武漢大學(xué)至學(xué)期期末測驗考試線性代數(shù)B試題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上武漢大學(xué)2007至2008第二學(xué)期期末考試線性代數(shù)B試題武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院20072008第二學(xué)期線性代數(shù)B （A卷，工54）學(xué)院              專業(yè)                   學(xué)號  &

2、#160;                  姓名          矚慫潤厲釤瘞睞櫪廡賴。注：所有答題均須有詳細過程，內(nèi)容必須寫在答題紙上，凡寫在其它地方一律無效.一、（10分） 計算下列行列式；1.  2. 若都是四維列向量，且四階行列式求四階行列式.二、（10分）若有不全為

3、零的數(shù)使成立，則線性相關(guān)，也線性相關(guān).試討論該結(jié)論是否正確？三、（12分）設(shè)3階方陣，試求：1、的特征值和特征向量；           2、（為正整數(shù)）及其特征值和特征向量.四、（15分）當為何值時，方程組有唯一解、無解、有無窮多解？在有解時，求出方程組的解.五、（15分）設(shè)二次型其中二次型的矩陣的特征值之和為1，特征值之積為1、的值；   2、用正交變換將二次型化為標準形，并寫出所用的正交變換與正交矩陣.六（18分）在四維實向量構(gòu)成的線性空間中,已知：

4、；.1、 求使為的基；2、 求由基的過渡矩陣；3、設(shè)線性變換為：,求在基下的變換矩陣C.七（20分）1. 設(shè)階方陣的伴隨矩陣為證明：若則；2. 設(shè)為階矩陣，且滿足，證明：.武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院20072008第二學(xué)期線性代數(shù)B （工54，A卷答案）一、1、從第2行開始，每一行乘以（-1）加到上一行，然后從第1列開始，每列加到后1列，得2、由行列式的性質(zhì)，可得.二、由題設(shè)能斷定向量組線性相關(guān)，但其部分向量組不一定別線性相關(guān).例如取則當時，有從而線性相關(guān)，但其部分向量組卻分別線性無關(guān).三、1、，故的特征值為.當時，解線性方程組，由，可得基礎(chǔ)解系，

5、故對應(yīng)于的全部特征向量為（）；當時，解，可得基礎(chǔ)解系，故對應(yīng)于的全部特征向量為(不全為零）；2、令，則有，即有，從而.的特征值為.且的特征值對應(yīng)的特征向量與相應(yīng)特征值對應(yīng)的特征向量相同.四、解: 對方程組的增廣矩陣施以初等行變換：        （1）當且時，從而方程組有惟一解.（2）當時，由于方程組無解.（3）當時，有可見故方程組有無窮多組解.又由此可得與原方程組同解的方程組為令得其特解與原方程組的導(dǎo)出組同解的方程組為：由此可得基礎(chǔ)解系為于是，原方程組的全部解為其中是任意常數(shù).五、1、次型的矩陣為設(shè)的特

6、征值為由題設(shè)，有    解得2、矩陣的特征多項式得的特征值對于解方程組得其基礎(chǔ)解系對于解齊次線性方程組得基礎(chǔ)解系由于已是正交向量組，為得到規(guī)范正交向量組，只需將單位化，由此得     令矩陣則為正交矩陣.在正交變換下，有且二次型的標準形為六、解：1、；2、設(shè),   則           ，  .    &#

7、160;      設(shè) , 則                                        3由,求在基下的變換矩陣C=P.七、1、下分兩