D110閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質75914PPT學習教案

1、會計學1D110閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質75914注意注意: 若函數在開區(qū)間上連續(xù),結論不一定成立 .定理定理1.1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數即: 設, ,)(baCxf12則, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在閉區(qū)間內有間斷 在該區(qū)間上一定有最大(證明略)點 ,xyab)(xfy O第1頁/共14頁例如例如,)1,0(,xxy無最大值和最小值 21,31,110,1)(xxxxxxf22也無最大值和最小值 又如又如, xy11OxyO11第2頁/共14頁,)(baxf在因此12mM由定理 1 可知有, )(max,xfMba

2、x)(min,xfmbax, ,bax故證證: 設, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .定理定理2. ( 零點定理 ), ,)(baCxf至少有一點, ),(ba且使.0)(f0)()(bfaf( 證明略 )推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數在該區(qū)間上有界. b xya)(xfy Oxyab)(xfy O 0f x 方程的根的存在性定理第3頁/共14頁 0f x 方程的根的存在性問題: yf xyg x曲線與曲線的交點問題:,ca b 使 0f c ,ca b 使 f cg c 0f cg c即 F xf xg x化為的零點問題第4頁/共14頁設 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(B

3、ABbf則對 A 與 B 之間的任一數 C ,一點, ),(ba證證: 作輔助函數Cxfx)()(則,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零點定理知, 至少有一點, ),(ba使,0)(即.)(Cf推論推論: 在閉區(qū)間上的連續(xù)函數C使.)(Cf至少有必取得介于最小值與最大值之間的任何值 .xAbya)(xfy BO第5頁/共14頁O1x01423 xx一個根 .證證: 顯然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故據零點定理, 至少存在一點, ) 1 ,0(使,0)(f即01423說明說明:,21x,0)(8121f內必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1

4、,21的中點,43x,0)(43f內必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法在區(qū)間)1 ,0(的中點取1 ,0內至少有則則4321內容小結 第6頁/共14頁已知函數)(xf在區(qū)間 I 上連續(xù),即:,0Ix ,0,0)(0 x,0時當 xx)()(0 xfxf一般情形,.,0都有關與x,0無關時與若x就引出了一致連續(xù)的概念 .定義定義:, )(Ixxf對,0若,0存在,21Ixx對任意的都有,)()(21xfxf)(xf則稱在在 I 上一致連續(xù)上一致連續(xù) .顯然:上一致連續(xù)在區(qū)間 Ixf)(上連續(xù)在區(qū)間 Ixf)(,21時當 xx第7頁/共14頁xxf1)(, 1,0(C但不

5、一致連續(xù) .因為, ) 10(0取點, )(,11211Nnxxnn則 21xx 111nn) 1(1nn可以任意小但)()(21xfxf) 1( nn1這說明xxf1)(在( 0 , 1 上不一致連續(xù) .定理定理4., ,)(baCxf若,)(baxf在則上一致連續(xù).(證明略)思考思考: P74 題 *7提示提示:設)(, )(bfaf存在,作輔助函數)(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(,)(baCxF顯然第8頁/共14頁則設, ,)(baCxf在)(. 1xf上達到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4. 當0)()(bfaf時, ),(ba使. 0)(f

6、必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba第9頁/共14頁1. 任給一張面積為 A 的紙片(如圖),證明必可將它一刀剪為面積相等的兩片.提示提示:建立坐標系如圖.xOy則面積函數,)(CS因,0)(SAS)(故由介值定理可知:, ),(0.2)(0AS使)(S第10頁/共14頁, 2,0)(aCxf, )2()0(aff證明至少存在, ,0a使. )()(aff提示提示: 令, )()()(xfaxfx則, ,0)(aCx 易證0)()0(a一點習題課 ,af x取為圓周上的溫度函數，則圓周上必有一條直徑的兩端點溫度相等.物理意義第11頁/共14頁第12頁/共14頁,4,0)(上連續(xù)在閉區(qū)間xf1e3xx至少有一個不超過 4