入量

10、、輸出量及有關(guān)中間量，列寫原始方程式，構(gòu)成微分方程組；3、消去中間變量，得到只含有輸出量和輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)的微分方程；4、標(biāo)準(zhǔn)化。小結(jié) 非線性數(shù)學(xué)模型線性化非線性數(shù)學(xué)模型線性化 實(shí)際的物理元件都存在一定的非線性，例如：實(shí)際的物理元件都存在一定的非線性，例如： 彈簧系數(shù)彈簧系數(shù) 是位移的函數(shù)是位移的函數(shù) 電阻、電容、電感與工作環(huán)境、工作電流有關(guān)電阻、電容、電感與工作環(huán)境、工作電流有關(guān) 電動(dòng)機(jī)本身的摩擦、死區(qū)電動(dòng)機(jī)本身的摩擦、死區(qū) 例1 對(duì)下圖RC無源網(wǎng)絡(luò)，列寫以u(píng)i(t)為輸入量，uo(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程式。n電氣系統(tǒng)思考uo(t)輸出量的變化過程是什么？( )( )( )ooidu tRCu tu tdtn機(jī)械系統(tǒng) 例4 一個(gè)由彈簧、質(zhì)量、阻尼器組成的做直線運(yùn)動(dòng)