培優(yōu)專(zhuān)題等腰三角形含答案

1、9等腰三角形【知識(shí)精讀】（-）等腰三角形的性質(zhì)1 .有關(guān)定理及其推論定理：等腰三角形有兩邊相等；定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”）。推論1：等腰三角形頂角的平分線(xiàn)平分底邊并且垂直于底邊，這就是說(shuō)，等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高互相重合。推論2:等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60o等腰三角形是以底邊的垂直平分線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形；2 .定理及其推論的作用等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系，由兩邊相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角形底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高、頂角的平分線(xiàn)“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)是今后證明

2、兩條線(xiàn)段相等，兩個(gè)角相等以及兩條直線(xiàn)互相垂直的重要依據(jù)。（二）等腰三角形的判定1.有關(guān)的定理及其推論定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”。）推論1:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。推論2:有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3:在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。2,定理及其推論的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，它是證明線(xiàn)段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)，是本節(jié)的重點(diǎn)。3.等腰三角形中常用的輔助線(xiàn)等腰三角形頂角平

3、分線(xiàn)、底邊上的高、底邊上的中線(xiàn)常常作為解決有關(guān)等腰三角形問(wèn)題的輔助線(xiàn)，由于這條線(xiàn)可以把頂角和底邊折半，所以常通過(guò)它來(lái)證明線(xiàn)段或角的倍分問(wèn)題，在等腰三角形中，雖然頂角的平分線(xiàn)、底邊上的高、底邊上的中線(xiàn)互相重合，添加輔助線(xiàn)時(shí)，有時(shí)作哪條線(xiàn)都可以，有時(shí)需要作頂角的平分線(xiàn)，有時(shí)則需要作高或中線(xiàn)，這要視具體情況來(lái)定。【分類(lèi)解析】例1.如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且CE=CDDMLBQ垂足為M求證：M是BE的中點(diǎn)。分析：欲證M是BE的中點(diǎn)，已知DMLBC所以想到連結(jié)BD,證BD=ED,因?yàn)锳ABCM等邊三角形，/DBE=：/ABC而由CE=CD又可證/E=1/AC

4、B所以/1=/E,從而問(wèn)題得證。2證明：因?yàn)槿切蜛BC是等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)所以/1=1/ABC2又因?yàn)镃&CD所以/CDE/E所以/ACB=2/E即/1=/E所以BD=BEE,又DMLBC垂足為M所以M是BE的中點(diǎn)（等腰三角形三線(xiàn)合一定理）例2.如圖，已知：ABC中，ABAC,D是BC上一點(diǎn)，且ADDB,DCCA,求BAC的度數(shù)。分析：題中所要求的BAC在ABC中，但僅靠ABAC是無(wú)法求出來(lái)的。因此需要考慮ADDB和DCCA在題目中的作用。此時(shí)圖形中三個(gè)等腰三角形，構(gòu)成了內(nèi)外角的關(guān)系。因此可利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角關(guān)系定理來(lái)求。解：因?yàn)锳BAC,所以BC因?yàn)锳DD

5、B,所以BDABC；因?yàn)镃ACD,所以CADCDA（等邊對(duì)等角）而ADCBDAB所以ADC2B,DAC2B所以BAC3B又因?yàn)锽CBAC180即BC3B180所以B36即求得BAC108說(shuō)明1.等腰三角形的性質(zhì)是溝通本題中角之間關(guān)系的重要橋梁。把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系是此等腰三角形性質(zhì)的本質(zhì)所在。本條性質(zhì)在解題中發(fā)揮著重要的作用，這一點(diǎn)在后邊的解題中將進(jìn)一步體現(xiàn)。2 .注意“等邊對(duì)等角”是對(duì)同一個(gè)三角形而言的。3 .此題是利用方程思想解幾何計(jì)算題，而邊證邊算又是解決這類(lèi)題目的常用方法。例3.已知：如圖，ABC中，ABAC,CDAB于D。求證：BAC2DCB。分析：欲證角之間的倍半關(guān)系，結(jié)合題意

6、，觀察圖形，BAC是等腰三角形的頂角，于是想到構(gòu)造它的一半，再證與DCB的關(guān)系。證明：過(guò)點(diǎn)A作AEBC于E,ABAC所以121BAC（等腰三角形的三線(xiàn)合一性質(zhì)）2因?yàn)?B90又CDAB,所以CDB90所以3B90（直角三角形兩銳角互余）所以13（同角的余角相等）即BAC2DCB說(shuō)明：1 .作等腰三角形底邊高線(xiàn)的目的是利用等腰三角形的三線(xiàn)合一性質(zhì)，構(gòu)造角的倍半關(guān)系。因此添加底邊的高是一條常用的輔助線(xiàn)；2 .對(duì)線(xiàn)段之間的倍半關(guān)系，常采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”或“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”等輔助線(xiàn)的添加方法，對(duì)角間的倍半關(guān)系也同理，或構(gòu)造“半”，或構(gòu)造“倍”因此，本題還可以有其它的證法，如構(gòu)造出DCB的等角等。4、中考題型：

7、1 .如圖，4ABC中，AB=AC/A=36。，BD.CE分另fj為/ABC與/ACB的角平分線(xiàn)，且相交于點(diǎn)F,則圖中的等腰三角形有（）A.6個(gè)B.7個(gè)C.8個(gè)D.9個(gè)分析：由已知條件根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的度數(shù)可求得等腰三角形有8個(gè)，故選擇G2 .）已知：如圖，在ABC中，A況AC,D是BC的中點(diǎn)，DHAB,DF±AQE、F分別是垂足。求證：A&AF。證明：因?yàn)锳BAC,所以BC又因?yàn)镈EAB,DFAC所以BEDCFD90又D是BC的中點(diǎn)，所以DBDC所以DEBCFD（AAS）所以BECF,所以AEAF說(shuō)明：證法二：連結(jié)AD通過(guò)AEDAFD證明即可5、題形展示：

8、例1.如圖，ABC中，ABAC,A100,B阡分ABC。求證：ADBDBC。分析一：從要證明的結(jié)論出發(fā)，在BC上截取BFBD,只需證明CFAD,考慮到12,想到在BC上截取BEBA,連結(jié)DE易得，則有ADFD,只需證明DECF,這就要從條件出發(fā)，通過(guò)角度計(jì)算可以得出CFDFDE。證明一：在BC上截取BEBA,BFBD,連結(jié)DEDF在ABD和EBD中，BABE,12,BDBD又ABAC,A100而B(niǎo)DBF即ADBDBC分析二：如圖，可以考慮延長(zhǎng)BD到E,使DE>AD這樣BAAD=BD+DE=BE只需證明BE=BC,由于220,只需證明EBCE80易證EDCADB1801002060,BDC

9、120,故作BDC的角平分線(xiàn)，則有ABDFBD,進(jìn)而證明DECDFC,從而可證出E80。證明二：延長(zhǎng)BD到E,使DE>AD連結(jié)CE彳DF平分BDC交BC于F。由證明一知：1220,A100貝U有31801002060,6360,BDC18060120DF平分BDC4560345660,在ABD和FBD中ADFD,BFDA100，而ADDE,DFDE在DEC和DFC中，DEDF,56,DCDC在BCE中,20,380說(shuō)明：“一題多證”在幾何證明中經(jīng)常遇到，它是培養(yǎng)思維能力提高解題水平的有效途徑，讀者在以后的幾何學(xué)習(xí)中要善于從不同角度去思考、去體會(huì)，進(jìn)一步提高自身的解題能力?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】1

10、.選擇題：等腰三角形底邊長(zhǎng)為5cm一腰上的中線(xiàn)把其周長(zhǎng)分為兩部分的差為3cm,則腰長(zhǎng)為（）A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.以上都不對(duì)2 .如圖，ABC是等邊三角形，CBD90,BDBC,則1的度數(shù)O3 .求證：等腰三角形兩腰中線(xiàn)的交點(diǎn)在底邊的垂直平分線(xiàn)上.4 .ABC中，ABAC,A120,AB的中垂線(xiàn)交AB于D,交CA延長(zhǎng)線(xiàn)于E,求證：DE1BCo【試題答案】1 .B2 .分析：結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，計(jì)算圖形中角的度數(shù)是等邊三角形性質(zhì)的重要應(yīng)用。解：因?yàn)锳BC是等邊三角形所以ABBC,ABC60因?yàn)锽DBC,所以ABBD所以32在ABD中，因?yàn)镃BD90,ABC60所以ABD150

11、,所以215所以12ABC753 .分析：首先將文字語(yǔ)言翻譯成數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言。已知：如圖，在ABC中，ABAC,D>E分別為AGAB邊中點(diǎn),BDCE交于O點(diǎn)。求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線(xiàn)上。分析：欲證本題結(jié)論，實(shí)際上就是證明OBOC。而OBOCftABC中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為證含有1、2的兩個(gè)三角形全等。證明：因?yàn)樵贏BC中，ABAC所以ABCACB（等邊對(duì)等角）又因?yàn)镈E分別為ACAB的中點(diǎn)，所以DCEB（中線(xiàn)定義）在BCD和CBE中，所以BCDCBE（SAS）所以12（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）。所以O(shè)BOC（等角對(duì)等邊）。即點(diǎn)O在BC的垂直平分

12、線(xiàn)上。說(shuō)明：（1）正確地理解題意，并正確地翻譯成幾何符號(hào)語(yǔ)言是非常重要的一步。特別是把“在底邊的垂直平分線(xiàn)上”正確地理解成"O氏OC是關(guān)鍵的一點(diǎn)。（2）實(shí)際上，本題也可改成開(kāi)放題：“ABC,AB=ACDE分另U為ACAB上的中點(diǎn)，BDCE交于O。連結(jié)AO后，試判斷AO與BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論”其解決方法是和此題解法差不多的。4.分析：此題沒(méi)有給出圖形，那么依題意，應(yīng)先畫(huà)出圖形。題目中是求線(xiàn)段的倍半關(guān)系，觀察圖形，考慮取BC的中點(diǎn)。證明：過(guò)點(diǎn)A作BC邊的垂線(xiàn)AF,垂足為F。在ABC中，ABAC,BAC120所以BC3031所以1260,BFBC（等腰三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)）。2所以360（鄰補(bǔ)角定義）。所以13又因?yàn)镋D垂直平分AB,所