微分方程的定1

1、微分方程的定義：凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）或微分的方程叫微分方程。（記號：在表達(dá)微分方程時，用字母D表示求微分，D2，D3等表示求高階微分，任何D后所跟的字母為因變量，自變量可以指定或有系統(tǒng)規(guī)則選定，例如用表示微分方程。：）。微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程的階。定義式如下： F(x, y, y¢, ., y(n) = 0 常微分方程：在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計、彈道的計算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等。這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題。常微分方程實(shí)例下下列方程都是

2、微分方程 (其中 y, v, q 均為未知函數(shù)). (1) y¢= kx, k 為常數(shù)； (2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0； (3) mv¢(t) = mg - kv(t)； 一階微分方程的形式及解法（1）一階微分方程的普遍形式 一般形式：F（x,y,y''）=0 標(biāo)準(zhǔn)形式：y'=f(x,y) 微分方程的解： 任何代入微分方程后使其成為恒等式的函數(shù)，都叫做該方程的解.若微分方程的解中含有任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同，且任意常數(shù)之間不能合并，則稱此解為該方程的通解(或一般解).當(dāng)通解中的各任意常數(shù)都取特定值時所得到的解，稱為

3、方程的特解。 一般地說，n 階微分方程的解含有 n個任意常數(shù)。也就是說，微分方程的解中含有任意常數(shù)的個數(shù)和方程的階數(shù)相同，這種解叫做微分方程的通解。通解構(gòu)成一個函數(shù)族。 如果根據(jù)實(shí)際問題要求出其中滿足某種指定條件的解來，那么求這種解的問題叫做定解問題，對于一個常微分方程的滿足定解條件的解叫做特解。對于高階微分方程可以引入新的未知函數(shù)，把它化為多個一階微分方程組。微分方程求解：1.可分離變量：形如y=f(x)*g(y)解法兩邊同時積分為2.齊次方程：形如y=令u=y/x有u+ux=y代入原方程有u+ux=f(u)可分離變量 3.全微分方程：形如其中4.線性微分方程微分方程求解方法：解析解、數(shù)值解

4、法、定性理論解析解：Matalb中求微分方程解析解的函數(shù)是dsolve，其調(diào)用格式為：dsolve(eq1,eq2, cond1,cond2, v)該函數(shù)求解常微分方程組eq1,eqn在初值條件cond1,condn下的特解，若不給出初值條件，則求方程組的通解，v給出指定的自變量，如果不給出，默認(rèn)的自變量為。例如，求常微分方程的通解。輸入：>> dsolve('Dy=2')其默認(rèn)的獨(dú)立變量為。例如，求常微分方程的通解。輸入：>>dsolve('Dy=1/(x+y)','x')輸出結(jié)果為：ans = -lambertw(-C

5、1*exp(-x-1)-x-1這里Y=lambertw(X)表示：Y*exp(Y)=X。例如，求常微分方程的通解。輸入：>> dsolve('D2y-2*Dy+5*y=exp(x)*sin(2*x)','x')ans = exp(x)*sin(2*x)*C2+exp(x)*cos(2*x)*C1-1/4*exp(x)*cos(2*x)*x 例如，求常微分方程滿足初始條件的特解。輸入：>> dsolve('D2y-y=4*x*exp(x)','y(0)=0,Dy(0)=1','x)ans = exp(

6、x)-exp(-x)+(-1+x)*x*exp(x) 例如，求常微分方程組的通解。輸入：>x,y=dsolve('Dx=y+1,Dy=x+1','t') x =exp(t)*C2-exp(-t)*C1-1y =exp(t)*C2+exp(-t)*C1-1數(shù)值解： 微分方程數(shù)值解法的命令格式：t,x= 'solver ' ('xfun',t0 tf,y0,tol)(1) 在解n個未知函數(shù)的方程組時，x0和x均為n維向量，m-文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫成；(2) 使用Matlab軟件求數(shù)值解時，高階微分方程必須等價地變

7、換成一階微分方程組例如，求微分方程在區(qū)間上的數(shù)值解。解： 建立m文件example0707.m如下： function dy=example0707(t,y) dy=t; 輸入命令： t, y=ode45('example0707',-1,1,1); plot(t,y,'*') 一階微分方程： y=f(x,y) (1)對稱形式：p(x,y)dx+q(x,y)dy=0_ (2）一般的，如果一個一階微分能寫成 g(y)dy=f(x)d(x)形式,那么稱這個微分方程就為可分離變量的微分方程。例如：解微分方程 :dy/dx=-x/y 解：分離變量，的ydy=-xdx,兩

8、邊積分得 因而通解為 x2+y2=c齊次微分方程：如果把 y=f(x,y) 中的 f(x,y) 寫成的函數(shù)，即 f(x,y) = f(x/y)形式階級步長:MATLAB使用龍格-庫塔-芬爾格（Runge-Kutta-Fehlberg）方法來解ODE問題。在有限點(diǎn)內(nèi)計算求解。而這些點(diǎn)的間距有解的本身來決定。當(dāng)解比較平滑時，區(qū)間內(nèi)使用的點(diǎn)數(shù)少一些，在解變化很快時，區(qū)間內(nèi)應(yīng)使用較多的點(diǎn)。為了得到更多的有關(guān)何時使用哪種解法和算法的信息，推薦使用helpdesk。所有求解方程通用的語法或句法在命令集中頭兩行給出。時間間隔將以向量t=t0,tt給出。命令ode23可以求解(2,3)階的常微分方程組，函數(shù)o

9、de45使用(4,5)階的龍格-庫塔-芬爾格方法。注意，在這種情況下x是x的微分不是x的轉(zhuǎn)置。在命令集中solver將被諸如ode45函數(shù)所取代命令集 龍格-庫塔-芬爾格方法time,x=solver(str,t,x0) 計算ODE或由字符串str給定的ODE的值，部分解已在向量time中給出。在向量time中給出部分解，包含的是時間值。還有部分解在矩陣x中給出，x的列向量是每個方程在這些值下的解。對于標(biāo)量問題，方程的解將在向量x中給出。這些解在時間區(qū)間t(1)到t(2)上計算得到。其初始值是x0即x(t(1).此方程組有str指定的M文件中函數(shù)表示出。這個函數(shù)需要兩個參數(shù)：標(biāo)量t和向量x,應(yīng)

10、該返回向量x(即x的導(dǎo)數(shù))。因?yàn)閷?biāo)量ODE來說，x和x都是標(biāo)量。在M文件中輸入odefile可得到更多信息。同時可以用命令numjac來計算Jacobi函數(shù)。t,x=solver(str,t,x0,val) 此方程的求解過程同上，結(jié)構(gòu)val包含用戶給solver的命令。參見odeset，可得到更多信息。Ode45 此方法被推薦為首選方法。Ode23 這是一個比ode45低階的方法。Ode113 用于更高階或大的標(biāo)量計算。Ode23t 用于解決難度適中的問題。Ode23s 用于解決難度較大的微分方程組。對于系統(tǒng)中存在常量矩陣的情況也有用。Ode15s 與ode23相同，但要求的精度更高。Ode

11、23tb 用于解決難度較大的問題，對于系統(tǒng)中存在常量矩陣的情況也有用。Options=odeset(set1,vak1,set2,val2,) 微分方程求解途徑：1根據(jù)規(guī)律列方程；（利用數(shù)學(xué)、力學(xué)物理、 化學(xué)等學(xué)科中的定理或經(jīng)過實(shí)驗(yàn)的規(guī)律等找出變量及其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，來建立微分方程） 2.微院分析法；（利用已知的鼎力與規(guī)律尋找微元之間的關(guān)系，與第一種不同的是對微元而不是直接對函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律） 3.模擬近似法；matlab求解代碼：y"'+y"+y'-x+5=0;此方程化為：d3y+d2y+dy-x+5=0;y=dsolve('D3y+D2y+Dy-x+5=0','x');y=-