微積分的思想和方法

1、微積分的思想和方法（部分講義）黃 榮第四講第四章 定積分與不定積分教學(xué)目標1、了解定積分產(chǎn)生的歷史、實際背景，理解定積分的概念，掌握定積分的性質(zhì)；2、理解原函數(shù)與不定積分的概念；3、掌握不定積分性質(zhì)與其本積分公式；4、掌握定積分的牛頓一萊布尼茲公式；5、了解定積分在實際問題中的應(yīng)用；6、了解簡單微分方程的概念。重點難點定積分、不定積分的概念、牛頓一萊布尼茲公式。學(xué)習(xí)建議1、學(xué)習(xí)定積分概念時，應(yīng)充分注意體現(xiàn)微積分的基本思想。2、學(xué)員學(xué)習(xí)不定積分時，要注意加強練習(xí)，盡量做到掌握不定積分的計算方法。3、牛頓一萊布尼茲公式，建立了微分和積分之間的聯(lián)系，學(xué)員應(yīng)適當練習(xí)，切實掌握。4、為了掌握計算技能，學(xué)

2、員必須做適當?shù)木毩?xí)。課時分配面授8課時，自學(xué)16 課時。面授輔導(dǎo)1、不定積分1.1不定積分定義1.1.1原函數(shù)如果函數(shù)f(x)與f(x)定義在同一區(qū)間(a，b)，并且處處都有：F1(x)=f(x)或df(x)=f(x)dx則稱f(x)是f(x)的一個原函數(shù)。下列是一些簡單函數(shù)的原函數(shù)：出數(shù)原函數(shù)cosxsinxsinx-cosxexexen xn+1設(shè)函數(shù)f(x)與F(x)定義在同一區(qū)間(a，b) 內(nèi)?？郌(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則F(x)+c也是f(x)的原函數(shù)，c為常數(shù)。例1：求2x的原函數(shù)F(x)，且使F(2)=7。解： x2=2x x2是2x的一個原函數(shù)。 2x的全體原函數(shù)為 F

3、(x)=x2+c (c為常數(shù)) F(2)=22+c=7 c=3F(x)=x2+3為所求。例2：求sinx的原函數(shù)F(x)，且使F(0)=4。解：由于 (-cosx)=sinx 因此-cosx就是 sinx的一個原函數(shù)。 sinx的全體原函數(shù)記為 F(x)=-cosx+c依題意有：F(o)=-cosD+c=4 c=5所求F(x)=-cosx+5例3：求f(x)=x3-3x2+2x+7的原函數(shù)。解：f(x)的一個原函數(shù)為 x4-x3+x2+7x則f(x)的全部原函數(shù)為F(x)= x4-x3+x2+7x+c (c為常數(shù))1.1.2不定積分定義函數(shù)F(x)的原函數(shù)的全體稱為f(x)的不定積分，記為 (

4、x)dx。其中 稱為積分號，x稱的積分變量，(x) 稱為被積函數(shù)。雖然 (x)dx=F(x)+c(c為任意常數(shù)，稱為積分常數(shù))注意：“不定積分”與“求導(dǎo)數(shù)”、“求微分”互為逆運算。 例1           已知自由落體的運動速度，求自由落體的路程公式。解 設(shè)自由落體的路程公式為。由導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義可知，速度。聯(lián)想到，并且常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以。于是路程公式為 （為任意常數(shù)）又因當時，代入上式，可得，故所求的路程公式為 該物理問題是已知速度求路程。抽象為數(shù)學(xué)問題，就是已知導(dǎo)數(shù)求原來的函數(shù)，這是求導(dǎo)數(shù)的

5、逆運算。數(shù)學(xué)中的逆運算我們已經(jīng)碰到過不少，比如相對于加法的減法，相對于乘法的除法，相對于乘方的開方等。這里需要解決兩個問題：一是逆運算是否存在？二是如果逆運算存在的話，結(jié)論有幾個？現(xiàn)在就來圍繞這兩個問題解決求導(dǎo)數(shù)（或微分）的逆運算問題。 首先我們要知道什么是原函數(shù)。根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式或微分公式，我們很容易得出一些簡單函數(shù)的原函數(shù)。如 函數(shù) 原函數(shù) 從這些例子不難看出，是的原函數(shù)，也是的原函數(shù)，這里是任意常數(shù)。于是產(chǎn)生這樣一個問題：同一個函數(shù)究竟有多少原函數(shù)？ 定理 設(shè)函數(shù)與定義在同一區(qū)間內(nèi)。若是的一個原函數(shù)，則也是的原函數(shù)，這里是任意常數(shù)；而且包含了的全部原函數(shù)。證明 因為 所以是的原函數(shù)

6、。下面證明包含了的一切原函數(shù)。而這只需證明，的任一原函數(shù)必然有的形式。證明 根據(jù)假設(shè) ，從而 ，由中值定理推理2得 ， 故 。例1 求的原函數(shù)，且使。解 我們知道，因此就是的一個原函數(shù)，的全體原函數(shù)記為=+。根據(jù)題意，我們求常數(shù)。 ，=3所以 =+3例2 求的原函數(shù)，且使。解 求解的思路同例1一樣。我們知道，因此就是的一個原函數(shù)，的全體原函數(shù)記為=+。根據(jù)題意，我們求常數(shù)。 ，=5所以 =+5例3 求的原函數(shù)解 的一個原函數(shù)為 則的全部原函數(shù)為（為常數(shù)）。 不定積分定義定義 函數(shù)的原函數(shù)的全體稱為的不定積分，記為 ，其中稱為積分號，稱為積分變量，稱為被積函數(shù)。由定理可知，如果知道了的一個原函數(shù)，則 ，其中是一個任意常數(shù)，稱為積分常數(shù)。 關(guān)于不定積分運算和微分運算從不定積分的概念可知，“不定積分”與“求導(dǎo)數(shù)”、“求微分”互為逆運算： 或；反過來， 或。這就是說，若先積分后微分，則兩者的作用互相抵消；若先微分后積分，則抵消后差一常數(shù)。 例4 求解 是指求的一切原函數(shù)，所以=不定積分的幾何意義作例4的函數(shù)族圖，得到一曲線族，不定積分的幾何意義就是曲線族。由一條曲線上下平移而得到。它們在同一點的切線斜率相等，如圖所示。