第四章下冊哈工大理論力學

1、第四章第四章機械振動基礎(chǔ)機械振動基礎(chǔ)機械振動的特點：圍繞其平衡位置往復運動。機械振動的特點：圍繞其平衡位置往復運動。學習目的：利用有益的振動，減少有害的振動。學習目的：利用有益的振動，減少有害的振動。振動系統(tǒng)包括：單自由度系統(tǒng)、多自由度系統(tǒng)和連續(xù)體等。振動系統(tǒng)包括：單自由度系統(tǒng)、多自由度系統(tǒng)和連續(xù)體等。1.1.自由振動微分方程自由振動微分方程 4 41 1 單自由度系統(tǒng)的自由振動單自由度系統(tǒng)的自由振動 0l設(shè)彈簧原長為設(shè)彈簧原長為gmP在重力在重力 的作用下的作用下剛度系數(shù)為剛度系數(shù)為kst彈簧的變形為彈簧的變形為這一位置為平衡位置這一位置為平衡位置稱為靜變形稱為靜變形st/P k取重物的平衡

2、位置點取重物的平衡位置點O為坐標原點為坐標原點st()Fkkx 其運動微分方程為其運動微分方程為取取x 軸的正向鉛直向下軸的正向鉛直向下則則2st2d()dxmPkxtkxtxm22ddst/P k上式表明：上式表明： 物體偏離平衡位置于坐標物體偏離平衡位置于坐標x處將受到與偏離距離成正處將受到與偏離距離成正比而與偏離方向相反的合力比而與偏離方向相反的合力恢復力恢復力只在恢復力作用下維持的振動稱為只在恢復力作用下維持的振動稱為無阻尼自由振動無阻尼自由振動mk200dd2022xtx無阻尼自由振動微分方程的標準形式無阻尼自由振動微分方程的標準形式kxtxm22dd其解具有如下形式其解具有如下形式

3、rtex 其中其中r r為待定常數(shù)為待定常數(shù)本征方程本征方程0202r本征方程的兩個根為本征方程的兩個根為0201iirr1r和和2r是兩個共軛虛根是兩個共軛虛根微分方程的解為微分方程的解為tCtCx0201sincos其中其中 和和 是積分常數(shù)，是積分常數(shù)，1C2C由運動的起始條件確定由運動的起始條件確定令：令：212221tanCCCCA)sin(0tAx無阻尼自由振動是簡諧振動無阻尼自由振動是簡諧振動2.2.無阻尼自由振動的特點無阻尼自由振動的特點（1 1）固有頻率）固有頻率周期振動周期振動若運動規(guī)律若運動規(guī)律x( t ) 可以寫為可以寫為)()(TtxtxT T為常數(shù)為常數(shù)周期周期由式

4、由式)sin(0tAx00()()2tTt自由振動的周期為自由振動的周期為02T0122 fT其中其中 振動的振動的頻率頻率，表示每秒鐘的振動次數(shù)。，表示每秒鐘的振動次數(shù)。Tf1由式由式mk20mk0只與表征系統(tǒng)本身特性的質(zhì)量只與表征系統(tǒng)本身特性的質(zhì)量m和剛度和剛度k有關(guān)有關(guān)而與運動的初始條件無關(guān)而與運動的初始條件無關(guān)它是振動系統(tǒng)固有的特性它是振動系統(tǒng)固有的特性所以稱為所以稱為固有角（圓）頻率（一般也稱固有頻率）固有角（圓）頻率（一般也稱固有頻率）0m=P/gst/kP0stgmk0（2 2）振幅與初相角）振幅與初相角A A表示相對于振動中心點表示相對于振動中心點O O的最大位移的最大位移 振

5、幅振幅相位（或相位角）相位（或相位角）)(0t表示質(zhì)點在某瞬時表示質(zhì)點在某瞬時t t 的位置的位置而而表示質(zhì)點運動的起始位置表示質(zhì)點運動的起始位置初相角初相角設(shè)設(shè)t= t= 0 0 時，時，0 xx 0)cos(dd00tAtx)sin(0tAx)sin(0tAx000202020tanxxA3.3.彈簧的并聯(lián)與串聯(lián)彈簧的并聯(lián)與串聯(lián)（1 1）彈簧并聯(lián)）彈簧并聯(lián)st11kF st22kF 在平衡時有在平衡時有st2121)(kkFFmg令令eqk等效彈簧剛度系數(shù)等效彈簧剛度系數(shù)steqkmg 21eqkkkeqst/kmg固有頻率固有頻率mkkmk21eq0 當兩個彈簧并聯(lián)時，其等效彈簧剛度系數(shù)

6、等于兩個當兩個彈簧并聯(lián)時，其等效彈簧剛度系數(shù)等于兩個彈簧剛度系數(shù)的和。彈簧剛度系數(shù)的和。這個結(jié)論也可以推廣到多個彈簧并聯(lián)的情形。這個結(jié)論也可以推廣到多個彈簧并聯(lián)的情形。（2 2）彈簧串聯(lián)）彈簧串聯(lián)1st1kmg22stkmg兩個彈簧總的靜伸長兩個彈簧總的靜伸長)11(212st1ststkkmg若設(shè)串聯(lián)彈簧系統(tǒng)的等效彈簧剛度系數(shù)為若設(shè)串聯(lián)彈簧系統(tǒng)的等效彈簧剛度系數(shù)為eqk則有則有eqst/kmg比較上面兩式得比較上面兩式得21eq111kkk2121eqkkkkk固有頻率為固有頻率為)(2121eq0kkmkkmk當兩個彈簧串聯(lián)時，其等效彈簧剛度系數(shù)的倒數(shù)當兩個彈簧串聯(lián)時，其等效彈簧剛度系數(shù)的

7、倒數(shù)等于兩個彈簧剛度系數(shù)倒數(shù)的和。等于兩個彈簧剛度系數(shù)倒數(shù)的和。這一結(jié)論也可以推廣到多個彈簧串聯(lián)的情形這一結(jié)論也可以推廣到多個彈簧串聯(lián)的情形4.4.其他類型的單自由振動系統(tǒng)其他類型的單自由振動系統(tǒng)圖為一扭振系統(tǒng)圖為一扭振系統(tǒng)運動微分方程為運動微分方程為tOktJ22dd令令OtJk20則上式可變?yōu)閯t上式可變?yōu)?dd2022t例例 4 41 1已知：質(zhì)量為已知：質(zhì)量為m0.5kg0.5kg的物體沿光滑斜面無初速度滑下。的物體沿光滑斜面無初速度滑下。當物塊下落高度當物塊下落高度h=0.1m=0.1m時，撞于無質(zhì)量的彈簧上，時，撞于無質(zhì)量的彈簧上，并與彈簧不再分離，彈簧剛度系數(shù)并與彈簧不再分離，彈簧

8、剛度系數(shù)k k=0.8kN/m=0.8kN/m。傾角傾角 30求：此系統(tǒng)振動的固有頻率和振幅并給出物塊的運動方程。求：此系統(tǒng)振動的固有頻率和振幅并給出物塊的運動方程。解：解：若物塊平衡時，若物塊平衡時，彈簧應有變形量彈簧應有變形量kmgsin0以物塊平衡位置以物塊平衡位置O為原點，為原點，取取x軸如圖，運動微分方程為軸如圖，運動微分方程為)(sindd022xkmgtxmkxtxm22dd通解為通解為)sin(0tAx固有頻率固有頻率00.8N/m 100040rad/s0.5kgkm當物塊碰上彈簧時，取時間當物塊碰上彈簧時，取時間t=0，作為振動的起點，作為振動的起點m1006. 31000

9、N/m8 . 030sinm/s8 . 9kg5 . 03200 x2022 9.8m/s0.1m1.4m/svgh22002035.1vAxmm000arctan0.087radxv 運動方程為運動方程為mm)087. 040sin(1 .35tx例例 4 42 2已知：如圖所示無重彈性梁，當中部放置質(zhì)量已知：如圖所示無重彈性梁，當中部放置質(zhì)量m的物塊時，的物塊時，其靜撓度為其靜撓度為2mm，若將此物塊在梁未變形位置處若將此物塊在梁未變形位置處無初速釋放。無初速釋放。求：系統(tǒng)的振動規(guī)律。求：系統(tǒng)的振動規(guī)律。解：解：此無重彈性梁相當于一彈簧此無重彈性梁相當于一彈簧, ,其靜撓度相當于彈簧的靜伸

10、長其靜撓度相當于彈簧的靜伸長則梁的剛度系數(shù)為則梁的剛度系數(shù)為stmgk 取其平衡位置為坐標原點取其平衡位置為坐標原點, ,x軸方向鉛直向下軸方向鉛直向下運動微分方程為運動微分方程為kxxkmgtxm)(ddst22設(shè)設(shè)mk200dd2022xtx)sin(0tAx固有頻率固有頻率rad/s70st0gmk在初瞬時在初瞬時t=0，物塊位于未變形的梁上物塊位于未變形的梁上其坐標其坐標mm2st0 x重物初速度重物初速度00則振幅為則振幅為2200202vAx mm初相角初相角000arctanarctan()2xv 最后得系統(tǒng)的自由振動規(guī)律為最后得系統(tǒng)的自由振動規(guī)律為mm)70cos(2tx例例

11、4 43 3已知：圖為一擺振系統(tǒng)，桿重不計球質(zhì)量為已知：圖為一擺振系統(tǒng)，桿重不計球質(zhì)量為m。擺對軸擺對軸O 的轉(zhuǎn)動慣量為的轉(zhuǎn)動慣量為J，彈簧剛度系數(shù)為彈簧剛度系數(shù)為k。桿于水平位置桿于水平位置 平衡。平衡。求：此系統(tǒng)微小振動的運動微分方程及振動固有頻率。求：此系統(tǒng)微小振動的運動微分方程及振動固有頻率。解：解：擺于水平平衡處，擺于水平平衡處，彈簧已有壓縮量彈簧已有壓縮量0由平衡方程由平衡方程0)(iOFMdkmgl0以平衡位置為原點，以平衡位置為原點， 擺繞軸擺繞軸O的轉(zhuǎn)動微分方程為的轉(zhuǎn)動微分方程為ddkmgltJ)(dd022222ddkdtJJkd0例例 4 44 4已知：如圖所示兩個相同的

12、塔輪，相嚙合的齒輪半徑已知：如圖所示兩個相同的塔輪，相嚙合的齒輪半徑 皆為皆為R，半徑為半徑為r的鼓輪上繞有細繩。輪的鼓輪上繞有細繩。輪I連一鉛連一鉛 直彈簧，輪直彈簧，輪II掛一重物，塔輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量皆掛一重物，塔輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量皆 為為J，彈簧剛度系數(shù)為彈簧剛度系數(shù)為k，重物質(zhì)量為重物質(zhì)量為m。求：此系統(tǒng)振動的固有頻率。求：此系統(tǒng)振動的固有頻率。解：解：以系統(tǒng)平衡時重物的位置為原點，取以系統(tǒng)平衡時重物的位置為原點，取x軸如圖。軸如圖。22)(21221rxJxmT系統(tǒng)的勢能為系統(tǒng)的勢能為221kxV 不計摩擦，不計摩擦，由系統(tǒng)的機械能守恒由系統(tǒng)的機械能守恒22222121kxxrJxmV

13、T常數(shù)常數(shù)系統(tǒng)動能為系統(tǒng)動能為上式兩端對時間取一階導數(shù)，得上式兩端對時間取一階導數(shù)，得0)2(2xkxxxrJm 0)2(2kxxrJm 自由振動微分方程自由振動微分方程系統(tǒng)的固有頻率為系統(tǒng)的固有頻率為Jmrkr2220如圖所示無阻尼振動系統(tǒng)如圖所示無阻尼振動系統(tǒng)當系統(tǒng)作自由振動時，運動規(guī)律為當系統(tǒng)作自由振動時，運動規(guī)律為)sin(0tAx速度為速度為00cos()xvAttdd在瞬時在瞬時t t 物塊的動能為物塊的動能為22220011cos ()22TmvmAt 4 42 2 計算固有頻率的能量法計算固有頻率的能量法 若選平衡位置為零勢能點，有若選平衡位置為零勢能點，有PxxkV)(212

14、st2stPkst)(sin21210222tkAkxV 對于有重力影響的彈性系統(tǒng)，如果以平對于有重力影響的彈性系統(tǒng)，如果以平衡位置為零勢能位置，則重力勢能與彈性力衡位置為零勢能位置，則重力勢能與彈性力勢能之和，相當于由平衡位置處計算變形的勢能之和，相當于由平衡位置處計算變形的單獨彈性力的勢能。單獨彈性力的勢能。當物體處于平衡位置（振動中心）時，物塊具有最大動能當物體處于平衡位置（振動中心）時，物塊具有最大動能220max21AmT當物塊處于偏離振動中心的極端位置時，系統(tǒng)具有最大勢能當物塊處于偏離振動中心的極端位置時，系統(tǒng)具有最大勢能2max21kAV由機械守恒定律由機械守恒定律maxmaxV

15、T可得系統(tǒng)的固有頻率可得系統(tǒng)的固有頻率mk /0例例 4 45 5求：系統(tǒng)作微振動時的固有頻率。求：系統(tǒng)作微振動時的固有頻率。已知：如圖振動系統(tǒng)中，擺桿已知：如圖振動系統(tǒng)中，擺桿OA對鉸鏈點對鉸鏈點O的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量J，桿的點桿的點A和和B各安置一個彈簧，剛度系數(shù)分別為各安置一個彈簧，剛度系數(shù)分別為 和和 。系統(tǒng)在水平位置處于平衡。系統(tǒng)在水平位置處于平衡。1k2k解：解：)sin(0t系統(tǒng)振動時擺桿的最大角速度系統(tǒng)振動時擺桿的最大角速度0max系統(tǒng)的最大動能為系統(tǒng)的最大動能為220max21JT選擇平衡位置為零勢能點選擇平衡位置為零勢能點最大勢能為最大勢能為222212221max)(21

16、)(21)(21dklkdklkV即即22221220)(2121dklkJ解得固有頻率解得固有頻率Jdklk22210由機械能守恒定律有由機械能守恒定律有maxmaxVT例例 4 46 6求：圓柱體在平衡位置附近作微小振動的固有頻率。求：圓柱體在平衡位置附近作微小振動的固有頻率。已知：如圖表示一質(zhì)量為已知：如圖表示一質(zhì)量為m，半徑為半徑為r的圓柱體，的圓柱體，在一半徑為在一半徑為R的圓弧槽上作無滑動的滾動。的圓弧槽上作無滑動的滾動。解：解：1()OvRrrrR/)(系統(tǒng)的動能為系統(tǒng)的動能為1122222221111()() ()222223()4OOmrRrTmvJm RrrmRr系統(tǒng)的勢能

17、為系統(tǒng)的勢能為2sin)(2)cos1)(2rRmgrRmgV當圓柱體作微振動時，當圓柱體作微振動時， 可認為可認為22sin2)(21rRmgV設(shè)系統(tǒng)作自由振動時設(shè)系統(tǒng)作自由振動時的變化規(guī)律為的變化規(guī)律為)sin(0tA則系統(tǒng)的最大動能則系統(tǒng)的最大動能2202max)(43ArRmT系統(tǒng)的最大勢能系統(tǒng)的最大勢能2max)(21ArRmgV由機械守恒定律由機械守恒定律有有maxmaxVT解得系統(tǒng)的固有頻率為解得系統(tǒng)的固有頻率為)(320rRg1.1.阻尼阻尼 43 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動 阻尼阻尼振動過程中的阻力。振動過程中的阻力。粘性阻尼粘性阻尼當振動速度不大時，由于介質(zhì)粘性引起的阻當

18、振動速度不大時，由于介質(zhì)粘性引起的阻 力近似地與速度的一次方成正比。力近似地與速度的一次方成正比。dFcv 其中：其中：c c粘性阻力系數(shù)粘性阻力系數(shù)（簡稱為（簡稱為阻力系數(shù)阻力系數(shù)）以阻尼元件以阻尼元件c c表示。表示。一般的機械振動系統(tǒng)一般的機械振動系統(tǒng)彈性元件（彈性元件（k）慣性元件（慣性元件（m）阻尼元件（阻尼元件（c）2.2.振動微分方程振動微分方程如以平衡位置為坐標原點，如以平衡位置為坐標原點，在建立此系統(tǒng)的振動微分在建立此系統(tǒng)的振動微分方程時可以不再計入重力方程時可以不再計入重力的作用。的作用。在振動過程中作用在物塊上的力有在振動過程中作用在物塊上的力有（1 1）恢復力）恢復力e

19、FkxFe（2 2）粘性阻尼力）粘性阻尼力dFtxccFxddd物塊的運動微分方程為物塊的運動微分方程為txckxtxmdddd22令令mk20mc2固有角（圓）頻率固有角（圓）頻率0 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)0dd2dd2022xtxtx有阻尼自由振動微分方程的標準形式有阻尼自由振動微分方程的標準形式其解可設(shè)為其解可設(shè)為rtex 本征方程本征方程02202rr方程的兩個根為方程的兩個根為2021r2022r通解為通解為trt reCeCx21213.3.欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)0mkc2欠阻尼狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)本方程的兩個根為共軛復數(shù)本方程的兩個根為共軛復數(shù)2201ir2202ir220esin()txAt

20、esin()txAtd其中其中A A和和為兩個積分常數(shù)，由運動的初始條件確定。為兩個積分常數(shù)，由運動的初始條件確定。有阻尼自由振動的固有角頻率有阻尼自由振動的固有角頻率220d令令設(shè)設(shè)t t=0=0，,0 xx 022000220()vxAx002200tanxx振動的振幅是隨時間不斷衰減的，稱為振動的振幅是隨時間不斷衰減的，稱為衰減振動衰減振動。是否為周期振動呢？是否為周期振動呢？仍具有振動的特點。仍具有振動的特點。定義：質(zhì)點從一個最大偏離位置到下一個最大偏離位置定義：質(zhì)點從一個最大偏離位置到下一個最大偏離位置所需要的時間稱為衰減振動的所需要的時間稱為衰減振動的周期周期， 記為記為dT220

21、22Tdd令令220002211 ()Tdmkc20稱為稱為阻尼比阻尼比2d1TT2d1 ff20d1設(shè)在某瞬時設(shè)在某瞬時t t，振動達到的最大偏離值為振動達到的最大偏離值為A A，eitiAA經(jīng)過一個周期經(jīng)過一個周期 后后dT()1eitTiAAddd()1eeeiitTitTiAAAA減縮因數(shù)減縮因數(shù)相當相當振幅振幅esin()txAtd對數(shù)減縮，對數(shù)減縮，反映阻尼的參數(shù)。反映阻尼的參數(shù)。d212ln21iiATA4.4.臨界阻尼臨界阻尼) 1 (0臨界阻尼狀態(tài)臨界阻尼狀態(tài)crc臨界阻力系數(shù)臨界阻力系數(shù)mkc2cr本征方程的根為兩個相等的實根本征方程的根為兩個相等的實根1r2r微分方程的解

22、為微分方程的解為12e()txCC t是否具有振動的特點？是否具有振動的特點？其中其中 和和 為兩個積分常數(shù)，為兩個積分常數(shù)，1C2C由運動的起始條件決定。由運動的起始條件決定。物體的運動是隨時間的增長而無限地趨向平衡位置物體的運動是隨時間的增長而無限地趨向平衡位置因此運動已不具有振動的特點因此運動已不具有振動的特點) 1 (0過阻尼狀態(tài)過阻尼狀態(tài)阻力系數(shù)阻力系數(shù)crcc 本征方程的根為兩個不等的實根本征方程的根為兩個不等的實根2021r2022r微分方程的解為微分方程的解為22220012e(ee)tttxCC5.5.過阻尼狀態(tài)過阻尼狀態(tài)其中其中 和和 為兩個積分常數(shù)，為兩個積分常數(shù)，1C2

23、C由運動起始條件來確定由運動起始條件來確定運動圖線如圖運動圖線如圖不具有振動性質(zhì)不具有振動性質(zhì)例例 4 47 7已知：如圖為一彈性桿支持的圓盤，彈性桿扭轉(zhuǎn)剛度系已知：如圖為一彈性桿支持的圓盤，彈性桿扭轉(zhuǎn)剛度系 數(shù)為數(shù)為kt t，圓盤對桿軸的轉(zhuǎn)動慣量圓盤對桿軸的轉(zhuǎn)動慣量J，如圓盤外緣受如圓盤外緣受 到與轉(zhuǎn)動速度成正比的切向阻力，而圓盤衰減扭到與轉(zhuǎn)動速度成正比的切向阻力，而圓盤衰減扭 振的周期為振的周期為 。dT求：圓盤所受阻力偶矩與轉(zhuǎn)動角速度的關(guān)系求：圓盤所受阻力偶矩與轉(zhuǎn)動角速度的關(guān)系解：解：設(shè)設(shè)M為阻力偶系數(shù)為阻力偶系數(shù)圓盤繞桿軸轉(zhuǎn)動微分方程為圓盤繞桿軸轉(zhuǎn)動微分方程為tJk t0kJJd2t2

24、()2TkJJ222dd24tT k JJT例例 4 48 8求：系統(tǒng)的臨界阻力系數(shù)和阻力系數(shù)各為多少。求：系統(tǒng)的臨界阻力系數(shù)和阻力系數(shù)各為多少。已知：如圖彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)，其物體質(zhì)量為已知：如圖彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)，其物體質(zhì)量為0.05kg， 彈簧剛度系數(shù)彈簧剛度系數(shù)k=2000N/m。使系統(tǒng)發(fā)生自由振使系統(tǒng)發(fā)生自由振 動，測得其相鄰兩個振幅比動，測得其相鄰兩個振幅比 。981001iiAA解：解：對數(shù)減縮為對數(shù)減縮為0202. 098100lnln1iiAA阻尼比為阻尼比為0.0032152系統(tǒng)的臨界阻力系數(shù)為系統(tǒng)的臨界阻力系數(shù)為s/mN20N/m2000kg05. 022crmkc阻力系數(shù)阻

25、力系數(shù)s/mN0643. 0cr cc 4 44 4 單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動 在外加激振力作用下的振動稱為在外加激振力作用下的振動稱為受迫振動。受迫振動。簡諧激振力是一種典型的周期變化的激振力簡諧激振力是一種典型的周期變化的激振力)sin(tHF其中：其中：H稱為激振力的力幅，即激振力的最大值；稱為激振力的力幅，即激振力的最大值；是激振力的角頻率；是激振力的角頻率；是激振力的初相角；是激振力的初相角；1.1.振動微分方程振動微分方程恢復力恢復力kxFe質(zhì)點的運動微分方程為質(zhì)點的運動微分方程為)sin(dd22tHkxtxmmHhmk，20)sin(dd2022

26、thxtx取物塊的平衡位置為坐標原點，取物塊的平衡位置為坐標原點，x軸向下為正。軸向下為正。令令齊次方程的通解為齊次方程的通解為)sin(01tAx設(shè)特解有如下形式設(shè)特解有如下形式)sin(2tbx其中其中b b為待定常數(shù)為待定常數(shù)將將 代入方程代入方程2x)sin()sin()sin(202thtbtb220hb全解為全解為)sin()sin(2200thtAx)sin(dd2022thxtx上式表明上式表明無阻尼受迫振動是由兩個諧振動合成的。無阻尼受迫振動是由兩個諧振動合成的。第一部分是頻率為固有頻率的自由振動第一部分是頻率為固有頻率的自由振動第二部分是頻率為激振力頻率的振動第二部分是頻率

27、為激振力頻率的振動受迫振動受迫振動)sin(01tAx)sin(2202thx2.2.受迫振動的振幅受迫振動的振幅（1 1）若）若0即激振力為一恒力，即激振力為一恒力，此時并不振動此時并不振動所謂的振幅所謂的振幅 實為靜力實為靜力H 作用下的靜變形作用下的靜變形0bkHhb200220hb（2 2）若）若00振幅振幅b b 隨著頻率隨著頻率單調(diào)上升單調(diào)上升當當接近接近 時，時，0振幅振幅b b 將趨于無窮大。將趨于無窮大。（3 3）若）若0b b為負值為負值b b取其絕對值，取其絕對值，而視受迫振動而視受迫振動 ，與激振力反向，與激振力反向2x隨著激振力頻率隨著激振力頻率增大，振幅增大，振幅b

28、 b 減小。減小。當當趨于趨于，振幅振幅b b 趨于零。趨于零。220hb)sin(2202thx振幅振幅b b與激振力頻率與激振力頻率之間的關(guān)系曲線稱為之間的關(guān)系曲線稱為振幅頻率曲線振幅頻率曲線，又稱為又稱為共振曲線共振曲線。將縱軸取為將縱軸取為0bb橫軸取為橫軸取為0振幅頻率曲線如圖所示振幅頻率曲線如圖所示3.3.共振現(xiàn)象共振現(xiàn)象當當 時，即激振力頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時，時，即激振力頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時，振幅振幅b b在理論上應趨向無窮大，這種現(xiàn)象稱為在理論上應趨向無窮大，這種現(xiàn)象稱為共振共振。0當當 時時0沒有意義沒有意義微分方程式的特解應具有下面的形式微分方程式的特解應具有下面的

29、形式)cos(02tBtx02/hB220hb代入代入)sin(dd2022thxtx當當 時，系統(tǒng)共振。時，系統(tǒng)共振。0受迫振動的振幅隨時間無限地增大。受迫振動的振幅隨時間無限地增大。其運動圖線如圖所示其運動圖線如圖所示它的幅值為它的幅值為thb02)cos(2002tthx共振時受迫振動的運動規(guī)律為共振時受迫振動的運動規(guī)律為例例 4 49 9已知：如圖長為已知：如圖長為l無重杠桿無重杠桿OA，其一端其一端O 鉸支，另一端鉸支，另一端A水水 平懸掛在剛度系數(shù)為平懸掛在剛度系數(shù)為k的彈簧上，桿的中點裝有一質(zhì)的彈簧上，桿的中點裝有一質(zhì) 量為量為m的小球，若在點的小球，若在點A A 加一激振力加一

30、激振力 ， 其中激振力的頻率其中激振力的頻率 ， tFFsin00210為系統(tǒng)的固有頻率為系統(tǒng)的固有頻率忽略阻尼。忽略阻尼。求：系統(tǒng)的受迫振動規(guī)律。求：系統(tǒng)的受迫振動規(guī)律。 解：解：設(shè)任一瞬時剛桿的擺角為設(shè)任一瞬時剛桿的擺角為系統(tǒng)的運動微分方程為系統(tǒng)的運動微分方程為tlFklmsin)21(022 令令mklmkl4)2(2220mlFlmlFh0204)2(thsin20 可得上述方程的特解，即受迫振動為可得上述方程的特解，即受迫振動為thsin220將將 代入上式代入上式021tklFtmkmlFthsin34sin4434sin430020例例 4 41010求：當電機以勻速角速度求：當

31、電機以勻速角速度旋轉(zhuǎn)時，系統(tǒng)的受迫振動規(guī)律。旋轉(zhuǎn)時，系統(tǒng)的受迫振動規(guī)律。已知：如圖表示帶有偏心塊的電動機，固定在一根彈性梁上，已知：如圖表示帶有偏心塊的電動機，固定在一根彈性梁上， 設(shè)電機的質(zhì)量為設(shè)電機的質(zhì)量為 ，偏心矩為偏心矩為e e， 彈性梁的剛度系數(shù)為彈性梁的剛度系數(shù)為k k。1m偏心塊的質(zhì)量為偏心塊的質(zhì)量為2m解：解：質(zhì)點系動量定理的微分方程質(zhì)點系動量定理的微分方程kxmtixi)(ddkxtextmtxmt)sin(dddddd21質(zhì)點系包括電機和偏心塊。質(zhì)點系包括電機和偏心塊。以平衡位置為坐標原點，以平衡位置為坐標原點，電機軸心的坐標為電機軸心的坐標為x。受迫振動振幅受迫振動振幅2

32、2122220)(mmkemhb上述振幅表達式表示的振幅頻率曲線如圖所示上述振幅表達式表示的振幅頻率曲線如圖所示微分方程微分方程temkxxmmsin)(2221 令令22emH 2122mmemhtmmkemthxsin)(sin221222202例例 4 41111求：測振儀中物塊的運動微分方程及受迫振動規(guī)律。求：測振儀中物塊的運動微分方程及受迫振動規(guī)律。已知：如圖為一測振儀的簡圖，其中物塊質(zhì)量為已知：如圖為一測振儀的簡圖，其中物塊質(zhì)量為m， 彈簧剛度系數(shù)彈簧剛度系數(shù)k，測振儀放在振動物體表面，測振儀放在振動物體表面， 將隨物體而運動。設(shè)被測物體的振動規(guī)律為將隨物體而運動。設(shè)被測物體的振動

33、規(guī)律為tessin解：解：測振儀隨被測物而振動，則其彈簧懸掛點的運動規(guī)律是測振儀隨被測物而振動，則其彈簧懸掛點的運動規(guī)律是tessin取取t t=0=0時物塊的平衡位置為坐標原點時物塊的平衡位置為坐標原點O取取x 軸如圖軸如圖sx st物塊絕對運動的微分方程為物塊絕對運動的微分方程為tkekxxmsin （a a）物塊的受迫振動形式為物塊的受迫振動形式為tbxsin此時激振力的力幅為此時激振力的力幅為H=keb b為物塊絕對運動的振幅為物塊絕對運動的振幅由于測振儀殼體也在運動，其振幅為由于測振儀殼體也在運動，其振幅為e e。記錄紙上畫出的振幅為物塊相對于測振儀的振幅記錄紙上畫出的振幅為物塊相對

34、于測振儀的振幅eba20220220)(1)(emkehb當當 時時00b有有ea 記錄紙上畫出的振幅也就接近于被測物體的振幅。記錄紙上畫出的振幅也就接近于被測物體的振幅。 4 45 5 單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動選平衡位置選平衡位置O為坐標原點，坐標軸鉛直向下為坐標原點，坐標軸鉛直向下線性恢復力線性恢復力eFkxFe粘性阻尼力粘性阻尼力dFtxccFddd簡諧激振力簡諧激振力FtHFsin質(zhì)點運動微分方程質(zhì)點運動微分方程tHtxckxtxmsindddd22令令mk20mc2mHh thxtxtxsindd2dd2022有阻尼受迫振動微分方程的標準形式有阻尼受迫

35、振動微分方程的標準形式其解由兩部分組成其解由兩部分組成21xxx在欠阻尼在欠阻尼 的狀態(tài)下有的狀態(tài)下有)(02210esin()txAt)sin(2tbxthxtxtxsindd2dd2022其中其中表示受迫振動的相位角落后于激振力的相位角表示受迫振動的相位角落后于激振力的相位角)cos(sin)sin(cos)sin(sinthththth0)cos(sin2)sin(cos)(220thbthb對任意瞬時對任意瞬時t t，上式都必須是恒等式上式都必須是恒等式0cos)(220hb0sin2hbthtbtbtbsin)sin()cos(2)sin(202將上述兩方程聯(lián)立可解出將上述兩方程聯(lián)立

36、可解出2222204)(hb2202tan于是得方程的通解為于是得方程的通解為220esin()sin()txAtbt其中其中A A和和為積分常數(shù)，由運動的初始條件確定。為積分常數(shù)，由運動的初始條件確定。受簡諧振動力作用的受迫振動仍然是諧振動。受簡諧振動力作用的受迫振動仍然是諧振動。220esin()sin()txAtbt有阻尼受迫振動包括兩部分有阻尼受迫振動包括兩部分衰減振動衰減振動過渡過程過渡過程受迫振動受迫振動穩(wěn)態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程振動頻率激振力的頻率振動頻率激振力的頻率振幅頻率關(guān)系曲線振幅頻率關(guān)系曲線橫軸表示頻率比橫軸表示頻率比0s縱軸表示振幅比縱軸表示振幅比0bb0crcc2222204)

37、(hb影響振幅的因素：激振力的力幅、頻率、影響振幅的因素：激振力的力幅、頻率、m m、k k和和c c。（1 1）當）當 時時0當作無阻尼受迫振動處理。當作無阻尼受迫振動處理。（2 2）當）當時) 1即(0s阻尼增大，振幅下降。阻尼增大，振幅下降。20220212振幅振幅b b具有最大值具有最大值maxb這時的頻率稱為這時的頻率稱為共振頻率。共振頻率。220max2hb20max12bb在一般情況下在一般情況下 阻尼比阻尼比1 共振頻率共振頻率0共振的振幅為共振的振幅為20maxbb（3 3）當）當 時時0阻尼對受迫振動的振幅影響也較小阻尼對受迫振動的振幅影響也較小將系統(tǒng)當作無阻尼系統(tǒng)處理將系

38、統(tǒng)當作無阻尼系統(tǒng)處理有阻尼受迫振動的相位角，總比激振力落后一個相有阻尼受迫振動的相位角，總比激振力落后一個相位角位角，稱為稱為相位差相位差。相位差相位差隨激振力頻率變化曲線如圖隨激振力頻率變化曲線如圖)sin(2tbx2202tan例例 4 41212已知：如圖為一無重剛桿，其一端鉸支，距鉸支端已知：如圖為一無重剛桿，其一端鉸支，距鉸支端l l處有處有 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的質(zhì)點，距的質(zhì)點，距2l處有一阻尼器，其阻力系處有一阻尼器，其阻力系 數(shù)為數(shù)為c，距距3l處有一剛度系數(shù)為處有一剛度系數(shù)為k的彈簧。并作用一的彈簧。并作用一 簡諧激振力簡諧激振力 。剛桿在水平位置平衡。剛桿在水平位置平衡。tF

39、Fsin0試列出系統(tǒng)的振動微分方程，試列出系統(tǒng)的振動微分方程，并求系統(tǒng)的固有頻率并求系統(tǒng)的固有頻率0以及當激振力頻率以及當激振力頻率等于等于 時質(zhì)點的振幅。時質(zhì)點的振幅。0解：解：設(shè)剛桿擺角為設(shè)剛桿擺角為，振動微分方程為振動微分方程為tlFklclmlsin3940222 tmlFmkmcsin3940 令令mlFhmcmk00329，0即系統(tǒng)的固有頻率。即系統(tǒng)的固有頻率。 當當 時時0kmclFlcFhb44320000質(zhì)點的振幅質(zhì)點的振幅kmcFlbB40 4 46 6 轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速使轉(zhuǎn)子發(fā)生激烈振動的特定轉(zhuǎn)速使轉(zhuǎn)子發(fā)生激烈振動的特定轉(zhuǎn)速臨界轉(zhuǎn)速臨界轉(zhuǎn)速。單圓盤轉(zhuǎn)子：質(zhì)量單

40、圓盤轉(zhuǎn)子：質(zhì)量m，質(zhì)心為質(zhì)心為C，圓盤與軸的交點為圓盤與軸的交點為A，偏心距為偏心距為eAC。圓盤角速度為圓盤角速度為 ，轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)軸彎曲偏離原來的固定軸線，點彎曲偏離原來的固定軸線，點O為為z軸與圓盤的交點，軸與圓盤的交點， 。 OArA設(shè)轉(zhuǎn)軸安裝于圓盤的中點。設(shè)轉(zhuǎn)軸安裝于圓盤的中點。圓盤慣性力：圓盤慣性力：OCmFI2彈性恢復力：彈性恢復力：AkrF 0mk2202erA)(22ermOCmkrAA22mkemrA使轉(zhuǎn)軸撓度異常增大的轉(zhuǎn)動角速度使轉(zhuǎn)軸撓度異常增大的轉(zhuǎn)動角速度臨界角速度臨界角速度。記為記為cr此時的轉(zhuǎn)速稱為此時的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速臨界轉(zhuǎn)速。記為記為crn 4 47 7 隔振隔振隔

41、振分為隔振分為主動隔振主動隔振和和被動隔振被動隔振兩類。兩類。1.1.主動隔振主動隔振主動隔振是將振源與支持振源的基礎(chǔ)主動隔振是將振源與支持振源的基礎(chǔ)隔離開來。隔離開來。如圖所示為主動隔振的簡化模型。如圖所示為主動隔振的簡化模型。由振源產(chǎn)生的激振力由振源產(chǎn)生的激振力隔振：隔振：將振源和需要防振的物體之間用彈性元件和阻尼將振源和需要防振的物體之間用彈性元件和阻尼 元件進行隔離。元件進行隔離。減振：減振：使振動物體的振動減弱的措施。使振動物體的振動減弱的措施。tHtFsin)(按有阻尼受迫振動的理論按有阻尼受迫振動的理論物塊的振幅為物塊的振幅為222202222204)1 (4)(ssbhb彈簧變

42、形而作用于基礎(chǔ)上的力彈簧變形而作用于基礎(chǔ)上的力)sin(etkbkxF通過阻尼元件作用于基礎(chǔ)的力通過阻尼元件作用于基礎(chǔ)的力)cos(dtcbxcF這兩部分力相位差為這兩部分力相位差為9090, ,而頻率相同而頻率相同它們可以合成為一個同頻率的合力，合力的最大值為它們可以合成為一個同頻率的合力，合力的最大值為222maxd2maxemaxN)()(cbkbFFF22maxN41skbF它與激振力的力幅它與激振力的力幅H之比為之比為222222maxN4)1 (41sssHF其中其中稱為稱為力的傳遞率力的傳遞率在不同阻尼情況下傳遞率在不同阻尼情況下傳遞率與頻率比與頻率比s s 之間的關(guān)系曲線之間的

43、關(guān)系曲線2.2.被動隔振被動隔振將需要防振的物體與振源隔開稱為將需要防振的物體與振源隔開稱為被動隔振被動隔振。圖為被動隔振的簡化模型圖為被動隔振的簡化模型設(shè)地基振動為簡諧振動設(shè)地基振動為簡諧振動tdxsin1將引起擱置在其上物體的振動，將引起擱置在其上物體的振動，這種激振稱為這種激振稱為位移激振。位移激振。質(zhì)點運動微分方程為質(zhì)點運動微分方程為)()(11xxcxxkxm 11xckxkxxcxm 將將 的表達式代入的表達式代入1xtdctkdkxxcxmcossin )sin(tHkxxcxm 其中其中222ckdHkcarctan方程的特解（穩(wěn)態(tài)振動）為方程的特解（穩(wěn)態(tài)振動）為)sin(tb

44、x2222222)(cmkckdb寫成綱量為寫成綱量為1 1的形式的形式2222224)1 (41sssdb其中其中 是振動物體的位移與地基激振動位移之比是振動物體的位移與地基激振動位移之比稱為稱為位移的傳遞率位移的傳遞率例例 4 41313求：汽車以速度求：汽車以速度v=v=45km/h45km/h勻速前進時，車體的垂勻速前進時，車體的垂 直振幅為多少？汽車的臨界速度為多少？直振幅為多少？汽車的臨界速度為多少？已知：如圖為一汽車在波形路面行走的力學模型，已知：如圖為一汽車在波形路面行走的力學模型，其中幅度的其中幅度的d=25mm，波長波長l=5m，汽車質(zhì)汽車質(zhì)量為量為m=3000kg，彈簧剛

45、度系數(shù)為彈簧剛度系數(shù)為k=294kN/m，忽略阻尼。忽略阻尼。路面的波形用公式路面的波形用公式 表示，表示，12sinydxl解：解：xvt122sinsinvydxdtll令令 則則2vltdysin1其中其中相當于位移激振頻率相當于位移激振頻率x以汽車起始位置為坐標原點，路面波形方程可以寫為以汽車起始位置為坐標原點，路面波形方程可以寫為22 12.5m/s5rad/s5mvl系統(tǒng)的固有頻率為系統(tǒng)的固有頻率為rad/s9 . 9kg30001000N/m2940mk激振頻率與固有頻率的頻率比為激振頻率與固有頻率的頻率比為59. 19 . 950s求得位移傳遞率為求得位移傳遞率為65. 0)1

46、 (122sdb因此振幅因此振幅mm4 .16mm2565. 0db當當 時系統(tǒng)發(fā)生共振時系統(tǒng)發(fā)生共振 有有002vlcr解得臨界速度解得臨界速度05m 9.9rad/s7.88m/s28.4km/h22radlvcr 4 48 8 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動兩個自由度系統(tǒng)的自由振動例子：汽車的振動例子：汽車的振動00)(221222221211xkxkxmxkxkkxm 上式是一個二階線性齊次微分方程組上式是一個二階線性齊次微分方程組兩個物塊的運動微分方程兩個物塊的運動微分方程)()(122221221111xxkxmxxkxkxm 2212121mkdmkcmkkb，令令上列方程組的解為上列

47、方程組的解為00212211dxdxxcxbxx ，)sin()sin(21tBxtAx，其中：其中：A A、B B是振幅；是振幅；為角頻率為角頻率將上式代入將上式代入0)sin()sin()sin(0)sin()sin()sin(22tdBtdAtBtcBtbAtA00212211dxdxxcxbxx ，整理后得整理后得0)(0)(22BddAcBAb，系統(tǒng)發(fā)生振動時，方程具有非零解系統(tǒng)發(fā)生振動時，方程具有非零解則方程的系數(shù)行列式必須等于零則方程的系數(shù)行列式必須等于零022ddcb頻率行列式頻率行列式0)()(24cbddb系統(tǒng)的本征方程，稱為系統(tǒng)的本征方程，稱為頻率方程頻率方程)()2(2

48、222, 1cbddbdb整理得整理得cddbdb222, 1)2(2其中第一根其中第一根 較小，稱為較小，稱為第一固有頻率第一固有頻率。1其中第二根其中第二根 較大，稱為較大，稱為第二固有頻率第二固有頻率。2結(jié)論結(jié)論兩個自由度系統(tǒng)具有兩個固有頻率，這兩個固有頻率兩個自由度系統(tǒng)具有兩個固有頻率，這兩個固有頻率只與系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度等參數(shù)有關(guān)，而與振動的初始只與系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度等參數(shù)有關(guān)，而與振動的初始條件無關(guān)。條件無關(guān)。對應于頻率對應于頻率 的振幅為的振幅為111BA，對應于頻率對應于頻率 的振幅為的振幅為222BA ，12121111ddbcBA22222221ddbcBAcddbdb222,

49、 1)2(20)(0)(22BddAcBAb，其中其中 和和 為比例常數(shù)為比例常數(shù)12對應于第一固有頻率對應于第一固有頻率 的振動稱為第一主振動的振動稱為第一主振動1它的運動規(guī)律為它的運動規(guī)律為)sin()sin(1111) 1 (2111) 1 (1tAxtAx，對應于第二固有頻率對應于第二固有頻率 的振動稱為第二主振動的振動稱為第二主振動2它的運動規(guī)律為它的運動規(guī)律為)sin()sin(2222)2(2222)2(1tAxtAx，cddbdb222, 1)2(212121111ddbcBA22222221ddbcBA各個主振動中兩個物塊的振幅比各個主振動中兩個物塊的振幅比0)2(210)2

50、(21222222221111cddbdbccbABcddbdbccbAB圖圖b b表示在第一主振動中振動形狀表示在第一主振動中振動形狀稱為稱為第一主振型第一主振型圖圖c c表示在第二主振動中振動形狀表示在第二主振動中振動形狀稱為稱為第二主振型第二主振型圖圖c c中的點中的點C是始終不振動的節(jié)點是始終不振動的節(jié)點主振型和固有頻率一樣都只與系統(tǒng)本身的參數(shù)有關(guān)主振型和固有頻率一樣都只與系統(tǒng)本身的參數(shù)有關(guān)而與振動的初始條件無關(guān)因此主振型也叫而與振動的初始條件無關(guān)因此主振型也叫固有振型固有振型. .自由振動微分方程的全解為自由振動微分方程的全解為第一主振動與第二主振動的疊加第一主振動與第二主振動的疊加

51、即即)sin()sin()sin()sin(2222111122221111tAtAxtAtAx其中包含其中包含4 4個待定常數(shù)個待定常數(shù) 2121，AA它們應由運動的它們應由運動的4 4個初始條件個初始條件 確定確定20102010 xxxx ，例例 4 41414求：系統(tǒng)的固有頻率和主振型。求：系統(tǒng)的固有頻率和主振型。梁的質(zhì)量忽略不計。梁的質(zhì)量忽略不計。已知：如圖表示一具有兩個集中質(zhì)量已知：如圖表示一具有兩個集中質(zhì)量 的簡支梁的簡支梁21mm，在質(zhì)量在質(zhì)量 處梁的影響系數(shù)分別為處梁的影響系數(shù)分別為21mm，2211，和和 ，2112，解：解：這是兩個自由度的振動系統(tǒng)這是兩個自由度的振動系統(tǒng)

52、慣性力分別為慣性力分別為 ，11xm 22xm 根據(jù)達朗貝爾原理和材料力學中的變形疊加原理根據(jù)達朗貝爾原理和材料力學中的變形疊加原理由兩個慣性力在由兩個慣性力在 和和 處產(chǎn)生的撓度分別為處產(chǎn)生的撓度分別為1m2m)()()()(222211212221211111xmxmxxmxmx 整理得系統(tǒng)的運動微分方程整理得系統(tǒng)的運動微分方程00222221121122121111xxmxmxxmxm （a a）令令22211122212111121211memdmmcmmb，（b b）則方程（則方程（a a）可改寫為）可改寫為00221121exxxcdxxbx ，（c c）設(shè)上述方程解的形式為設(shè)上述

53、方程解的形式為)sin()sin(21tBxtAx，（d d）將式（將式（d d）代入方程（）代入方程（c c）得）得0)(0)(2222BeAcBbAd，（e e）頻率方程為頻率方程為02222ecbd將行列式展開，得將行列式展開，得0)()1 (24ededbc 解此代數(shù)方程，解此代數(shù)方程，得到關(guān)于頻率得到關(guān)于頻率 的兩個根的兩個根2)1 (2)1 (4)()(222, 1cbdecbeded（f）整理得整理得)1 (24)()(222, 1cbbcdeeded（g g）可以證明可以證明 的兩個根都是正實根的兩個根都是正實根2和和 為系統(tǒng)的兩個固有頻率為系統(tǒng)的兩個固有頻率12振幅比為振幅比

54、為121212121111cedbBA（h h）222222222221cedbBA（i i）同樣可證明同樣可證明 和和0102這樣可以畫出第一主振型和第二主振型如圖這樣可以畫出第一主振型和第二主振型如圖b b，c c所示所示設(shè)設(shè)mmm21431lll212l則根據(jù)材料力學公式可計算出則根據(jù)材料力學公式可計算出EIlEIl768776893211232211其中其中EIEI為梁截面的抗彎剛度為梁截面的抗彎剛度再將上述表達式代入式（再將上述表達式代入式（g g）中）中 得得3231596.19928. 6mlEImlEI，再由式（再由式（h h）和（）和（i i）解得振幅比為）解得振幅比為112

55、22111ABAB，梁對于其中點具有對稱和反對稱的兩個主振型梁對于其中點具有對稱和反對稱的兩個主振型將上式代入公式（將上式代入公式（b b）得）得3976897mlEIdebc，例例 4 41515已知：均質(zhì)細桿質(zhì)量為已知：均質(zhì)細桿質(zhì)量為m，長為長為l，由兩個剛度系數(shù)皆由兩個剛度系數(shù)皆 為為k的彈簧對稱支承。的彈簧對稱支承。求：此系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。求：此系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。解：解：2211kxFkxF，此時細桿的質(zhì)心坐標為此時細桿的質(zhì)心坐標為)(2121xxxC（a a）細桿繞質(zhì)心細桿繞質(zhì)心C 的微小轉(zhuǎn)角的微小轉(zhuǎn)角)(121xxd（b b）列出細桿的平面運動微分方程列出細桿的平面

56、運動微分方程ddkdFdFJxxkFFcxmC222)(212121 將式（將式（a a）和式（）和式（b b）代入上兩式）代入上兩式注意注意122mlJC則可整理為則可整理為0021212121cxcxxxbxbxxx ，（c c）其中其中2262mlkdcmkb，只求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型時只求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型時可取振動的初始角可取振動的初始角=0=0而設(shè)式（而設(shè)式（c c）的解為）的解為tBxtAxsinsin21，（d d）將上式代入式（將上式代入式（c c）消去消去 得得tsin0)(0)(22BAcBAb，（e e）22222162mlkdcmkb，（f f）當當 時時b

57、21為使式（為使式（e e）中兩個方程都滿足）中兩個方程都滿足11BA 這是對應于直桿上下平動的固有振型這是對應于直桿上下平動的固有振型當當 時時c22為使式（為使式（e e）中兩個方程都滿足）中兩個方程都滿足22BA這是對應于質(zhì)心不動而繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的固有振型這是對應于質(zhì)心不動而繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的固有振型如果直接取質(zhì)心位移如果直接取質(zhì)心位移 和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)角和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)角Cx為系統(tǒng)的兩個獨立坐標為系統(tǒng)的兩個獨立坐標則直桿的平面運動微分方程為則直桿的平面運動微分方程為2222kdddkJkxcxmCC ，（g g）上式是對上式是對 和和 互相獨立的兩個微分方程互相獨立的兩個微分方程Cx系統(tǒng)的兩個固有振型系

58、統(tǒng)的兩個固有振型隨同質(zhì)心的平移位移隨同質(zhì)心的平移位移繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角位移繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角位移CxCx和和 稱為此系統(tǒng)的兩個稱為此系統(tǒng)的兩個主坐標主坐標例例 4 41616求：小車和重物的運動。求：小車和重物的運動。已知：如圖起重機小車，已知：如圖起重機小車，在質(zhì)心在質(zhì)心A A處用繩懸掛一重物處用繩懸掛一重物B B，設(shè)繩和彈簧質(zhì)量均忽略不計。當小車連同重物設(shè)繩和彈簧質(zhì)量均忽略不計。當小車連同重物B以勻速度以勻速度 碰上緩沖器后。碰上緩沖器后。左側(cè)彈簧是一緩沖器，剛度系數(shù)為左側(cè)彈簧是一緩沖器，剛度系數(shù)為k=852.6kN/m，其質(zhì)量為其質(zhì)量為kg22201m其質(zhì)量為其質(zhì)量為kg20402m01m/sv

59、 解：解：應用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運動微分方程應用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運動微分方程視小車和重物為兩個質(zhì)點視小車和重物為兩個質(zhì)點則系統(tǒng)動能為則系統(tǒng)動能為22121122ABTmvm v其中其中Avx 廣義坐標：小車的水平位移廣義坐標：小車的水平位移x 繩繩AB偏離鉛直的角度偏離鉛直的角度2222222cos2cosBArArvvvv vxlxl)cos2(21)(21222221xllmxmmT系統(tǒng)的勢能等于彈簧勢能與重力勢能的和系統(tǒng)的勢能等于彈簧勢能與重力勢能的和)cos1 (2122glmkxV)cos(sin222x llmTxlmT，sin)sincos()(dd22glmVxxll

60、mTt， cos)(0221lmxmmxTxT，kxxVlmlmxmmxTt，sincos)()(dd22221 偏角偏角 很小，很小，1cossin，并略去并略去2如下線性微分方程組如下線性微分方程組00)(221glxkxlmxmm （a a）設(shè)上述方程組的解為設(shè)上述方程組的解為)sin()sin(tBtAx，（b b）將所設(shè)解（將所設(shè)解（b b）代入式（）代入式（a a）中）中并令并令21mmm0)(0)(22222BlgABlmAmk，（c c）頻率方程為頻率方程為0)(22222lmlgmk或或01214lmkglmklmg令令clmkgblmklmg11，024cbcbbcbb22