概率與數(shù)理統(tǒng)計第8章--假設(shè)檢驗與方差分析

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第8章 假設(shè)檢驗與方差分析【引例】重慶啤酒股份有限公司（以下簡稱重慶啤酒）于1990年代初斥巨資開始乙肝新藥的研發(fā)，其股票被視作“生物醫(yī)藥”概念股受到市場熱捧。尤其是20102011年的兩年間，在上證指數(shù)大跌1/3的背景下，重慶啤酒股價卻從23元左右飆升最高至83.12元，但公司所研制新藥的主要療效指標的初步統(tǒng)計結(jié)果于2011年12月8日披露后，股價連續(xù)跌停，12月22日以28.45元報收后停牌。2012年1月10日重慶啤酒公告詳細披露了有關(guān)研究結(jié)論，復(fù)牌后股價又遭遇連續(xù)數(shù)日下跌，1月19日跌至20.16元。此公告明確告知：“主要療效指標方面，意向性治療人群的安慰劑組

2、與 600g組，及安慰劑組與PA-44 900g組之間，HBeAg/抗HBe 血清轉(zhuǎn)換在統(tǒng)計意義上均無差異”。通俗地說，用藥與不用藥（安慰劑組）以及用藥多與少（900g組與600g組），都沒有明顯差異，這意味著該公司研制的乙肝新疫苗無效。有關(guān)數(shù)據(jù)如表8.1所示：表8.1 乙肝新疫苗的應(yīng)答率統(tǒng)計人數(shù)（人）應(yīng)答人數(shù)（人）應(yīng)答率（%）安慰劑組1173328.2PA-44 600g組1203630.0PA-44 900g組1173429.1注：PA-44為治療用（合成肽）乙型肝炎疫苗簡稱。上表數(shù)據(jù)顯示，兩個用藥組的應(yīng)答率都高于安慰劑組的應(yīng)答率，但為什么說“在統(tǒng)計意義上均無差異”？為什么說這個結(jié)論表示乙

3、肝新疫苗無效？什么叫“在統(tǒng)計意義上無差異”？如何根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出統(tǒng)計意義上有無差異的判斷？ 解答這些問題就需要本章所要介紹的假設(shè)檢驗?，F(xiàn)實中，人們經(jīng)常需要利用樣本信息來判斷有關(guān)總體特征的某個命題是真還是偽，或?qū)δ硞€（些）因素的影響效應(yīng)是否顯著作出推斷，所以假設(shè)檢驗和方差分析有著廣泛的應(yīng)用。例如，在生物醫(yī)學領(lǐng)域，判斷某種新藥是否比舊藥更有效；在工業(yè)生產(chǎn)中，根據(jù)某批零件抽樣檢查的信息來判斷整批零件的質(zhì)量是否符合規(guī)格要求；在流通領(lǐng)域，鑒別產(chǎn)品顏色是否對銷售量有顯著影響等等。這些分析研究都離不開假設(shè)檢驗或方差分析。假設(shè)檢驗與方差分析的具體方法很多，研究目的和背景條件不同，就需采用不同的方法。本教材介紹

4、假設(shè)檢驗與方差分析的基本原理和一些基本方法。但通過本章的學習，理解了有關(guān)概念和基本思想，對更為復(fù)雜的檢驗結(jié)果也不難作出基本的判斷和解讀。本章小結(jié)1.假設(shè)檢驗是基于小概率原理的一種統(tǒng)計推斷方法，針對待檢驗的原假設(shè)和備擇假設(shè)，檢驗統(tǒng)計量及其分布是檢驗的理論基礎(chǔ)，檢驗統(tǒng)計量的觀測值及P值是作出檢驗結(jié)論的依據(jù)。檢驗結(jié)論可能犯的錯誤有兩類，它們的概率和此消彼長。2.參數(shù)的假設(shè)檢驗主要包括總體均值、總體方差和總體比例的檢驗。本章所介紹的檢驗方法有Z檢驗、t檢驗、檢驗、F檢驗等等。3. 一個總體參數(shù)的假設(shè)檢驗和兩個總體參數(shù)之差（或比）的檢驗，其檢驗統(tǒng)計量不同，要注意它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。4.單因素方差分析法

5、從形式上看是對多個總體均值相等性的一種F檢驗，實質(zhì)上是研究一個定性變量對一個定量變量有無顯著影響?；靖拍钪饕邢到y(tǒng)誤差、隨機誤差、組內(nèi)平方和、組間平方和、組內(nèi)方差、組間方差等。方差分析法的基本思想是通過觀察組間方差與組內(nèi)方差之比（F統(tǒng)計量）是否顯著偏大來判斷有無系統(tǒng)誤差的存在，從而檢驗多個總體均值是否相等。5. 假設(shè)檢驗和方差分析的計算可借助于EXCEL或SPSS等軟件來實現(xiàn)?；局R梳理基本知識點含義或公式原假設(shè)H0與備擇假設(shè)H1原假設(shè)或稱零假設(shè)（記為H0）是有待根據(jù)樣本信息來驗證的、關(guān)于總體特征的某個命題；與之對立的假設(shè)稱為備擇假設(shè)（記為H1），意即預(yù)備在拒絕原假設(shè)時所選擇的假設(shè)。檢驗統(tǒng)

6、計量用于檢驗原假設(shè)是否成立的統(tǒng)計量，它反映樣本的信息，不含未知總體參數(shù)但要包含待檢驗的參數(shù)假設(shè)值。檢驗統(tǒng)計量的概率分布是假設(shè)檢驗的理論依據(jù)。檢驗法假設(shè)檢驗的具體方法通常以檢驗統(tǒng)計量服從的分布來命名。如Z檢驗（正態(tài)檢驗）就是指檢驗統(tǒng)計量Z服從標準正態(tài)分布。常用的檢驗法還有t檢驗、F檢驗、2檢驗等。小概率原理發(fā)生概率很小的事件在一次試驗中是不應(yīng)該發(fā)生的。顯著性水平事先對“小概率”所規(guī)定的一個標準，由研究者根據(jù)具體情況確定，常常取0.05，也可取0.01, 0.10等。第一類錯誤（棄真）原假設(shè)H0為真時誤認為原假設(shè)不真，即拒絕了正確的原假設(shè)。犯第一類錯誤的概率為a (即顯著性水平)。第二類錯誤（取偽

7、）原假設(shè)H0不真時誤認為原假設(shè)為真，即未拒絕錯誤的原假設(shè)。犯第二類錯誤的概率用b表示。P值（P-value）檢驗統(tǒng)計量等于檢驗統(tǒng)計值及更背離原假設(shè)情況的概率。P值越小，拒絕原假設(shè)的信心越充足。拒絕域與一定顯著性水平相對應(yīng)的檢驗統(tǒng)計量取值區(qū)域，位于檢驗統(tǒng)計量分布的尾端。檢驗統(tǒng)計量的值落入該區(qū)域時，就應(yīng)按檢驗規(guī)則拒絕原假設(shè)H0，反之則不能拒絕原假設(shè)。臨界值原假設(shè)的拒絕區(qū)域和不能拒絕區(qū)域的分界點。雙側(cè)（雙尾）檢驗原假設(shè)的拒絕域在檢驗統(tǒng)計量分布曲線的雙側(cè)（雙尾）。若以表示待檢驗的總體參數(shù)，0表示假設(shè)值，雙側(cè)檢驗的假設(shè)形式為H0：0；H1：0。單側(cè)（單尾）檢驗拒絕域在檢驗統(tǒng)計量分布的單側(cè)（單尾），又分左

8、側(cè)檢驗和右側(cè)檢驗。左側(cè)檢驗的拒絕域在左側(cè)，其假設(shè)形式為：H0：0（或0）；H1：0。右側(cè)檢驗的拒絕域在右側(cè)，其假設(shè)形式為：H0：0（或0）；H1：0。方差分析檢驗多個總體均值是否存在顯著性差異（以鑒別所考察因素對試驗結(jié)果是否存在顯著影響或效應(yīng)）的統(tǒng)計推斷方法。水平（處理）所考察因素在隨機試驗中的各種不同狀態(tài)或不同類別?？傠x差平方和(SST)，反映樣本的全部觀測值的差異?？傠x差平方和組內(nèi)平方和組間平方和組內(nèi)平方和（SSE）與組內(nèi)方差（MSE）組內(nèi)平方和，反映相同水平下樣本觀測值之間由于隨機波動而引起的差異，也稱為誤差平方和。SSE/（n-k）=MSE，稱為組內(nèi)方差。組間平方和（SSA）與組間方差

9、（MSA），反映不同水平下樣本均值之間的差異，它既包含隨機誤差，也包含系統(tǒng)誤差。SSA/（n-k）=MSA，稱為組間方差。 檢驗方法一覽表待檢驗的總體參數(shù)原假設(shè)前提條件檢驗統(tǒng)計量H0成立時檢驗統(tǒng)計量的分布單個總體均值正態(tài)總體，方差已知正態(tài)總體，方差未知t(n-1)方差2=02正態(tài)總體成數(shù)P=P0大樣本或 兩個總體均值=D0正態(tài)總體，方差已知正態(tài)總體，方差未知但相等t(n1+n2-2)正態(tài)總體， 成對樣本t(n-1)方差12=22正態(tài)總體F(n1-1,n2-1)成數(shù)P1P2=D0兩個都是大樣本多總體均值i全相等隨機項ij獨立ij N(0,2)F(k-1,n-k)練習題一、單項選擇題（在4個備選答

10、案中選出1個正確答案）1.當檢驗統(tǒng)計量的觀測值未落入原假設(shè)的拒絕域時，表示（ ）A 可以放心地接受原假設(shè) B沒有充足的理由否定原假設(shè)C 沒有充足的理由否定備擇假設(shè) D 備擇假設(shè)是錯誤的2.在其他條件不變的情況下，增加樣本量，犯兩類錯誤的概率會（ ）A 都減小 B 都增大 C都不變 D一個增大一個減小3.某企業(yè)考慮從外地緊急采購一批加工原料，若這批原料的質(zhì)量達到標準，企業(yè)可盈利10萬元，但是如果這批原料質(zhì)量達不到標準，企業(yè)將損失25萬元。該企業(yè)面臨判斷：H0:原料質(zhì)量達標；H1：原料質(zhì)量未達標。對這個問題進行假設(shè)檢驗時，下列說法不正確的是（ ）A 拒絕購買達標原料屬于犯類錯誤 B 購進未達標原料

11、屬于犯類錯誤C 這個檢驗中只允許犯第一類錯誤 D a 不宜太小4.若假設(shè)檢驗為左側(cè)檢驗，檢驗統(tǒng)計量為，由樣本計算的檢驗統(tǒng)計值為，則檢驗的P值等于（ ） A Pt B Pt> C 2 Pt< D 1-Pt<5.對總體均值進行檢驗的假設(shè)為H0：=100，H0：100。由隨機樣本得到的檢驗統(tǒng)計量為Z=1.8，則檢驗的P值為（ ）A 0.036 B 0.072 C 0.928 D 0.9646.如果某項假設(shè)檢驗的結(jié)論在0.05的顯著性水平下是顯著的（即在0.05的顯著性水平下拒絕了原假設(shè)），則錯誤的說法是（ ）A. 檢驗的P值不大于0.05 B.在0.01的顯著性水平下不一定具有顯著

12、性C. 原假設(shè)為真的概率小于0.05 D.在0.10的顯著性水平下必定也是顯著的7.關(guān)于檢驗統(tǒng)計量，下列說法中錯誤的是（ ）A檢驗統(tǒng)計量是樣本的函數(shù) B 檢驗統(tǒng)計量包含未知總體參數(shù)C在原假設(shè)成立的前提下檢驗統(tǒng)計量的分布是明確可知的D 檢驗同一總體參數(shù)可以采用多個不同檢驗統(tǒng)計量8.已知總體服從正態(tài)分布，現(xiàn)抽取一容量為15的樣本對總體方差進行假設(shè)檢驗， ：=1；。=0.05，則原假設(shè)的拒絕區(qū)域為（ ）A （0,23.685） B（0,24.996） C (0,6.571) D（0,7.261）9.對兩個總體方差相等性進行檢驗（H1：1222）。檢驗的P值越小說明( )A.兩樣本方差的差別越大 B.

13、兩總體方差的差別越大C.越有信心斷定兩樣本方差有差別 D.越有信心斷定兩總體方差有差別10.在方差分析中，組內(nèi)平方和是指( )A各水平內(nèi)部的觀察值與其均值的離差平方和B 各水平總體均值之間的離差平方和C 由各水平效應(yīng)不同所引起的離差平方和D 試驗條件變化所引起的離差平方的總和二、多項選擇題（在5個備選答案中選擇2-5個正確答案）1.若是待檢驗參數(shù)，0代表參數(shù)的某個具體數(shù)值。下列假設(shè)檢驗形式寫法錯誤的有（ ）A H0：=1，H1：1 B H0：0=100，H1：0100C H0：1，H1：>1 D H0：=100，H1：100E H0：1，H1：=1 2.某機場的塔臺面臨一個決策問題：如果

14、熒幕上出現(xiàn)一個小的不規(guī)則點，并逐漸接近飛機時，工作人員必須作出判斷：H0：一切正常，那只是熒幕上受到一點干擾罷了；H1：可能會發(fā)生碰撞意外。在這個問題中（ ）A.錯誤地發(fā)出警報屬于第一類錯誤 B.錯誤地發(fā)出警報屬于第二類錯誤C.錯誤地發(fā)出警報的概率為 D.錯誤地發(fā)出警報的概率為E . 的數(shù)值宜小3.隨機抽取200個家庭，測得擁有汽車的家庭占26.5%，若要求檢驗總體這一比率是否超過了25%，下列陳述中正確的有（ ）A.此檢驗應(yīng)為雙側(cè)檢驗 B.此檢驗應(yīng)為單側(cè)檢驗C. D.E.4.若采用方差分析法來推斷某個因素對所考察的指標有無顯著影響，該因素有K個水平，樣本容量為n，則下列表述中正確的有（ ）

15、A檢驗統(tǒng)計量組間方差/組內(nèi)方差 B組間方差組間平方和/（K-1）C檢驗統(tǒng)計量組間平方和組內(nèi)平方和 D組間方差組間平方和/（n-K）E檢驗統(tǒng)計量的分布為F（K-1，n-K）5.運用單因素方差分析法，則下列表述中正確的有（ ）A組間方差顯著大于組內(nèi)方差時，該因素對所考察指標的影響顯著B組內(nèi)方差顯著大于組間方差時，該因素對所考察指標的影響顯著C拒絕原假設(shè)時，可推斷各水平的效應(yīng)完全沒有相同的D拒絕原假設(shè)時，可推斷各水平的效應(yīng)是不完全相同的E各水平下的樣本單位數(shù)可以相等也可以不等三、判斷分析題（判斷正誤，并簡要說明理由）1.有個研究者猜測，某貧困地區(qū)失學兒童中女孩數(shù)是男孩數(shù)的3倍以上（即男孩數(shù)不足女孩數(shù)

16、的1/3）。為了對他的這一猜測進行檢驗，擬隨機抽取50個失學兒童構(gòu)成樣本。那么原假設(shè)可以為：H0：P1/3。2.對某一總體均值進行假設(shè)檢驗，H0：100，H1：100。檢驗結(jié)論是：在1%的顯著性水平下，應(yīng)拒絕H0。據(jù)此可認為：（1）對原假設(shè)進行檢驗的P值小于1%；（2）總體均值的真實值與100有很大差異。3.假設(shè)檢驗與區(qū)間估計的主要區(qū)別之一是：在假設(shè)檢驗中，人們更關(guān)注小概率事件是否發(fā)生，而區(qū)間估計立足于以大概率進行推斷。4.其他條件不變的情況下，增大樣本量n對統(tǒng)計推斷產(chǎn)生的影響有：（1）使置信區(qū)間的寬度增加；（2）假設(shè)檢驗犯兩類錯誤的概率減?。唬?）假設(shè)檢驗的P值增大。四、簡答題1.采用某種新

17、生產(chǎn)方法需要追加一定的投資。但若根據(jù)試驗數(shù)據(jù)，通過假設(shè)檢驗判定該新生產(chǎn)方法能夠降低產(chǎn)品成本，則這種新方法將正式投入使用。（1）如果目前生產(chǎn)方法的平均成本為350元，試建立合適的原假設(shè)和備擇假設(shè)。（2）對你所提出的上述假設(shè)，發(fā)生第一、二類錯誤分別會導(dǎo)致怎樣的后果？2.對一個總體的方差及兩個總體方差之比進行檢驗時，分別應(yīng)如何構(gòu)建檢驗統(tǒng)計量？3.某研究報告指出，用于治療慢性萎縮性胃炎的傳統(tǒng)藥物的有效率只有85%，而通過假設(shè)檢驗證明，最新研制的一種藥物的有效率顯著提高。對于這個結(jié)論，人們至少還希望了解哪些相關(guān)信息？4.簡述方差分析的基本思想。五、計算題1.有一種電子元件，要求其使用壽命不得低于1000

18、小時。已知這種元件的使用壽命服從標準差為100小時的正態(tài)分布。現(xiàn)從一批元件中隨機抽查了25件，測得平均使用壽命為972小時。（1）試在0.05的顯著性水平下，檢驗這批電子元件是否合格；（2）假如上述樣本平均壽命是對50件樣品檢查的結(jié)果，其他條件不變，判斷這批電子元件是否合格。2.根據(jù)長期正常生產(chǎn)的資料可知，某廠所產(chǎn)維尼綸的纖度服從正態(tài)分布，其方差為0.0025?，F(xiàn)從某日產(chǎn)品中隨機抽出20根,測得樣本方差為0.0042。試判斷該日纖度的波動與平時有無顯著差異（取=0.10）?3.某化肥廠采用自動包裝機包裝化肥。正常工作狀態(tài)下，每包重量服從均值為50kg、標準差為0.3 kg的正態(tài)分布。從某日生產(chǎn)

19、的產(chǎn)品中隨機抽取9包，測得重量分別為：50.4,50.1,49.5,49.3,50.3,50.2,49.8,50.1,49.2。要求分別在下列兩種情況下，檢驗該日自動包裝機的工作是否正常（顯著性水平為0.05）：（1）方差穩(wěn)定不變；（2）方差有可能不穩(wěn)定。4.某種疾病傳統(tǒng)治療方法的治愈率為70。最近研究出一種新療法。對200名患者試用這種新療法后，治愈了152人。試問這一試驗數(shù)據(jù)能否說明新療法確實比傳統(tǒng)方法更加有效？以0.10的顯著性水平進行檢驗。5.某企業(yè)生產(chǎn)工人分為早班和晚班兩個班次。上月質(zhì)量檢驗的結(jié)果是，從早班抽查產(chǎn)品100只，91只合格；從晚班抽查產(chǎn)品150只，128只合格?？煞裾J為早

20、班和晚班的生產(chǎn)質(zhì)量有顯著差異（顯著性水平為5）。6.某制鞋廠為了比較兩種材料制作的鞋跟的質(zhì)量優(yōu)劣，隨機選擇了10人，讓他們每人試穿一雙鞋跟厚度相同的新鞋，其中一只鞋用材料A制作，另一個鞋用材料B制作，試穿一個月后測量每人所穿的兩只鞋的鞋跟厚度，測得數(shù)據(jù)如下：試驗者編號12345678910材料A3.83.54.143.14.73.94.23.73.5材料B3.53.14.33.83.34.53.33.73.53.4設(shè)鞋跟厚度服從正態(tài)分布，試問0.05的顯著性水平下，兩種材料制作的鞋跟質(zhì)量有無顯著性差別？7.設(shè)有A,B,C,D四個企業(yè)生產(chǎn)同類產(chǎn)品，某機構(gòu)為了研究這四個企業(yè)的日均銷售量是否相同，進行了隨機的抽樣調(diào)查。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，利用EXCEL的單因素方差分析工具所得到的輸出結(jié)果如下(=0.05)：SUMMARY組觀測數(shù)求和平均方差A(yù)73575123.7B63365621.2C52505014.9D53306618.5方差分析差異源SSdfMSFP-valueF crit組間845.223.31E-053.127組內(nèi)總計1207.22要求：（1）對這四個企業(yè)銷售量的