經(jīng)濟(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)二階常系數(shù)線性微分方程配套課件

1、2022年年4月月29日星期五日星期五1第三節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程 第八章第八章 一、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)一、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)四、小結(jié)與思考練習(xí)四、小結(jié)與思考練習(xí)二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解 三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程求解三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程求解 2022年年4月月29日星期五日星期五2一、二階線性微分方程舉例 當(dāng)重力與彈性力抵消時(shí)當(dāng)重力與彈性力抵消時(shí), 物體處于物體處于 平衡狀態(tài)平衡狀態(tài), 例例1 質(zhì)量為質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復(fù)運(yùn)動(dòng)力作用下作往復(fù)運(yùn)動(dòng),xxo解

2、解:阻力的大小與運(yùn)動(dòng)速度阻力的大小與運(yùn)動(dòng)速度下拉物體使它離開(kāi)平衡位置后放開(kāi)下拉物體使它離開(kāi)平衡位置后放開(kāi),若用手向若用手向物體在彈性力與阻物體在彈性力與阻取平衡時(shí)物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)取平衡時(shí)物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)時(shí)刻設(shè)時(shí)刻 t 物位移為物位移為 x(t).(1) 自由振動(dòng)情況自由振動(dòng)情況.彈性恢復(fù)力彈性恢復(fù)力物體所受的力有物體所受的力有:(虎克定律虎克定律)fk x 成正比成正比, 方向相反方向相反.建立位移滿足的微分方程建立位移滿足的微分方程.2022年年4月月29日星期五日星期五3據(jù)牛頓第二定律得據(jù)牛頓第二定律得22ddddxxmkxtt 阻力阻力txRdd

3、22dd0ddxxmkxtt即即這就是在有阻尼的情況下，描述物體這就是在有阻尼的情況下，描述物體自由振動(dòng)的方程自由振動(dòng)的方程。(2) 強(qiáng)迫振動(dòng)情況強(qiáng)迫振動(dòng)情況.若物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中還受鉛直外力若物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中還受鉛直外力sinpt，作作用用則得則得強(qiáng)迫振動(dòng)方程強(qiáng)迫振動(dòng)方程:22ddsinddxxmkxpttt2022年年4月月29日星期五日星期五4 可以看出，自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程都是可以看出，自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程都是二階微分方程二階微分方程而且而且未知函數(shù)未知函數(shù)及其及其各階導(dǎo)數(shù)各階導(dǎo)數(shù)都是都是一次冪一次冪的，的， 我們把這種方程稱為我們把這種方程稱為二階線性微分方程二階線性微

4、分方程。其一般形式可其一般形式可表示為表示為( )( )( ),yP x yQ x yf xn 階線性微分方程階線性微分方程的一般形式為的一般形式為)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn時(shí)時(shí), 稱為稱為非齊次非齊次的方程的方程0)(xf時(shí)時(shí), 稱為稱為齊次齊次的方程的方程.0)(xf2022年年4月月29日星期五日星期五5 )(11yCxP )(11yCxQ0證畢證畢二、線性微分方程解的結(jié)構(gòu))(),(21xyxy若函數(shù)是二階線性齊次方程是二階線性齊次方程0)()( yxQyxPy的兩個(gè)解的兩個(gè)解,也是該方程的解也是該方程的解.證證:)()(2211xyCxyCy將代入

5、方程左邊代入方程左邊, 得得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (疊加原理疊加原理) )()(2211xyCxyCy則),(21為任意常數(shù)CC定理定理1 2022年年4月月29日星期五日星期五6不一定不一定是所給二階方程的通解是所給二階方程的通解.例如例如,)(1xy是某二階齊次方程的解是某二階齊次方程的解,)(2)(12xyxy也是齊次方程的解也是齊次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是并不是通解通解但是但是)()(2211xyCxyCy則則為解決通解的判別問(wèn)題為解決通解的判別問(wèn)題, 下面引

6、入函數(shù)的下面引入函數(shù)的線性相關(guān)線性相關(guān)與與 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)概念概念. 說(shuō)明說(shuō)明:2022年年4月月29日星期五日星期五7)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是定義在區(qū)間是定義在區(qū)間 I 上的上的 n 個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù),21nkkk使得使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211則稱這則稱這 n個(gè)函數(shù)在個(gè)函數(shù)在 I 上上線性相關(guān)線性相關(guān), 否則稱為否則稱為線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).例如，例如， ,sin,cos,122xx在在( , )上都有上都有0sincos122xx故它們?cè)谌魏螀^(qū)間故它們?cè)谌魏螀^(qū)間 I 上都上都線性相關(guān)線性相關(guān);又如，又如，,12xx若在某區(qū)間若在某區(qū)間 I 上上,02

7、321xkxkk則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn)則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn) ,321,kkk必需全為必需全為 0 ,可見(jiàn)可見(jiàn)2,1xx故在任何區(qū)間在任何區(qū)間 I 上都上都 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).若存在若存在不全為不全為 0 的常數(shù)的常數(shù)定義定義2022年年4月月29日星期五日星期五8)(),(21xyxy線性相關(guān)線性相關(guān)存在不全為存在不全為 0 的的21, kk使使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 無(wú)妨設(shè)無(wú)妨設(shè))01k)(),(21xyxy線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān))()(21xyxy常數(shù)常數(shù)思考思考:)(),(21xyxy若中有一個(gè)恒為中有一個(gè)恒為 0, 則則)(),(2

8、1xyxy必線性必線性相關(guān)相關(guān)0)()()()(2121xyxyxyxy(證明略證明略)21, yy可微函數(shù)線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的上線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的充要條件充要條件:2022年年4月月29日星期五日星期五9)(),(21xyxy若是二階線性齊次方程的兩個(gè)線是二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特解性無(wú)關(guān)特解, 則則)()(2211xyCxyCy數(shù)數(shù)) 是該方程的通解是該方程的通解.例如例如, 方程方程0 yy有特解有特解,cos1xy ,sin2xy 且且常數(shù)常數(shù),故方程的通解為故方程的通解為xCxCysincos21推論推論nyyy,21若是是

9、 n 階齊次方程階齊次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解個(gè)線性無(wú)關(guān)解, 則方程的通解為則方程的通解為)(11為任意常數(shù)knnCyCyCyxytan21y為任意常21,(CC定理定理 2 2022年年4月月29日星期五日星期五10)(* xy設(shè)是二階非齊次方程是二階非齊次方程的一個(gè)特解的一個(gè)特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解是相應(yīng)齊次方程的通解,)()()(xfyxQyxPy 則則是非齊次方程的通解是非齊次方程的通解 .證證: 將將)(*)(xyxYy代入方程左端代入方程左端, 得得)*( yY)*( )(yYxP)*

10、)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ定理定理 32022年年4月月29日星期五日星期五11)(*)(xyxYy故是非齊次方程的解是非齊次方程的解,又又Y 中含有中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù)兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù),例如例如, 方程方程xyy 有特解有特解xy *xCxCYsincos21對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程0 yy有通解有通解因此該方程的通解為因此該方程的通解為xxCxCysincos21證畢證畢因而因而 也是通解也是通解 .2022年年4月月29日星期五日星期五12( ) (1, 2,)kyxkn設(shè)分別是方程分別是方程的特解的特解,是方程是方程)

11、,2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1則)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解的特解. (非齊次方程之解的疊加原理非齊次方程之解的疊加原理) 定理定理3, 定理定理4 均可推廣到均可推廣到 n 階階線性非齊次方程線性非齊次方程. 定理定理 42022年年4月月29日星期五日星期五13例如，例如，)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是對(duì)應(yīng)齊次方程的是對(duì)應(yīng)齊次方程的 n 個(gè)線性個(gè)線性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn無(wú)關(guān)特解無(wú)關(guān)特解, 給定給定 n 階非齊次線性方程階非齊次線性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyx

12、Y)(* xy是非齊次方程的特解是非齊次方程的特解,則非齊次方程則非齊次方程的通解為的通解為齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解2022年年4月月29日星期五日星期五1412,yy設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)都是二階非齊次線都是二階非齊次線性方程性方程)()(yP x yfQxx y定理定理5的解的解, 則則12yyy必為原方程對(duì)應(yīng)齊次線性方程必為原方程對(duì)應(yīng)齊次線性方程的特解。的特解。(0( )yP x yQ x y提示：提示：設(shè)設(shè)111( )( )( )yP x yQ xf xy （1）222( )( )( )yP x yQ xf xy （2）（1）-（2），得得121212( )( )0y

13、yyyyxxyPQ 三、非齊次線性方程與其對(duì)應(yīng)齊次方程解的關(guān)系2022年年4月月29日星期五日星期五15內(nèi)容小結(jié)1. 二階線性微分方程的概念二階線性微分方程的概念2. 二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)3.非齊次線性方程其對(duì)應(yīng)齊次方程解的關(guān)系非齊次線性方程其對(duì)應(yīng)齊次方程解的關(guān)系2022年年4月月29日星期五日星期五16思考練習(xí)則該方程的通解是則該方程的通解是 ( ).321,yyy1. 設(shè)線性無(wú)關(guān)函數(shù)設(shè)線性無(wú)關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程都是二階非齊次線性方程)()()(xfyxQyxPy 的解的解, 21,CC是任意常數(shù)是任意常數(shù), ;)(32211yyCyCA;)()(32

14、12211yCCyCyCB1122123( )(1);CC yC yCCy.)1()(3212211yCCyCyCD提示提示:3231,yyyy都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解且線性無(wú)關(guān)都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解且線性無(wú)關(guān) . 3322311)()()(yyyCyyCD(反證法可證反證法可證)D2022年年4月月29日星期五日星期五172. 常系數(shù)齊次線性微分方程 第八章第八章 (Constant coefficient homogeneous linear differential equation)一、常系數(shù)齊次線性微分方程定義一、常系數(shù)齊次線性微分方程定義二、常系數(shù)齊次線性方程解法二、常系數(shù)齊次線性方程解

15、法三、小結(jié)與思考練習(xí)三、小結(jié)與思考練習(xí)2022年年4月月29日星期五日星期五18一、常系數(shù)齊次線性微分方程定義0 qyypy二階二階常系數(shù)常系數(shù)齊次齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式)(xfqyypy 二階二階常系數(shù)常系數(shù)非齊次非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式( )(1)11( )nnnnya yaya yf xn階階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2022年年4月月29日星期五日星期五19二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法基本思路基本思路: 求解常系數(shù)線性齊次微分方程求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程求特征方程(代數(shù)方程代數(shù)方程)之根之根轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化202

16、2年年4月月29日星期五日星期五20),(0為常數(shù)qpyqypy xrey 和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得代入得0)(2xre qprr02qrpr稱為微分方程的稱為微分方程的特征方程特征方程,1. 當(dāng)當(dāng)042qp時(shí)時(shí), 有兩個(gè)相異實(shí)根有兩個(gè)相異實(shí)根,21r ,r方程有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解方程有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的通解為因此方程的通解為xrxreCeCy2121( r 為待定常數(shù)為待定常數(shù) ),xrer函數(shù)為常數(shù)時(shí)因?yàn)?所以令的解為所以令的解為 則微分則微分其根稱為其根稱為特征根特征根.二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微

17、分方程:2022年年4月月29日星期五日星期五21042qp時(shí)時(shí), 特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根21rr 則微分方程有一個(gè)特解則微分方程有一個(gè)特解)(12xuyy 設(shè)另一特解設(shè)另一特解( u (x) 待定待定)代入方程得代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根是特征方程的重根0 u取取 u = x , 則得則得,12xrexy 因此原方程的通解為因此原方程的通解為xrexCCy1)(21,2p.11xrey )(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru2. 當(dāng)當(dāng)2022年年4月月29日星期五日星期五22042qp時(shí)時(shí),

18、 特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根irir21,這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的疊加原理利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無(wú)關(guān)特解得原方程的線性無(wú)關(guān)特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解為因此原方程的通解為)sincos(21xCxCeyx3. 當(dāng)當(dāng)2022年年4月月29日星期五日星期五23),(0為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr特征方程特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 221prrxrexCC

19、y1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特特 征征 根根通通 解解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .小結(jié)：小結(jié)：2022年年4月月29日星期五日星期五24450yyy求求方方程程的通解的通解.解解: 特征方程特征方程2450 ,rr特征根特征根:1215 ,rr因此原方程的通解為因此原方程的通解為512xxyC eC e解解: 特征方程特征方程因此原方程的通解為因此原方程的通解為利用初始條件得利用初始條件得于是所求初值問(wèn)題的解為于是所求初值問(wèn)題的解為例例12440 ,rr221 rr特征根特征根 )(e212xCCyx. 1, 12

20、1CC2e1()xyx2022年年4月月29日星期五日星期五25解解: 所給微分方程的特征方程為所給微分方程的特征方程為22100rr它有一對(duì)共軛虛根它有一對(duì)共軛虛根 113ri 213ri 故所求通解為故所求通解為 12ecos3sin3xyCxCx2022年年4月月29日星期五日星期五26xxttfxtttfxxf00d)(d)(21)(xttfxf0d)(2)()()(xfxf 這是二階常系數(shù)齊次線性方程這是二階常系數(shù)齊次線性方程.易求解易求解.2022年年4月月29日星期五日星期五27內(nèi)容小結(jié)),(0為常數(shù)qpyqypy 特征根特征根:21, rr(1) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 通解為通解為xrx

21、reCeCy212121rr (2) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 通解為通解為xrexCCy1)(2121rr (3) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 通解為通解為)sincos(21xCxCeyxir2, 1可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 .課后練習(xí)課后練習(xí)習(xí)題習(xí)題83 1-22022年年4月月29日星期五日星期五28思考練習(xí) 1.求方程求方程0 yay的通解的通解 .答案答案:0a通解為通解為xCCy21:0a通解為通解為xaCxaCysincos21:0a通解為通解為xaxaeCeCy212022年年4月月29日星期五日星期五293. 常系數(shù)非齊次線性微分方程 第第八章章 (Con

22、stant coefficient non-homogeneous linear differential equation)( )( )xmf xeP x型型xxPexflxcos)()( )sinnP xx型型一、一、三、小結(jié)與思考練習(xí)三、小結(jié)與思考練習(xí)二、二、2022年年4月月29日星期五日星期五30)(xfyqypy ),(為常數(shù)qp二階常系數(shù)線性非齊次微分方程二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為其通解為Yy *y非齊次方程特解非齊次方程特解齊次方程通解齊次方程通解求特解的方法求特解的方法根據(jù)根據(jù) f (x) 的特殊形式的特殊形式 ,*y給出特

23、解的待定形式的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù)代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法待定系數(shù)法2022年年4月月29日星期五日星期五31一、 型)()(xPexfmx 為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù) ,)(xPm為為 m 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 .)(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx設(shè)特解為設(shè)特解為, )(*xQeyx其中其中 為待定多項(xiàng)式為待定多項(xiàng)式 , )(xQ )()(*xQxQeyx )()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原方程代入原方程 , 得得 )(xQ (1) 若若 不是特征方程的根不是特征方程的根, , 02qp即則取則取),(xQm從而得

24、到特解從而得到特解形式為形式為. )(*xQeymx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPmQ (x) 為為 m 次待定系數(shù)多項(xiàng)式次待定系數(shù)多項(xiàng)式2022年年4月月29日星期五日星期五32(2) 若若 是特征方程的是特征方程的單根單根 , , 02qp,02 p)(xQ則為為m 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式,故特解形式為故特解形式為xmexQxy)(*(3) 若若 是特征方程的是特征方程的重根重根 , , 02qp,02 p)(xQ 則是是 m 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式,故特解形式為故特解形式為xmexQxy)(*2小結(jié)小結(jié)對(duì)方程對(duì)方程,)2, 1, 0()(*kexQxyxmk此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微

25、分方程此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即即即當(dāng)當(dāng) 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 時(shí)時(shí),可設(shè)可設(shè)特解特解2022年年4月月29日星期五日星期五331332 xyyy求方程的一個(gè)特解的一個(gè)特解.解解: 本題本題而特征方程為而特征方程為,0322rr不是特征方程的根不是特征方程的根 .設(shè)所求特解為設(shè)所求特解為,*10bxby代入方程代入方程 :13233010 xbbxb比較系數(shù)比較系數(shù), 得得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為于是所求特解為.31*xy0,0例例52022年年4月月29日星期五日星期五34先求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，其特征方程是先求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，其特征方程是 0652 rrxxCCY3221ee2yAxBxC2022年年4月月29日星期五日星期五35. 2106652)106(622xxCBAxABAx. 2652,10106, 66CBAABA從而所求方程的通解為從而所求方程的通解為23212ee.xxyCCx2022年年4月月29日星期五日星期五36解解: 參見(jiàn)教材參見(jiàn)教材.解解: 參見(jiàn)教材參見(jiàn)教材.20