2014年數(shù)學(xué)建模國(guó)賽B題

1、2014高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書(shū)我們仔細(xì)閱讀了全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽章程和全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模 競(jìng)賽參賽規(guī)則（以下簡(jiǎn)稱(chēng)為“競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模 競(jìng)賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵 件、網(wǎng)上咨詢(xún)等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn) 題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的 成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表 述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。 如有違反競(jìng)賽

2、章程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行 公開(kāi)展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書(shū)籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表 等）。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）：我們的報(bào)名參賽隊(duì)號(hào)為（8位數(shù)字組成的編號(hào)）：27027006所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）：寶雞文理學(xué)院參賽隊(duì)員（打印并簽名）：1.李思怡2. 甘功偉3. 史少陽(yáng)指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人（打印并簽名）：李曉波（論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無(wú)需簽名。以 上內(nèi)容請(qǐng)仔細(xì)核對(duì)，提交后將不再允許做任何修改。如填寫(xiě)錯(cuò)誤，論文可能被取 消評(píng)獎(jiǎng)資

3、格。）日期：2014年0匕月15日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2014高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編號(hào)專(zhuān)用頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：對(duì)創(chuàng)意平板折疊桌的最優(yōu)化設(shè)計(jì)摘要本文主要研究了創(chuàng)意平板折疊桌的相關(guān)問(wèn)題。對(duì)于問(wèn)題一，首先，我們根據(jù)所提供的已知尺寸的長(zhǎng)方形平板和桌面形狀， 桌高的要求，以圓桌面中心作為原點(diǎn)建立了相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，分別求出了 各個(gè)桌腿的長(zhǎng)度，根據(jù)在折疊過(guò)程中，鋼筋穿過(guò)的每個(gè)點(diǎn)距離桌面的高度相同這 一性質(zhì)，

4、利用MATLAB程序計(jì)算出了每根木棒卡槽的長(zhǎng)度和桌腳底端每個(gè)點(diǎn)的坐 標(biāo)，其中卡槽長(zhǎng)度依次為（從最外側(cè)開(kāi)始，單位：cm）： 0、4.3564、7.663、10.3684、 12.5926、14.393、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728，并且根據(jù)底端坐標(biāo) 擬合出了桌腳邊緣線的方程并進(jìn)行了檢驗(yàn)。另外，我們通過(guò)桌腳邊緣線的變化 圖像來(lái)描述折疊桌的折疊過(guò)程。對(duì)于問(wèn)題二，我們以用材最少為目標(biāo)函數(shù)，以穩(wěn)固性好為約束條件，通過(guò)對(duì) 桌腿進(jìn)行力學(xué)分析和幾何分析得到了使得用材最少且穩(wěn)固性好的圓桌需要滿足 的條件是鋼筋穿過(guò) 最長(zhǎng)腿的位置滿足一個(gè)不等式。并且，當(dāng)平板的 長(zhǎng)為 163.470

5、2cm,寬為80cm,厚度為3cm,最外側(cè)桌腿鋼筋處到桌腿底端的距離與桌腿的長(zhǎng)度之比為0.4186時(shí)，木板的用材最小，其對(duì)應(yīng)的體積V為392330 cm3。對(duì)于問(wèn)題三，為了滿足客戶(hù)需求，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶(hù)所期望 的形狀，我們給出了軟件設(shè)計(jì)的基本算法。我們考慮了 “操場(chǎng)形桌面和雙曲線 形桌面，得到了“操場(chǎng)形桌面的的創(chuàng)意平板折疊桌槽長(zhǎng)為（從最外側(cè)開(kāi)始，單 位：cm）： 0、4.3564、7.6637、10.3684、12.5926、14.3930、15.8031、16.8445、 17.5314、17.8728; “曲線形”桌面的創(chuàng)意平板折疊桌槽長(zhǎng)為（從最外側(cè)開(kāi)始， 單位：cm）： 0

6、、1.5756、2.8917、3.9886、4.9005、5.6532、6.2641、6.7397、 7.0741、7.2501。最后，給出了兩種桌面的動(dòng)態(tài)變化圖。關(guān)鍵字：曲線擬合最優(yōu)化設(shè)計(jì)幾何模型 折疊桌桌腳邊緣線一、問(wèn)題重述問(wèn)題背景某公司生產(chǎn)一種可折疊的桌子，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤 成一張平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接， 鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑 動(dòng)的自由度。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，造型美觀。附件視頻展示了折疊桌的動(dòng) 態(tài)變化過(guò)程。目標(biāo)任務(wù)建立數(shù)學(xué)模型討論下列問(wèn)題：1 .給定長(zhǎng)方形平板尺寸為120

7、 cm義50 cm義3 cm,每根木條寬2.5 cm, 連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為 53 cm。建立模型描述此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè) 計(jì)加工參數(shù)（例如，桌腿木條開(kāi)槽的長(zhǎng)度等）和桌腳邊緣線（圖4中紅色曲線） 的數(shù)學(xué)描述。2 .折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對(duì)于任意給 定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求，討論長(zhǎng)方形平板材料和折疊桌的最 優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，例如，平板尺寸、鋼筋位置、開(kāi)槽長(zhǎng)度等。對(duì)于桌高70 cm, 桌面直徑80 cm的情形，確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。3 .公司計(jì)劃開(kāi)發(fā)一種折疊桌設(shè)計(jì)軟件，根據(jù)客戶(hù)任

8、意設(shè)定的折疊桌高度、 桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸 和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶(hù)所期望的形 狀。我們團(tuán)隊(duì)的任務(wù)是幫助給出這一軟件設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)所建立的模型 給出幾個(gè)自己設(shè)計(jì)的創(chuàng)意平板折疊桌。給出相應(yīng)的設(shè)計(jì)加工參數(shù)，畫(huà)出至少8 張動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的示意圖。二、問(wèn)題分析針對(duì)問(wèn)題一，對(duì)于給定某些參數(shù)的平板，要建立模型來(lái)描述折疊桌的動(dòng)態(tài)變 化過(guò)程，就必須確定未知參數(shù)，如，折疊桌的各個(gè)桌腿長(zhǎng)以及所穿鋼筋所活動(dòng)區(qū) 域的卡槽長(zhǎng)。根據(jù)題意，可以了解到長(zhǎng)方形平板的寬度即為圓桌桌面的直徑，因 此，可以建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，利用一定的

9、數(shù)學(xué)方程通過(guò)桌面直徑以及桌 腿（各木條）的寬度計(jì)算出每個(gè)桌腿的長(zhǎng)度，進(jìn)而利用其長(zhǎng)度和已知的桌高求出 個(gè)木條的開(kāi)槽長(zhǎng)度。另外，折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程可由鋼筋在卡槽中的運(yùn)動(dòng)軌跡 來(lái)描述。針對(duì)問(wèn)題二，為了達(dá)到最優(yōu)的加工方案，我們可以將多目標(biāo)優(yōu)化做一轉(zhuǎn)化， 選擇以用材最少為目標(biāo)函數(shù)，即選擇的木板所用的體積最少為目標(biāo)，以穩(wěn)固性好 和加工方便為約束條件，利用受力和幾何圖形分析，將所需考慮的平板尺寸、鋼 筋位置、開(kāi)槽長(zhǎng)度三個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)用未知量表示，采用和問(wèn)題一類(lèi)似的數(shù)學(xué)方法計(jì) 算未知量為何值時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最小值。針對(duì)問(wèn)題三，為了滿足客戶(hù)對(duì)于折疊桌樣式與尺寸的需求，我們可以采用與 問(wèn)題一與問(wèn)題二中類(lèi)似的分析方法，

10、給出其算法思想，最后可以通過(guò)程序得出相 應(yīng)的設(shè)計(jì)參數(shù)和某些創(chuàng)意桌面的動(dòng)態(tài)圖。三、符號(hào)說(shuō)明與問(wèn)題假設(shè)符號(hào)說(shuō)明符號(hào)意義桌腿最外側(cè)向內(nèi)的順序描述X第i根桌角邊緣線的長(zhǎng)度is第i根桌腿的長(zhǎng)度i平面時(shí)第i根桌腿鋼條所在位置距離圓桌邊緣的距z離i離立體時(shí)第i根桌腿鋼條所在位置距離圓桌邊緣的距P,離i同。.第i根桌腿的卡槽長(zhǎng)度iH第i根桌腿底端到圓桌平面的高度i平板體積大小模型假設(shè)1 .假設(shè)桌子的高度包括桌子的厚度。2 .假設(shè)問(wèn)題二中桌腿寬度為2.5cm，木板厚度為3cm。3 .假設(shè)在此問(wèn)題中，忽略鋼筋自身的直徑。4 .假設(shè)桌腳與地面完全接觸并且忽略各個(gè)木條間的縫隙。四、模型建立與求解問(wèn)題一：模型建立根據(jù)問(wèn)

11、題首先我們可以建立幾何模型1對(duì)問(wèn)題一進(jìn)行求解。（1）計(jì)算每根桌腿的長(zhǎng)度根據(jù)題目所給條件，組成桌腿的每根木條的寬度為2.5cm，另外，我們知道 所給木板的寬度等于折疊后圓形桌的直徑，即桌面直徑為50cm，也就是說(shuō)，該 圓桌左右兩邊共有20根木條。由于折疊后的圓桌關(guān)于平行于長(zhǎng)方形木板的寬的一條直徑對(duì)稱(chēng)，因此折疊桌 的相關(guān)性質(zhì)我們只需考慮圓桌的左半邊或右半邊，又由于，折疊后的圓桌的一邊 也是互相對(duì)稱(chēng)的，故本文中只以圓桌的1/4為研究對(duì)象，即只研究10根木條的 相關(guān)變化趨勢(shì)。結(jié)合以上分析，我們做出折疊前的長(zhǎng)方形木板的俯視圖，并且以圓桌的圓心 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以垂直于桌面的為z軸，平行于長(zhǎng)方形寬的直徑為y軸

12、，垂直于該 直徑的為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖1所示：軸的坐標(biāo)J e (-25, 25X = 1,2,3 ,10由于每根木條的寬度相同，顯然，) 為等差數(shù)列。ii由圖1及已知條件可知，每根木條的寬度的中點(diǎn)在圓上，所以=-23.75，J2 =-23.75 + 2.5，y. = -23.75 + (i- 1)x2.5由于(x , y.)位于圓周上，因此有12 + y.2 = 252將y/弋入上述圓的方程中便可以得到、的值已知木板長(zhǎng)120cm,即兩邊分別長(zhǎng)60cm，則第i條桌腿長(zhǎng)s= 60-x,因此，只需要求出各點(diǎn)在圓上的坐標(biāo)即可求出各個(gè)腿長(zhǎng)。(2)計(jì)算每根桌腿的槽長(zhǎng)大小由于鋼筋在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中不發(fā)

13、生任何形變，因此，通過(guò)對(duì)折疊過(guò)程的分析可以 知道，每根桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對(duì)應(yīng)其鋼條高度的距離是相同的， 圓桌高度是53cm，厚度是3cm，所以實(shí)際桌高應(yīng)該是50cm因?yàn)殇摻罟潭ㄔ谧劳茸钔鈧?cè)木條的中心位置，所以鋼筋固定點(diǎn)到圓桌邊緣的距離p = sii 2根據(jù)三角形相似和勾股定理可得，最外側(cè)桌腿中的鋼條到圓桌邊緣對(duì)應(yīng)其高度的距離l，并且滿足P 2 = h + l 2，由上式即可解出l1 i 4ii具體分析圖如圖2：最外側(cè)桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對(duì)應(yīng)其鋼條高度的距離是 d = l + x,即桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對(duì)應(yīng)其鋼條高度的距離也為d ,平面時(shí)每根桌腿鋼條所在位置距離圓

14、桌邊緣的距離Z ： i立體時(shí)每根桌腿鋼條所在位置距離圓桌邊緣的距離p ： i每根卡槽的長(zhǎng)度用立體時(shí)鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離和平板時(shí)鋼筋與 圓形桌面邊緣之間的距離之差表示Q=p- J (3)桌角邊緣線的數(shù)學(xué)描述由(2)求得立體時(shí)每根桌腿鋼條所在位置距離圓桌邊緣的距離pi,每根桌每根桌腿所在位置距離圓腿鋼條所在位距離圓桌的高度為h，每根桌腿長(zhǎng)為s 2i桌的垂直高度為Hi,如圖所示利用相似三角形原理，圖3每根桌腿所在位置距離圓桌的垂直高度示意圖為了研究桌角邊緣線的相關(guān)形式，我們對(duì)H （i = 1,2, ,10）,即對(duì)桌角邊緣點(diǎn) 的三維坐標(biāo)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，其形式如下：z - a x + a x2

15、+ a x3 + + a xm + b y + b y2 + b y3 + + b yn + c123m123n問(wèn)題一模型求解（1）由于桌腿的寬度為2.5cm，且圓形桌的直徑等于木板的寬，即為50cm， 所以以圓形桌兩邊對(duì)稱(chēng)，一邊有20條桌腿，我們以桌面的1/4為研究對(duì)象，即 共10條桌腿。根據(jù)所建立的直角坐標(biāo)系，利用等差數(shù)列下不同的y求解不同的圓桌邊緣長(zhǎng) ix，進(jìn)而利用s - 60 - x , i -1,2, ,10求得桌腿長(zhǎng)。在MATLAB中進(jìn)行編程得到 iii10條桌腿的長(zhǎng)度分別為（單位；厘米）（具體程序見(jiàn)附錄1）12345678910s 52.19 46.83 43.46 41.00

16、39.12 37.67 36.58 35.79 35.28 35.03 i表1桌腿的長(zhǎng)度表因?yàn)樽栏遠(yuǎn)-53-3-50cm,由表1可知最外側(cè)的桌腿長(zhǎng)為52.19cm，而最外側(cè) 桌腿一定與垂直方向存在夾角，故最長(zhǎng)腿長(zhǎng)度一定大于垂直高度，即52.19>50， 所以所得結(jié)果符合題意。（2）由題意可知立體時(shí)最外側(cè)桌腿鋼條所在位置距離圓桌邊緣的距離sp - t - 26.09291 2最外側(cè)桌腿中的鋼條到圓桌邊緣對(duì)應(yīng)其高度h - 25，可以得到最外側(cè)桌腿中2h的鋼條到圓桌邊緣對(duì)應(yīng)其高度的距離l -、；p 2 -（h）2 - 7.486511 12最外側(cè)桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對(duì)應(yīng)其鋼條高度的距

17、離是4-l1 + x1 =7.8062根據(jù)桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對(duì)應(yīng)其鋼條高度的距離是相同的，通 過(guò)計(jì)算得到立體時(shí)鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離和平板時(shí)鋼筋與圓形桌面邊 緣之間的距離，每根卡槽的長(zhǎng)度用立體時(shí)鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離和平板 時(shí)鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離之差，在MATLAB中對(duì)10條桌腿的卡槽的長(zhǎng)度 計(jì)算進(jìn)行編程，得到10條桌腿的卡槽長(zhǎng)度由外側(cè)向內(nèi)分別為（單位：厘米）（具 體程序見(jiàn)附錄2）i12345678910Qi04.357.6610.36 12.59 14.39 15.80 16.84 17.53 17.87（3）求解桌腳邊緣點(diǎn)的坐標(biāo)在MATLAB中解出對(duì)每根桌腿

18、所在位置距離圓桌的高度為Hi,即20根桌腿 邊緣點(diǎn)的三維坐標(biāo)如下表3所示：i12345678910xi22.7717.1314.3812.9912.3412.1212.1112.1812.2712.32yi-23.75-21.25-18.75-16.25-13.75-11.25-8.75-6.25-3.75-1.25zi-50-46.66-43.41-40.55-38.17-36.26-34.78-33.71-33.01-32.66i11121314151617181920xi12.3212.2712.1812.1112.1212.3412.9814.3717.1322.77yi1.253.7

19、56.258.7511.2513.7516.2518.7521.2523.75z.-32.66-33.01-33.71-34.78-36.26-38.17-40.55-43.41-46.66-50I表3桌腿最底端三維坐標(biāo)表根據(jù)上述坐標(biāo)，對(duì)其做散點(diǎn)圖，圖像如下：（具體程序見(jiàn)附錄3）-32-34-36-38-40-42-44-46-48-501416182022-5240圖4桌角邊緣線示意圖在MATLAB中關(guān)于x與y進(jìn)行擬合，由于三次擬合貼近度最高，所以我們采 用三次進(jìn)行擬合，得到擬合結(jié)果為z = -1.7219 x + 0.0810 x 2 0.0013 x3 0.0294 y 2 21.337

20、6（4）誤差分析為了更好的說(shuō)明擬合的貼近度，我們?cè)贛ATLAB中作出擬合圖像如下：（具體 程序見(jiàn)附錄4）-30-35-40-45-5050121416182022-50圖5擬合圖像與原圖的對(duì)比圖由圖5明顯的可以看到，原曲線和擬合曲線貼合度很高，另外，我們對(duì)其做 了誤差分析，利用方差的大小，來(lái)判斷擬合結(jié)果是否合理，最后計(jì)算得到方差為 0.0356,所以認(rèn)為擬合結(jié)果是合適的。(5)桌腳邊緣線的動(dòng)態(tài)描述圖6折疊桌動(dòng)態(tài)變化過(guò)程圖我們通過(guò)作出不同時(shí)刻的桌腳邊緣線的圖像來(lái)反映其折疊的動(dòng)態(tài)過(guò)程問(wèn)題二：模型建立我們?cè)O(shè)出木板長(zhǎng)為a cm，寬為b cm，厚度為c cm.根據(jù)題目所給條件，我們 知道圓形桌的直徑等于

21、木板的寬。由于桌腿的寬度為2.5cm，所以以圓形桌的1/4為研究對(duì)象，共有16條桌 腿。(1)計(jì)算每根桌腿的長(zhǎng)度我們?nèi)鐖D所建立的坐標(biāo)系進(jìn)行分析得，y e (-b,b) j為等差數(shù)列遞增t 2 2 ib由于每根木條的寬度的中點(diǎn)在圓上，所以y =-匕+1.25，12bby = +1.25 + 2.5，y = +1.25 + (i - 1)x 2.522i 2圓的方程為"2 + y：= (|)2將y/弋入圓的方程中解出X因?yàn)槟景彘L(zhǎng)a cm,即一邊長(zhǎng)-cm,則桌腿長(zhǎng)s = a -x2 2(2)計(jì)算每根桌腿的槽長(zhǎng)大小我們令a為最外側(cè)鋼筋位置到桌腿底端的距離與最外側(cè)桌腿長(zhǎng)之比每根桌腿中的鋼條到所

22、平行的圓桌直徑對(duì)應(yīng)其鋼條高度的距離是相同的，圓 桌高度是ecm，厚度是ccm，所以實(shí)際桌高應(yīng)該是(e-c)cmp = (1-a )s根據(jù)三角形相似和勾股定理可得li，li為最外側(cè)桌腿中的鋼條到圓桌邊緣對(duì)應(yīng)其高度的距離p；= (1-a )h)2 +12圖7立體分析圖由上式解出I1的值d = l + x，最外側(cè)桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對(duì)應(yīng)其鋼條高度的距離是即桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對(duì)應(yīng)其鋼條高度的距離也為di，則 l. = d - x平面時(shí)每根桌腿鋼條所在位置距離圓桌邊緣的距離ZJ 了 (1-a )si + xi -x.立體時(shí)每根桌腿鋼條所在位置距離圓桌邊緣的距離p： p2 = (1

23、-a ) h )2+12 每根卡槽的長(zhǎng)度用立體時(shí)鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離和平板時(shí)鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離之差表示Q = p - zt (3)列出目標(biāo)函數(shù)3我們以用材最少為目標(biāo)函數(shù)，即木板體積最小：min V = a . b . c(4)約束條件的確定對(duì)最外側(cè)桌腿和最內(nèi)側(cè)桌腿畫(huà)出如圖所示切面進(jìn)行受力分析4要使桌子的穩(wěn)定性最好，就是使桌子所受的桌面壓力在桌腿上分力的合力是 豎直向下的，則兩個(gè)分桌腿所受的力是相同的，根據(jù)物理學(xué)原理分析可得p1=p16由圖分析且在直角三角形中運(yùn)用勾股定理我們可知k = (1-a )、，s：-h 2，又因b-x為 x + 2k = BP k = 1122聯(lián)立上述

24、兩式得到(1-a )=2 J（s 2 一 h2）b一 x2 i為了描述清晰，我們令g=5，因?yàn)殇摻钐幍阶疃套劳乳L(zhǎng)的距離要小于其桌腿長(zhǎng)，即約束條件為弋;h 2) b一 x 21問(wèn)題二：模型求解(1)由假設(shè)知桌腿寬度為2.5cm,圓形桌的直徑等于木板的寬，即為b = 80 cm, 所以以圓形桌兩邊對(duì)稱(chēng)，一邊有32條桌腿，我們以桌面的1/4為研究對(duì)象，即 共16條桌腿。根據(jù)所建立的直角坐標(biāo)系，利用等差數(shù)列下不同的y,求解不同的x,，解得圓桌邊緣長(zhǎng)，桌腿長(zhǎng)S =。- x i = 1,2, ,16在MATLAB中進(jìn)行編程得到16條桌腿的 i 2 i長(zhǎng)度由外側(cè)向內(nèi)分別為（單位:厘米）80.3290、73.

25、3409、68.7811、65.2819、 62.4399、60.0689、58.0646、56.3620、54.9174、53.7001、52.6882、51.8652、 51.2194、50.7419、50.4268、50.2701 （具體程序見(jiàn)附錄 5）（2）由假設(shè)知木板高度c = 3 cm，由題意可知桌高e = 70 cm，最外側(cè)桌腿中的鋼 條到圓桌邊緣對(duì)應(yīng)其高度（1-a） h = （1-a）（e-c）因此，可以得到最外側(cè)桌腿中的鋼條到圓桌邊緣對(duì)應(yīng)其高度的距離 l1 =；：p： -（1-a ） h ）2 .最外側(cè)桌腿中的鋼條到所平行的圓桌直徑對(duì)應(yīng)其鋼條高度 的距離是4=ij I根據(jù)桌腿

26、中的鋼條到所平行的圓桌直徑對(duì)應(yīng)其鋼條高度的距離是相同的，通 過(guò)計(jì)算得到立體時(shí)鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離和平板時(shí)鋼筋與圓形桌面邊 緣之間的距離，每根卡槽的長(zhǎng)度用立體時(shí)鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離和平板 時(shí)鋼筋與圓形桌面邊緣之間的距離之差，在MATLAB中對(duì)16條桌腿的卡槽的長(zhǎng)度 計(jì)算進(jìn)行編程，得到16條桌腿的卡槽長(zhǎng)度由外側(cè)向內(nèi)分別為（單位：厘米） 0、1.4895、2.8327、4.1484、5.4526、6.7368、7.9831、9.1703、10.2772、 11.2846、12.1757、12.9369、13.5574、14.0294、14.3470、14.5067 （具體 程序見(jiàn)附錄

27、6）在MATLAB中解得當(dāng)a = 163,4702,a = 0.4186時(shí)，即平板的長(zhǎng)為163.4702cm, 寬為80cm,厚度為3cm,最外側(cè)桌腿鋼筋處到桌腿底端的距離與桌腿的長(zhǎng)度之比 為0.4186時(shí)，木板的體積V最小為392330cm3 （具體程序見(jiàn)附錄7）問(wèn)題三：類(lèi)似于前兩問(wèn)的分析方法，我們這里給出設(shè)計(jì)折疊桌的算法流程圖：第一步：求解木桌邊緣長(zhǎng)第二步：求解木桌每根桌腿長(zhǎng)第三步：求解木桌每根桌腿的槽長(zhǎng)第四步：得到折疊桌的設(shè)計(jì)方案首先，我們以“操場(chǎng)形”折疊桌為例，設(shè)計(jì)其最優(yōu)參數(shù)并作出其動(dòng)態(tài)變化圖.圖11 “操場(chǎng)形”折疊桌俯視圖設(shè)計(jì)加工參數(shù)：木板的長(zhǎng)為150cm,寬為50cm,厚度為3cm

28、,桌腿的寬度為2.5cm,每條桌腿的開(kāi)槽長(zhǎng)度如下表4：i 12345678910Qi 04.357.6610.3612.59 14.39 15.80 16.84 17.53 17.87表4 “操場(chǎng)形”折疊桌每根桌腿的槽長(zhǎng)表所做出的動(dòng)態(tài)過(guò)程示意圖如下，共8張（具體程序見(jiàn)附錄8）-20 -30-60-40-2020 0 -20204060W-30-40200_-10 _-20 -30-40 503040102020 0-20-50-40-30-20-100-10-60-40-206020 0-200-5-10-15-20-25-30-35-40-45200-2-040-30-20-10010203040變化的過(guò)程總圖如下:0-10-20-30-40-60-40-200204060對(duì)于“操場(chǎng)型”桌面的折疊桌，形式比較大