周衍柏《理論力學(xué)教程(第三版)》電子教案第三章4-5剛體力學(xué)

1、 第三章第三章剛剛 體體 力力 學(xué)學(xué)導(dǎo)讀導(dǎo)讀 空間力系和平行力系的求和空間力系和平行力系的求和 剛體運(yùn)動(dòng)微分方程和平衡方程剛體運(yùn)動(dòng)微分方程和平衡方程 簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算1 1 力系的簡(jiǎn)化力系的簡(jiǎn)化將所有空間力作用點(diǎn)都遷移到一點(diǎn)將所有空間力作用點(diǎn)都遷移到一點(diǎn).3.4 剛體運(yùn)動(dòng)方程與平衡方程剛體運(yùn)動(dòng)方程與平衡方程1F2F3F力是滑移矢量力是滑移矢量力可沿作用線(xiàn)移動(dòng)，不能隨意移動(dòng)力可沿作用線(xiàn)移動(dòng)，不能隨意移動(dòng)FFFF 設(shè)設(shè)F為作用在剛體為作用在剛體A點(diǎn)上的一個(gè)力點(diǎn)上的一個(gè)力, P為空間任意一為空間任意一點(diǎn)點(diǎn), 但不在但不在F的作用線(xiàn)上的作用線(xiàn)上. FrA

2、PF1F2 在在P點(diǎn)添上兩個(gè)與點(diǎn)添上兩個(gè)與F的作用線(xiàn)的作用線(xiàn)平行的力平行的力F1及及F2, 且且 , 02121FFFFF 這樣這樣F可以化為過(guò)可以化為過(guò)P點(diǎn)的力點(diǎn)的力F1和和F及及F2所組成的所組成的一個(gè)力偶一個(gè)力偶. 方向：永遠(yuǎn)垂直于力偶的作用面大?。号co點(diǎn)無(wú)關(guān)。因此：力偶矩是一自由矢量，可以平行于 自身任意移動(dòng)位置，不影響其效應(yīng)。力偶力偶所以可以把所有空間力化為過(guò)一點(diǎn)的力和力偶所以可以把所有空間力化為過(guò)一點(diǎn)的力和力偶. 主矢使剛體平動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化主矢使剛體平動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化主矩使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化主矩使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化P點(diǎn)叫點(diǎn)叫簡(jiǎn)化中心簡(jiǎn)化中心, 力的矢量和叫力的矢量和叫主矢主矢,

3、力偶矩的矢量力偶矩的矢量和叫對(duì)簡(jiǎn)化中心的和叫對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩主矩. 2 2 剛體運(yùn)動(dòng)微分方程剛體運(yùn)動(dòng)微分方程 如果如果ri代表剛體中任一質(zhì)點(diǎn)代表剛體中任一質(zhì)點(diǎn)Pi 對(duì)靜止系對(duì)靜止系S原點(diǎn)原點(diǎn)O的位的位矢矢, rC 為質(zhì)心為質(zhì)心C對(duì)對(duì)O的位矢的位矢, 而而ri 為為Pi 對(duì)質(zhì)心對(duì)質(zhì)心C的位矢的位矢, 動(dòng)動(dòng)坐標(biāo)系坐標(biāo)系S隨質(zhì)心作平動(dòng)隨質(zhì)心作平動(dòng), 其原點(diǎn)與質(zhì)心其原點(diǎn)與質(zhì)心C重合重合. FFrmeiC )(則剛體質(zhì)心則剛體質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)方程為的運(yùn)動(dòng)方程為剛體在動(dòng)坐標(biāo)系剛體在動(dòng)坐標(biāo)系S中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)對(duì)質(zhì)心中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)對(duì)質(zhì)心C 的總角動(dòng)量的總角動(dòng)量滿(mǎn)足滿(mǎn)足MJ 對(duì)固定坐標(biāo)系中的定點(diǎn)對(duì)固定坐標(biāo)系中的定點(diǎn)O,

4、上式仍有效上式仍有效, 只需將只需將J改改J (對(duì)定點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)O的總角動(dòng)量的總角動(dòng)量)，M改改M.剛體的運(yùn)動(dòng)分解隨質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)zcycxcFzMFyMFxM zzyyxxMdtJdMdtJdMdtJd六個(gè)獨(dú)立的方程 剛體有六個(gè)獨(dú)立變量剛體有六個(gè)獨(dú)立變量. 故質(zhì)心運(yùn)動(dòng)及繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)兩故質(zhì)心運(yùn)動(dòng)及繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)兩組方程式恰好確定剛體的運(yùn)動(dòng)情況組方程式恰好確定剛體的運(yùn)動(dòng)情況. 也可應(yīng)用動(dòng)能原理，也可應(yīng)用動(dòng)能原理，作為一個(gè)輔助方程來(lái)代替方程中的任意一個(gè)作為一個(gè)輔助方程來(lái)代替方程中的任意一個(gè). 注意注意: 這時(shí)剛體內(nèi)力所作元功之和為零這時(shí)剛體內(nèi)力所作元功之和為零, 故剛體動(dòng)能的故剛體動(dòng)能的微分等于剛體

5、在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中外力所作的元功之和微分等于剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中外力所作的元功之和.3 3 剛體平衡方程剛體平衡方程00MF 如為共面力系如為共面力系, 且設(shè)諸力均位于且設(shè)諸力均位于xy平面內(nèi)平面內(nèi), 則平衡方則平衡方程簡(jiǎn)化為程簡(jiǎn)化為0, 0, 0zyxMFF若剛體處于平衡狀態(tài)：若剛體處于平衡狀態(tài)：一根均勻的棍子、重為一根均勻的棍子、重為P長(zhǎng)為長(zhǎng)為2 2l. 今將其一端置于今將其一端置于粗糙地面上，又以其上的粗糙地面上，又以其上的C點(diǎn)，靠在墻上，墻離地面的點(diǎn)，靠在墻上，墻離地面的高度為高度為h. .當(dāng)棍子與地面的角度當(dāng)棍子與地面的角度 為最小值為最小值 0 0時(shí)時(shí), , 棍子在棍子在上述位置仍處于平衡狀

6、態(tài)，求棍與地面的摩擦系數(shù)上述位置仍處于平衡狀態(tài)，求棍與地面的摩擦系數(shù) 受力分析知受力分析知0sin, 001fNFx0cos, 0201PNNFy0sin/cos010hNPlhPlPNhPlf/sincos/sincos0022020hPlPhPlNf/sincos/sincos0020202AxyBChOllPN2N1 0f 剛體以剛體以 作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng), 其中質(zhì)點(diǎn)其中質(zhì)點(diǎn)Pi對(duì)定點(diǎn)的位矢是對(duì)定點(diǎn)的位矢是ri, 則質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩為則質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩為iiivmr整個(gè)剛體對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩為整個(gè)剛體對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩為iiiivmrLiiiirrmiiiirrrm2動(dòng)量矩一般不與剛體角速

7、度共線(xiàn)動(dòng)量矩一般不與剛體角速度共線(xiàn). (. (動(dòng)量與速度總共線(xiàn)動(dòng)量與速度總共線(xiàn)) )1 剛體的動(dòng)量矩剛體的動(dòng)量矩3.5 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下kjikzjyixrzyxiiiiiiiiziiiiiyiiixiiziyixiiiixixzxmyxmzymzyxxzyxmL22222所以所以iiiiziiiiyiiiixyzymxzmxymL22iiiiziiiiyiiiixzyxmyzmxzmL22引入符號(hào)引入符號(hào)iiiixxzymI22iiiiyyxzmI22iiiizzyxmI22iiiiyxxyxymIIiiiizxxzxzmIIiiiizyyzyzmII則剛

8、體動(dòng)量矩表達(dá)式簡(jiǎn)化為則剛體動(dòng)量矩表達(dá)式簡(jiǎn)化為zxzyxyxxxxIIILzyzyyyxyxyIIILzzzyzyxzxzIIIL剛體對(duì)各軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)各軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量慣量積慣量積剛體以剛體以 作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng), 對(duì)定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為對(duì)定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為yxxyxzzxzyyzzzzyyyxxxiiiiiiiiiiiiiiikIIIIIILvmrrvmvvmvmE22221212121212122222 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體對(duì)定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能也可以寫(xiě)為剛體對(duì)定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能也可以寫(xiě)為 2222222121sin212121ImrmrrmvvmEiiiiiiiiiiiiiiik 上式中上

9、式中 i為為Pi的位矢的位矢 ri 與角速度矢量與角速度矢量 之間的夾角之間的夾角, i 為自為自Pi至轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸的垂直距離，而至轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸的垂直距離，而 I 稱(chēng)為剛體繞稱(chēng)為剛體繞轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.3 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量回轉(zhuǎn)半徑回轉(zhuǎn)半徑mIrG/zGr 物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量決定于物體的質(zhì)量物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量決定于物體的質(zhì)量分布的情況分布的情況, 又決定于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的位置又決定于轉(zhuǎn)動(dòng)軸的位置. 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)軸不同動(dòng)軸不同,即使是同一物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也不即使是同一物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也不同同. 平行軸定理平行軸定理 若剛體若剛體對(duì)過(guò)質(zhì)心的軸對(duì)過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 Ic ，則剛體對(duì)與該軸相距

10、為則剛體對(duì)與該軸相距為 d 的平行軸的平行軸 z 的轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量動(dòng)慣量 Iz 是是2mdIIcz 質(zhì)量為質(zhì)量為 m, ,長(zhǎng)為長(zhǎng)為 l 的細(xì)棒繞通過(guò)其端點(diǎn)和質(zhì)心的細(xì)棒繞通過(guò)其端點(diǎn)和質(zhì)心的垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的垂直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量oxzdxdmx231mlI 2121mlIC 質(zhì)量為質(zhì)量為 m, ,半徑為半徑為 R 的均勻圓盤(pán)的均勻圓盤(pán), , 通過(guò)盤(pán)中心通過(guò)盤(pán)中心并與盤(pán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并與盤(pán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量221mRI ordrR質(zhì)量質(zhì)量 M = 16 = 16 kg 、半徑為、半徑為 R = 0.15 = 0.15 m 的實(shí)心的實(shí)心滑輪滑輪, ,一根細(xì)繩繞在其上，繩端掛一質(zhì)量為一根細(xì)繩繞在其上，

11、繩端掛一質(zhì)量為 m=8kg 的的物體物體. .求（求（1 1）由靜止開(kāi)始）由靜止開(kāi)始 1 1 秒鐘后，物體下降的距離秒鐘后，物體下降的距離. . （2 2）繩子的張力）繩子的張力. .maTmgmMmmgT221MRRTRa N40Tm5 . 2212ath2sm52Mmmga一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m 、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為 l 的均質(zhì)細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸在的均質(zhì)細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸在 O 點(diǎn)，距點(diǎn)，距A端端 l l/3 . /3 . 桿從靜止開(kāi)始由水平位置繞桿從靜止開(kāi)始由水平位置繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng). . 求：（求：（1 1）水平位置的角速度和角加速度）水平位置的角速度和角加速度. . （2 2）垂直位置時(shí)的角速度和角加速度）垂

12、直位置時(shí)的角速度和角加速度. .coBA2mdIIco2220916121mllmmlI0olg232916mllmglg30 , 0M機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒00 62120lmgIcoBA勢(shì)能零點(diǎn)勢(shì)能零點(diǎn)OcoBA cos60IlmgM00 sin62120lmgI勢(shì)能零點(diǎn)勢(shì)能零點(diǎn)O4 4 慣量張量和慣量橢球慣量張量和慣量橢球?qū)π螤钜?guī)則的剛體，將轉(zhuǎn)動(dòng)慣量寫(xiě)為積分形式對(duì)形狀規(guī)則的剛體，將轉(zhuǎn)動(dòng)慣量寫(xiě)為積分形式mzyIxxd22mxzIyyd22myxIzzd22mxyIIyxxydmzxIIzxxzdmyzIIzyyzdzyx,xyzxyzzzyyxxIIIIIII222222一次算出軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和

13、慣量積一次算出軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣量積, 通過(guò)通過(guò)O點(diǎn)的任一軸線(xiàn)的點(diǎn)的任一軸線(xiàn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都可得出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都可得出.xyzo),(mdPxyz 三個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和六個(gè)慣量積作為統(tǒng)一的一個(gè)三個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和六個(gè)慣量積作為統(tǒng)一的一個(gè)物理量物理量, 代表剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性的量度，可以寫(xiě)為矩代表剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性的量度，可以寫(xiě)為矩陣的形式陣的形式叫做慣量張量叫做慣量張量, 元素叫慣量張量的組元或慣量系數(shù)元素叫慣量張量的組元或慣量系數(shù). zzzyzxyzyyyxxzxyxxIIIIIIIII利用矩陣乘法利用矩陣乘法,得得zzzyzxyzyyyxxzxyxxIIIIIIIIIIzyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxzyx

14、IIIIIIIIILLL 顯然可以把慣量積通過(guò)選取坐標(biāo)軸的方向而消除顯然可以把慣量積通過(guò)選取坐標(biāo)軸的方向而消除, 如在轉(zhuǎn)動(dòng)軸上如在轉(zhuǎn)動(dòng)軸上, 截取線(xiàn)段截取線(xiàn)段RIOQ1I 為剛體繞該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為剛體繞該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 則則Q點(diǎn)的坐標(biāo)將是點(diǎn)的坐標(biāo)將是RzRyRx,因過(guò)因過(guò)O點(diǎn)有很多轉(zhuǎn)軸點(diǎn)有很多轉(zhuǎn)軸, 則有很多的則有很多的Q點(diǎn)，這些點(diǎn)的軌跡是點(diǎn)，這些點(diǎn)的軌跡是1222222xyIzxIyzIzIyIxIxyzxyzzzyyxx這是一個(gè)中心在這是一個(gè)中心在O點(diǎn)的橢球點(diǎn)的橢球, 通常叫通常叫慣量橢球慣量橢球, 如如O為質(zhì)心為質(zhì)心,又叫又叫中心慣量橢球中心慣量橢球.橢球有三個(gè)主軸橢球有三個(gè)主軸, 如坐

15、標(biāo)軸選取與之重合如坐標(biāo)軸選取與之重合, 則慣量積消失則慣量積消失.1232221zIyIxII1, I2, I3稱(chēng)為稱(chēng)為O點(diǎn)上的主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量點(diǎn)上的主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 此時(shí)有此時(shí)有kIjIiILzyx32123222121zyxkIIIE 橢球與主軸交點(diǎn)的位矢橢球與主軸交點(diǎn)的位矢R的方向和橢球上該點(diǎn)法的方向和橢球上該點(diǎn)法線(xiàn)的方向重合線(xiàn)的方向重合. . 這是解析幾何里求二次曲面主軸的方這是解析幾何里求二次曲面主軸的方法法, , 或線(xiàn)性代數(shù)里求本征值的方法或線(xiàn)性代數(shù)里求本征值的方法. . 在力學(xué)里在力學(xué)里, , 大都大都是對(duì)稱(chēng)的均勻剛體是對(duì)稱(chēng)的均勻剛體, , 而這種剛體的慣量主軸而這種剛體的慣量主軸, , 則可根則可根據(jù)對(duì)稱(chēng)性很方便地求出據(jù)對(duì)稱(chēng)性很方便地求出. .小結(jié)小結(jié)力系的簡(jiǎn)化規(guī)則力系的簡(jiǎn)化規(guī)則剛體