一元二次不等式的解法教學(xué)案例

1、一元二次不等式的解法教學(xué)案例一、設(shè)計背景：一元二次不等式的解法是單招數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點之一。從內(nèi)容上看，二次不等式、二次方程與二次函數(shù)密不可分，該內(nèi)容涉及的知識點較多且應(yīng)用廣泛。從思想層次上看，它涉及到數(shù)形結(jié)合、分類轉(zhuǎn)化、方程函數(shù)等數(shù)學(xué)思想，這些內(nèi)容和思想將在中學(xué)數(shù)學(xué)中產(chǎn)生廣泛而深遠(yuǎn)的影響。一元二次不等式的解法是以后研究函數(shù)的定義域、值域等問題的最要工具，它可滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的幾乎所有領(lǐng)域中，對今后的學(xué)習(xí)起著十分重要的作用。新教材在處理上是下了一番功夫的，由本章第一節(jié)中探究題所得到的不等式抽象出一元二次不等式的概念，并介紹一元二次不等式解題的概念，接著利用數(shù)形結(jié)合，既通過觀察二次函數(shù)的圖像，使

2、學(xué)生知道：二次函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)一元二次方程的解，在x軸上方（下方）的函數(shù)圖像所對應(yīng)的自變量x的取值范圍，即為相應(yīng)一元二次不等式的解集。新教材的這種安排，既承前啟后，又分散了難點，符合認(rèn)知理論中的漸近性原則。職校學(xué)生基礎(chǔ)知識薄弱，差生面廣，缺乏學(xué)習(xí)的主動性，對抽象的內(nèi)容有恐懼厭倦的情緒，上課時注意力的集中時間較短。針對這些特點，在教學(xué)中應(yīng)以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)入手，體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)循序漸進(jìn)與啟發(fā)式的教學(xué)原則，我進(jìn)行了這樣的教法設(shè)計：在教師的引導(dǎo)下，創(chuàng)設(shè)情景，合理設(shè)問，充分利用好圖象的直觀性、發(fā)揮好多媒體教學(xué)的優(yōu)勢，引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納，本節(jié)課教學(xué)方法以

3、在多媒體輔助下的啟發(fā)式教學(xué)為主。 二、教學(xué)過程：1、課前熱身、小試身手請大家動手畫一畫下列二次函數(shù)的圖像。 【設(shè)計意圖】 前一節(jié)課中重新回顧了一元二次函數(shù)，并且對如何做出函數(shù)圖象（開口、對稱軸、與x軸的交點）做了說明。通過課前熱身練習(xí)既檢查了學(xué)生上節(jié)課知識學(xué)習(xí)的掌握程度又為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做了一個鏈接。2、復(fù)習(xí)引入，展示目標(biāo)設(shè)問1：我們在前一節(jié)學(xué)習(xí)了一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，你能求出一元二次函數(shù)y=x²-2x-3與x軸的交點嗎？啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生x軸上的點的特點是y坐標(biāo)為零，于是令y=0,即求得交點坐標(biāo)為（-1，0），（3，0），從而得出結(jié)論：一元二次函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)就是其對應(yīng)的一

4、元二次方程的根。其目的是進(jìn)一步復(fù)習(xí)鞏固二次函數(shù)圖像。追問1：你們能畫出這個二次函數(shù)的草圖嗎？啟發(fā)學(xué)生回憶二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，其開口方向由二次項系數(shù)決定，學(xué)生自我檢查自己動手畫出草圖是否正確。（然后由多媒體展示出電腦所畫出的標(biāo)準(zhǔn)圖形，讓學(xué)生觀察和比較）追問2：你們能在拋物線上找出縱坐標(biāo)y>o的點嗎？誘導(dǎo)學(xué)生縱坐標(biāo)取正值的點位于x軸的上方，取負(fù)值的點位于x軸的下方，從而得出正確答案。（這時用多媒體動畫展示結(jié)果）追問3:縱坐標(biāo)y>0的那些點所對應(yīng)的橫坐標(biāo)x取哪些數(shù)呢？ 誘導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：y>0 x<-1或x>3, 即x²-2x-3>0 x<

5、-1或x>3接著，以同樣的方法引導(dǎo)學(xué)生找出y<0的點所對應(yīng)的x的取值范圍。 y<0 -1<x<3 即x²-2x-3<0 -1<x<3(這時，用多媒體動畫展示出x的取值范圍)在以上一系列的設(shè)問、追問中水到渠成地揭開本課的課題，學(xué)生恍然大悟。此時教師已運(yùn)用多媒體的教學(xué)手段讓學(xué)生初步領(lǐng)略到圖象法解一元二次不等式的基本原理和基本步驟。3、啟發(fā)誘導(dǎo)，畫龍點睛例1解下列一元二次不等式： （1）x²-x-6>0 (2)x²-x-1<0 【設(shè)計意圖】：其一：設(shè)計例1的目的是讓學(xué)生掌握>0這一最常見類型，它又分為兩種

6、情況可用十字相乘法的情況和只能用求根公式法的情況。其二：引導(dǎo)學(xué)生畫圖時，抓住問題的本質(zhì)，可以將y軸省略不畫，使得圖象更利于觀察。以此培養(yǎng)學(xué)生從紛繁復(fù)雜的事物中洞察本質(zhì)的能力，并體會“去繁就簡，去粗取精”這一數(shù)學(xué)中的簡約美。引導(dǎo)學(xué)生觀察不等式的解集和方程的根之間的關(guān)系：得出“小于取中間，大于取兩邊”的口訣。讓學(xué)生在了解其來歷的基礎(chǔ)上真正理解口訣的意義，防止單一地教給學(xué)生這一“教條”，避免讓學(xué)生思維僵化，歸納出圖象法解一元二次不等式的基本步驟：求根畫圖找解，并戲稱“三步曲”。變式：-x²+3x+100【設(shè)計意圖】在講過了一元二次不等式的一般形式為ax²+bx+c>0或ax

7、²+bx+c<0,其中a>0的情況，若a<0時，只需在不等式的兩邊同乘以-1，把二次項系數(shù)變?yōu)檎谋憧?。? 解下列一元二次不等式：（1）2x²-4x+20 (2)-2x²+4x-2>0 【設(shè)計意圖】有例1作為基礎(chǔ)，再通過例2解決第二類型：=0時的解法。鼓勵學(xué)生仍按例1的步驟進(jìn)行，并啟發(fā)學(xué)生：當(dāng)方程有兩個相等實根時意味著拋物線與x軸只有一個交點，從而引導(dǎo)學(xué)生畫出正確的圖形，同時強(qiáng)調(diào)當(dāng)二次項系數(shù)為負(fù)時，需首先變?yōu)檎幚??！咀兪教釂枴浚耗銈兡芨鶕?jù)上圖找出不等式2x²-4x+2>0， -2x²+4x-20的解集嗎？鼓勵學(xué)

8、生大膽討論，仔細(xì)觀察圖象得出正確答案。（通過變式，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性，進(jìn)一步深化圖象法的基本要領(lǐng)。）例3 解下列一元二次不等式（1）2x²-4x+3>0 (2) 2x²-4x+30 【設(shè)計意圖】通過例3讓學(xué)生掌握<0類型的解法。誘導(dǎo)學(xué)生仍按“求根畫圖找解”三步曲進(jìn)行，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)根求不出來，從而得出<0，方程無根的結(jié)論。既然第一步受阻，第二步畫圖該怎么辦呢？新舊知識的碰撞在學(xué)生頭腦中產(chǎn)生了矛盾和沖突，學(xué)生存在有一定程度的焦慮，甚至得得解集為空集的錯誤結(jié)論。這正是教師抓住這一矛盾和焦慮感將本節(jié)課推到高潮的時機(jī)。這時，鼓勵學(xué)生按既定步驟進(jìn)行，并及時啟

9、發(fā)他們，方程無實數(shù)根意味著拋物線與x軸無交點。鼓勵學(xué)生畫出圖形，觀察結(jié)果，看看與自己最初的猜想是否一致。學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)（1）的解集為R，（2）的解集為。這樣既培養(yǎng)了學(xué)生大膽猜想，勇于探索的勇氣，又培養(yǎng)了學(xué)生勤于思考，尋根問底的科學(xué)精神，從而將圖象法解二次不等式推向高潮，使二次不等式的解法更加完備。4、形成檢測，反饋回授“PK時間到了!看看哪個小組最厲害！”請準(zhǔn)備解下列不等式：(1) (2)(3) (4)(5) 【設(shè)計意圖】抓住當(dāng)代學(xué)生自尊心強(qiáng)，有爭強(qiáng)好勝的特點，把學(xué)生分成四組，各做一，每題20分，共計100分，四個小組搞一個競賽，看哪一組同學(xué)完成的質(zhì)量最好。最后讓學(xué)生以舉手的方式讓老師了解各題完

10、成的情況，對完成得好的學(xué)生進(jìn)行表揚(yáng)，對完成得不太好的同學(xué)進(jìn)行鼓勵。再請這些同學(xué)到黑板上來演算，教師糾正普遍性問題，并對個別問題進(jìn)行個別指導(dǎo)。通過以上形式，讓全體學(xué)生都參與教學(xué)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用和教師主導(dǎo)地位，并以此培養(yǎng)學(xué)生的參與意識、集體意識和競爭意識。5、想想議議、得出小結(jié)提出問題：這節(jié)課你們學(xué)到了什么？教師鼓勵學(xué)生積極回答，答不完整的沒有關(guān)系，其它同學(xué)補(bǔ)充。以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力。并用多媒體把學(xué)生的歸納用一張表展示出來，告訴學(xué)生不必死記硬背，而是掌握其數(shù)形結(jié)合的基本原理和基本步驟。一元二次不等式與一元二次方程及一元二次函數(shù)的關(guān)系一元二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根有兩

11、實根有兩相等的實根無實根一元二次不等式的解集R不等式的解集解一元二次不等式的步驟：求根畫圖找解(告訴學(xué)生，在非常熟悉的情況下可省略第二步，但應(yīng)做到“心中有圖”)注意：當(dāng)二次系數(shù)為負(fù)時，首先化為正，因此拋物線的開口始終向上。思考：若二次項系數(shù)不變?yōu)檎?，畫圖找解該如何進(jìn)行？以此培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和批判性。6、動手動腦、自力更生（A）“餐后小甜點”1. 解下列不等式（1）3262（2）42410（3）2350（4）6220【設(shè)計意圖】其目的是進(jìn)一步鞏固一元二次不等式圖解法。(B)：“動動腦袋瓜，成功屬于你”2. m為何值時，二次方程x²+2(m-1)x+3m²-11=0有兩個不

12、相等的實數(shù)根？m為何值時，二次函數(shù)y=mx²-(1-m)x+m與x軸無交點？【設(shè)計意圖】通過這兩個B層次題進(jìn)一步突破二次函數(shù)、二次方程與二次不等式的關(guān)系這一教學(xué)難點。（C）：“挑戰(zhàn)吧，你準(zhǔn)行!”3.解關(guān)于x的不等式x²-2ax+1>0【設(shè)計意圖】出C層次題的目的是注意分層教學(xué)和因材施教，讓學(xué)有余力的學(xué)生有思考的空間。該題有意培養(yǎng)學(xué)生對含有參數(shù)的問題進(jìn)行分類討論的數(shù)學(xué)思想。三、教學(xué)反思 ：本節(jié)課是高一單招班第一學(xué)期的一節(jié)新授課。猛得看上去容量比較大，實際上在課前熱身練習(xí)中學(xué)生已經(jīng)把例題中相關(guān)的二次函數(shù)圖像畫出來了，學(xué)生只需要理解二次函數(shù)、二次方程、一元二次不等式三者的關(guān)

13、系，根據(jù)圖象法解一元二次不等式的基本步驟：“三步曲”求根畫圖找解。在問題的設(shè)置上，我針對學(xué)生對已熟悉的二次函數(shù)和方程的知識，并結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀了解的情況，本著讓學(xué)生掌握通法為第一原則，循序漸進(jìn)，酌情提高問題的難度，以提高學(xué)生的分析與解決問題的能力。我的目標(biāo)是學(xué)生會解一元二次不等式，之前先復(fù)習(xí)二次函數(shù)，因為它對解一元二次不等式具有重要作用。我想只有確?；A(chǔ)沒有問題了，提高才是可行、有效的。在講學(xué)稿中加入了人文關(guān)懷，營造寬松、愉悅的氛圍。首先在講學(xué)稿開頭加一些激勵的語言，如通過一節(jié)課的學(xué)習(xí)，老師想通過下面的一些題目了解你掌握的本領(lǐng)，相信你表現(xiàn)一定很出色，結(jié)尾加一些祝愿語：恭喜你又學(xué)到一項新本領(lǐng)，成功離你越來越近了。又如把“思考題”改為“挑戰(zhàn)吧，只要動動腦袋瓜，你準(zhǔn)行!”，學(xué)生通過默讀這些導(dǎo)語，能認(rèn)識自我，建立信心，使學(xué)習(xí)變得有情有味。新模式教育是以發(fā)展學(xué)生素質(zhì)為主的教育，強(qiáng)調(diào)在教學(xué)過程中使每個學(xué)生都得到發(fā)展，當(dāng)學(xué)生的個體差異受到重視時，他們才能學(xué)得最好。因此，從例題到作業(yè)的設(shè)計都考慮學(xué)生群體的個體差異，關(guān)注每一個學(xué)生；根據(jù)每個學(xué)生的認(rèn)知特點，設(shè)計不同層次的作業(yè)，編排時由易及難，層層遞進(jìn)。讓學(xué)生根據(jù)不同的需要選做，找到他們自己的“用武之地”。我的具體做法是：（1）對同一問題盡可能多角度設(shè)問。設(shè)問的梯度由易到難，使學(xué)生踏著階梯一步一步探索