理學(xué)理論力學(xué)第四章學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1理學(xué)理學(xué)(lxu)理論力學(xué)第四章理論力學(xué)第四章第一頁(yè)，共134頁(yè)。機(jī)械振動(dòng)的特點(diǎn)機(jī)械振動(dòng)的特點(diǎn)(tdin)：圍繞其平衡位置往復(fù)運(yùn)動(dòng)。：圍繞其平衡位置往復(fù)運(yùn)動(dòng)。學(xué)習(xí)目的：利用學(xué)習(xí)目的：利用(lyng)有益的振動(dòng)，減少有害的振動(dòng)。有益的振動(dòng)，減少有害的振動(dòng)。振動(dòng)系統(tǒng)包括振動(dòng)系統(tǒng)包括(boku)：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)、多自由度系統(tǒng)和連續(xù)體等。：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)、多自由度系統(tǒng)和連續(xù)體等。第1頁(yè)/共134頁(yè)第二頁(yè)，共134頁(yè)。1.1.自由自由(zyu)(zyu)振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程0l設(shè)彈簧原長(zhǎng)為設(shè)彈簧原長(zhǎng)為gmP在重力在重力 的作用下的作用下剛度剛度(n d)系數(shù)為系數(shù)為kst彈簧的變形為彈簧的變形為

2、這一位置為平衡位置這一位置為平衡位置稱(chēng)為靜變形稱(chēng)為靜變形st/P k第2頁(yè)/共134頁(yè)第三頁(yè)，共134頁(yè)。取重物取重物(zhn(zhn w) w)的平衡位置點(diǎn)的平衡位置點(diǎn)O O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)st()Fkkx 其運(yùn)動(dòng)其運(yùn)動(dòng)(yndng)微分方程為微分方程為取取x 軸的正向鉛直向下軸的正向鉛直向下則則2st2d()dxmPkxtkxtxm22ddst/P k第3頁(yè)/共134頁(yè)第四頁(yè)，共134頁(yè)。上式表明上式表明(biomng)： 物體偏離平衡位置于坐標(biāo)物體偏離平衡位置于坐標(biāo)x x處將受到與偏離距離處將受到與偏離距離(jl)(jl)成正成正比而與偏離方向相反的合力比而與偏離方向相反的合力恢復(fù)力

3、恢復(fù)力只在恢復(fù)力作用下維持的振動(dòng)只在恢復(fù)力作用下維持的振動(dòng)(zhndng)稱(chēng)為無(wú)阻尼自由振動(dòng)稱(chēng)為無(wú)阻尼自由振動(dòng)(zhndng)mk200dd2022xtx無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式kxtxm22dd第4頁(yè)/共134頁(yè)第五頁(yè)，共134頁(yè)。其解具有其解具有(jyu)(jyu)如下形式如下形式rtex 其中其中(qzhng)r(qzhng)r為待定常數(shù)為待定常數(shù)本征方程本征方程(fngchng)(fngchng)0202r本征方程的兩個(gè)根為本征方程的兩個(gè)根為0201iirr1r和和2r是兩個(gè)共軛虛根是兩個(gè)共軛虛根微分方程的解為微分方程的解為tCtCx0201si

4、ncos第5頁(yè)/共134頁(yè)第六頁(yè)，共134頁(yè)。其中其中 和和 是積分常數(shù)，是積分常數(shù)，1C2C由運(yùn)動(dòng)的起始由運(yùn)動(dòng)的起始(q sh)(q sh)條件確定條件確定令：令：212221tanCCCCA)sin(0tAx無(wú)阻尼無(wú)阻尼(zn)(zn)自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)第6頁(yè)/共134頁(yè)第七頁(yè)，共134頁(yè)。2.2.無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)(zhndng)(zhndng)的特點(diǎn)的特點(diǎn)（1 1）固有頻率）固有頻率( ( yu pn l) yu pn l)周期周期(zhuq)振動(dòng)振動(dòng)若運(yùn)動(dòng)規(guī)律若運(yùn)動(dòng)規(guī)律x( t ) 可以寫(xiě)為可以寫(xiě)為)()(TtxtxT T為常數(shù)為常數(shù)周期周期由式由式)si

5、n(0tAx00()()2tTt第7頁(yè)/共134頁(yè)第八頁(yè)，共134頁(yè)。自由振動(dòng)自由振動(dòng)(zhndng)(zhndng)的周期為的周期為02T0122 fT其中其中 振動(dòng)的振動(dòng)的頻率頻率，表示每秒鐘的振動(dòng)次數(shù)。，表示每秒鐘的振動(dòng)次數(shù)。Tf1由式由式mk20mk0第8頁(yè)/共134頁(yè)第九頁(yè)，共134頁(yè)。只與表征系統(tǒng)本身特性的質(zhì)量只與表征系統(tǒng)本身特性的質(zhì)量(zhling)m(zhling)m和剛度和剛度k k有關(guān)有關(guān)而與運(yùn)動(dòng)而與運(yùn)動(dòng)(yndng)(yndng)的初始條件無(wú)關(guān)的初始條件無(wú)關(guān)它是振動(dòng)系統(tǒng)它是振動(dòng)系統(tǒng)(xtng)(xtng)固有的特性固有的特性所以稱(chēng)為所以稱(chēng)為固有角（圓）頻率（一般也稱(chēng)固有頻

6、率）固有角（圓）頻率（一般也稱(chēng)固有頻率）0m=P/gst/kP0stgmk0第9頁(yè)/共134頁(yè)第十頁(yè)，共134頁(yè)。（2 2）振幅）振幅(zhnf)(zhnf)與初相角與初相角A A表示相對(duì)于振動(dòng)表示相對(duì)于振動(dòng)(zhndng)(zhndng)中心點(diǎn)中心點(diǎn)O O的最大位移的最大位移振幅振幅(zhnf)(zhnf)相位（或相位角）相位（或相位角）)(0t表示質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)表示質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)t t 的位置的位置而而表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的起始位置表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的起始位置初相角初相角設(shè)設(shè)t= t= 0 0 時(shí)，時(shí)，0 xx 0)cos(dd00tAtx)sin(0tAx)sin(0tAx000202020tanxxA第

7、10頁(yè)/共134頁(yè)第十一頁(yè)，共134頁(yè)。3.3.彈簧的并聯(lián)彈簧的并聯(lián)(bnglin)(bnglin)與串聯(lián)與串聯(lián)（1 1）彈簧）彈簧(tnhung)(tnhung)并聯(lián)并聯(lián)st11kF st22kF 在平衡在平衡(pnghng)(pnghng)時(shí)有時(shí)有st2121)(kkFFmg令令eqk等效彈簧剛度系數(shù)等效彈簧剛度系數(shù)steqkmg 21eqkkkeqst/kmg第11頁(yè)/共134頁(yè)第十二頁(yè)，共134頁(yè)。固有頻率固有頻率( ( yu pn l) yu pn l)mkkmk21eq0 當(dāng)兩個(gè)彈簧并聯(lián)時(shí)，其等效彈簧剛度系數(shù)當(dāng)兩個(gè)彈簧并聯(lián)時(shí)，其等效彈簧剛度系數(shù)(xsh)(xsh)等于兩個(gè)等于兩個(gè)彈

8、簧剛度系數(shù)彈簧剛度系數(shù)(xsh)(xsh)的和。的和。這個(gè)這個(gè)(zh ge)(zh ge)結(jié)論也可以推廣到多個(gè)彈簧并聯(lián)的情形。結(jié)論也可以推廣到多個(gè)彈簧并聯(lián)的情形。第12頁(yè)/共134頁(yè)第十三頁(yè)，共134頁(yè)。（2 2）彈簧）彈簧(tnhung)(tnhung)串聯(lián)串聯(lián)1st1kmg22stkmg兩個(gè)彈簧兩個(gè)彈簧(tnhung)(tnhung)總的靜伸長(zhǎng)總的靜伸長(zhǎng))11(212st1ststkkmg若設(shè)串聯(lián)彈簧系統(tǒng)的等效彈簧剛度系數(shù)為若設(shè)串聯(lián)彈簧系統(tǒng)的等效彈簧剛度系數(shù)為eqk則有則有eqst/kmg比較比較(bjio)(bjio)上面兩式得上面兩式得21eq111kkk2121eqkkkkk第13頁(yè)

9、/共134頁(yè)第十四頁(yè)，共134頁(yè)。固有頻率固有頻率( yu pn l)為為)(2121eq0kkmkkmk當(dāng)兩個(gè)彈簧串聯(lián)時(shí)，其等效彈簧剛度當(dāng)兩個(gè)彈簧串聯(lián)時(shí)，其等效彈簧剛度(n d)系數(shù)的倒數(shù)系數(shù)的倒數(shù)等于兩個(gè)彈簧等于兩個(gè)彈簧(tnhung)剛度系數(shù)倒數(shù)的和。剛度系數(shù)倒數(shù)的和。這一結(jié)論也可以推廣到多個(gè)彈簧串聯(lián)的情形這一結(jié)論也可以推廣到多個(gè)彈簧串聯(lián)的情形第14頁(yè)/共134頁(yè)第十五頁(yè)，共134頁(yè)。4.4.其他其他(qt)(qt)類(lèi)型的單自由振動(dòng)系統(tǒng)類(lèi)型的單自由振動(dòng)系統(tǒng)圖為一扭振系統(tǒng)圖為一扭振系統(tǒng)(xtng)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)(yndng)微分方程為微分方程為tOktJ22dd令令OtJk20則上式可變?yōu)閯t上式

10、可變?yōu)?dd2022t第15頁(yè)/共134頁(yè)第十六頁(yè)，共134頁(yè)。例例 4 41 1已知：質(zhì)量為已知：質(zhì)量為m0.5kg0.5kg的物體沿光滑斜面無(wú)初速度滑下。的物體沿光滑斜面無(wú)初速度滑下。當(dāng)物塊下落高度當(dāng)物塊下落高度h=0.1m=0.1m時(shí)，撞于無(wú)質(zhì)量的彈簧上，時(shí)，撞于無(wú)質(zhì)量的彈簧上，并與彈簧不再分離，彈簧剛度系數(shù)并與彈簧不再分離，彈簧剛度系數(shù)k k=0.8kN/m=0.8kN/m。傾角傾角 30求：此系統(tǒng)振動(dòng)求：此系統(tǒng)振動(dòng)(zhndng)(zhndng)的固有頻率和振幅并給出物塊的運(yùn)動(dòng)方程。的固有頻率和振幅并給出物塊的運(yùn)動(dòng)方程。第16頁(yè)/共134頁(yè)第十七頁(yè)，共134頁(yè)。解：解：若物塊平衡時(shí)，

11、彈簧應(yīng)有若物塊平衡時(shí)，彈簧應(yīng)有(yn(yn yu) yu)變形量變形量kmgsin0以物塊平衡位置以物塊平衡位置O O為原點(diǎn)，取為原點(diǎn)，取x x軸如圖，運(yùn)動(dòng)軸如圖，運(yùn)動(dòng)(yndng)(yndng)微分方程為微分方程為)(sindd022xkmgtxmkxtxm22dd通解通解(tngji)(tngji)為為)sin(0tAx第17頁(yè)/共134頁(yè)第十八頁(yè)，共134頁(yè)。固有頻率固有頻率( ( yu pn l) yu pn l)00.8N/m 100040rad/s0.5kgkm當(dāng)物塊碰上彈簧時(shí)，取時(shí)間當(dāng)物塊碰上彈簧時(shí)，取時(shí)間(shjin)t=0(shjin)t=0，作為振動(dòng)的起點(diǎn)，作為振動(dòng)的起點(diǎn)m

12、1006. 31000N/m8 . 030sinm/s8 . 9kg5 . 03200 x2022 9.8m/s0.1m1.4m/svgh22002035.1vAxmm000arctan0.087radxv 運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)(yndng)方程為方程為mm)087. 040sin(1 .35tx第18頁(yè)/共134頁(yè)第十九頁(yè)，共134頁(yè)。例例 4 42 2已知：如圖所示無(wú)重彈性梁，當(dāng)中部放置質(zhì)量已知：如圖所示無(wú)重彈性梁，當(dāng)中部放置質(zhì)量m的物塊時(shí)，的物塊時(shí)，其靜撓度為其靜撓度為2mm，若將此物塊在梁未變形位置處若將此物塊在梁未變形位置處無(wú)初速釋放。無(wú)初速釋放。求：系統(tǒng)的振動(dòng)求：系統(tǒng)的振動(dòng)(zhndng)(z

13、hndng)規(guī)律。規(guī)律。第19頁(yè)/共134頁(yè)第二十頁(yè)，共134頁(yè)。解：解：此無(wú)重彈性梁相當(dāng)于一彈簧此無(wú)重彈性梁相當(dāng)于一彈簧, ,其靜撓度其靜撓度(nod)(nod)相當(dāng)于彈簧的靜伸長(zhǎng)相當(dāng)于彈簧的靜伸長(zhǎng)則梁的剛度則梁的剛度( (nn d) d)系數(shù)為系數(shù)為stmgk 取其平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)取其平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),x,x軸方向鉛直軸方向鉛直(qinzh)(qinzh)向下向下運(yùn)動(dòng)微分方程為運(yùn)動(dòng)微分方程為kxxkmgtxm)(ddst22設(shè)設(shè)mk200dd2022xtx)sin(0tAx第20頁(yè)/共134頁(yè)第二十一頁(yè)，共134頁(yè)。固有頻率固有頻率( ( yu pn l) yu pn l)rad/s7

14、0st0gmk在初瞬時(shí)在初瞬時(shí)t=0t=0，物塊位于，物塊位于(wiy)(wiy)未變形的梁上未變形的梁上其坐標(biāo)其坐標(biāo)mm2st0 x重物初速度重物初速度00則振幅則振幅(zhnf)(zhnf)為為2200202vAx mm初相角初相角000arctanarctan()2xv 最后得系統(tǒng)的自由振動(dòng)規(guī)律為最后得系統(tǒng)的自由振動(dòng)規(guī)律為mm)70cos(2tx第21頁(yè)/共134頁(yè)第二十二頁(yè)，共134頁(yè)。已知：圖為一擺振系統(tǒng)，桿重不計(jì)球質(zhì)量為已知：圖為一擺振系統(tǒng)，桿重不計(jì)球質(zhì)量為m m。擺對(duì)軸。擺對(duì)軸O O 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J J，彈簧剛度，彈簧剛度( (nn d) d)系數(shù)為系數(shù)為k k。桿于

15、水平位置。桿于水平位置 平衡。平衡。求：此系統(tǒng)微小振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程求：此系統(tǒng)微小振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程(wi fn fn(wi fn fn chn chn) )及振動(dòng)固有頻率。及振動(dòng)固有頻率。第22頁(yè)/共134頁(yè)第二十三頁(yè)，共134頁(yè)。解：解：擺于水平平衡處，擺于水平平衡處，彈簧已有壓縮量彈簧已有壓縮量0由平衡方程由平衡方程0)(iOFMdkmgl0以平衡位置為原點(diǎn)，以平衡位置為原點(diǎn)，擺繞軸擺繞軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為ddkmgltJ)(dd022222ddkdtJJkd0第23頁(yè)/共134頁(yè)第二十四頁(yè)，共134頁(yè)。已知：如圖所示兩個(gè)相同的塔輪，相嚙合的齒輪半徑已知：如圖所示兩個(gè)相同

16、的塔輪，相嚙合的齒輪半徑 皆為皆為R R，半徑為，半徑為r r的鼓輪上繞有細(xì)繩。輪的鼓輪上繞有細(xì)繩。輪I I連一鉛連一鉛 直彈簧，輪直彈簧，輪IIII掛一重物，塔輪對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量皆?huà)煲恢匚?，塔輪?duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量皆 為為J J，彈簧剛度，彈簧剛度( (nn d) d)系數(shù)為系數(shù)為k k，重物質(zhì)量為，重物質(zhì)量為m m。求：此系統(tǒng)求：此系統(tǒng)(xtng)(xtng)振動(dòng)的固有頻率。振動(dòng)的固有頻率。第24頁(yè)/共134頁(yè)第二十五頁(yè)，共134頁(yè)。解：解：以系統(tǒng)以系統(tǒng)(xtng)(xtng)平衡時(shí)重物的位置為原點(diǎn)，取平衡時(shí)重物的位置為原點(diǎn)，取x x軸如圖。軸如圖。22)(21221rxJxmT系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng

17、)(xtng)的勢(shì)能為的勢(shì)能為221kxV 不計(jì)摩擦不計(jì)摩擦(mc)(mc)，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒22222121kxxrJxmVT常數(shù)常數(shù)系統(tǒng)動(dòng)能為系統(tǒng)動(dòng)能為第25頁(yè)/共134頁(yè)第二十六頁(yè)，共134頁(yè)。上式兩端對(duì)時(shí)間上式兩端對(duì)時(shí)間(shjin)取一階導(dǎo)數(shù)，得取一階導(dǎo)數(shù)，得0)2(2xkxxxrJm 0)2(2kxxrJm 自由自由(zyu)振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)的固有頻率為的固有頻率為Jmrkr2220第26頁(yè)/共134頁(yè)第二十七頁(yè)，共134頁(yè)。如圖所示無(wú)阻尼振動(dòng)如圖所示無(wú)阻尼振動(dòng)(z n zhn dn(z n zhn dn) )系統(tǒng)系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)作自由振

18、動(dòng)當(dāng)系統(tǒng)作自由振動(dòng)(zhndng)(zhndng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)規(guī)律為時(shí)，運(yùn)動(dòng)規(guī)律為)sin(0tAx速度速度(sd)(sd)為為00cos()xvAttdd在瞬時(shí)在瞬時(shí)t t 物塊的動(dòng)能為物塊的動(dòng)能為22220011cos ()22TmvmAt第27頁(yè)/共134頁(yè)第二十八頁(yè)，共134頁(yè)。若選平衡位置為零勢(shì)能若選平衡位置為零勢(shì)能(shnng)(shnng)點(diǎn)，有點(diǎn)，有PxxkV)(212st2stPkst)(sin21210222tkAkxV 對(duì)于有重力影響的彈性系統(tǒng)，如果對(duì)于有重力影響的彈性系統(tǒng)，如果(rgu)(rgu)以平以平衡位置為零勢(shì)能位置，則重力勢(shì)能與彈性力衡位置為零勢(shì)能位置，則重力勢(shì)能與

19、彈性力勢(shì)能之和，相當(dāng)于由平衡位置處計(jì)算變形的勢(shì)能之和，相當(dāng)于由平衡位置處計(jì)算變形的單獨(dú)彈性力的勢(shì)能。單獨(dú)彈性力的勢(shì)能。第28頁(yè)/共134頁(yè)第二十九頁(yè)，共134頁(yè)。當(dāng)物體處于平衡位置（振動(dòng)當(dāng)物體處于平衡位置（振動(dòng)(zhndng)中心）時(shí)，物塊具有最大動(dòng)能中心）時(shí)，物塊具有最大動(dòng)能220max21AmT當(dāng)物塊處于偏離振動(dòng)中心當(dāng)物塊處于偏離振動(dòng)中心(zhngxn)的極端位置時(shí)，系統(tǒng)具有最大勢(shì)能的極端位置時(shí)，系統(tǒng)具有最大勢(shì)能2max21kAV由機(jī)械由機(jī)械(jxi)守恒定律守恒定律maxmaxVT可得系統(tǒng)的固有頻率可得系統(tǒng)的固有頻率mk /0第29頁(yè)/共134頁(yè)第三十頁(yè)，共134頁(yè)。求：系統(tǒng)作微振動(dòng)求：

20、系統(tǒng)作微振動(dòng)(zhndng)(zhndng)時(shí)的固有頻率。時(shí)的固有頻率。已知：如圖振動(dòng)系統(tǒng)中，擺桿已知：如圖振動(dòng)系統(tǒng)中，擺桿OA對(duì)鉸鏈點(diǎn)對(duì)鉸鏈點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，桿的點(diǎn)桿的點(diǎn)A和和B各安置一個(gè)彈簧，剛度系數(shù)分別為各安置一個(gè)彈簧，剛度系數(shù)分別為 和和 。系統(tǒng)在水平位置處于平衡。系統(tǒng)在水平位置處于平衡。1k2k第30頁(yè)/共134頁(yè)第三十一頁(yè)，共134頁(yè)。解：解：)sin(0t系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)振動(dòng)時(shí)擺桿的最大角速度振動(dòng)時(shí)擺桿的最大角速度0max系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)的最大動(dòng)能為的最大動(dòng)能為220max21JT選擇選擇(xunz)平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn)平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn)最大勢(shì)能為最大勢(shì)能為222

21、212221max)(21)(21)(21dklkdklkV第31頁(yè)/共134頁(yè)第三十二頁(yè)，共134頁(yè)。即即22221220)(2121dklkJ解得固有頻率解得固有頻率( yu pn l)Jdklk22210由機(jī)械能守恒定律有由機(jī)械能守恒定律有maxmaxVT第32頁(yè)/共134頁(yè)第三十三頁(yè)，共134頁(yè)。求：圓柱體在平衡位置附近作微小振動(dòng)求：圓柱體在平衡位置附近作微小振動(dòng)(zhndng)(zhndng)的固有頻率。的固有頻率。已知：如圖表示一質(zhì)量為已知：如圖表示一質(zhì)量為m，半徑為半徑為r的圓柱體，的圓柱體，在一半徑為在一半徑為R的圓弧槽上作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)。的圓弧槽上作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)。第33頁(yè)/共1

22、34頁(yè)第三十四頁(yè)，共134頁(yè)。解：解：1()OvRrrrR/)(系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)的動(dòng)能為的動(dòng)能為1122222221111()() ()222223()4OOmrRrTmvJm RrrmRr系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)的勢(shì)能為的勢(shì)能為2sin)(2)cos1)(2rRmgrRmgV第34頁(yè)/共134頁(yè)第三十五頁(yè)，共134頁(yè)。當(dāng)圓柱體作微振動(dòng)當(dāng)圓柱體作微振動(dòng)(zhndng)時(shí)，時(shí)，可認(rèn)為可認(rèn)為22sin2)(21rRmgV設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)(xtng)作自由振動(dòng)時(shí)作自由振動(dòng)時(shí)的變化規(guī)律為的變化規(guī)律為)sin(0tA則系統(tǒng)則系統(tǒng)(xtng)的最大動(dòng)能的最大動(dòng)能2202max)(43ArRmT系統(tǒng)的最大勢(shì)能系

23、統(tǒng)的最大勢(shì)能2max)(21ArRmgV由機(jī)械守恒定律由機(jī)械守恒定律有有maxmaxVT解得系統(tǒng)的固有頻率為解得系統(tǒng)的固有頻率為)(320rRg第35頁(yè)/共134頁(yè)第三十六頁(yè)，共134頁(yè)。1.1.阻尼阻尼(zn)(zn)阻尼阻尼(zn)(zn)振動(dòng)過(guò)程中的阻力。振動(dòng)過(guò)程中的阻力。粘性阻尼粘性阻尼當(dāng)振動(dòng)速度不大時(shí)，由于介質(zhì)粘性引起的阻當(dāng)振動(dòng)速度不大時(shí)，由于介質(zhì)粘性引起的阻 力近似地與速度的一次方成正比。力近似地與速度的一次方成正比。dFcv 其中：其中：c c粘性阻力系數(shù)粘性阻力系數(shù)（簡(jiǎn)稱(chēng)為（簡(jiǎn)稱(chēng)為阻力系數(shù)阻力系數(shù)）以阻尼元件以阻尼元件c c表示。表示。一般的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)一般的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)彈性元

24、件（彈性元件（k）慣性元件（慣性元件（m）阻尼元件（阻尼元件（c）第36頁(yè)/共134頁(yè)第三十七頁(yè)，共134頁(yè)。2.2.振動(dòng)振動(dòng)(zhndng)(zhndng)微分方程微分方程如以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，如以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，在建立此系統(tǒng)在建立此系統(tǒng)(xtng)(xtng)的振動(dòng)微分的振動(dòng)微分方程時(shí)可以不再計(jì)入重力方程時(shí)可以不再計(jì)入重力的作用。的作用。在振動(dòng)過(guò)程在振動(dòng)過(guò)程(guchng)(guchng)中作用在物塊上的力有中作用在物塊上的力有（1 1）恢復(fù)力）恢復(fù)力eFkxFe（2 2）粘性阻尼力）粘性阻尼力dFtxccFxddd第37頁(yè)/共134頁(yè)第三十八頁(yè)，共134頁(yè)。物塊的運(yùn)動(dòng)物塊的運(yùn)動(dòng)(y

25、ndng)(yndng)微分方程為微分方程為txckxtxmdddd22令令mk20mc2固有角（圓）頻率固有角（圓）頻率0 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)0dd2dd2022xtxtx有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)(biozhn)形式形式第38頁(yè)/共134頁(yè)第三十九頁(yè)，共134頁(yè)。其解可設(shè)為其解可設(shè)為rtex 本征方程本征方程(fngchng)02202rr方程方程(fngchng)的兩個(gè)根為的兩個(gè)根為2021r2022r通解通解(tngji)為為trt reCeCx2121第39頁(yè)/共134頁(yè)第四十頁(yè)，共134頁(yè)。3.3.欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)(zhungti)(

26、zhungti)0mkc2欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)(zhungti)(zhungti)本方程本方程(fngchng)(fngchng)的兩個(gè)根為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)根為共軛復(fù)數(shù)2201ir2202ir220esin()txAtesin()txAtd其中其中A A和和為兩個(gè)積分常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定。為兩個(gè)積分常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定。有阻尼自由振動(dòng)的固有角頻率有阻尼自由振動(dòng)的固有角頻率220d令令第40頁(yè)/共134頁(yè)第四十一頁(yè)，共134頁(yè)。設(shè)設(shè)t t=0=0，,0 xx 022000220()vxAx002200tanxx振動(dòng)的振幅是隨時(shí)間不斷衰減振動(dòng)的振幅是隨時(shí)間不斷衰減(shui jin)(s

27、hui jin)的，稱(chēng)為衰減的，稱(chēng)為衰減(shui jin)(shui jin)振動(dòng)。振動(dòng)。是否是否(sh fu)(sh fu)為周期振動(dòng)呢？為周期振動(dòng)呢？仍具有振動(dòng)仍具有振動(dòng)(zhndng)(zhndng)的特點(diǎn)。的特點(diǎn)。第41頁(yè)/共134頁(yè)第四十二頁(yè)，共134頁(yè)。定義：質(zhì)點(diǎn)從一個(gè)定義：質(zhì)點(diǎn)從一個(gè)(y )最大偏離位置到下一個(gè)最大偏離位置到下一個(gè)(y )最大偏離位置最大偏離位置所需要的時(shí)間稱(chēng)為所需要的時(shí)間稱(chēng)為(chn wi)衰減振動(dòng)的周期，衰減振動(dòng)的周期，記為記為dT22022Tdd第42頁(yè)/共134頁(yè)第四十三頁(yè)，共134頁(yè)。令令220002211 ()Tdmkc20稱(chēng)為稱(chēng)為阻尼比阻尼比2d1

28、TT2d1 ff20d1第43頁(yè)/共134頁(yè)第四十四頁(yè)，共134頁(yè)。設(shè)在某瞬時(shí)設(shè)在某瞬時(shí)(shn sh)t(shn sh)t，振動(dòng)達(dá)到的最大偏離值為，振動(dòng)達(dá)到的最大偏離值為A A，eitiAA經(jīng)過(guò)一個(gè)周期經(jīng)過(guò)一個(gè)周期 后后dT()1eitTiAAddd()1eeeiitTitTiAAAA減縮減縮(jin su)(jin su)因數(shù)因數(shù)相當(dāng)相當(dāng)(xingdng)(xingdng)振幅振幅esin()txAtd對(duì)數(shù)減縮，對(duì)數(shù)減縮，反映阻尼的參數(shù)。反映阻尼的參數(shù)。d212ln21iiATA第44頁(yè)/共134頁(yè)第四十五頁(yè)，共134頁(yè)。4.4.臨界阻尼臨界阻尼) 1 (0臨界阻尼狀態(tài)臨界阻尼狀態(tài)(zhu

29、ngti)(zhungti)crc臨界阻力系數(shù)臨界阻力系數(shù)mkc2cr本征方程本征方程(fngchng)(fngchng)的根為兩個(gè)相等的實(shí)根的根為兩個(gè)相等的實(shí)根1r2r微分方程微分方程(wi fn fn(wi fn fn chn chn) )的解為的解為12e()txCC t是否具有振動(dòng)的特點(diǎn)？是否具有振動(dòng)的特點(diǎn)？其中其中 和和 為兩個(gè)積分常數(shù)，為兩個(gè)積分常數(shù)，1C2C由運(yùn)動(dòng)的起始條件決定。由運(yùn)動(dòng)的起始條件決定。物體的運(yùn)動(dòng)是隨時(shí)間的增長(zhǎng)而無(wú)限地趨向平衡位置物體的運(yùn)動(dòng)是隨時(shí)間的增長(zhǎng)而無(wú)限地趨向平衡位置因此運(yùn)動(dòng)已不具有振動(dòng)的特點(diǎn)因此運(yùn)動(dòng)已不具有振動(dòng)的特點(diǎn)第45頁(yè)/共134頁(yè)第四十六頁(yè)，共134頁(yè)

30、。) 1 (0過(guò)阻尼狀態(tài)過(guò)阻尼狀態(tài)(zhungti)(zhungti)阻力系數(shù)阻力系數(shù)crcc 本征方程本征方程(fngchng)(fngchng)的根為兩個(gè)不等的實(shí)根的根為兩個(gè)不等的實(shí)根2021r2022r微分方程微分方程(wi fn fn(wi fn fn chn chn) )的解為的解為22220012e(ee)tttxCC5.5.過(guò)阻尼狀態(tài)過(guò)阻尼狀態(tài)其中其中 和和 為兩個(gè)積分常數(shù)，為兩個(gè)積分常數(shù)，1C2C由運(yùn)動(dòng)起始條件來(lái)確定由運(yùn)動(dòng)起始條件來(lái)確定第46頁(yè)/共134頁(yè)第四十七頁(yè)，共134頁(yè)。運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)(yndng)圖線(xiàn)如圖圖線(xiàn)如圖不具有振動(dòng)不具有振動(dòng)(zhndng)性質(zhì)性質(zhì)第47頁(yè)/共134

31、頁(yè)第四十八頁(yè)，共134頁(yè)。已知：如圖為一彈性桿支持的圓盤(pán)，彈性桿扭轉(zhuǎn)剛度系已知：如圖為一彈性桿支持的圓盤(pán)，彈性桿扭轉(zhuǎn)剛度系 數(shù)為數(shù)為kt t，圓盤(pán)對(duì)桿軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圓盤(pán)對(duì)桿軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，如圓盤(pán)外緣受如圓盤(pán)外緣受 到與轉(zhuǎn)動(dòng)速度成正比的切向阻力，而圓盤(pán)衰減扭到與轉(zhuǎn)動(dòng)速度成正比的切向阻力，而圓盤(pán)衰減扭 振的周期為振的周期為 。dT求：圓盤(pán)所受阻力偶矩與轉(zhuǎn)動(dòng)求：圓盤(pán)所受阻力偶矩與轉(zhuǎn)動(dòng)(zhun dng)(zhun dng)角速度的關(guān)系角速度的關(guān)系第48頁(yè)/共134頁(yè)第四十九頁(yè)，共134頁(yè)。解：解：設(shè)設(shè)M為阻力偶系數(shù)為阻力偶系數(shù)圓盤(pán)繞桿軸轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)繞桿軸轉(zhuǎn)動(dòng)(zhun dng)微分方程為微分方程為tJk

32、t0kJJd2t2()2TkJJ222dd24tT k JJT220002211 ()Td第49頁(yè)/共134頁(yè)第五十頁(yè)，共134頁(yè)。求：系統(tǒng)的臨界求：系統(tǒng)的臨界(ln ji)(ln ji)阻力系數(shù)和阻力系數(shù)各為多少。阻力系數(shù)和阻力系數(shù)各為多少。已知：如圖彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)，其物體質(zhì)量為已知：如圖彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)，其物體質(zhì)量為0.05kg， 彈簧剛度系數(shù)彈簧剛度系數(shù)k=2000N/m。使系統(tǒng)發(fā)生自由振使系統(tǒng)發(fā)生自由振 動(dòng)，測(cè)得其相鄰兩個(gè)振幅比動(dòng)，測(cè)得其相鄰兩個(gè)振幅比 。981001iiAA第50頁(yè)/共134頁(yè)第五十一頁(yè)，共134頁(yè)。解：解：對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)(du sh)減縮為減縮為0202. 098100

33、lnln1iiAA阻尼比為阻尼比為0.0032152系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)的臨界阻力系數(shù)為的臨界阻力系數(shù)為s/mN20N/m2000kg05. 022crmkc阻力阻力(zl)系數(shù)系數(shù)s/mN0643. 0cr cc第51頁(yè)/共134頁(yè)第五十二頁(yè)，共134頁(yè)。在外加激振力作用下的振動(dòng)稱(chēng)為在外加激振力作用下的振動(dòng)稱(chēng)為(chn wi)受迫振動(dòng)。受迫振動(dòng)。簡(jiǎn)諧激振力是一種典型簡(jiǎn)諧激振力是一種典型(dinxng)(dinxng)的周期變化的激振力的周期變化的激振力)sin(tHF其中：其中：H稱(chēng)為激振力的力幅，即激振力的最大值；稱(chēng)為激振力的力幅，即激振力的最大值；是激振力的角頻率；是激振力的角頻率；是激

34、振力的初相角；是激振力的初相角；第52頁(yè)/共134頁(yè)第五十三頁(yè)，共134頁(yè)。1.1.振動(dòng)振動(dòng)(zhndng)(zhndng)微分方程微分方程恢復(fù)力恢復(fù)力kxFe質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)(zhdin)(zhdin)的運(yùn)動(dòng)微分方程為的運(yùn)動(dòng)微分方程為)sin(dd22tHkxtxmmHhmk，20)sin(dd2022thxtx取物塊的平衡位置為坐標(biāo)取物塊的平衡位置為坐標(biāo)(zubio)(zubio)原點(diǎn)，原點(diǎn)，x x軸向下為正。軸向下為正。令令第53頁(yè)/共134頁(yè)第五十四頁(yè)，共134頁(yè)。齊次方程齊次方程(fngchng)(fngchng)的通解為的通解為)sin(01tAx設(shè)特解有如下設(shè)特解有如下(rxi)(rxi

35、)形式形式)sin(2tbx其中其中(qzhng)b(qzhng)b為待定常數(shù)為待定常數(shù)將將 代入方程代入方程2x)sin()sin()sin(202thtbtb220hb全解為全解為)sin()sin(2200thtAx)sin(dd2022thxtx)sin(dd2022thxtx第54頁(yè)/共134頁(yè)第五十五頁(yè)，共134頁(yè)。上式表明上式表明(biomng)無(wú)阻尼受迫振動(dòng)是由兩個(gè)無(wú)阻尼受迫振動(dòng)是由兩個(gè)(lin )諧振動(dòng)合成的。諧振動(dòng)合成的。第一部分是頻率為固有頻率第一部分是頻率為固有頻率( yu pn l)的自由振動(dòng)的自由振動(dòng)第二部分是頻率為激振力頻率的振動(dòng)第二部分是頻率為激振力頻率的振動(dòng)受

36、迫振動(dòng)受迫振動(dòng))sin(01tAx)sin(2202thx第55頁(yè)/共134頁(yè)第五十六頁(yè)，共134頁(yè)。2.2.受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)(shu p zhn dn)(shu p zhn dn)的振幅的振幅（1 1）若）若0即激振力為一恒力，此時(shí)即激振力為一恒力，此時(shí)(c sh)(c sh)并不振動(dòng)并不振動(dòng)所謂的振幅所謂的振幅 實(shí)為實(shí)為靜力靜力H 作用下的靜變形作用下的靜變形0bkHhb200220hb（2 2）若）若00振幅振幅b b 隨著頻率隨著頻率單調(diào)單調(diào)(dndio)(dndio)上升上升當(dāng)當(dāng)接近接近 時(shí)，時(shí)，0振幅振幅b b 將趨于無(wú)窮大。將趨于無(wú)窮大。第56頁(yè)/共134頁(yè)第五十七頁(yè)，共134頁(yè)

37、。（3 3）若）若0b b為負(fù)值為負(fù)值(f zh)(f zh)b b取其絕對(duì)值，取其絕對(duì)值，而視受迫振動(dòng)而視受迫振動(dòng) ，與激振力反向，與激振力反向2x隨著激振力頻率隨著激振力頻率(pnl)(pnl)增大，振幅增大，振幅b b 減小。減小。當(dāng)當(dāng)趨于趨于，振幅，振幅(zhnf)b (zhnf)b 趨于零。趨于零。220hb)sin(2202thx第57頁(yè)/共134頁(yè)第五十八頁(yè)，共134頁(yè)。振幅振幅b b與激振力頻率與激振力頻率(pnl)(pnl)之間的關(guān)系曲線(xiàn)稱(chēng)為振幅頻率之間的關(guān)系曲線(xiàn)稱(chēng)為振幅頻率(pnl)(pnl)曲線(xiàn)，曲線(xiàn)，又稱(chēng)為共振曲線(xiàn)。又稱(chēng)為共振曲線(xiàn)。將縱軸取為將縱軸取為0bb橫軸取為橫軸

38、取為0振幅頻率振幅頻率(pnl)(pnl)曲線(xiàn)如圖所示曲線(xiàn)如圖所示第58頁(yè)/共134頁(yè)第五十九頁(yè)，共134頁(yè)。3.3.共振共振(gngzhn)(gngzhn)現(xiàn)象現(xiàn)象當(dāng)當(dāng) 時(shí)，即時(shí)，即激振力頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)激振力頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，振幅振幅b b在理論上應(yīng)趨向無(wú)窮大，這種現(xiàn)象稱(chēng)為在理論上應(yīng)趨向無(wú)窮大，這種現(xiàn)象稱(chēng)為共振共振。0當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)0沒(méi)有沒(méi)有(mi yu)(mi yu)意義意義微分方程微分方程(wi fn fn(wi fn fn chn chn) )式的特解應(yīng)具有下面的形式式的特解應(yīng)具有下面的形式)cos(02tBtx02/hB220hb代入代入)sin(dd2022thxtx

39、第59頁(yè)/共134頁(yè)第六十頁(yè)，共134頁(yè)。當(dāng)當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)共振。時(shí)，系統(tǒng)共振。0受迫振動(dòng)的振幅受迫振動(dòng)的振幅(zhnf)(zhnf)隨時(shí)間無(wú)限地增大。隨時(shí)間無(wú)限地增大。其運(yùn)動(dòng)其運(yùn)動(dòng)(yndng)(yndng)圖線(xiàn)如圖所示圖線(xiàn)如圖所示它的幅值為它的幅值為thb02)cos(2002tthx共振共振(gngzhn)(gngzhn)時(shí)受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為時(shí)受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為第60頁(yè)/共134頁(yè)第六十一頁(yè)，共134頁(yè)。已知：如圖長(zhǎng)為已知：如圖長(zhǎng)為l無(wú)重杠桿無(wú)重杠桿OA，其一端其一端O 鉸支，另一端鉸支，另一端A水水 平懸掛在剛度系數(shù)為平懸掛在剛度系數(shù)為k的彈簧上，桿的中點(diǎn)裝有一質(zhì)的彈簧上，桿的中點(diǎn)裝有

40、一質(zhì) 量為量為m的小球，若在點(diǎn)的小球，若在點(diǎn)A A 加一激振力加一激振力 ， 其中激振力的頻率其中激振力的頻率 ， tFFsin00210為系統(tǒng)的固有頻率為系統(tǒng)的固有頻率忽略阻尼。忽略阻尼。求：系統(tǒng)的受迫振動(dòng)求：系統(tǒng)的受迫振動(dòng)(shu p zhn dn(shu p zhn dn) )規(guī)律。規(guī)律。 第61頁(yè)/共134頁(yè)第六十二頁(yè)，共134頁(yè)。解：解：設(shè)任一瞬時(shí)剛桿的擺角為設(shè)任一瞬時(shí)剛桿的擺角為系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為的運(yùn)動(dòng)微分方程為tlFkllmsin)2(022 令令mklmkl4)2(2220mlFlmlFh0204)2(thsin20 第62頁(yè)/共134頁(yè)第六十三頁(yè)，共134頁(yè)

41、。可得上述可得上述(shngsh)(shngsh)方程的特解，即受迫振動(dòng)為方程的特解，即受迫振動(dòng)為thsin220將將 代入上式代入上式021tklFtmkmlFthsin34sin4434sin430020第63頁(yè)/共134頁(yè)第六十四頁(yè)，共134頁(yè)。求：當(dāng)電機(jī)求：當(dāng)電機(jī)(dinj)(dinj)以勻速角速度以勻速角速度旋轉(zhuǎn)時(shí)，系統(tǒng)的受迫振動(dòng)規(guī)律。旋轉(zhuǎn)時(shí)，系統(tǒng)的受迫振動(dòng)規(guī)律。已知：如圖表示帶有偏心塊的電動(dòng)機(jī)，固定在一根彈性梁上，已知：如圖表示帶有偏心塊的電動(dòng)機(jī)，固定在一根彈性梁上， 設(shè)電機(jī)設(shè)電機(jī)(dinj)(dinj)的質(zhì)量為的質(zhì)量為 ，偏心偏心(pinxn)(pinxn)矩為矩為e e，彈性梁

42、的剛度系數(shù)為彈性梁的剛度系數(shù)為k k。1m偏心塊的質(zhì)量為偏心塊的質(zhì)量為2m第64頁(yè)/共134頁(yè)第六十五頁(yè)，共134頁(yè)。解：解：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理(dn(dn lin lin dn dn l) l)kxmtixi)(ddkxtextmtxmt)sin(dddddd21質(zhì)點(diǎn)系包括電機(jī)質(zhì)點(diǎn)系包括電機(jī)(dinj)(dinj)和偏心塊。和偏心塊。以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，電機(jī)電機(jī)(dinj)(dinj)軸心的坐標(biāo)為軸心的坐標(biāo)為x x。第65頁(yè)/共134頁(yè)第六十六頁(yè)，共134頁(yè)。受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)(shu p zhn dn)振幅振幅22122220)(mmkemhb上述振幅表達(dá)式

43、表示的振幅頻率上述振幅表達(dá)式表示的振幅頻率(pnl)曲線(xiàn)如圖所示曲線(xiàn)如圖所示微分方程微分方程(wi fn fn chn)temkxxmmsin)(2221 令令22emH 2122mmemhtmmkemthxsin)(sin221222202第66頁(yè)/共134頁(yè)第六十七頁(yè)，共134頁(yè)。求：測(cè)振儀中物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程及受迫振動(dòng)求：測(cè)振儀中物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程及受迫振動(dòng)(shu p zhn dn(shu p zhn dn) )規(guī)律。規(guī)律。已知：如圖為一測(cè)振儀的簡(jiǎn)圖，其中物塊質(zhì)量為已知：如圖為一測(cè)振儀的簡(jiǎn)圖，其中物塊質(zhì)量為m， 彈簧剛度系數(shù)彈簧剛度系數(shù)k，測(cè)振儀放在振動(dòng)物體表面，測(cè)振儀放在振動(dòng)物體表面

44、， 將隨物體而運(yùn)動(dòng)。設(shè)被測(cè)物體的振動(dòng)規(guī)律為將隨物體而運(yùn)動(dòng)。設(shè)被測(cè)物體的振動(dòng)規(guī)律為tessin第67頁(yè)/共134頁(yè)第六十八頁(yè)，共134頁(yè)。解：解：測(cè)振儀隨被測(cè)物而振動(dòng)，則其彈簧懸掛點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)測(cè)振儀隨被測(cè)物而振動(dòng)，則其彈簧懸掛點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)(yndng)(yndng)規(guī)律是規(guī)律是tessin取取t=0t=0時(shí)物塊的平衡位置為坐標(biāo)時(shí)物塊的平衡位置為坐標(biāo)(zubio)(zubio)原點(diǎn)原點(diǎn)O O取取x 軸如圖軸如圖sx st物塊絕對(duì)運(yùn)動(dòng)的微分方程物塊絕對(duì)運(yùn)動(dòng)的微分方程(wi fn fn(wi fn fn chn chn) )為為tkekxxmsin （a a）物塊的受迫振動(dòng)形式為物塊的受迫振動(dòng)形式為tbxsi

45、n此時(shí)激振力的力幅為此時(shí)激振力的力幅為H=ke第68頁(yè)/共134頁(yè)第六十九頁(yè)，共134頁(yè)。b b為物塊絕對(duì)運(yùn)動(dòng)的振幅為物塊絕對(duì)運(yùn)動(dòng)的振幅(zhnf)(zhnf)由于由于(yuy)(yuy)測(cè)振儀殼體也在運(yùn)動(dòng)，其振幅為測(cè)振儀殼體也在運(yùn)動(dòng)，其振幅為e e。記錄紙上畫(huà)出的振幅記錄紙上畫(huà)出的振幅(zhnf)(zhnf)為物塊相對(duì)于測(cè)振儀的振幅為物塊相對(duì)于測(cè)振儀的振幅(zhnf)(zhnf)eba20220220)(1)(emkehb當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)00b有有ea 記錄紙上畫(huà)出的振幅也就接近于被測(cè)物體的振幅。記錄紙上畫(huà)出的振幅也就接近于被測(cè)物體的振幅。第69頁(yè)/共134頁(yè)第七十頁(yè)，共134頁(yè)。選平衡位置選平衡

46、位置O O為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸鉛直為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸鉛直(qinzh)(qinzh)向下向下線(xiàn)性恢復(fù)力線(xiàn)性恢復(fù)力eFkxFe粘性阻尼力粘性阻尼力dFtxccFddd簡(jiǎn)諧激振力簡(jiǎn)諧激振力FtHFsin質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)(zhdin)運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程tHtxckxtxmsindddd22令令mk20mc2mHh thxtxtxsindd2dd2022有阻尼受迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式有阻尼受迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式第70頁(yè)/共134頁(yè)第七十一頁(yè)，共134頁(yè)。其解由兩部分其解由兩部分(b fen)(b fen)組成組成21xxx在欠阻尼在欠阻尼 的狀態(tài)下有的狀態(tài)下有)(02210esin()txAt)si

47、n(2tbxthxtxtxsindd2dd2022其中其中(qzhng)(qzhng)表示受迫振動(dòng)的相位角落后于激振力的相位角表示受迫振動(dòng)的相位角落后于激振力的相位角第71頁(yè)/共134頁(yè)第七十二頁(yè)，共134頁(yè)。)cos(sin)sin(cos)sin(sinthththth0)cos(sin2)sin(cos)(220thbthb對(duì)任意對(duì)任意(rny)(rny)瞬時(shí)瞬時(shí)t t，上式都必須是恒等式，上式都必須是恒等式0cos)(220hb0sin2hbthtbtbtbsin)sin()cos(2)sin(202第72頁(yè)/共134頁(yè)第七十三頁(yè)，共134頁(yè)。將上述將上述(shngsh)(shngsh

48、)兩方程聯(lián)立可解出兩方程聯(lián)立可解出2222204)(hb2202tan于是于是(ysh)(ysh)得方程的通解為得方程的通解為220esin()sin()txAtbt其中其中A A和和為積分為積分(jfn)(jfn)常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定。常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定。第73頁(yè)/共134頁(yè)第七十四頁(yè)，共134頁(yè)。受簡(jiǎn)諧振動(dòng)力受簡(jiǎn)諧振動(dòng)力(dngl)作用的受迫振動(dòng)仍然是諧振動(dòng)。作用的受迫振動(dòng)仍然是諧振動(dòng)。220esin()sin()txAtbt有阻尼有阻尼(zn)受迫振動(dòng)包括兩部分受迫振動(dòng)包括兩部分衰減衰減(shui jin)振動(dòng)振動(dòng)過(guò)渡過(guò)程過(guò)渡過(guò)程受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)過(guò)程穩(wěn)態(tài)過(guò)程振動(dòng)頻率激振

49、力的頻率振動(dòng)頻率激振力的頻率第74頁(yè)/共134頁(yè)第七十五頁(yè)，共134頁(yè)。振幅頻率關(guān)系振幅頻率關(guān)系(gun x)(gun x)曲線(xiàn)曲線(xiàn)橫軸表示頻率比橫軸表示頻率比0s縱軸表示振幅比縱軸表示振幅比0bb0crcc2222204)(hb影響振幅影響振幅(zhnf)(zhnf)的因素：激振力的力幅、頻率、的因素：激振力的力幅、頻率、m m、k k和和c c。第75頁(yè)/共134頁(yè)第七十六頁(yè)，共134頁(yè)。（1 1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)時(shí)0當(dāng)作無(wú)阻尼受迫振動(dòng)當(dāng)作無(wú)阻尼受迫振動(dòng)(shu p zhn dn(shu p zhn dn) )處理。處理。（2 2）當(dāng)）當(dāng)時(shí)) 1即(0s阻尼增大阻尼增大(zn(zn d) d)，

50、振幅下降。，振幅下降。20220212振幅振幅b b具有最大值具有最大值maxb這時(shí)的頻率這時(shí)的頻率(pnl)(pnl)稱(chēng)為共振頻率稱(chēng)為共振頻率(pnl)(pnl)。220max2hb20max12bb第76頁(yè)/共134頁(yè)第七十七頁(yè)，共134頁(yè)。在一般情況下在一般情況下阻尼比阻尼比1 共振頻率共振頻率0共振的振幅為共振的振幅為20maxbb（3 3）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)時(shí)0阻尼阻尼(zn)(zn)對(duì)受迫振動(dòng)的振幅影響也較小對(duì)受迫振動(dòng)的振幅影響也較小將系統(tǒng)當(dāng)作將系統(tǒng)當(dāng)作(dn(dn zu) zu)無(wú)阻尼系統(tǒng)處理無(wú)阻尼系統(tǒng)處理第77頁(yè)/共134頁(yè)第七十八頁(yè)，共134頁(yè)。有阻尼受迫振動(dòng)的相位角，總比激振力落后

51、有阻尼受迫振動(dòng)的相位角，總比激振力落后(lu hu)(lu hu)一個(gè)相一個(gè)相位角位角，稱(chēng)為相位差。稱(chēng)為相位差。相位差相位差隨激振力頻率隨激振力頻率(pnl)(pnl)變化曲線(xiàn)如圖變化曲線(xiàn)如圖)sin(2tbx2202tan第78頁(yè)/共134頁(yè)第七十九頁(yè)，共134頁(yè)。已知：如圖為一無(wú)重剛桿，其一端鉸支，距鉸支端已知：如圖為一無(wú)重剛桿，其一端鉸支，距鉸支端l l處有處有 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，距的質(zhì)點(diǎn)，距2l處有一阻尼器，其阻力系處有一阻尼器，其阻力系 數(shù)為數(shù)為c，距距3l處有一剛度系數(shù)為處有一剛度系數(shù)為k的彈簧。并作用一的彈簧。并作用一 簡(jiǎn)諧激振力簡(jiǎn)諧激振力 。剛桿在水平位置平衡。剛桿在水

52、平位置平衡。tFFsin0試列出系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程，試列出系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程，并求系統(tǒng)的固有頻率并求系統(tǒng)的固有頻率0以及當(dāng)激振力頻率以及當(dāng)激振力頻率等于等于 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的振幅。時(shí)質(zhì)點(diǎn)的振幅。0第79頁(yè)/共134頁(yè)第八十頁(yè)，共134頁(yè)。解：解：設(shè)剛桿擺角為設(shè)剛桿擺角為，振動(dòng)，振動(dòng)(zhndng)(zhndng)微分方程為微分方程為tlFklclmlsin3940222 tmlFmkmcsin3940 令令mlFhmcmk00329，0即系統(tǒng)的固有頻率。即系統(tǒng)的固有頻率。當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)0kmclFlcFhb44320000質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)(zhdin)(zhdin)的振幅的振幅kmcFlbB402222204)(

53、hb第80頁(yè)/共134頁(yè)第八十一頁(yè)，共134頁(yè)。使轉(zhuǎn)子發(fā)生激烈使轉(zhuǎn)子發(fā)生激烈(jli)(jli)振動(dòng)的特定轉(zhuǎn)速臨界轉(zhuǎn)速。振動(dòng)的特定轉(zhuǎn)速臨界轉(zhuǎn)速。單圓盤(pán)轉(zhuǎn)子：質(zhì)量單圓盤(pán)轉(zhuǎn)子：質(zhì)量m，質(zhì)心為質(zhì)心為C，圓盤(pán)與軸的交點(diǎn)為圓盤(pán)與軸的交點(diǎn)為A，偏心距為偏心距為eAC。圓盤(pán)角速度為圓盤(pán)角速度為 ，轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)軸彎曲偏離原來(lái)的固定軸線(xiàn)，點(diǎn)彎曲偏離原來(lái)的固定軸線(xiàn)，點(diǎn)O為為z軸與圓盤(pán)的交點(diǎn)，軸與圓盤(pán)的交點(diǎn)， 。 OArA設(shè)轉(zhuǎn)軸設(shè)轉(zhuǎn)軸(zhunzhu)(zhunzhu)安裝于圓盤(pán)的中點(diǎn)。安裝于圓盤(pán)的中點(diǎn)。圓盤(pán)慣性力：圓盤(pán)慣性力：OCmFI2彈性恢復(fù)力：彈性恢復(fù)力：AkrF 第81頁(yè)/共134頁(yè)第八十二頁(yè)，共134頁(yè)。0

54、mk2202erA)(22ermOCmkrAA22mkemrA使轉(zhuǎn)軸撓度異常增大的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度使轉(zhuǎn)軸撓度異常增大的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度臨界角速度臨界角速度。記為記為cr此時(shí)的轉(zhuǎn)速稱(chēng)為此時(shí)的轉(zhuǎn)速稱(chēng)為臨界轉(zhuǎn)速臨界轉(zhuǎn)速。記為記為crn第82頁(yè)/共134頁(yè)第八十三頁(yè)，共134頁(yè)。隔振分為主動(dòng)隔振分為主動(dòng)(zhdng)(zhdng)隔振和被動(dòng)隔振兩類(lèi)。隔振和被動(dòng)隔振兩類(lèi)。1.1.主動(dòng)主動(dòng)(zhdng)(zhdng)隔振隔振主動(dòng)主動(dòng)(zhdng)隔振是將振源與支持振源的基礎(chǔ)隔振是將振源與支持振源的基礎(chǔ)隔離開(kāi)來(lái)。隔離開(kāi)來(lái)。如圖所示為主動(dòng)隔振的簡(jiǎn)化模型。如圖所示為主動(dòng)隔振的簡(jiǎn)化模型。由振源產(chǎn)生的激振力由振源產(chǎn)生的激振力隔

55、振：隔振：將振源和需要防振的物體之間用彈性元件和阻尼將振源和需要防振的物體之間用彈性元件和阻尼 元件進(jìn)行隔離。元件進(jìn)行隔離。減振：減振：使振動(dòng)物體的振動(dòng)減弱的措施。使振動(dòng)物體的振動(dòng)減弱的措施。tHtFsin)(第83頁(yè)/共134頁(yè)第八十四頁(yè)，共134頁(yè)。按有阻尼受迫振動(dòng)按有阻尼受迫振動(dòng)(shu p zhn dn(shu p zhn dn) )的理論的理論物塊的振幅物塊的振幅(zhnf)(zhnf)為為222202222204)1 (4)(ssbhb彈簧變形彈簧變形(bin xng)(bin xng)而作用于基礎(chǔ)上的力而作用于基礎(chǔ)上的力)sin(etkbkxF通過(guò)阻尼元件作用于基礎(chǔ)的力通過(guò)阻尼元

56、件作用于基礎(chǔ)的力)cos(dtcbxcF這兩部分力相位差為這兩部分力相位差為9090, ,而頻率相同而頻率相同0s0crcckHhb200第84頁(yè)/共134頁(yè)第八十五頁(yè)，共134頁(yè)。它們可以合成為一個(gè)同頻率它們可以合成為一個(gè)同頻率(pnl)(pnl)的合力，合力的最大值為的合力，合力的最大值為222maxd2maxemaxN)()(cbkbFFF22maxN41skbF它與激振力的力幅它與激振力的力幅H之比為之比為222222maxN4)1 (41sssHF其中其中稱(chēng)為稱(chēng)為(chn(chn wi) wi)力的傳遞率力的傳遞率第85頁(yè)/共134頁(yè)第八十六頁(yè)，共134頁(yè)。在不同阻尼在不同阻尼(zn

57、)(zn)情況下傳遞率情況下傳遞率與頻率比與頻率比s s 之間的關(guān)系曲線(xiàn)之間的關(guān)系曲線(xiàn)第86頁(yè)/共134頁(yè)第八十七頁(yè)，共134頁(yè)。2.2.被動(dòng)被動(dòng)(bidng)(bidng)隔振隔振將需要防振的物體與振源隔開(kāi)稱(chēng)為將需要防振的物體與振源隔開(kāi)稱(chēng)為(chn wi)被動(dòng)隔振。被動(dòng)隔振。圖為被動(dòng)隔振的簡(jiǎn)化圖為被動(dòng)隔振的簡(jiǎn)化(jinhu)模型模型設(shè)地基振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)設(shè)地基振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)tdxsin1將引起擱置在其上物體的振動(dòng)，將引起擱置在其上物體的振動(dòng)，這種激振稱(chēng)為這種激振稱(chēng)為位移激振。位移激振。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為)()(11xxcxxkxm 第87頁(yè)/共134頁(yè)第八十八頁(yè)，共134頁(yè)。

58、11xckxkxxcxm 將將 的表達(dá)式代入的表達(dá)式代入1xtdctkdkxxcxmcossin )sin(tHkxxcxm 其中其中(qzhng)(qzhng)222ckdHkcarctan方程方程(fngchng)(fngchng)的特解（穩(wěn)態(tài)振動(dòng)）為的特解（穩(wěn)態(tài)振動(dòng)）為)sin(tbx第88頁(yè)/共134頁(yè)第八十九頁(yè)，共134頁(yè)。2222222)(cmkckdb寫(xiě)成綱量為寫(xiě)成綱量為1 1的形式的形式(xngsh)(xngsh)2222224)1 (41sssdb其中其中 是振動(dòng)物體的位移與地基激振動(dòng)位移之比是振動(dòng)物體的位移與地基激振動(dòng)位移之比稱(chēng)為稱(chēng)為(chn(chn wi) wi)位移的傳

59、遞率位移的傳遞率第89頁(yè)/共134頁(yè)第九十頁(yè)，共134頁(yè)。求：汽車(chē)以速度求：汽車(chē)以速度v=45km/hv=45km/h勻速前進(jìn)時(shí)，車(chē)體的垂勻速前進(jìn)時(shí)，車(chē)體的垂 直振幅直振幅(zhnf)(zhnf)為多少？汽車(chē)的臨界速度為多少？為多少？汽車(chē)的臨界速度為多少？已知：如圖為一汽車(chē)在波形路面行走的力學(xué)模型，已知：如圖為一汽車(chē)在波形路面行走的力學(xué)模型，其中幅度的其中幅度的d=25mm，波長(zhǎng)波長(zhǎng)l=5m，汽車(chē)質(zhì)汽車(chē)質(zhì)量為量為m=3000kg，彈簧剛度系數(shù)為彈簧剛度系數(shù)為k=294kN/m，忽略阻尼。忽略阻尼。路面的波形用公式路面的波形用公式 表示，表示，12sinydxl第90頁(yè)/共134頁(yè)第九十一頁(yè)，共

60、134頁(yè)。解：解：xvt122sinsinvydxdtll令令 則則2vltdysin1其中其中相當(dāng)于位移相當(dāng)于位移(wiy)(wiy)激振頻率激振頻率x以汽車(chē)起始以汽車(chē)起始(q sh)(q sh)位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，路面波形方程可以寫(xiě)為位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，路面波形方程可以寫(xiě)為22 12.5m/s5rad/s5mvl系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)(xtng)的固有頻率為的固有頻率為rad/s9 . 9kg30001000N/m2940mk第91頁(yè)/共134頁(yè)第九十二頁(yè)，共134頁(yè)。激振頻率激振頻率(pnl)(pnl)與固有頻率與固有頻率(pnl)(pnl)的頻率的頻率(pnl)(pnl)比為比為59. 19 .