經(jīng)典數(shù)學(xué)選修1-1常考題1949

1、經(jīng)典數(shù)學(xué)選修1-1?？碱}單選題（共5道）1、若F1、F2是雙曲線=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該雙曲線上一點(diǎn)，滿足|PF1|+|PF2|=9，則|PF1|?|PF2|=（）A4B5其中一條與雙曲線交于點(diǎn)B,若（扁+心）D2作兩條相互垂直的直線分別過(guò)兩焦點(diǎn),?=0,則雙曲線的離心率為（）3、已知直線y=x+1與曲線y=ln（x+a）相切，貝Ua的值為A1B2C-1D-24、已知函數(shù)f（x）,當(dāng)自變量由x0變化到x1時(shí)函數(shù)值的增量與相應(yīng)的自變量的增量比是函數(shù)（）A在x0處的變化率B在區(qū)間x0，x1上的平均變化率C在x1處的變化率D以上結(jié)論都不對(duì)5、給出以下四個(gè)命題： 如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直

2、線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行； 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面； 如果兩條直線都平行于一個(gè)平面，那么這兩條直線互相平行； 如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直；其中真命題的個(gè)數(shù)是A4B3C2D1簡(jiǎn)答題（共5道）6（本小題滿分12分）求與雙曲線JV有公共漸近線，且過(guò)點(diǎn)2丄二的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。7、(2015?淮南校級(jí)三模)已知函數(shù)f(x)=alnx-2x，g(x)=x2-(2-a)x-(2-a)lnx，其中aR.(1) 判斷f(x)單調(diào)性；(2) 若g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3) 若F

3、(x)=f(x)-g(x)函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)m、n，且2x0=m+n問(wèn):函數(shù)F(x)在點(diǎn)(x0，F(xiàn)(xO)處的切線能否平行于x軸？8、設(shè)函數(shù)f(x)=x3-kx2+x(kR).(1) 當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 當(dāng)kv0時(shí)，求函數(shù)f(x)在k，-k上的最小值m和最大值M9、（本小題滿分12分）求與雙曲線有公共漸近線，且過(guò)點(diǎn)4煎的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。10、（本小題滿分12分）求與雙曲線有公共漸近線，且過(guò)點(diǎn)丄二的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。填空題（共5道）11、設(shè)-一為雙曲線2壬的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的左支上，且謬的最小值為二，貝U雙曲線的離心率的取值范圍是.12、.經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0,0）做函數(shù)

4、f（x）=x3+3x2的切線，則切線方程為.13、已知a=（+»），b=*4（1+壯+古+），則a、b的值分另S為，C=lg=.14、設(shè).：為雙曲線-的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的左支上，且孚的最小值為二，貝U雙曲線的離心率的取值范圍是.15、設(shè)-.為雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的左支上，且-d*J"|的最小值為二，貝U雙曲線的離心率的取值范圍是.解：不妨設(shè)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，則|PF1|-|PF2|=4,：|PF1|+|PF2|=9，|PF1|?|PF2|=苧.故選：C.2- 答案：tc解：（悶+A忌）？時(shí)飛=0二厶ABF2是等腰三角形，設(shè)AF2=mAF1=x又AB=AF

5、2則BF1=m-x=2aBF2.BF2-BF1=2a,即回】”-2a=2a，故am,又m-x=2a,解得x=1m在厶AF1F2中，由勾股定理知，2c=|,='m所以雙曲線的離心率故選B.3- 答案：B4- 答案：tc解：當(dāng)自變量由x0變化到x1時(shí)，自變量的“增量”為x1-x0，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的“增量”為f(xl)-f(xO),比值為函數(shù)在區(qū)間xO,x1上的平均變化率故選B.5- 答案：B1- 答案：設(shè)所求雙曲線的方程為-，將點(diǎn)-代入得-匚，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為略止42- 答案：解：(1)f'(x)乂-2,(x>0),a>0時(shí)，令f'(x)>0,解得：x

6、>¥，令f'(x)v0,解得:0vxv牛，f(x)在(0,)遞減，在(專(zhuān),r-rr+x)遞增；a<0時(shí)，f'(x)<0,f(x)在(0,+x)遞減，綜上，a>0時(shí)，f(x)在(0,)遞減，在待，+x)遞增；a<0時(shí)，f(x)在(0,+x)rr遞減.(2)若g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，則只需g'(x)=2x-(2-a)-寧2牛丁=0在(0,+x)恒成立，即2x2-(2-a)x-(2-a)>0,令hX(x)=2x2-(2-a)x-(2-a),對(duì)稱(chēng)軸x韋巴，當(dāng)于>0,即av2時(shí)，只需二(2-a)2+8(2-a)<0,

7、解得：2<a<10,不合題意，當(dāng).<0,即a>2時(shí)，只需h(0)=-2+a>0即可，解得：a<2,二a=2,故a=2時(shí)，g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù).(3) F(x)=alnx-2x-x2-(2-a)x-(2-a)Inx=-x2-ax+2Inx，二F'(x)&-2x-a,由題意得：21nm-m2-am=0D,21nn-n2-an=C，m+n=2x，-2x0-a=0®.-得：2ln-(m+r)(m-n)=a(m-n),a=-In巴-，設(shè)u豐士l由得：a£-2x0.2_(0,1),得式變形為Inu-=0,(u(0,1),設(shè)y=

8、lnu-,(u(0,1),得：y'=14L)21)->0,-2(-1)駕v0,即lnninV葉1|'n函數(shù)y=lnu-在(0,1)遞增，yvy|u=1=0,即Inu-H+1與矛盾，函數(shù)F(x)在點(diǎn)(x0,F(x0)處的切線和x軸不平行.解：(1)f'(x)=-2,(x>0),a>0時(shí)，令f'(x)>0,解得：x>,令f'(x)v0,解得：0vxVy,f(乂)在(0，)遞減，在(£,+x)遞ImIm-iXr增；aW0時(shí)，f'(x)<0,f(x)在(0,+x)遞減，綜上，a>0時(shí)，f(x)在(0,秩

9、)遞減，在(扌，+x)遞增；a<0時(shí)，f(x)在(0,+x)遞減.(2) 若g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，則只需g'(x)=2x-(2-a)-亍=_0在(0,+x)恒成立，即2x2-(2-a)x-(2-a)>0,令hX(x)=2x2-(2-a)x-(2-a),對(duì)稱(chēng)軸x亍，當(dāng)乎>0,即av2時(shí)，只需二(2-a)2+8(2-a)<0,解得：2<a<10,不合題意，當(dāng).<0,即a>2時(shí)，只需h(0)=-2+a>0即可，解得：a<2,-a=2,故a=2時(shí)，g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù).(3) F(x)=alnx-2x-x2-(2-a)

10、x-(2-a)Inx=-x2-ax+2lnx，-F'(x)彳-2x-a,由題意得：2lnm-m2-am=0D,2lnn-n2-an=0，m+n=2x,二-2x0-a=0,択2-2x02-得：2ln-(m+n(m-n)=a(m-n),-a=_”一，由得：a亍-2x0,ffinitt+n.ln-2，設(shè)u蘭(0,1),設(shè)y=lnu-lu-2卄1(0,1),得式變形為lnu-,(u(0,1),得：y'=函數(shù)y=lnu-在(0,1)遞增，yvy|u=1=0,即Inu-=0,(u1斗=u-)2li(H4L)-1J"esn2(-1)忤v0,即lnnv卄1|nfl>0,與矛盾，

11、.函數(shù)F(x)在點(diǎn)(x0,F(x0)處的切線和x軸不平行.3- 答案：解：f'(x)=3x2-2kx+1(1) 當(dāng)k=1時(shí)f'(x)=3x2-2x+1,=4-12=-8v0,二f'(x)>0,f(x)在R上單調(diào)遞增.(2) 當(dāng)kv0時(shí)，f'(x)=3x2-2kx+1，其開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸過(guò)(【，且過(guò)(0,1)(i)當(dāng)=4八-1"皿+3心$燦,即會(huì)心時(shí)，f'(x)>0,f(x)在k,-k上單調(diào)遞增，從而當(dāng)x=k時(shí)，f(x)取得最小值m=f(k)=k,當(dāng)x=-k時(shí)，f(x)取得最大值M=f(-k)=-k3-k3-k=-2k3-k.(ii)

12、當(dāng)厶=4*12=4(受+3私0丙，即2-囲時(shí)，令f'(x)_A+12_j_A齊=3x2-2kx+1=0解得注意到kvx2vx1v0,am=minf(k),f(x1),M=maxf(-k),f(x2),vii-ii-'f(x)的最小值m=f(k)=k,v+r'，二f(x)的最大值M=f(-k)=-2k3-k.綜上所述,當(dāng)kv0時(shí)，f(x)的最小值m=f(k)=k,最大值M=f(-k)=-2k3-k解法2：(2)當(dāng)kv0時(shí),對(duì)?xk,-k,都有f(x)-f(k)=x3-kx2+x-k3+k3-k=(x2+1)(x-k)>0,故f(x)>f(k).f(x)-f(-

13、k)=x3-kx2+x+k3+k3+k=(x+k)(x2-2kx+2k2+1)=(x+k)(x-k)2+k2+1<0,故f(x)wf(-k)，而f(k)=kv0,f(-k)=-2k3-k>0.所以f(x)min=f(k)=k.解：f'(x)=3x2-2kx+1(1) 當(dāng)k=1時(shí)f'(x)=3x2-2x+1，：=4-12=-8v0,二f'(x)>0,f(x)在R上單調(diào)遞增.(2) 當(dāng)kv0時(shí)，f'(x)=3x2-2kx+1，其開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸過(guò)(，且過(guò)(0,1)(i)當(dāng)A=4r-12=4(i4-3)(A-)<0,即悴心時(shí)，廠(x)>0

14、,f(x)在k，-k上單調(diào)遞增，從而當(dāng)x=k時(shí)，f(x)取得最小值m=f(k)=k，當(dāng)x=-k時(shí)，f(x)取得最大值M=f(-k)=-k3-k3-k=-2k3-k.(ii)當(dāng)=12=4"+仗_屆戸0，即z-囲時(shí)，令(x)_a+A2-3-A_Jk2-3、=3x2-2kx+1=0解得：，注意到kvx2vx1v0，m=minf(k)，f(x1)，M=maxf(-k)，f(x2)，vf(x)的最小值m=f(k)=k，v.r'，f(x)的最大值M=f(-k)=-2k3-k.綜上所述，當(dāng)kv0時(shí)，f(x)的最小值m=f(k)=k，最大值M=f(-k)=-2k3-k解法2：(2)當(dāng)kv0時(shí)

15、，對(duì)?xk，-k，都有f(x)-f(k)=x3-kx2+x-k3+k3-k=(x2+1)(x-k)>0,故f(x)>f(k).f(x)-f(-k)=x3-kx2+x+k3+k3+k=(x+k)(x2-2kx+2k2+1)=(x+k)(x-k)2+k2+1<0,故Ujr/EE.fJ.*九*f(x)wf(-k)，而f(k)=kv0,f(-k)=-2k3-k>0.所以，f(x)min=f(k)=k.4- 答案：設(shè)所求雙曲線的方程為.-，將點(diǎn)-代入得-=-,所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為一一略5-答案：設(shè)所求雙曲線的方程為匸沁，將點(diǎn)-'代入得=-,所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-略丄-

16、11-答案：一試題分析：雙曲線24-(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，二|PF2|-|PF1|=2a,|PF2|=2a+|PF1|,-:；(當(dāng)且僅當(dāng)一時(shí)取等號(hào))，所以|PF2|=2a+|PF1|=4a,v|PF2|-|PF1|=2av2c,|PF1|+|PF2|=6a>2c,所以e(1,3。點(diǎn)評(píng)：本題把雙曲線的定義和基本不等式相結(jié)合，考查知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用。解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意基本不等式的合理運(yùn)用。2-答案：vf'(x)=3x2+6x，若原點(diǎn)(0,0)是切點(diǎn)，則切線的斜率為f'(0)=0,貝U切線方程為y=0;若原點(diǎn)(0

17、,0)不是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0),則切線的斜率為f'(x0)=3+6x0,因此切線方程為y-(+3)=(3k烈+6x0)(x-x0),因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0),-(3+)=-x0(3+6x0),vx0m0,解得x0二扌.切線方程為y=-x,化為9x+4y=0.切線方程為y=0或9x+4y=0.故答案為y=0或9x+4y=0.b=1111丄r41=叫,a=7ull丄+池丄“1叩1123n丄X丄+-Pll.il齊囂II7a*1miij_=L:fs2ii卞-*diA；則卅3-答案：+"+,所以c=4訥影；1+;=_,=,故答案為：7,4-答案：試題分析：v雙曲線-(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，二|PF2|-|PF1|=2a,|PF2|=2a+|PF1|,-'當(dāng)且僅當(dāng)八時(shí)取等號(hào))，所以|PF2|=2a+|PF1|=4a,v|PF2|-|PF1|=2av2c,|PF1|+|PF2|=6a>2c,所以e(1,3。點(diǎn)評(píng)：本題把雙曲