2012017年高考文科數(shù)學(xué)試題匯編--導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn)問題

1、專題6導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)等綜合問題1.12014全國1,文12已知函數(shù)f (x)=以3 -3x2+1,若f (x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0，則的取值范圍是()(2,+8)(B) (1,+s)(C)(*2)(D)(一j1)【答案】C【解析】根據(jù)題中函數(shù)特征，當(dāng)門 =。時，函數(shù)= 31 + 1顯然有兩個零點(diǎn)且一正一負(fù)；當(dāng)門0時，求導(dǎo)可得：fx) = -6x = 3x(aX-2),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得：X£(-,()和工注2,m)時函數(shù)單調(diào)遞增；工£ (0,2)時函數(shù)單調(diào)遞減，顯然存在負(fù)零點(diǎn)；當(dāng)口 <0時，求導(dǎo)可得： aaf'(x) = 3

2、ax2 6x = 3x(ax 2),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得：x G (-8,2)和x (0, +8)時函數(shù)單調(diào)遞減；x G (- ,0)時函數(shù)單調(diào)遞增，欲要使得函 aa數(shù)有唯一的零點(diǎn)且為正，則滿足：<f(a)>°，即得：a義(2)-3(+1 >0，可f (0) > 0解得：a2 > 4，貝U a > 2(舍去),a <-2考點(diǎn)：1.函數(shù)的零點(diǎn)；2.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)中的運(yùn)用;3.分類討論的運(yùn)用 【名師點(diǎn)睛】本題主要是考查函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)中的運(yùn)用和分類討論 思想的運(yùn)用，在研究函數(shù)的性質(zhì)時要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、零點(diǎn)、以及

3、極 值等函數(shù)的特征去研究，本題考查了考生的數(shù)形結(jié)合能力.21(本小題滿分14分)已知函數(shù)2.12014高考廣東卷.文f (x) = -x 3 + x 2 + ax+1 (a R ).3(1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)a < 0時，試討論是否存在x0【答案】(1)詳見解+析；(2)詳見解+析.(1) f'(x)= x2 + 2x + a,方程 x2 + 2x + a = 0 的判別式為 A = 4 4a當(dāng)a > 1時，A « 0,則f (x)2 0,此時f 6)在r上是增函數(shù);當(dāng)a < 1時，方程x2 + 2x + a = 0的兩根分別為x =-1 一 J

4、1-a , x =-1 + J1-a , 解不等式 x2 + 2x + a > 0,解得 x < 一1 一 <1 - a 或 x > -1 + <1 - a解不等式 x2 + 2x + a < 0，解得-1 - vT-a < x <-1 + < 1 - a此時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(8,-1-a二a )和(-1單調(diào)遞減區(qū)間為(1 -、;1二a,-1+vi-a) 綜上所述,當(dāng)a > 1時,函數(shù)f G)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-*+8)當(dāng)a < 1時，函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為Is,-1 -后。)和(-1 + “-匚£

5、;, +8)單調(diào)遞減區(qū)間為(1- $1一a,-1 +石二a)=1 x 3 + x 2 + ax +1 -+ a2+12(1 )3k 2 Jx2 一0(1)212 J12x 2x0- + 036(lx(4 x2 +14 x0 + 7 +12 a ),(1若存在x G 0,- U 0 k 2 J(1 )2，1，k2 J一 1、必'須4X2+14X + 7 +12a = 0在 0,- II001 2 /1 1,1上有解,2 7a < 0, .= 142-16（7 + 12a）= 4（42-48a）> 0X -1X1a4-14 + 2 J21 48 a -7 +121 - 48 a

6、X > 0，.二 Xf 7 + v 21 - 48 a依題意，0 <7 + 21 48 a< 1,即 7 < <21 -48a < 1149 < 21 - 48a < 121,即25< a < 1212又由-7晨21-48a 1得故欲使?jié)M足題意的x0存在，則”一 412, - 4 JUl- 4,時，存在唯一f 1 、一一ul于1滿足2 7f（x）= f225 一12 U|51 _ 4|U一 - 仁 1、時，不存在X G 0,- J 0 V 2 71 4 一1,1滿足2 7【考點(diǎn)定位】本題以三次函數(shù)為考查形式,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)

7、間,從中 滲透了利用分類討論的思想處理含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，并考查了利用作差法 求解不等式的問題,綜合性強(qiáng),屬于難題.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)與方程，屬于難題.解題 時一定要抓住重要字眼“單調(diào)區(qū)間”，否則很容易出現(xiàn)錯誤.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f G) 的單調(diào)區(qū)間的步驟：確定函數(shù)f G)的定義域；對f G)求導(dǎo)；令f < x )> 0 解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間，令f"(x )< 0，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間.3.12016高考新課標(biāo)1文數(shù)】(本小題滿分12分)已知函數(shù)f (x ) = (x - 2 )e x + a (x - 1)2 .(I)

8、討論f(x)的單調(diào)性;(II)若f(x)有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】見解+析(II)(0,+s) 試題分析：(I)先求得f'(x)=(x-1)Q + 2a).再根據(jù)1,0,2a的大小進(jìn)行分類確定 f(x)的單調(diào)性；(II)借助第一問的結(jié)論，通過分類討論函數(shù)單調(diào)性，確定零點(diǎn)個數(shù)， 從而可得a的取值范圍為(0,+s).試題詳細(xì)分析：(I) f'(x) = (x-1)ex + 2a(x-1)= (x- 1)Q + 2a).(i)設(shè) a > 0，則當(dāng) x £(-s,1)時,f (x)< 0 ；當(dāng) x g(1, +s)時,f (x)> 0.所以在(-*

9、1)單調(diào)遞減，在(1,+s)單調(diào)遞增.設(shè)門C 0,由尸(引=口得戶1或若門 =3廁尸=*所以/在3包)單調(diào)遞增.若白>則皿-方)，故當(dāng)工«一口 (2j)U(L例)時,尸(可)心 當(dāng) x G(1n(-2a),1)時,f1(x)< 0 ,所以 f (x)在(-s,ln (-2a),(1, +s)單調(diào)遞增，在Gn (-2 a ),1)單調(diào)遞減.若 a < -e ,則U ln(-2a)> 1 ,故當(dāng) x g(-s, 1)J( l n- 6 +竽)時，f'(x)> 0 ,當(dāng)2X G Qln (2a)時，/(x)< 0 ,所以 f G)在(-8,1),

10、 Gn (-2a), +s)單調(diào)遞增,在 Qln (-2 a )單調(diào)遞減.(II)(i)設(shè)a > 0,則由(I)知,f (x)在(-8,1)單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增.又 f (1) = -e, f (2) = a ,取 b 滿足 b<0 且-< ln a , 22則 f (b)> a(b - 2)+ a (b-1> = ab3 - -b> 0，所以 f (x)有兩個零點(diǎn).2I 2 ；(ii)設(shè) a=0,則 f (x)=(x-2)ex所以 f (x)有一個零點(diǎn).(iii)設(shè)a<0,若a >-e，則由(I)知,f (x)在(1,+8)單調(diào)遞增

11、.2又當(dāng)x < 1時,f(x) <0,故f (x)不存在兩個零點(diǎn)；若a <-e ,則由(I)知，f (x)在 2Qln (-2a)單調(diào)遞減,在Gn(-2a), +8)單調(diào)遞增.又當(dāng)x < 1時f (x)<0,故f (x)不 存在兩個零點(diǎn).綜上,a的取值范圍為(0,+8).考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】本題第一問是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，對含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的 確定，通常要根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論，要注意分類討論的原則：互斥、無漏、最簡; 第二問是求參數(shù)取值范圍,由于這類問題常涉及到導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、不等式等知識，越 來越受到高考命題者的青睞，解決此類問題的思路是構(gòu)造

12、適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研 究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解.4.12015高考廣東，文21(本小題滿分14分)設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)f (x)=(x-a )2 + |x - a| - a (a -1).(1)若f(0)< 1,求的取值范圍；(2)討論f (x)的單調(diào)性；(3)當(dāng)a > 2時，討論f (x)+-在區(qū)間(0,+8)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù). x 一、.，、( 一，、， ，、一、【答案】(1)-8, ； (2) f (x)在(a,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,a)上單調(diào)遞減;1 2 .(3)當(dāng)a = 2時，f (Q+ 4有一個零點(diǎn)x = 2 ；當(dāng)a> 2時，f (Q+4有兩個零點(diǎn). xx【解析】試

13、題分析：(1)先由可得卜|+白£1,再對口的取值范圍進(jìn)行討論可得卜|+白蘭1的解，進(jìn)而可得已的取值范圍？(2)先寫函數(shù)力的解析式，再對口的取值范圍進(jìn)行討論確定函數(shù)句的單調(diào)性_；(3)先由(2)得函數(shù)f (x)的最小值，再對的取值范圍進(jìn)行討論確定f (x)+ 4在區(qū)間 x(0,+s)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù).試題詳細(xì)分析：(1) f (0) = a2 + |a| - a2 + a = |a| + a ,因?yàn)?f (0)< 1,所以,| + a < 1,1 1當(dāng)a < 0時，0 < 1,顯然成立；當(dāng)a > 0 ,則有2a < 1,所以a < .所以0 <

14、; a < 2 2、一，一，一一11綜上所述，的取值范圍是-8,1 .I 2x 2 -(2 a - 1b, x > a(2)f(x) = <,x2 - (2a +1)x + 2a, x < a對于u = x2 -(2a-1)x，其對稱軸為x = - = a - - < a，開口向上，122所以f (x)在(a,+8)上單調(diào)遞增；對于u = x2 -(2a + 1b + 2a，其對稱軸為x = 2a十=a + > a，開口向上， 122所以f (x)在(-8,a)上單調(diào)遞減.綜上所述，f (x)在(a,+8)上單調(diào)遞增，在(-8, a)上單調(diào)遞減.(3 )由(

15、2 )得f (x)在(a,+8)上單調(diào)遞增，在(0,a)上單調(diào)遞減，所以f (x )min = f (a) = a - a2.(i)當(dāng) a = 2 時，f (x) .= f(2) = -2, f (x )='，x- 2minx 2 - 5x + 4, x < 2令 f (x)+ = 0，即 f (x) = - ( x > 0xx因?yàn)閒 (x)在(0,2)上單調(diào)遞減，所以f (x) > f (2) = -244而y =-在(0,2)上單調(diào)遞增，y < f (2) = -2，所以y = f (x)與y =-在(0,2)無 xx交占當(dāng)時，/(x) = x2 -3x =

16、,即 3 3%2+4 = 0,所以 3 2%2 一 2 + 4 = 0 , X所以Q-2力( + 1) = 0 ,因?yàn)閤22,所以x = 2,即當(dāng)。=2時，/(Q+3有一個零點(diǎn)x = 2.(ii)當(dāng)。>2時，于(x)=/()= 一2,min當(dāng) xe(O,)時，/(0) = 2a>4, /()= 4 tn,而> =9在 %£(0,q)上單調(diào)遞增， x44當(dāng)x = a時，y =-.下面比較/(a) = a -與的大小aa曰 4,/ 4(“3 12 4) (a 2)(2 + a + 2)因?yàn)閍 “2 ()=_21 =0< 0aaa所以/=_2 < -結(jié)合圖象不

17、難得當(dāng) > 2時，y =于(x)與y = -e有兩個交點(diǎn).綜上所述，當(dāng) =2時，/G)+S有一個零點(diǎn)工=2；當(dāng)。2時，/(Q+±有兩 XX個零占I y 八、考點(diǎn)：1、絕對值不等式；2、函數(shù)的單調(diào)性；3、函數(shù)的最值；4、函數(shù)的零點(diǎn).【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是絕對值不等式、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值和函 數(shù)的零點(diǎn)，屬于難題.零點(diǎn)分段法解絕對值不等式的步驟：求零點(diǎn)；劃區(qū)間, 去絕對值號；分別解去掉絕對值的不等式；取每段結(jié)果的并集，注意在分段 時不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值.判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法:基本初等函數(shù)的單調(diào)性;導(dǎo)數(shù)法.判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)的方法：解方程法；圖象法.5.【2014 湖南文

18、 21】已知函數(shù) f (x) = xcosx - sinx +1(x > 0).(1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間;(2)記x為f (x)的從小到大的第i(i e N*)個零點(diǎn)，證明：對一切n e N *，有 i111 21+ +< -.x 2 x 2x 2 312n【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(2k兀,(2k +1)兀)(k e N*)單調(diào)遞增區(qū)間為(2k +1)兀,(2k + 2)K )(k e N *).(2)詳見解+析【解析】 試題分析：對函數(shù)句求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)f(幻a >呼求尸(到大于o和小于o的解集得到單調(diào)城區(qū)間 和單調(diào)增區(qū)間，但是必須注意正余弦的周期性和原函數(shù)的定義域(

19、Qy).利用(1)問的結(jié)果可知函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,兀)上是單調(diào)遞減的，即f (x)在區(qū)=0n %后，再根據(jù)間(0,兀)上至多一個零點(diǎn),根據(jù)正余弦的函數(shù)值可得f f- 2f (x)在區(qū)間上(nn,(n +1)兀)單調(diào)性和函數(shù)f (x)在區(qū)間Q兀,(n +1)兀)端點(diǎn)處函數(shù) 值異號可得函數(shù)f (x)在區(qū)間(n兀,(n +1)兀)上有且只有一個零點(diǎn)，即nK < x< (n +1)兀 n 7<-<一 < -,則依次討論 n = 1,n = 2, n > 3 利用n+1(n +1)2 兀 2x2n2 兀2n+11112放縮法即可證明+ + + < -.x

20、2x 2 x 2312n 試題詳細(xì)分析:數(shù) f (x)求導(dǎo)可得 f'(x)= cosx - xsinx - cosx = -xsinx(x > 0),令f'(x )= 0 可得x = k兀(k e N*),當(dāng) x e(2k兀,(2k +1)兀)(k e N*)時，sinx > 0.止匕時 f'(x)< 0 ;當(dāng) xe(2k +1)兀,(2k + 2)(k e N*)時，sinx<0,此時 f'(x)>0故函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2k兀,(2k +1)兀)(k e N *)單調(diào)遞增區(qū)間為（2% +1）兀,（2左+ 2）兀）（左

21、£ N *）.（2）由（1）可知函數(shù)/G）在區(qū)間（0,兀）上單調(diào)遞減,又/1上 v 2=。，所以丫3為/(河)/( + 1)兀)=(1>而 +1(-1>+1 (n + l)7i +1J <0,且函數(shù)f G）的圖像是連續(xù)不斷的，所以/ G）在區(qū)間 嬴 金+D兀）內(nèi)至少存在一個零點(diǎn)，又/6）在區(qū)間1兀,（+1）兀）上是單調(diào)的, 故河 X （n + l）7i,因此，n+l當(dāng) =1 時，1 = ±<1；X2 71 231當(dāng) =2時，+ < (4 + 1)X21X2 71 22當(dāng)時,1 1 111FX2X2%21231 1H<X2 71 2 n4

22、+ 1 + 22111n+X2%2%21231+<X2n1(zz-2)(zz-l)111b+X2X2X21231 1+ <X2 71 2n(1、5+ 1-I 2/2 Tlly71262< < ,7123綜上所述,對一切的 £ N * ,1 1+十元2 %21212+ < -.X2 3n【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)單調(diào)性放縮法裂項(xiàng)求和【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是求導(dǎo) 要精確；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo) 數(shù)/ （x）； （3）若求單調(diào)區(qū)間（或證明單調(diào)性），只需在函數(shù)次x）的定義域內(nèi)解（或 證

23、明）不等式r a）o或r a）o,若已知八%）的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式/任）三?；?（x）W0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，就 是把不等式恒成立的問題,通過構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的問題.應(yīng) 用這種方法的難點(diǎn)是如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)或者根據(jù)題目證明目標(biāo)的要求，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.失誤與防范1 .研究函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，首先要求出函數(shù)的定義域.2.利用單調(diào)性求最值時不要忽視f(x)=0的情況.3.“f(x0) = 0”是“函數(shù)f(x)在x0取到極值”的必要條件.學(xué)！6.【2014 四川，文 21已知函數(shù) f (x) = ex - ax2 bx 1,其中 a,b e

24、R ,e = 2.71828為自然對數(shù)的底數(shù)。(I)設(shè)g(x)是函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上的最小值； (11)若f (1) = 0，函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，證明：e-2 < a < 1.【答案】(I )當(dāng)a < 1時，g ( x后g (住)-1 b當(dāng)1 < a < e時， 222g ( x 乏 2 a- 2 a l n (2 b當(dāng) a > e 時，g (x) > e - 2 a - b. (II)的范圍為(0,1).2【解析】試題分析I)易得鼠X) -艮-2口再對分門情況確定的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)鼠工) 在21上的單

25、調(diào)性即可得且(冷在21上的最小值.(II)設(shè)%為/(冷在區(qū)間(。由內(nèi)的一個零點(diǎn)，注意到 /(0) = 0,/。)=0 .聯(lián)系到畫數(shù)的圖象可知，導(dǎo)四數(shù)氟冷在區(qū)間(Q/)內(nèi)存在零點(diǎn)巧，g(X)在區(qū)間(飛 內(nèi)存在零點(diǎn)x 2,即g (x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有兩個零點(diǎn).由(I)可知，當(dāng)a < 2及a > e時，g(x)在(0,1)內(nèi)都不可能有兩個零點(diǎn).所以1 < a < e .此時，g(x)在 2220,ln 2a上單調(diào)遞減，在ln2a,1上單調(diào)遞增，因此3 e (0,ln(2a),x2 e (ln(2a),1), 且必有 g (0) = 1 - b > 0, g (1

26、) = e - 2a - b > 0 .由 f (1) = e - a - b -1 = 0 得：b = e - a -1 代入這兩個不等式即可得的取值范圍.試題詳細(xì)分析：(I) g(x) = ex - 2ax -b, g'(x) = ex - 2a當(dāng) a < 0 時，g'(x) = ex - 2a > 0，所以 g(x) > g(0) = 1 -b.當(dāng) a > 0 時，由 g'(x) = ex - 2a > 0 得 ex > 2a, x > ln(2a).若 a > 1,則 ln(2a) > 0 ；若 a &

27、gt; e，貝I ln(2a) > 1.22所以當(dāng)0 < a <1時，g(x)在0,1上單調(diào)遞增，所以g(x) > g(0)=1 -b.2當(dāng)2 < a < 2時，g(x)在0,ln 2a上單調(diào)遞減，在ln力，1止單調(diào)遞增，所以 g (x) > g (ln 2a) = 2a - 2a ln2a 一 b .當(dāng) a > -時，g(x)在0,1上單調(diào)遞減，所以 g(x) > g(1)= e - 2a -b .2(II)設(shè)x0為f (x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的一個零點(diǎn)，則由f (0) = f (x0) = 0可知， f (x)在區(qū)間(0,x0)上不可能

28、單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減.則g(x)不可能恒為正，也不可能恒為負(fù).故g(x)在區(qū)間(0,x0)內(nèi)存在零點(diǎn)x1.同理g(x)在區(qū)間(x0,1)內(nèi)存在零點(diǎn)x2.所以g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有兩個零點(diǎn).1由(I)知，當(dāng)a < -時，g(x)在0,1上單調(diào)遞增，故g(x)在(0,1)內(nèi)至多有一 2個零點(diǎn).當(dāng)a > -時，g(x)在0,1上單調(diào)遞減，故g(x)在(0,1)內(nèi)至多有一個零點(diǎn). 2所以 此時，g(x)在0,ln 2a上單調(diào)遞減，在ln2a,1上單調(diào)遞增， 因此 x g (0,ln(2 a), x e (ln(2a),1)，必有g(shù)(0) = 1 - b > 0, g(

29、1)= e - 2a - b > 0 .由 f(1)= e - a - b -1 = 0 得：a + b = e - 1 < 2，有g(shù) (0) = 1 - b = a - e + 2 > 0, g (1) = e - 2a - b = 1 - a > 0 .解得 e - 2 < a < 1.所以，函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)時，e-2< a < 1.【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn).考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng) 新意識，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，并 考查思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.【名師點(diǎn)睛】本題在利用導(dǎo)數(shù)求

30、函數(shù)的單調(diào)性時要注意，求導(dǎo)后，在區(qū)間0,1中 分類討論解不等式f'(x) > 0，求得函數(shù)g (x)在區(qū)間0,1的單調(diào)區(qū)間，繼而求得 最小值；導(dǎo)數(shù)的強(qiáng)大功能就是通過研究函數(shù)極值、最值、單調(diào)區(qū)間來判斷函數(shù)大 致圖象，這是利用研究基本初等函數(shù)方法所不具備的，而是其延續(xù).7.12015高考四川，文21已知函數(shù)f(x) = 2lnx+x2 2ax+ a2,其中a>0.(I )設(shè)g (x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論g (x)的單調(diào)性；(II)證明：存在a£(0，1)，使得f(x)三0恒成立，且f(x) = 0在區(qū)間(1，+8)內(nèi)有 唯一解.【解析】(I)由已知，圖數(shù)用，)的定

31、義域?yàn)?6 +8)所以劃=2_2=空3 X X當(dāng)工E(0- 1)時,觀克)<5g單調(diào)遞減當(dāng)x£(1，+8)時，g'(x)0，g(x)單調(diào)遞增(II)由 f '(x) = 2(x 1lnxa) = 0，解得 a=x 1lnx令 (x) = 2xlnx+x2 2x(x 1 lnx) + (x 1 lnx)2 = (1 + lnx)2 2xlnx則(1) = 1>0，(e) = 2(2 e)<0于是存在x。£(1，e)，使得(x0) = 0令 a0=x0 1lnx0 = u(x0)，其中 u(x)= x 1lnx(x三 1)由u'(x)

32、= 1 - 0知，函數(shù)u(x)在區(qū)間(1，+8)上單調(diào)遞增 x故 0 = u<a0 = u(x0)<u(e) = e2<1即a肝(0，1)當(dāng) a = a0 時，有 f '(x0) = 0，f(x0)=(x0) = 0再由(I)知，f '(x)在區(qū)間(1，+8)上單調(diào)遞增當(dāng) x£(1，xO)時，f '(.x)<0，從而 f(x)>f(x0) = 0當(dāng) x£(x0，+8)時，f '(x)>0，從而 f(x)>f(x0) = 0又當(dāng) x£(0，1時，f(x) = (xa0)2 2xlnx>0

33、故 x£(0，+8)時，f(x)三0綜上所述，存在a£(0，1)，使得f(x)三0恒成立，且f(x) = 0在區(qū)間(1，+8) 內(nèi)有唯一解.【考點(diǎn)定位】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn) 等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程、 數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.【名師點(diǎn)睛】本題第(I)問隱藏二階導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)，由于連續(xù)兩次求導(dǎo)后，參數(shù)0 消失，故函數(shù)的單調(diào)性是確定的，討論也相對簡單第(II)問需要證明的是：對于 某個0£(0, 1), f(x)的最小值恰好是0,而且在(1, +8)上只有一個最小值.因此， 本題仍然

34、要先討論f(x)的單調(diào)性，進(jìn)一步說明對于找到的0, f(x)在(1,+8)上有 且只有一個等于0的點(diǎn)，也就是在(1,+8)上有且只有一個最小值點(diǎn).屬于難題. 8.【2014全國1 ,文21】設(shè)函數(shù)f (x)= a ln x + 2 x2 _ bx(a中1),曲線 y = f (x)在點(diǎn)Q f (1)處的切線斜率為0(1)求 b;(2)若存在x > 1,使得f (x )< ，求a的取值范圍。 o0 a -1【解析】 f =?x由題設(shè)知/。)=0,解得=1.瑜的定義域?yàn)橛?1)知f'(x) = a + (1-a) x -1 = 1a (x -)(x -1)xx 1 - a1a(

35、1)若 a < ，則< 1 ,故當(dāng) x G (1,+8)時，f,(x) > 0 , f (x)在(1, +8)單調(diào)21 - a遞增，所以，存在x > 1,使得f (x ) < 的充要條件為f (1)< ，即 -1 < 00 a -1a -12a -1所以 r2-1 < a <、.;2 -1(ii)若,< a < 1, 則 a > 1 ,故當(dāng) x g (1,)時，f1(x) < 0 21 a1 a當(dāng) x G (, +8)時，f (x) > 0 , f (x)在(1,)單調(diào)遞減，在(,+8)單 1 - a1 - a

36、1 - a調(diào)遞增.所以，存在匕> 1,使得f(x ) < 的充要條件為f (3) < 旦0。 a 11 a a 1而f (3)=aln旦 + 人 > ，所以不合題意.1 a1 a 2(1 a) a 1 a 1(iii)若a > 1,貝U f(1)=1a 1 = al < 2 2a 1綜上，a的取值范圍是(-、，2 1,<2 1)U(1,+s)考點(diǎn)：1.曲線的切線方程;2.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的運(yùn)用；3.分類討論的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,考查了分類討論的思想方法，本題發(fā)現(xiàn)討論點(diǎn)

37、即a V、1 < a < 1和a > 1是解決本題的關(guān)鍵，本題考查了考生的推理能力和計(jì)算22能力，屬于難題.9.12015高考新課標(biāo)1,文21(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f (x)= e 2 x-a In x.(I)討論f (x)的導(dǎo)函數(shù);(x)的零點(diǎn)的個數(shù)；(II)證明：當(dāng) a > 0時 f (x)> 2a + aln2.a【答案】(I)當(dāng)a £ 0時，f丈x)沒有零點(diǎn)；當(dāng)a >0時，f x)存在唯一零點(diǎn).(II)見解+析【解析】試題分析：(D先求出導(dǎo)函數(shù)，分口工。與口考慮了'(切的單調(diào)性及性質(zhì)，即可判斷出零點(diǎn)個數(shù)(ID由可設(shè)r(x)在(。

38、,+8)的唯一零點(diǎn)為為,根據(jù)，(月的正負(fù),即可判定函數(shù)的圖像與性質(zhì),求出國數(shù)的最小值即可證明其最小值不小于2口十口1口 即證明了所證不等式-試題詳細(xì)分析：(I) f (x)的定義域?yàn)?0,理)，f*x)=2e2x - a(x >0). x當(dāng)a £ 0肛f W x )>0, f W x)沒有零點(diǎn)；當(dāng)a >0時，因?yàn)閑2x單調(diào)遞增，-a單調(diào)遞增，所以f舟x)在(。,理)單調(diào)遞增. x又fWa )>0 ,當(dāng)b滿足0< b < 4且b <4時，f牡)<0,故當(dāng)a >0時，f丈x)存在唯一零點(diǎn).(II)由(I),可設(shè)f川%)在(0，+

39、65;)的唯一零點(diǎn)為X ,當(dāng)x i(0, x)時，f川% )<0 ; 00當(dāng) X鼠%0,+ )時，f 用X) >0 .故f (X)在(0, x )單調(diào)遞減，在(x ,+¥ )單調(diào)遞增，所以當(dāng)X = x時，f (X)取000得最小值，最小值為f (x ).0aa22由于 2e2x0=0，所以 f (x )= +2ax + aln ? 2a aln.x0 2 x0 aa00一2故當(dāng) a >0 時，f (x) ? 2a aln.a考點(diǎn)：常見函數(shù)導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則；函數(shù)的零點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像與性 質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；運(yùn)算求解能力.【名師點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考

40、查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，解決此類問題，要熟練 掌握常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、掌握通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、 極值研究函數(shù)的圖像與性質(zhì).對函數(shù)的零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性 質(zhì)，畫出函數(shù)圖像草圖，結(jié)合圖像處理；對恒成立或能處理成立問題，常用參變 分離或分類討論來處理.10.【2015高考浙江，文20(本題滿分15分)設(shè)函數(shù)f (x) = x2 + ax + b,(a,b e R).(1)當(dāng)b = :+1時，求函數(shù)f (x)在-1,1上的最小值g(a)的表達(dá)式；(2)已知函數(shù)f (x)在-1,1上存在零點(diǎn)，0 < b-2a < 1,求的取值范圍. a + 2, a <

41、-2,【答案】 g(a)/ 1,-2 < a < 2, ； (2) -3,9-45a2.八.八a + 2, a2 4【解析】Q)將畫數(shù)進(jìn)行配方，利用對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，通過分類討論確定困數(shù)在給定上的最小值，并用 分段函數(shù)的形式進(jìn)行表示Q)設(shè)定函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)條件表示兩個零點(diǎn)之間的不等關(guān)系，通過分類討論， 分別確定參數(shù)的取值情況，利用并集原理得到參數(shù)的取值范圍.試題詳細(xì)分析：(1)當(dāng)b =?+1時，f (X) = (x +1)2 +1,故其對稱軸為X=-1.當(dāng) a < -2 時，g (a) = f (1) = + a + 2 .當(dāng)-2 < a < 2 時，g

42、 (a) = f (-a)= 1.2a 2當(dāng) a > 2 時，g (a) = f (-1) = a + 2.a + a + 2, a < -2, 綜上，g (a) = j1,-2 < a < 2,a + 2, a > 24(2)設(shè)為方程的解,且一貝叫st = b由于0V5 因此士w3三匕至(iw/Mi) f+2f+ 2一2產(chǎn)/一2產(chǎn)當(dāng)OMfMl時,，工分工上士 t+2t+2由于-2 <3 < 0 和-1 < t-2tl < 9 -4<53 t + 23 t + 22一所以< b < 9-4%-,5 .3當(dāng)-1 < t

43、 < 0 時,t - 2t 2-2t 2< b <t + 2 t + 2212t t2由于-2 <-2- < 0 和一3 << 0,所以一3 < b < 0. t + 2t + 2綜上可知，b的取值范圍是-3,9-4右.【考點(diǎn)定位】1.函數(shù)的單調(diào)性與最值；2.分段函數(shù)；3.不等式性質(zhì)；4.分類討論思 想.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，函數(shù)零點(diǎn)問題.利用函數(shù)的單 調(diào)性以及二次函數(shù)的對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，利用分類討論思想確定在各 種情況下函數(shù)的最小值情況，最后用分段函數(shù)的形式進(jìn)行表示；利用函數(shù)與方程思想，確定零點(diǎn)與系數(shù)之間的

44、關(guān)系，利用其范圍，通過分類討論確定參數(shù)b的 取值范圍.本題屬于中等題，主要考查學(xué)生應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)解決有關(guān)函數(shù)應(yīng)用的能力，考查學(xué)生對數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)、分類討論思想以及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用能力， 考查學(xué)生基本的運(yùn)算能力.11.12015高考湖北，文21】設(shè)函數(shù)f (x)，g(x)的定義域均為r，且f (x)是奇函 數(shù)，g (x)是偶函數(shù)，f(x) + g(x) = ex，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).(I)求 f (x) , g (x)的解+析式，并證明：當(dāng) x > 0 時，f (x) > 0 , g (x) > 1 ；(II)設(shè) a < 0， b > 1，證明：當(dāng) x >

45、 0 時，ag (x) + (1- a) < fx < bg (x) + (1- b) -x【答案】(I) f (x) (ex -e-x), g(x) (ex + e-x).證明:當(dāng) x > 0 時,ex > 1， 0 < e-x < 122故 f (x) > 0.又由基本不等式，有g(shù) (x) = i(e x + e-x)>、:ex e-x =1，即g(x)>1. (II)由(I)得卜-)-(ex - e-x) - f(x) e2 x2當(dāng) x > 0 時，fx > ag(x) + (1-a)等價(jià)于 f (x) > axg(

46、x) + (1-a)x f-(-)- < bg(x) + (1-b)等 xx價(jià)于 f (x)<bxg(x) +(1-b)x.于是設(shè)函數(shù)h(x)-f (x)-cxg(x)-(1-c)x由，有h'(x)- g(x)- cg(x)- cxf ( x- (1- c (1-c)g (x)- 1-cxf (x). x > 0 時，(1)右c < 0，由 ，得h(x )> 0，故h(x)在0,+s)上為增函數(shù)，從而h(x) > h(0) = 0，即 f ( x )> cx g -> (-1 ，c) x成立.(2)若 c > 1，由，得 h'

47、; ( j) O ，故 h (x)在0,+s) 上為減函數(shù)，從而h(x) < h(0) = 0，即f (x) < cxg(x) + (1- c)x，故成立.綜合，得 ag (x) + (1-a) < f (x) < bg (x) + (1-b) - x【解析】（I ）由旦（工）的奇偶性及/W十g=，得：+旦=/一 聯(lián)立解得/3 =律-r），式©=：+）-當(dāng)工）0時,ef >1； 0<e-f <1； iVW>0.又由基本不等式,有月=，歲十尸A#、" =1>即耳>1®(II) 由(1)得 f'(x)

48、(e x )f = (e x + )(e x + e-x)= g (x)， 2 e x 2e2 x2.11.1e x1g (x)=(ex +X (ex)=(ex - e-x )= f(x)，2ex2e2x2當(dāng) x > 0 時，f (x) > ag(x) + (1- a)等價(jià)于 f (x) > axg(x) + (1-a)x， xf (x) < bg(x) + (1-b)等價(jià)于 f (x) < bxg(x) + (1-b)x.x設(shè) 函 數(shù) h ( = x)-x)- c ，x-g x c， x 有h'(= x)gx)- c (=(-1-g -)cx- x (

49、-cxcf x c當(dāng)x > 0時，(1)若c < 0，由，得h，(x)> 0，故h (x)在0,+8)上為增函數(shù)，從而h(x) > h(0) = 0，即 f x)gx () +cx，故成立.(2)若 c > 1，由，得h'(x <故h(x)在0,+s)上為減函數(shù)，從而 h(x) < h(0) = 0，即 f (x) < cxg(x) + (1 -c)x，故成立.綜合,得 ag (x) + (1-a) < fx) < bg (x) + (1-b) . x【考點(diǎn)定位】本題考查函數(shù)的奇偶性和導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性與極值中的應(yīng) 用，屬

50、高檔題.【名師點(diǎn)睛】將函數(shù)的奇偶性和導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性與極值中的應(yīng)用聯(lián)系在 一起，重點(diǎn)考查函數(shù)的綜合性，體現(xiàn)了函數(shù)在高中數(shù)學(xué)的重要地位，其解題的關(guān) 鍵是第一問需運(yùn)用奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義及性質(zhì)建立方程組進(jìn)行求解；第二問屬 于函數(shù)的恒成立問題，需借助導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值來解決.12.12014福建,文22（本小題滿分14分） 已知函數(shù)f （x） = ex - ax （ a為常數(shù)）的圖像與y軸交于點(diǎn)A，曲線y = f （x）在點(diǎn)A處的切線斜率為-1.（1）求a的值及函數(shù)f （x）的極值；(2)證明：當(dāng) x > 0 時，x2 < ex(3)證明：對任意給定的正數(shù)，總存在x0,使得當(dāng)x e

51、(x0,+8)時，恒有x < cex【答案】(1)當(dāng)x = ln2時，f (x)有極小值f(ln2) = 2 - ln4，f (x)無極大值.(2)見解+析.(3)見解+析.【解析】試題分析：(1)由一口=一1,得口 = 2一從而)令得駐點(diǎn)x = E2.討論可知:當(dāng) x < ln2 時，f,(x) < 0，f (x)單調(diào)遞減；當(dāng) x > ln2 時，f -(x) > 0，f (x)單調(diào)遞增.當(dāng)x = ln2時，f (x)有極小值f (ln 2) = 2 - ln4，f (x)無極大值.(2)令 g(x) = ex -x2，貝U g'(x) = ex -2x

52、.根據(jù) g'(x) = f (x) > f (ln2) = 2-ln4 > 0 ,知 g(x)在 R 上單調(diào)遞增，又 g(0) = 1 > 0當(dāng) x > 0 時，由 g (x) > g (0) > 0，即得.(3)思路一：對任意給定的正數(shù)c,取x =1 0 c1根據(jù)x2 < ex .得到當(dāng)x > x時，ex > x2 > x.0c1思路二：令k = -(k > 0)，轉(zhuǎn)化得到只需x > ln x + ln k成立. c分0 < k < 1, k > 1,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究h(x) = x-ln x-ln

53、 k的單調(diào)性.思路三：就c > 1,0 < c < 1,加以討論.試題詳細(xì)分析：解法一：(1)由 f (x) = ex 一ax ,得 f'(x) = ex 一a .又 f '(0) = 1 - a = -1,得 a = 2.所以 f (x) = ex 一 2x , f,(x) = ex 一 2.令 f'(x) = 0，得x = ln2.當(dāng) x < ln2 時，f,(x) < 0 , f (x)單調(diào)遞減；當(dāng) x > ln2 時，f -(x) > 0 , f (x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)x = ln2時，f (x)有極小值，且極小值為 f

54、 (ln 2) = em2 - 2ln2 = 2 一 ln 4f (x)無極大值.(2)令 g(x) = ex -x2，貝U g'(x) = ex -2x.由(1)得，g'(x) = f (x) > f (ln2) = 2-ln4 > 0，即 g，(x) > 0.所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0) = 1 > 0所以當(dāng) x > 0 時，g(x) > g(0) > 0，即 x2 < ex.1(3)對任意給定的正數(shù)c,取x =1 0 c由(2 )知，當(dāng) x > 0 時，x2 < ex.1所以當(dāng)x>x時， ex &

55、gt; x2 > x ,即 x < cex.0c因此，對任意給定的正數(shù)c,總存在x0,當(dāng)x G (x0,+8)時，恒有x < cex.解法二：(1)同解法一.(2)同解法一.(3)令k = i(k > 0)，要使不等式x < cex成立，只要ex > kx成立. c而要使ex > kx成立，則只需x > ln( kx)，即x > ln x + ln k成立.若0 < k < 1,則 lnk < 0，易知當(dāng) x > 0 時，x > lnx > lnx + lnk 成立.即對任意 c G 1,+8)，取 x

56、= 0，當(dāng) x G (x ,+8)時，恒有 x < cex .若 k > 1,令 h (x) = x - ln x - ln k,則 h,(x) = 1 - = x-xx所以當(dāng)x > 1時，h (x) > 0 , h(x)在(L +8)內(nèi)單調(diào)遞增.取 x0= 4 k ,h(x ) = 4k - ln(4k) - In k = 2(k - In k) + 2(k - In 2)0易知 k >Ink , k >ln2，所以 h(x ) > 0 .0因此對任意c g (0,1)，取x =e，當(dāng)x g (x ,+8)時，恒有x < cex. o co綜上

57、，對任意給定的正數(shù)c,總存在x0，當(dāng)x g (xo，+8)時，恒有x < cex.解法三：(1)同解法一.(2)同解法一.(3)若 c > 1，取 x0 = 0，由(2)的證明過程知，ex > 2x所以當(dāng) x g (x ,+8)時，有 cex > ex > 2x > x，即x < cex.若0 < c < 1令 h(x) = cex - x，貝U h'(x) = cex -11令 h,(x) = 0 得 x = In . c1當(dāng) x > ln-時，h'(x) > 0 , h(x)單調(diào)遞增. c2取 x = 2ln

58、 0 c2222h(x ) = ce21n c - 2ln 一 = 2( - ln )0ccc22易知ln > 0,又h (x)在(x ,+8)內(nèi)單調(diào)遞增， cc0所以當(dāng) x g (x ,+8)時，恒有 h(x) > h(x ) > 0 ,即 x < cex.綜上，對任意給定的正數(shù)c，總存在x0,當(dāng)x g (x0，+8)時，恒有x < cex.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，全稱量詞與存在量詞，轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類討論思想.【名師點(diǎn)睛】本題第一問是先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求值，然后再用單調(diào)性探討極 值,第二問、第三問是不等式證明問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是近幾年高考的一 個熱點(diǎn)，解決此類問題的基本思路是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 和極值破解.13. (2014 課標(biāo)全國I,文 21)設(shè)函數(shù) f(x)=alnx+ 匕a x2bx(a/1),曲線 y2= f(x)在點(diǎn)(1, f(1)處的切線斜率為0.(1)求 b；(2)