四年級奧數(shù)余數(shù)問題

1、第二講 余數(shù)問題帶余除法的定義：一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b0）,若有a÷b=qr，也就是ab×qr, 0rb；我們稱上面的除法算式為一個帶余除法算式。這里：(1)當時：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商(2)當時：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商在除法中，當被除數(shù)除以除數(shù)（除數(shù)不等于0）出現(xiàn)了余數(shù)（余數(shù)要比除數(shù)小），就稱為有余數(shù)的除法。在有余數(shù)的除法中，我們要記得： 1、被除數(shù)=除數(shù)×商余數(shù) 2、被除數(shù)余數(shù)=除數(shù)×商由此得到：除數(shù)=_；商=_。例題1、兩個整數(shù)相除，商是12，余數(shù)是8，并且被除數(shù)與除數(shù)的差是822

2、，求這兩個數(shù)。分析：這是一個差倍問題，畫線段圖可以分析得出：除數(shù)為：（822-8）÷（12-1）=74，被除數(shù)為：822+74=896例題2、（第十二屆“希望杯”數(shù)學(xué)四年級試題）在1到100這100個數(shù)中，被2,3,5除都有非零的余數(shù)，且余數(shù)彼此不等的數(shù)有        個。 分析：被2除余數(shù)為1，被3除余數(shù)為2，被5除余數(shù)為3或者4,用枚舉法，利用5的倍數(shù)進行枚舉：5+4=9,10+3=13,15+4=19,20+3=23等有23,29,53,59,83,89共6個。例題3、（第十二屆“希望杯

3、”數(shù)學(xué)四年級試題）五位數(shù)，被3除余2，被5除余3，被11除余0，則 。分析：用除法算式，先滿足被11除余0，得出ab可能取值為：01,12,23,34,45,56,67,78,89，再滿足被5除余3，末尾為3或者8，只能取23,78；最后滿足被3除余2，所以只有78.練習：1、（第十四屆小學(xué)“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽）一個除法算式，若被除數(shù)比除數(shù)大2016，商是15，余數(shù)是0，則被除數(shù)是        。2、（第十二屆“希望杯”數(shù)學(xué)四年級試題）過元旦時，班委會用730元為全班同學(xué)每人買了一份價值17元的紀念品，剩余1

4、6元，那么，這個班級共有 名。3、兩個數(shù)的和是444，較大的數(shù)除以較小的數(shù)所得的商是4余24，這兩個數(shù)各是多少？例題4、有一個111位數(shù)，各位數(shù)字都是1，這個數(shù)除以6，余數(shù)是幾？商的末位數(shù)字是幾？【解析】 我們可以用列表的方法尋求周期被除數(shù)中“1”的個數(shù)1234567除以6后余數(shù)的末位數(shù)字1531531除以6后商的末位數(shù)字0185185通過表格我們可以發(fā)現(xiàn)，余數(shù)出現(xiàn)的周期為3（1，5，3）；第1個“1”上相對應(yīng)的商為“0”，從第二個“1”開始，商的末位數(shù)字的周期為3（1，8，5）因為，所以這個數(shù)除以6后余數(shù)的末位數(shù)字是3；因為2，所以這個數(shù)除以6后商的末位數(shù)字是8例題5、 2000年的“元旦”

5、是星期六，這年的6月1日是星期_。解： 以“元旦”（1月1日）到“六一”，共有31293130311=153（天）； “星期”是以7天為一個周期，依次循環(huán)的，153÷7=21（周）6（天）。（如表所示）余數(shù)為6的是星期四，這年的6月1日星期 四 。時期1，82，93，104，115，12，6，137，14余數(shù)1234560星期六日一二三四五練習：1、（第十屆小學(xué)“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽決賽）規(guī)定，n個a相乘，記為觀察下面的計算：81=8, 82=64, 83=512, 84=4096, 85=32768, 86=262144, 87=2097152, 88=16777216則8201

6、7除以10，得到的余數(shù)是_2、（第十二屆“希望杯”數(shù)學(xué)四年級試題）已知2013年12月31日是星期二，那么2014年6月1日是 。（用數(shù)字作答：星期一用1表示，星期二用2表示，星期三用3表示，星期四用4表示，星期五用5表示，星期六用6表示，星期日用7表示。）3、（第十四屆“希望杯”數(shù)學(xué)四年級）王華每星期二、六學(xué)書法，已知2016年的元旦是星期五，那么在2016年8月，王華學(xué)書法的天數(shù)是        。 練習：1、 被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)的總和是100，已知商是12，余數(shù)是5，求被除數(shù)與除數(shù)。2、（華羅庚

7、金杯賽試題）已知被除數(shù)比除數(shù)大78，并且商是6，余數(shù)是3，則被除數(shù)與除數(shù)之積是_3、 2017年的“元旦”是星期日，這年的“五一”節(jié)是星期_。4、4×4×4××4的積除以10所得的余數(shù)是( )5、 （全國小學(xué)數(shù)學(xué)競賽） 某年的二月份有五個星期四，這年六月一日是星期_。解： 7×4=28（天），二月份有五個星期四必須是29天（閏月），且2月1日就是星期四。而從2月1日至6月1日共經(jīng)過了（293130311）=122天，122÷7=17（周）3日，3日（號）是星期二，故六月一日也是星期二。6、 下列所示，第一組是（1，A，我），第二組是（

8、3，B，們），第三組是（4，C，愛），問第94組是_。數(shù)母ABCABCABCAB漢字我們愛數(shù)學(xué)我們愛數(shù)學(xué)我7、 8把椅子排成一個正方形，依次編號（如下圖），張華坐在3號椅子上，他順時針前進了245個座位后又倒退了一個座位，這時他應(yīng)該坐在第幾號椅子上？8、 如圖所示，原先甲、乙、丙、丁四人分別坐在1，2，3，4號位子上，后來不停地調(diào)換位子。第一次上、下兩排交換，第二次再左右兩排交換，第三次再上、下兩排交換，第四次再左右兩排交換，這樣一直交換下去，第33次交換后，甲坐在第幾號位子上？1丙 2丁3甲 4乙1甲 2乙3丙 4丁1甲 2乙3丙 4丁1乙 2甲3丁 4丙1丁 2丙

9、3乙 4甲 開 始 第一次 第二次 第三次 第四次第二十講 <練習鞏固與拓展>答案1、解： 100÷6=16（周期）4（個）；1個周期里有1個，1×161=17（個）， 故第100個圖形是；前100個圖形中共有17個。2、解：94÷4=232，所以數(shù)字是3； 94÷3=311，所以字母是A； 94÷5=184，所以漢字是數(shù)； 這樣就可得第94組是（3，A，數(shù)） 51÷4=123，所以數(shù)字是2； 51÷3=17，所以字母是B； 51÷5=101，所以漢字是學(xué)； 這樣就可得2000是（2，B，學(xué)）。3、解：

10、如圖所示：幾個8連乘12345678910積的個位數(shù)8426842684 1993÷4=4981， 若干個8連乘，積的個位按8，4，2，6循環(huán)，所以1993年8連乘，積的個位數(shù)是8。4、解：如圖所示：錢數(shù)（元）131415161718192021222324255元本數(shù)21321324324353元本數(shù)1302413024130 35÷5=7 （13024）×7=70（本） 所以買3元一本課外書的總數(shù)是70本。5、解：1993÷5=3983，所以第1993個數(shù)是8. （42857）×398（428） =26×39814 =10362

11、所以這1993個數(shù)的和是10362。6、解：2000年是閏年：（312931301）÷7 =122÷7 =173 所以這年的勞動節(jié)是星期一。7、解：245÷8=305張華原坐在3號椅子上，順時針前進245個座位應(yīng)在8號椅子上。又倒退了一個座位，所以他應(yīng)該坐在第7號椅子上。8、解：33÷4=81 所以甲應(yīng)坐在3號位子上。9、解：（1）489÷6=813 所以489應(yīng)排在C行上。 （2）2×811=163 所以排到489時，A行共有163個數(shù)。 （3）500÷6=832 2×831=167 所以500應(yīng)在B行的第167

12、個數(shù)。10、解：（20005）÷8=2493 所以數(shù)到2000時正好數(shù)到食指上。11、解：（10004）÷6=166 所以第1000個數(shù)字是2 1992=21 868842=36 2136×166 =215976 =5997 所以這1000個數(shù)字的和是5997。12、解：若干個4連乘，積的個位數(shù)字按4，6循環(huán)。 1900÷2=950 所以1900個4連乘積的個位數(shù)是6.13、解：若干個2連乘，積的個位數(shù)字按2，4，8，6循環(huán)。 2222÷4=5552 所以2222個2222相乘，所得結(jié)果的個位數(shù)是4。14、解：2499=7，三個相鄰數(shù)字為9、8、7 經(jīng)嘗試X=815、解：把錢數(shù)和可買粘貼紙的張數(shù)列表：錢數(shù)（角）5678910111213141516172角張數(shù)10210210210213角張數(shù)1212323434545 2角一張的張數(shù)變化規(guī)律是1，0，2這三個數(shù)循環(huán)。 46&#