屋檐水槽的問題

1、 2012年四川理工學院第九屆大學生數學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了四川理工學院大學生數學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式(包括電話、電子郵件、網上咨詢等)與隊外的任何人(包括指導教師)研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料(包括網上查到的資料)，必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是(從A/B/C/D中選擇一項填寫)： D 我們的參賽報名

2、號為(如果設置報名號的話)： 40 所屬學校(請?zhí)顚懲暾娜?： 四川理工學院 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 余林 工程管理三班 2. 趙鴻平 網絡一班 3. 王夢 工分一班 日期： 2012 年 05 月 20 日評閱編號(由評委團評閱前進行編號)：2012年四川理工學院第九屆大學生數學建模競賽編 號 專 用 頁評閱編號(由評委團評閱前進行編號)：評閱記錄表評閱人評分備注屋檐水槽的問題摘要對于房管在解決傾斜屋頂采用何種結構進行有組織排水, 是民用建筑一個普通而實際的問題。在民用建筑中一般是在房頂的邊緣安裝一個檐槽和一個豎立的排水管來排水, 這種排水方式的可行性探討實際上是解決水槽的容量

3、在單位時間內能否足以排出雨水的問題。為了論證該管道公司生產的管道的實用性,我們通過討論房屋傾角，水流速度及時間的關系構建了這種排水方式的隨時間推移水面上漲的微分方程模型,借助和運用matlab軟件繪圖及計算對設計方案進行了可行性論證(其中運用matlab繪圖對模型進行可視化分析),從而得出該公司生產的水槽符合條件，能夠達到良好排水的作用。并提出了屋檐水槽模型的優(yōu)化方案，使模型有進一步的改進。關鍵詞 ：速度平衡原理、微分方程、數值解、 matlab繪圖。 一、問題的重述及簡化 房屋管理部門想在房頂的邊檐安裝一個檐槽，其目的是為了雨天出入方便。從屋脊到屋檐的房頂可看成是一個12米長，6米寬的矩形平

4、面，房頂與水平方向的傾斜角度一般在 c d b a b現有一公司想承接這項業(yè)務，允諾：提供一種新型的檐槽，包括一個橫截面為半圓形（半徑為7.5cm）的水槽和一個豎直的排水管（直徑為10cm），不論天氣情況如何，這種檐槽都能排掉房頂的雨水。房管部門猶豫，考慮公司的承諾能否實現。請你建立數學模型，論證這個方案的可行性。 現對模型進行簡化：水槽的容量能否足以排出雨水的問題，簡化為水箱的流入流出問題。從房頂上流下的雨水量是流入量；順垂直于房頂的排水管排出的是流出量。水槽能否在沒有溢出的情況下將全部雨水排出，即就是要研究水槽中水的深度與時間的函數關系。二、假設（1）雨水垂直下落并且直接落在房頂上；（2）

5、落在房頂上的雨水全部迅速流入水槽中；（3）落在房頂上的雨沒有濺到外面去；（4）在排水系統中不存在一些預料不到的障礙，象落在房頂上的雜物、樹葉等；（5）假設在水槽中已有雨水深0.01m； 假設(1)是合理的，雨水垂直打在房頂上符合下特大暴雨時的特點，且利于簡化模型。 假設（2）（3）（4）也是合理的，利于模型建立且減小計算過程中的誤差。 假設（5）也是合理的，由于水槽橫截面為半圓形，槽中有一點積水是正常的。 有關因素因素類型符號單位降水速度輸入變量時間變量ts房頂的傾斜角輸入變量 (20-50)度房頂的長度輸入參數am房頂的寬度輸入參數bm水槽的半徑輸入參數rm水槽中水的高度輸出變量hm水槽中水

6、的容量變量V流入水槽的流速變量流入水管的流速變量排水管的直徑參數dm重力加速度參數g四、模型的建立h水abcd圖（一）.屋面水流示意圖圖（二）.水槽橫截面示意圖水流現建立模型示意圖：考察水槽能否及時排掉從屋頂流下的雨水，就是研究水槽中的水深與時間的函數關系。根據速度平衡原理，對于房頂排水系統有：水槽中的水的容量的變化率=雨水流入水槽的流速-流出水槽的流速，即 其中,分別為單位時間排水系統的流入水槽和流出水槽的雨水流量。表示單位時間里落在水平面上雨水的深度，房頂的面積是ab，由于房頂是傾斜的，如圖（一）所示，屋頂實際受雨的面積:根據假設（1），屋頂上雨水的流速為：，由于雨水是沿傾斜的房頂流下的，

7、所以流入水槽的流速應該是在豎直方向的分量，直接落入水槽的雨形成的雨的流量是,即 。 水槽中水的深度h=maxmax=h(i);else breakendendj=a(i)圖1j=0.7860a=j*180/pia =45.0363(二)：由獲得的數據可知h取最值時a0.786.由獲得的數據可以判定角度a=0.786rad=45.0363度時對h的平衡時高度影響最大所以我們將角度設定為pi/4。代值化簡公式為設定h(t)=0時將數據代入處理如下： k=36.92*16/(pi2*0.14*19.6); k=1.1262e+06syms v;Hmax=k*v2;（獲得穩(wěn)定狀態(tài)下水深與速度的關系函數

8、） 假設穩(wěn)定狀態(tài)在0.075米時 以下由穩(wěn)定狀態(tài)水深與速度函數獲得最大降雨量； Hmax=0.075; v=sqrt(Hmax/k) v= 2.5806e-04(三)：為了做進一步的論證，小組討論取幾個降雨速度的特殊值點來證明模型的準確性并求解其最大高度，運用積分將h(t)的積分后的函數的一部分繪制出來，以便作出直觀判斷.v1=0.00018;v2=0.00029;v3=0.00035; 建立函數文件表示幾個特殊點的原函數并繪制部分曲線 hwei=(t,h) (3.075*v1-0.0029*sqrt(h)/sqrt(0.15*h-h2);t,h=ode45(hwei,0,60,0.01);h

9、1ma=max(h);hwei2=(t,h2) (3.075*v2-0.0029*sqrt(h2)/sqrt(0.15*h2-h22);t,h2=ode45(hwei2,0,60,0.01);h2ma=max(h2);hwei3=(t,h3) (3.075*v3-0.0029*sqrt(h3)/sqrt(0.15*h3-h32);t,h3=ode45(hwei3,0,60,0.01);h3ma=max(h3); plot(t,h)xlabel(t)ylabel(h)title(v1時時間與高度的變化曲線) h1mah2mah3ma圖2 figure(2)plot(t,h2)xlabel(t)y

10、label(h2)title(v2時時間與高度的變化曲線) 圖3 figure(3)plot(t,h3)xlabel(t)ylabel(h3)title(v3時時間與高度的變化曲線) 圖4h1ma =0.0275h2ma =0.0709h3ma = 0.1025由采樣點圖形的走勢與數值結果滿足模型的理想結果即在此種情況下公司能夠兌現其承諾；由于降雨的不穩(wěn)定性我們設定降雨為正弦的周期函數；并且中國氣象局規(guī)定五年一遇的特大暴雨暴雨為69mm/h;由于模型的承接雨水具有瞬時性所以假設一小時內只有十分之一的時間都在下雨；且設定k為瞬時最大降雨量；k=69*10/(3600*103)k = 1.9167

11、e-04小組以短時最大降雨量為參考量嚴格判定模型是否滿足要求； hmw= (t,h) (3.075*k*sin(pi*t/60)-0.0029*sqrt(h)/sqrt(0.15*h-h2); t,h=ode45(hmw,0,60,0.01); plot(t,h) 圖5圖5j=max(h) j =0.0371 由j的數值最大解可得到在嚴苛的論證之下j0.075公司能夠兌現其承諾,而其中由圖4 中h隨t的變化示意圖可以看出,h不會超過0.075m,則不會溢出,論證成立 .。 六、模型評價 模型優(yōu)點：（1） 在對模型的求解時通過對微分函數模型的一小段進行求積分處理，利用數值解反映到模型的整個過程中

12、，直觀體現整個過程水深h與時間的變化關系，若擴寬對模型積分的范圍，則易得到其余部分的模型的解。（2） 該模型考慮到房屋傾角對水流速度及對水槽積水的影響，建立了水槽積水平衡時水深h與房屋傾角1818181818181818181818181818181818181818181818181818181818模型缺點：（1） 該模型未能考慮到房面因強降雨而使雨水產生較大的速度沖擊水槽，從而使雨水溢出的情況，不利于有效的排水。七、模型改進及優(yōu)化在我國某些多雨地區(qū),考慮到可能會出現下特大暴雨的情況，則上面建立的模型可能會不利于給房屋排水，因此在在下暴雨的情況下對該模型有如下改進:(1)增大排水管的橫截面積A , 即增大排水管的半徑。當排水管半徑增大為0. 056 m, r 0. 000 36 m/ s, 水槽的水不會出現溢出的情況.h( t) 的最大值不會超過0. 07 m。(2)