第二講正弦定理與余弦定理

1、第一講正弦定理與余弦定理本專題涉及到的知識點是正、余弦定理及三角形中的邊角關(guān)系三角形中邊角關(guān)系處理的基本方法是化角為邊或化邊為角，以及向量方法的運用.A類例題例1在ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，設(shè)ac=2b,A_C.求sinB的值.3例2.已知.'ABC的三個內(nèi)角A,B,C滿足：A£=2B,1，求cos-C的值.cosAcosCcosB2在.ABC中，已知AB=,cosB6,36AC邊上的中線BD=.5，求sinA的值.情景再現(xiàn)31在：ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，已知a,b,c成等比數(shù)列，且cosB二蘭.4(1) 求cotAcotC的值；3

2、(2) 設(shè)BABC，求ac的值.22 .已知在ABC中，sinA(sinBcosB)-sinC=0,sinBcos2C二0，求角代B,C的大小.B類例題例4AABC內(nèi)接于單位圓，三個內(nèi)角A,B,C的平分線延長后分別交此圓于點,B1,C1,求AAcosA+BBico|+CCi22cCs2的值.sinA+siB+sCncotAcotB例5在-ABC中，記BC=a,CA二b,AB=c，若9a29b2-19c2=0,求_cotC_的值.情景再現(xiàn)3 .在ABC中，求證:2.2.2222a-bb-cc-a小+=0.cosAcosBcosBcosCcosCcosAC類例題求證例6設(shè)非直角厶ABC的重心為G，

3、內(nèi)心為I，垂心為H，內(nèi)角代B,C所對的邊分別是a,b,c.(1)sinAIAsinBIBsinCIC=0tanAHAtanBHB*tanCHC=cotC(cotB_cotA)GBcotB(cotC_cotA)GChG例7在非直角二ABC中，邊長a,b,c滿足ac=b(二冷1).AC扎T(1) 證明：tanAtan二;22人+1(2) 是否存在函數(shù)f('),使得對于一切滿足條件的，代數(shù)式cosAcosCfC)f()cosAcosC恒為定值？若存在,請給出一個滿足條件的f(')，并證明之；若不存在，請給出一個理由.例8在非鈍角ABC中，AB.AC,B=450,0,1分別是ABC的外

4、心和內(nèi)心，且-、2oi=AB-AC，求sinA.情景再現(xiàn)4 .在ABC中，求證asinAbsinBcsinC_a2b2c2/ABCa+b+c4coscoscos2 22習(xí)題1在ABC中，c么2,ab,C，且有tanAtanB=1$已知銳角三角形ABC中，sin(A，B),sin(A-B).5(1) 求證：tanA=2tanB；(2) 設(shè)AB=3，求AB邊上的高.，求a，b及"Be的面積.2在ABC中，A=80°,a2=b(bc)，求角C.3.已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分為AB=2,BC=6,CD二DA=4，求四邊形ABCD的面積.C一AC+A4.在ABC中，若c-a等于

5、AC邊上的高h(yuǎn)，求sincos的值.2 22Ab+c96在ABC中，cos,c=5，求二ABC內(nèi)切圓的半徑.22c107.在ABC中，a,b,c分別是角A、B、C所對的邊，且2sin2AB-cos2c=1.2(1) 求角C的大??；r.2212(2) 若a=bc,試求sin(A-B)的值.28.在ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若2sinAcosBcosC=3sinBsinC(1)求角A的大小;(2)若a61,b，c=9，求b和c的值.3：9.已知向量a=(2,2),向量與向量a的夾角為，且ab=2,4T(1)求向量b；2c一(2)若t=(1,0)且b_t,C=(COSA,2COS

6、2)，其中A、C是厶ABC的內(nèi)角，若三角形的三內(nèi)角A、B、2TiC依次成等差數(shù)列，試求|b+cI的取值范圍1 110.如圖在等邊三角形ABC中，AB=a,0為中心，過O的直線交AB于M,交AC于N，求22OMON的最大值和最小值.11.在ABC中，f1tanA+tanB+tanC=一6已知6，求ABC的三個內(nèi)角的大小.tan3Atan3Btan3C-1811612.；ABC中A=2B,C是鈍角，三邊長均為整數(shù)，求.'ABC周長的最小值.本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答：41解化弦變形和余弦定理求角.3(1)由cosB得sinB422由b=ac得，sinB=sinAsinC，于是cotAcotCco

7、sAsinCcosCsinAsin(AC)sinB14.7sinAsinBsinAcosB_sin(AB)=0,即sinAsinBsinAcosB_sinAcosB-cosAsinB=0,TT即sinB(sinA-cosA)二0,從而有sinA二cosA，即A=43"：3:所以BC，再消去角C得sinBcos2(B)=0,4 41応即sinBsin2B=0,sinB(12cosB)=0,cosB=-B=23最后角C=.123.證明由正弦定理化邊為角.22222222a-b4R(sinA-sinB)4R(cosB-cosA)cosAcosBcosAcosBcosAcosB.22bc=4

8、R(cosB-cosA)，同理4R(cosC-cosB),cosB+cosCc2-a2cosCcosA=4R2(cosA-cosB)，上面三式相加即得證.4.證明由正弦定理ssinBsinC得sinAsinBsinCsinCABcoscos22將式左邊分子分母同乘以.Csin2c2cosC得22cosdosBcosC222sinC2c，即csinCc2同理可得asinA,ABC4coscoscos22bsinBb24cosAcos2Ccos24coscos旦cosC222,三式相加即得證.“習(xí)題”解答:1.解由tanAtanB=tan(AB)(1-tanAtanB)二-tanC(1-tanAt

9、anB)得tanAtanB=5，又ab，從而tanA=3,tanB=2.所以sinAB=衣,105由正弦定理，得610從而面積是2452 解a2二b(bc)化邊為角為sin2A=sinB(sinBsinC),即sin2A-sin2B=sinBsinC,所以1cos2A1-cos2B=sinBsinC，1即(cos2A-cos2B)=sinBsinC，2即sin(AB)sin(A-B)=sinBsinC，由sin(AB)二sinC得sin(A-B)二sinB，由三角形內(nèi)角的范圍可知只能有A-B=B,A=2B所以B=40°，從而C=60°3解利用余弦定理構(gòu)造等量關(guān)系求角的三角函

10、數(shù)值.如圖，連接BD，則有四邊形ABCD的面積S=S.abd'S.cdbJabADsinA丄BCCDsinC22由AC=1800，得sinA二sinC，從而四邊形ABCD的面積S=16sinA.由余弦定理，在ABD中BD2=AB2AD2-2ABADcosA=20-16cosA,同樣在CDB中BD2=CB2CD2-2CBCDcosC=52-48cosC,所以20-16cosA=52-48cosC，及cosA-cosC,求得cosA=-一，A=120。，所以S=16sinA=8.324.解AC邊上的高h(yuǎn)=asinC，故c-a=asinC，化邊為角即sinC-sinA二sinAsinC,C+

11、ACA12cossincos(A-C)-cos(AC)222C+ACA12CA2C+A-2cossin(1sin)(2cos1)222222CACACA2CA整理得sin2sincoscos1,2222即，.C-ACA、2C-AGA,即(sincos)1，從而sincos1.222231$解(1)證明：sin(AB)=3,sin(AB)=丄，55sinAcosBcosAsinBsinAcosBcosAsinB2sinAcosB,5cosAsinl"5tanAtanB=2.所以tanA=2tanB./、兀3(2)AB：二，sin(AB)tan(AB)=25即型一ta-，將tanA二2t

12、anB代入上式并整理得1-tanAtanB422tanB-4tanB1=0.解得tanB=2'6，舍去負(fù)值得tanB=2'6,22.tanA=2tanB=2、6.設(shè)AB邊上的高為CD.貝UAB=AD+DB=CDCD-CD>=tanAtanB2”6由AB=3CD=2+.6.所以AB邊上的高等于2+.、6.2222A1cosAbe,口b廠丄入亠宀口be-acos得cosA,又由余弦疋理得cosAcc2bca2b2從而ABC是直角三角形.又-5,以得a=3,b=4，所以，1.c10A+B7解(1)由2sin2cos2C=1得221-cos(A-B)2cosC-1=1，又由A+B

13、+C=n，將上式整理得22cosCcosC-1=0，即(2cosC-1)(cosC+1)=01 兀-cosC或cosC=-1(舍去)由0<C<n，得C=2 3(2)設(shè)厶ABC外接圓半徑為R，由a2二b2C22-有2sin2A2sin2B=sin2C，即1-cos2A1cos2B=43 3cos2A-cos2B二-2sin(AB)sin(A-B)=4 4.34V33(一2)sin(AB)/.sin(AB)248.解（1）在厶ABC中，由已知有:2sinBCcosBcosC=3sinBsinC,.B+CB+C.4sin2BCtsincos2B-Ccos2cB+CBC2coscos422

14、Bcos2=6sinBCB-Ccos22即4sinV3，.Asin2A（舍負(fù)）.一21(2)由cosA-得22-a2bc2即bc-a=bc又a-61,b，c=9,bc=91b=5亠b=4，得：彳或彳be=20k|c=4c=5*4(1)設(shè)b=(x,y),則2x2y-2,且|b|二ab由9.解代入上式得：be=203:解得=0屮十1,0)或b|a|cos4f+*(2)B，；b_t,且t=(1,0),.b=(0,-1).3A-C:331 :cos(AC)遼1,2ONsinQ-300)'1所以=¥【sin210*L302)sin2(r-302)a£（2-cos2"

15、,a由71角的范圍可知T_cos2vv-1，所以其最大值是8，最小值為15.2aa+OM2ON211. 解構(gòu)造方程求解.在.ABC中，有tanAtanBtanC=tanAtanBtanC,333因為tanAtanBtanC3tanAtanBtanC2=(tanAtanBtanC)(tanAtanBtanC)3(tanAtanBtanBtanCtanCtanA)2從而求得tanAtanBtanBtanCtanCtanA二3所以tanA,tanB,tanC是方程3 122132xxx0即6xx-4x1=0的三個根.6363211由6xx-4xd=(x1)(2x-1)(3x-1)得tanA,tanB

16、,tanC的值分別是-1-,，從而三個內(nèi)角為323二丄1丄1,arctan,arctan.4 3212. 解利用正余弦定理及整數(shù)的性質(zhì)求解.；C=黛AB工恵3B-2jiB,cosB6且cosB是有理數(shù),K又c=sin3BsinB故是整數(shù)，又m令cosB=,mn,m,nN,(m,n)=1,m4n2二b(3-4sinB)二b(4cosB-1)=b(2-1),m4b得c164(-1=32,故c一32(m,n)=1，故弓為整數(shù)，由m_8知b_16,m再由cosB-a=bsin2B_cosB-2163=16.327，故a-28,sinB2即abc_2816*33=77.即周長的最小值為77.此時177a=28,b=16,c=33，由余弦定理求得cosA,cosB，故cosA二cos2B，即滿足A=2B,3281717.3:二小cosA,cosB即B,A，從而角C是鈍角，滿足條件.3228263故厶ABC周長的最小值是77,22sinAsinCsinBsinBsinB73 33(2)由BABC得caco