定積分優(yōu)秀課件

1、1（習(xí)題課）（習(xí)題課）定積分 第五章第五章 2 badxxf)(一、定積分的概念一、定積分的概念iniixf )(lim10 1. .定義定義3. .幾何意義幾何意義2. .可積的條件可積的條件可積的前提下：可積的前提下： badxxf)(1lim()ninibafn ix n 等份等份( (必要條件、充分條件）必要條件、充分條件）( )baAf x dx ( )TTsv t dt 物理意義物理意義（）( )0f x 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積變速直線運(yùn)動(dòng)的路程變速直線運(yùn)動(dòng)的路程3二、定積分的性質(zhì)二、定積分的性質(zhì) badxxf)( badttf)( baduuf)(（1）（4）性質(zhì)性質(zhì) （1

2、） （6）三、基本公式三、基本公式(2)( )0aaf x dx (3)( )( )baabf x dxf x dx ( )( )xaxf t dt ( )( )xf x 1.4( )( )xadf t dtf xdx ，( )( )xadf x dxf xdx ( )(1) ( )xadf t dtdx ( )(2) ( ) ( )( )bxdf t dtfxxdx 21( )2211( )(3) ( )( )( )( )( )xxdf t dtfxxfxxdx ( )( )fxx 推廣式推廣式2.(NL公式公式)( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a 微積分基本公

3、式微積分基本公式其其中中( )( )Fxf x 5四、定積分的計(jì)算四、定積分的計(jì)算1. 直接使用直接使用 N-L 公式公式2. 換元積分法換元積分法3. 分部積分法分部積分法dtttfdxxfba )()()(（換元必?fù)Q限）（換元必?fù)Q限）（湊元不換限）（湊元不換限）602( ), ( )( )0 ( ) aaaf x dxf xf x dxf x 為為偶偶函函數(shù)數(shù)則則，為為奇奇函函數(shù)數(shù)1 1. .若若在在上上連連續(xù)續(xù)，( )- , f xa a0( ) ()( )aaaf x dxfxf x dx 244sin 1xxdxe 計(jì)計(jì)算算常用的結(jié)論：常用的結(jié)論：( )f xT2 2. .設(shè)設(shè)是是周

4、周期期為為 的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，0 ( )( )a TTaf x dxf x dx 則則240 sin xdx 401(12 )2 cos x dx184 73.3. 2200cossin xdxxdxInnn133 1 24 2 2134 21 25 3nnnnnnnnnn ，為為偶偶數(shù)數(shù)，為為奇奇數(shù)數(shù)nN （）五、反常積分五、反常積分無(wú)窮限的反常積分無(wú)窮限的反常積分無(wú)界函數(shù)的反常積分無(wú)界函數(shù)的反常積分各類反常積分的定義，用定義判斷其斂散性各類反常積分的定義，用定義判斷其斂散性.8兩個(gè)重要的反常積分兩個(gè)重要的反常積分padxx ()bqadxxa 1p 1p (0)a ()bqadxbx

5、1q 1(),1qbaq 1q , , 11,(1)ppa 兩類積分還可互相轉(zhuǎn)化兩類積分還可互相轉(zhuǎn)化（收斂）（收斂）（發(fā)散）（發(fā)散）（收斂）（收斂）（發(fā)散）（發(fā)散）9 2201sin3.1.yxttdye dtdttdx求求由由所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)P243P243 5-2 5-2 01.sin,04xytdtx 求求函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)及及x x= =時(shí)時(shí)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。 002.sincosttxuduyudu 求求由由參參數(shù)數(shù)表表達(dá)達(dá)式式，所所確確定定的的.dyxdx函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì) 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 204.( ).xtxI xtedt 當(dāng)當(dāng) 為為何何值值時(shí)時(shí)，有有極極值值P234

6、P234 5-15-1 2. (1) 3.(1) 4.(4) 10.(4) 13. 3). 5)101. 求極限求極限11lim1nniinn 解解原式原式101x dx 312021|3x （）22 213 （）i ix badxxf)(1lim()ninibafn iniixf )(lim10 ix 原式原式i 21x dx 22 213 （）n等份等份另解另解P269. 3.112. 求極限求極限22222lim(). 12nnnnnnnn 解解原式原式1lim nn 211 1( )niin 12011dxx 4 3. 112limppppnnn P269. 3.解解原式原式1lim

7、nn 1( )npiin 10px dx 11011pxp 11p i i 1222212limln (1) (1)(1)() (2004)nnnnnn 等等于于(A) (B) (D) (C) 212ln xdx解解 B 21ln2xdx 21)1ln(2dxx 212)1(lndxxnnnnnn2)1()21)(11ln(lim 原原式式)1ln()21ln()11ln(2limnnnnnn ninnin1)1ln(2lim ninnni11)1ln(lim2 10)1ln(2dxx 21ln2tdtxt 1 21ln2xdxi ix 3.13求求lim( ), ( )xaxaxf t dt

8、f xxa 其其中中連連續(xù)續(xù)解解( )( )lim1xaxaf t dtxf x 型型”“004.P269. 4.( )lim( )limxxaaxaxaxf t dtxf t dtxaxa ( )af a 解解2( )()limxaxfxaxa 原原式式由積分中值定理由積分中值定理( )( )xaf t dtfxaax （），（ ，lim( )xaxf lim( )xaaf lim( )aaf ( )af a ( )F xF aFxf x （ ）- - （ ）， （ ）= =14求求解解 “” 型型5.202(arctan ) lim1xxtdtx P269. 4.22022(arctan

9、)(arctan ) limlim11xxxtdtxxxx 2 ()2 2 4 1010,111pppdxpx 設(shè)設(shè)證證明明：7.P270. 7.分析分析1111ppp 101px dx 101pxdx （）1111ppxx 下下證證：（）證明：證明：1111ppxx （）1111ppxdxdxdxx 1 11 11 10 00 00 0 （）101 111ppdxpx 即即1501sin0()()( )200 xxxfxxf t dtxx ，設(shè)設(shè)，求求，或或解解0 x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，-. 在在（，） 內(nèi)內(nèi)的的表表達(dá)達(dá)式式01sin2xtdt 0 x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，0( )( )xxf t dt 0(

10、 )( )xf t dtf t dt 1 (52. 244.11.)exP xx6. 0 x0( )( )xxf t dt ( )0 x1(1cos )2x x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，01sin2tdt ( )F x 00 x ，1(1cos)02xx ，1, x 16( ) , ,( )0f xa ba bfx 設(shè)設(shè)在在上上連連續(xù)續(xù)，在在（）內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且，( , )( )0a bFx 證證明明： 在在內(nèi)內(nèi)有有證證21 ( ) ( )( ) )xaFxf xxaf t dtxa （( )0fx 又又，( ) , f xa b在在上上單單調(diào)調(diào)減減少少，1( )( ), xaF xf t dtxa 7.

11、 （由積分中值定理）（由積分中值定理）P244 . 12.21 ( )( )f xfxaxa （ , a x 其其中中，（）( )( )f xf ( , )( )0a bFx 故故在在內(nèi)內(nèi)有有思考：思考：( )( )F xf 得得( )( )Fxf 由積分中值定理由積分中值定理0 17( )0,lim( )1,xf xf x 設(shè)設(shè)在在 ） 上上連連續(xù)續(xù)，且且( ),lim( )xdyyf xy xdx 滿滿足足在在并并求求證證0( ), xxtyee f t dt 證證明明：8. P244 . 14.0( )( ) xxtxxyee f t dtee f x 0( )( ) xxtee f t

12、 dtf x ( )dyyf xdx0lim( )lim( ) xxtxxy xee f t dt 0( ) limxtxxe f t dte 0 型型( )limxxxe f xe lim( )1xf x18( ) , f xa b設(shè)設(shè)在在上上連連續(xù)續(xù)， ( )().bbaaf x dxf abx dx證證明明：證證( )abf u du ()baf abx dx u a b x 令令( )baf u du ( )baf x dx ( )().bbaaf x dxf abx dx故故P255. 2.9. 1100 (1)(1).mnnmxxdxxxdx證證明明：P255. 2.提示：提示：1

13、tx 令令 另證另證( )( )Fxf x 設(shè)設(shè)19( )f t若若是是連連續(xù)續(xù)的的奇奇函函數(shù)數(shù)， 證證明明0 ( )xf t dt 是是偶偶函函數(shù)數(shù)，證證ut 令令P255. 6.10. ( )f t若若是是連連續(xù)續(xù)的的偶偶函函數(shù)數(shù)， 證證明明0 ( )xf t dt 是是奇奇函函數(shù)數(shù)，0 )( )xF xf t dt 記記 （0 )( )xFxf t dt （- -0 ()xfu du 0 ()xft dt 0 ) ( )()xFxF xf tft dt （- -（= =( )f t若若是是奇奇函函數(shù)數(shù)， )( )xFxF xf t dtF x 0 0則則 （- -（= =2 22 2 （

14、 )FxF x 即即 （- -（0 ( )xf t dt 即即是是偶偶函函數(shù)數(shù)( )f t若若是是偶偶函函數(shù)數(shù)， ) 0FxF x 則則 （- -（= =0 ( )xf t dt 即即是是奇奇函函數(shù)數(shù)另證另證 ) 0 FxF x證證 （- -（= = )+) 0FxF x或或 （- -（= =20上連續(xù)，證明：上連續(xù)，證明：在在設(shè)設(shè),)(baxfdtduufdttbtfbabata )()(證證 batdtbtf)(11.( )( )taF tf u du 記記 batadtduuf)() baF t d t （uvP270 11.|) bbaatF ttf t d t （）（-) babF

15、baF atf t d t （ ） （ ）（) ) bbaabf t d ttf t d t （ ( )()( )bbtaaaf t bt dtf u du dt 即即21證證，1)(2)(0 dttfxxFx，又又0)(2)( xfxF，1)( xf，又又01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1 dttf，0 令令12. 22，上連續(xù)，且上連續(xù)，且在在設(shè)設(shè)0)(,)( xfbaxf內(nèi)有且僅有一根內(nèi)有且僅有一根在在方程方程；),(0)()2(2)()1(baxFxF 證證1(1) ( )( )( )Fxf xf x 2 上上連連續(xù)續(xù)，在在,)()2(baxFtdtfaFab )(

16、1)(又又，0 ，0)()( tdtfbFba( )0( , )F xa b 方方程程在在內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一根根，又又0)( xF上上單單調(diào)調(diào)增增加加，在在,)(baxF內(nèi)有且僅有一根內(nèi)有且僅有一根在在故方程故方程),(0)(baxF ，證證明明： xaxbtfdtdttfxF)()()(由零點(diǎn)存在定理由零點(diǎn)存在定理P270 12.思考題思考題23( )0,1f x設(shè)設(shè)在在上上連連續(xù)續(xù)且且單單調(diào)調(diào)減減少少，.)()()1 , 0(010 adxxfadxxfa均有均有，則對(duì)任一則對(duì)任一證證 adxxf0)(xat 10)(dttafa0101ax，01axx ，單調(diào)減少，單調(diào)減少，又又)(x

17、f()( )f axf x ，100( )()af x dxaf ax dx 從從而而 10)(dxxfa10()af ax dx 13. 24證法二證法二(用積分中值定理用積分中值定理)0( )af x dx 10( )af x dx 0(1)( )aaf x dx 1( )aaf x dx 10, a （）01a當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),0 故所給不等式成立故所給不等式成立 .( )0,1f x設(shè)設(shè)在在上上連連續(xù)續(xù)且且單單調(diào)調(diào)減減少少，.)()()1 , 0(010 adxxfadxxfa均有均有，則對(duì)任一則對(duì)任一13. 12(1)()(1) ()a afaa f 2,1a （）12(1) ()()a a

18、 ff 25( )0,1f x設(shè)設(shè)在在上上連連續(xù)續(xù)且且單單調(diào)調(diào)減減少少，.)()()1 , 0(010 adxxfadxxfa均有均有，則對(duì)任一則對(duì)任一證法三證法三100( )( )aF af x dxaf x dx 記記 （ ），010FF （ ）= = （ ）10( )( )Faf af x dx （ ）0( )()f af x（積積分分中中值值定定理理）01x （0 0， ）00Faax 令令 （ ）得得000; 0,axFaaxFa 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， （ ）當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， （ ）001F xFF（ ）為為最最大大值值， （ ）= = （ ）為為最最小小值值，(0,1)0aF a故故當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， （

19、 ）即即原原命命題題成成立立. .0 x0113. 0( )( ) af x dxg aa證法四證法四26( ) , f xa b如如果果函函數(shù)數(shù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)，14., a b 至至少少有有一一點(diǎn)點(diǎn) 內(nèi)內(nèi)，使使得得( ) ( )( )( )bbaaf x g x dxfg x dx 證證( )0,g x 不不妨妨設(shè)設(shè)且且不不恒恒為為零零，, a b 故故 ，使使得得（積分第一中值定理）（積分第一中值定理）P270 14.( ) , g xa b函函數(shù)數(shù)在在上上連連續(xù)續(xù)且且不不變變號(hào)號(hào)，證證明明：上連續(xù)，上連續(xù)，在在,)(baxf，與與最最小小值值上上必必有有最最大大值值在在mM

20、baxf,)( ( )mf xM即即， ( )( ) ( )( )mg xf x g xMg x 故故， ( )( ) ( )( )bbbaaamg x dxg x g x dxMg x dx 故故( ) ( ) ( )babag x g x dxmMg x dx 故故( ) ( )( )( )babag x g x dxfg x dx 由介值定理由介值定理2715. .求求 .,max222 dxxx解解,max)(2xxxf 21210022dxxxdxdxx原式原式112 220 12xxx ，yxo2xy xy 122 01xx，31 = 3x21 +2x31 3x 817 = 323

21、02 2110201sin2Ix dx 20sincosxx dx 思考思考2( 21) 28120ln(1).(2)xdxx 解解 1021)1ln(xdx原原式式102)1ln(xx dxxx 10)1)(2(1)1121(31xx 1021ln312lnxx .2ln31 21ln2ln312ln 計(jì)算計(jì)算思考思考2920( )sin(),( ).xF xxtdtFx 設(shè)設(shè)求求16.16.220()()().xdf xt f xtdtdx 設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)，則則解解uxt令令，. )(2xxf )()(2122022txdtxfdxdx duufdxdx 02)(21duufdxdx 20)

22、(2102( )sinxF xu du 20sinxu du 2 ( )sinFxx 故故22()uxt 練習(xí)練習(xí)1.30則則 2222)2()(limxdtduufxtx( )(2)3f xf 已已知知連連續(xù)續(xù)，且且，)2(2)(lim22 xduufxx原原式式2)(lim2xfx 23 ( )( )( )baf xdxsf xg x 若若，則則 dxxgxfxgba)()()(sab 解解解解 dxxgxfxgba)()()(dxxgxfxfxgxfba )()()()()(dxxgxfxfabba )()()(2.3.31sin2sincos0 xxxedxee 20cossincos

23、 dxeeexxx4 解解dxeeexxx 20cossinsin tx 2 dxeeexxx 20cossinsin 故故dxeeeexxxx 20cossincossin21 4.3222110( )( )xtf xedtx f x dx 設(shè)設(shè)，則則21010)(21)(dxxfdxxxf dxxfxxfx 102102)(21)(21dxexx 1034)(414104xdex 10441xe )1(411 e解解42)(xxexf 5.3300sin( )( )xtf xdtf x dxt 設(shè)設(shè)，計(jì)計(jì)算算解解 00)()(dxxfxxfx原原式式 0sindttt 0sindxxxx 0sin)(dxxxx 0sin xdx2 6.00sinsinxxxdxdxxx 3417. 設(shè)設(shè)( )( ) , ,f xg xC a b ，證明：證明：試證試證 : 222( ) ( )( )( )bbbaaaf x g x dxfx