2020年九年級數(shù)學中考復習：壓軸訓練之圖形存在性問題(包含答案)

1、2020 中考數(shù)學 壓軸訓練之圖形存在性問題(含答案)1.如圖，已知拋物線 y= ax1 2+ bx+ 4 與 x 軸交于點 A(- 1, 0)、B(8, 0)，與 y 軸交于點 C.(1)求拋物線的解析式；點 P 是線段 BC 上一動點，過點 P 作 x 軸的垂線，交拋物線于點 M，交 x 軸于點 N,過點 M 作 MH 丄 BC 于點 H，求 PMH 周長的最大值；在的條件下，是否存在點P,使得以點 P、C、M 為頂點的三角形與 OBC 相似？若存在，求出117設點 P 的坐標為(m , ，m + 4),則點 M 的坐標為(m , m2+ ?m + 4), PM = 2m2+ |m + 4

2、(如+ 4) = *m2+ 4m= *(m 4)2+ 8 ,11o ,口 a b + 4= 0 得64a+ 8b+ 4 = 01a=217拋物線的解析式為 y= 2*+只+ 4；令 x= 0,貝 U y= 4,點 C 的坐標為(0, 4),設直線 BC 的解析式為 y = kx+ t, 將點 B(8, 0), C(0, 4)分別代入得,128k+1 = 0k=-，解得t= 4直線 BC 的解析式為y = ?x+ 4 ,當 m_ 4 時，PM 有最大值，其最大值為 8,MH 丄 BC, MN 丄 AB , MHP_ZPNB_90,MPH_ZBPN,HMP_ZABC,MHP_ZBOC_90, MP

3、H BCO ,TOC_4,OB_8, BC_43 4 5+ 82_ 4 5 , OBC 的周長為 4+ 8+ 4 5 _ 12+ 4 5 , 設厶 PMH 的周長為 L ,貝 UL_8,解得 L _辛+ 8 ,12+ 4,54.56 7 PMH 周長的最大值為8-5+ 8;5存在，1當/ MCP = 90時，易得 MPCs如解圖，過點 M 作 MG 丄 OC 于點 G,/GCM+ZBCO= ZOBC+ ZBCO=90/GCM=ZOBC,/CGM=ZBOC=90,CMG BCO, MG_OC_1CG_OB_2，-MG_ ?CG ,1由知，點 P 的坐標為（m,，m+ 4），點 M 的坐標為（m,

4、311127 m_ CG _ (OG OC) _ 2( ?m2+ ?m+ 4 4),整理得 m2 3m _ 0 ,6點 P 的坐標為(3 ,刁；解得 m _ 0(舍去)或 m _ 3 ,ZZZZ-m2+7m + 4),第1題解圖 當/ PMC = 90寸， 如解圖， 易得 CPMsBCO,/MNO+ ZCMP=180, CM / OB,MN = OC= 4,1272m2+ 2m+ 4 = 4解得 m= 0(舍去)或 m = 7,1點 P 的坐標為(7, 2),綜上所述，存在滿足條件的點P，點 P 的坐標為(3，5)或(7,壬).2.如圖，以 D 為頂點的拋物線 y= x2+ bx+ c 交 x

5、 軸于 A、B 兩點，交 y 軸于點 C,直線 BC 的表達 式為 y= x+ 3.(1)求拋物線的表達式；在直線 BC 上有一點 P,使 PO+ PA 的值最小，求點 P 的坐標；在 x 軸上是否存在一點 Q,使得以 A、C、Q 為頂點的三角形與 BCD 相似，若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.解：直線 y= x+ 3 與 x 軸交于點 B,與 y 軸交于點 C,當 x= 0 時，y= 3,當 y= 0 時，x= 3, B 點坐標是(3, 0), C 點坐標是(0, 3),T拋物線 y= x2+ bx+ c 經(jīng)過 B, C 兩點，c= 3c= 3，解得，9 + 3b+ c= 0

6、b= 2拋物線的解析式為：y = x2+ 2x+ 3;(2)如解圖，作點 O 關于直線 BC 的對稱點 O 連接 OC, O B, O A, O O, 點 B, C 兩點的坐標分別是(3,0)和(0, 3),四邊形 COBO 為正方形， O的坐標為(3, 3),拋物線 y= x2+ 2x+ 3 交 x 軸于 A, B 兩點，.當 y = o 時，x2+ 2x+ 3 = 0,解得：xi= 1 , x2= 3, A 點坐標是(一 1, 0), 設直線 AO 的解析式為 y = kx+ b,- A( 1 , 0), O (3, 3),3k+b=0,解得3k+ b= 3k= 3b=333直線 AO 的

7、解析式為：y = x+4直線 AO 與直線 BC 的交點就是使 PO+ PA 的值最小的點 P 的位置,33y = _ x+ _聯(lián)立直線 AO 與直線 BC 的解析式，得 44，解得y= x+ 3點 P 的坐標是(9,號)；存在.拋物線的解析式可化為y= (x 1)2+ 4,點 D 的坐標是(1 , 4),- B(3, 0), C(0, 3), BC= 3 2, CD= 2, BD = 2 5, BC2+ CD2= BD2,即/ DCB = 90點 Q 在 x 軸上， /CAQM90 ,當/ CQA = 90時，Q 點與原點重合，此時 AQ = 1 , CQ = 3 , AC= ,10, .A

8、Q = CQ AC =2DC = BC= DB = 2 ,ACQsDBC,此時 Q(0,0);2當/ ACQ = 90時，ACQDCB AOC ,.OA= AC _J_ =血CA=AQ, .10=AQ A( 1, 0) , Q(9 , 0)；綜上所述,在 x 軸上存在點 Q,使得以 A、C、Q 為頂點的三角形與 BCD 相似，點 Q 的坐標是(9 , 0) 或(0, 0).9x= 712,y= 7 AQ= 10 ,第 2 題解圖3.如圖，拋物線 y= x2 2x-3 經(jīng)過點 A (2,3)，與 x 軸負半軸交于點 B,與 y 軸交于點 C,且 OC = 30B.(1) 求點 B, C 的坐標；

9、(2) 若點 D 在 y 軸上，且/ BDO =ZBAC,求點 D 的坐標；(3) 若點 M 為拋物線上一點，點 N 在拋物線的對稱軸上，是否存在以點A、B、M、N 為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點M 的坐標，若不存在，請說明理由.解：令 x= 0 得 y= 3,-C(0, 3),0C= 3,/ 0C= 30B, 0B= 1,-B( 1 , 0),把 A(2, 3), B( 1, 0)分別代入 y= ax2+ bx 3 得:a b 3= 0a = 1，解得，4a+ 2b 3= 3b = 2拋物線的解析式為 y= x2 2x 3;- C(0, 3), A(2, 3), A

10、C/ x 軸，如解圖，過點 B 作 BE 丄AC,BE=3,又 OB = 1, AE= 3 , AE = BE,/ BAE = 45/ BDO = Z BAC = 45 OB= OD, D 點的坐標為(0, 1)或(0, 1),(3)存在如解圖.yr/4 | 7Qv,i “(v jcJ!第 3 題解圖當 AB/ MN 時，由 AB = MN = 3 2，可知點 M 與對稱軸的距離為 3,由 y= x2 2x 3 可得對稱軸為直 線 x= 1,點 M 的橫坐標為 4 或一 2,把 x= 4 和一 2 分別代入 y= x2 2x 3 可得點 M 坐標，把 x= 2 代入 y = x2 2x 3 得

11、 y= 4 + 4 3= 5,- M1( 2, 5).把 x= 4 代入 y= x2 2x 3 得 y = 16 8 3= 5,M2(4,5),當 MN 與 AB 互相平分時，四邊形 AMBN 是平行四邊形，由 AC= BN = 2,可知點 M 與點 C 重合，點 M3坐標為(0, 3), M 的坐標為(一 2, 5)或(0, 3)或(4, 5).4.如圖，拋物線頂點 P(1 , 4)，與 y 軸交于點 C(0, 3)，與 x 軸交于點 A, B.(1) 求拋物線的解析式；(2) Q 是拋物線上除點 P 外一點， BCQ 與厶 BCP 的面積相等，求點 Q 的坐標；(3) 若 M , N 為拋

12、物線上兩個動點，分別過點M , N 作直線 BC 的垂線段，垂足分別為 D, E,是否存在點 M , N 使四邊形 MNED 為正方形？如果存在，求正方形MNED 的邊長；如果不存在，請說明理由.1vp/L,V X第 2 題圖 解：設拋物線解析式為：y= a(x 1)2+ 4(a豐0).拋物線過點 C(0, 3),- a+ 4= 3, a= 1. y= (x 1)2+ 4 =- x2+ 2x+ 3;由得，拋物線的解析式為 y= x2+ 2x+ 3,令 y= 0,解得 xi= 1, x2= 3, A( 1 , 0), B(3, 0),TC(0, 3) ,直線 BC 的解析式為 y = x + 3

13、,TSABCP=SABCQ,點 P、Q 到 BC 的距離相等.1當點 P、Q 位于 BC 的同側時，如解圖，過點 P 作 PQ/ BC 交拋物線于 Q,又TP(1 , 4),直線 PQ 的解析式為 y= x+ 5,y= x+ 5, 聯(lián)立 y=-x2+2x+ 3.X1= 1解得(舍去),y1= 4- Qi(2, 3).當點 P、Q 位于 BC 的異側時，設拋物線的對稱軸交BC 于點 G,交 x 軸于點 H , G(1, 2),T此時點 P、H 到 BC 的距離相等， H(1, 0),PG= GH= 2,如解圖，過點 H 作 Q2Q3/ BC 交拋物線于點 Q2, Q3.直線 Q2Q3的解析式為y

14、= x+1,y= x+ 1, 聯(lián)立y=-x2+2x+ 3.3 .17x2=21+17X2= 2y2= 33 + 一 17x1=2解得， 1 師y1= 2y2=2亠 3 1 + V1?3+7 10Q2(2 ,2), Q3(2 ,).(3)存在滿足條件的 M , N.如解圖，過點 M 作 MF / y 軸，過點 N 作 NF / x 軸交 MF 于點 F，過點 N 作 NH / y 軸交 BC 于點 H. 則厶MNF 與厶 NEH 都是等腰直角三角形.設 M(xi, yi), N(X2, y2)，直線 MN 的解析式為 y= x+ b.y=- x+ b,y= x2+ 2x+ 3, x2 3x +

15、(b 3) = 0. NF2= |xi X2|2= (xi+ X2)2 4xix2= 21 4b. MNF 為等腰直角三角形， MN2= 2NF2= 42 8b.直線 MN 與 y 軸交點(0, b)到點 C(0, 3)的距離為|b 3|, NH2= (b 3)2,TNE=NH,i NE2= 2(b 3)2.如果四邊形 MNED 為正方形， NE2= MN2, 42 8b= 2(b2 6b + 9). b2+ 10b 75= 0,bi= 15, b2= 5.正方形邊長為 MN =428b, MN = 9 .2 或 2,正方形 MNED 的邊長為 9 2 或 2.5.如圖，已知拋物線 y= ax

16、2+ bx+ c(a 0)的對稱軸為直線 x= 1,且拋物線與 x 軸交于 A、B 兩點， 與 y 軸交于 C 點，其中 A(1, 0), C(0, 3).(1)若直線 y= mx + n 經(jīng)過 B, C 兩點，求直線 BC 和拋物線的解析式；在拋物線的對稱軸 x= 1 上找一點 M，使點 M 到點 A 的距離與到點 C 的距離之和最小，求點 M 的坐標；(3)設點 P 為拋物線的對稱軸 x= 1 上的一個動點，求使 BPC 為直角三角形的點 P 的坐標.綜上所述，滿足條件的點咸咸，1 ,172);-f-12a第 5 題圖解：（1）由題意得：a + b+ c= 0 ,c= 3a= 1解得 b=

17、- 2,c= 3拋物線解析式為 y= x2- 2x+ 3,對稱軸為 x=- 1，拋物線經(jīng)過 A(1 , 0),- B(-3 , 0),把 B(-3 , 0)、C(0 , 3)分別代入 y=mx+ n,3m + n = 0 得 ，n = 3m= 1解得n = 3第 5 題解圖設直線 BC 與對稱軸 x=- 1 的交點為 M，如解圖，連接 AM ,/ MA = MB, MA + MC = MB + MC = BC,使MA+ MC 最小的點 M 應為直線 BC 與對稱軸 x=- 1 代入直線 y= x+ 3，得 y= 2, M(- 1, 2),(3)設 P(1,t),vB(-3,0),C(0,3),

18、直線 BC 的解析式為 y= x+ 3; BC2= 18,PB2= (- 1 + 3)2+ t2= 4+ t2,PC2= (- 1)2+ (t- 3)2= t2-6t + 10,1若 B 為直角頂點，貝 U BC2+ PB2= PC2,即卩 18+ 4 + t2= t2-6t + 10,解得 t =-2;2若 C 為直角頂點，貝 U BC2+ PC2= PB2，即 18+ t2- 6t+ 10= 4 + t2,解得 t = 4;3若點 P 為直角頂點，則 PB2+ PC2= BC2,即 4 + t2+ t2- 6t+ 10= 18,解得 t1=3+217, t2=3-217,綜上所述，滿足條件

19、的點 P 共有四個，分別為為 P1( 1 , 2),P2(- 1, 4), P3( 1,3+217),P4( 1,3 17-46.如圖，二次函數(shù) y= 3X2+ bx+ c 的圖象與 x 軸交于 A(3, 0)、B(- 1, 0),與 y 軸交于點 C 若點 P、 Q 同時從 A點出發(fā)，都以每秒 1 個單位長度的速度分別沿 AB、AC 運動，其中一點到達端點時， 另一點也隨之停止運動.(1)求該二次函數(shù)的解析式及點C 的坐標；當 P、Q 運動 t 秒時，將 APQ 沿 PQ 翻折，點 A 恰好落在拋物線上 D 點處，判斷四邊形 APDQ 的 形狀，并說明理由；VI卩IAW第 6 題圖(3)當點

20、 P 運動到 B 點時，點 Q 停止運動，這時，在 x 軸上是否存在點 E,使得以 A、E、Q 為頂點的三 角形為等腰三角形？若存在，請求出E 點坐標，若不存在，請說明理由.解：(1) 二次函數(shù) y = lx2+ bx+ c 的圖象與 x 軸交于 A(3 , 0)、B(- 1, 0)兩點，40=3X9+3b+c340=-X1-b+c38c= 448 二次函數(shù)的解析式為 y = 3x2- Tx- 4,33 C(0,- 4)；四邊形 APDQ 為菱形，理由如下： 如解圖所示，AP= AQ = t, AP= DP , AQ= DQ ,AP= AQ = DQ = DP,四邊形 APDQ 為菱形；存在.

21、如解圖，過點 Q 作 QM 丄 OA 于點 M，此時 QM / OC,Vv第 6 題解圖- A(3, 0), B( 1 , 0), C(0, 4), AB= 4, OA = 3, OC = 4, AC=-寸 32+ 42= 5,當點 P 運動到 B 點時，點 Q 停止運動，AB= 4, AQ = 4./ QM/OC, AMQAOC,.QMAMAQ OCAO -AC，.QMAM443 - 5， QM =165，12AM= 了，設 E(x, 0),3Q(5 ,161)，則 AE2= (3 x)2, AQ2= AB2= 16, EQ2=(5 x)2+ (曽)2,當 AE2= AQ2,即(3 x)2=

22、 16 時,解得 xi= 1, X2= 7,AE2= EQ2，即(3 x)2= (3 x)2+5當1解得 X3= 3,3當 AQ2= EQ2，即（3 x）2+ （普）2= 16 時,9解得x3= 5 ,x4= 3（舍）,19綜上所述，存在滿足條件的點 E,點 E 的坐標為(一-,0)或(-,0)或(1, 0)或(7, 0).357.如圖，拋物線經(jīng)過原點 0(0, 0)，與 x 軸交于點 A(3, 0)，與直線 I 交于點 B(2, 2).(1)求拋物線的解析式;第 7 題圖點 C 是 x 軸正半軸上一動點，過點 C 作 y 軸的平行線交直線 I 于點 E,交拋物線于點 F，當 EF = OE

23、時，請求出點 C 的坐標；點 D 為拋物線的頂點，連接 OD，在拋物線上是否存在點P,使得/ BOD = / AOP?如果存在，請直接寫出點 P 的坐標；如果不存在，請說明理由.解：由題意可設拋物線的解析式為y = ax2+ bx,將 A(3, 0), B(2 , 2)代入 y= ax2+ bx 中，得9a+ 3b= 0a = 1，解得，4a+ 2b= 2b = 3拋物線的解析式為 y= x2 3x;方法一：設直線 l 的解析式為 y= kx,將 B(2, 2)代入 y= kx 中，得一 2 = 2k,解得 k= 1,直線 I 的解析式為 y= x,設點 C 的坐標為(n, 0)，則點 E 的

24、坐標為(n,n),點 F 的坐標為(n, n2 3n).當點 C 在點 A 的左側時，如解圖所示，EF = n (n23n)= n2+ 2n,OE = n2+( n)2=, 2n,1/ EF = OE ,-n2+ 2n= 2n,解得 ni= o(c, E, F 三點均與原點重合，舍去 ),n2= 2- 2,點 C 的坐標為(2- 2, 0);當點 C 在點 A 的右側時，如解圖所示，EF = n2- 3n-(-n)= n2- 2n, OE= n2+( n)2= 2n ,/ EF = OE , n2- 2n= 2n,解得 ni= 0(C, E, F 均與原點重合，舍去)，n2= 2 + 2,點

25、C 的坐標為(2 + 2, 0);方法二：設直線 I 的解析式為 y= kx,將點 B(2, - 2)代入 y= kx 中，得2 = 2k,解得 k=- 1,直線 I 的解析式為 y= x,/ AOB= 45/ CF / y 軸， OCE 為等腰直角三角形， OE= 2CE,/ EF = OE , EF = 2CE.設點 C 的坐標為(m, 0)，則點 E 的坐標為(m,-m),點 F 的坐標為(m, m2- 3m),當點 C 在點 A 左側時，如解圖所示，EF = - m-(m2- 3m) = m2+ 2m, CE= m,由 EF = ,2CE 得一 m2+ 2m= ,2m,解得 mi= 0

26、(C, E, F 點均與原點重合，舍去)，m2= 2-. 2, C 點的坐標為(2- . 2, 0);當點 C 在 A 點右側時，如解圖所示，EF = m2-3m- (- m)= m2- 2m, CE = m,由 EF = , 2CE 得 m22m= “2m,解得 m3= 0(C, E, F 三點均與原點重合，舍去),m4= 2+ 2, C 點的坐標為(2+；2, 0).綜上所述，當 EF = OE 時，點 C 的坐標為(2,2, 0)或(2 + 2，0)；(1)求拋物線解析式;(2) 在直線 BC 上方的拋物線上求一點卩，使厶 PBC 面積為 1;(3) 在 x 軸下方且在拋物線對稱軸上，是

27、否存在一點Q,使/ BQC =ZBAC?若存在，求出 Q 點坐標；若不存在，說明理由.1 2解：拋物線的解析式為 y= 32+ |x+ 1；一 1 _(2)由 B(3, 0), C(0, 1)可得直線 BC 解析式為 y= x+ 1,如解圖，過點 P 作直線 PD 丄 x 軸交直線BC 于點 D.連接 PC, PB,14141616存在點P使得/BOD=zAOP，點P的坐標為(5，一 25)或(5，25)8.如圖，已知點A( 1, 0), B(3, 0), C(0, 1)在拋物線 y= ax2+ bx+ c 上.y第 7 題解圖第 8 題圖第 8 題解圖1 2 1 設 P(x, - 3*+ x

28、+ 1),易得 D(x, 3X+ 1),12-PD = 3X2+ x,1123-SAPBC=SAPDC+SAPDB= qPD(XB xc)= 2x + 2x,1232又TSAPBC= 1,. x2+ 尹=1,二 x2 3x+ 2= 0,4解得 X2= 1, x2= 2, P1(1, 3), P2(2, 1)；存在，理由如下：如解圖， A( 1 , 0), C(0, 1),OC= OA = 1，/ BAC = 45,/BAC=ZBQC,BQC=45 點 QABC 外接圓與拋物線對稱軸在 x 軸下方的交點.設厶 ABC 外接圓心為 M ,線段 AC 的垂直平分線為直線 y= x,線段 AB 的垂直

29、平分線為直線 x= 1 ,點 M 為直線 y= x 與直線 x= 1 的交點，即 M(1, 1). /BMC=2/BQC=90 又TMQ=MB=5, yQ=(1+,5)= 1. 5,.點 Q 在直線 x = 1 上,XQ=1 , Q(1 , 1 5).第 8 題解圖9.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 y= ax2+ bx+ c 交 x 軸于 A、B 兩點(A 在 B 的左側)，且 0A=3, OB= 1，與 y 軸交于 C(0, 3)，拋物線的頂點坐標為D( 1 , 4).(1) 求 A、B 兩點的坐標；(2) 求拋物線的解析式；(3) 過點D作直線DE / y軸， 交x軸于點E,點P是拋物線上B、 D兩點間的一個動點(點P不與B、 D 兩點重合),PA、PB 與直線 DE 分別交于點 F、G,當點 P 運動時，EF + EG 是否為定值？若是，試求出該 定值；若不是，請說明理由.解：(1)由題意得，點 A 的坐標為(一 3, 0)，點 B 的坐標為(1 , 0);設拋物線的解析式為 y= a(x+ 3)(x 1),將點 C(0, 3)代入得 3= ax3X( 1),a= 1,拋物線的解析式為 y= (x+ 3)(x 1)= x2 2x+