第3章結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析

1、版權(quán)所有：顏軍第三章 結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析與地震作用分析宿遷學(xué)院 建筑工程系土木工程教研室 顏軍 2013年9月版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍( )y t版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍( )0my tcyky版權(quán)所有：顏軍( )0my tcyky/wk m22ccwmkm2( )20y twyw y版權(quán)所有：顏軍2( )20y twyw y221(0.05,0.02)4(1)0RCS 12( )(sincos)ty teCtCt21 版權(quán)所有：顏軍12( )(sincos)ty teCtCt1 10020

2、00100()/ttyyCyyVCyy000( )cossintyyy teytt版權(quán)所有：顏軍000( )cossintyyy teytt00( )cossinyy tytt( )sin()y tAwt22002yAy/k m100ytgy版權(quán)所有：顏軍( )sin()y tAwt2( )sin()2( )()y tAty ty t2Tkm1122kfTm版權(quán)所有：顏軍000( ) wtywyy tey Cosw tSinw tw2Tw21wwwTT( )x t版權(quán)所有：顏軍1.02222rrrCCw mkmCw mkm1.0(0.05,0.02)CSwwR2/TTmk版權(quán)所有：顏軍2Tw1

3、122wkfTm11()/ststkwmmkG kmg kgw版權(quán)所有：顏軍2/Tm k2433222229.8(/)()()/9.81/9.8/2/2/EINmmKNmLmFNmNsmam sNsmNNkgNsmgm sTm ksNmFNKm版權(quán)所有：顏軍st2T33kEImml33EIkl版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍0( )( )Im x tx t ( )Skx t ( )Dcx t 版權(quán)所有：顏軍0( )( )( )( )0m x tx tkx tcx t0( )( )( )( )mx tkx tcx tmx t 0( )mx t 20( )2( )( )( )x tx t

4、x tx t 版權(quán)所有：顏軍20( )2( )( )( )x tx tx tx t 2( )2( )( )0 x tx tx t(0)(0)( ) (0) txxx texCostSint版權(quán)所有：顏軍20( )2( )( )( )x tx tx tx t 版權(quán)所有：顏軍0(0)x版權(quán)所有：顏軍(0)(0)0 x tx t瞬時(shí)沖量作用后的瞬間，瞬時(shí)沖量作用后的瞬間，0,( )(1)xmvP t dt m( )vP t dtl瞬時(shí)作用的解瞬時(shí)作用的解有初始速度、沒有初始位移的自由振動(dòng)的解有初始速度、沒有初始位移的自由振動(dòng)的解(0)(0)( ) (0)tdddxxx texCostSint(0)(

5、 ); (0)0 xvP t dt xl瞬時(shí)沖量作用后時(shí)刻瞬時(shí)沖量作用后時(shí)刻t t體系位移反應(yīng)為體系位移反應(yīng)為( )( )tddP t dtx teSint版權(quán)所有：顏軍F上述瞬時(shí)荷載上述瞬時(shí)荷載P(tP(t) )的作用時(shí)刻在的作用時(shí)刻在t=0t=0，對(duì)應(yīng)于，對(duì)應(yīng)于時(shí)刻的瞬時(shí)荷載時(shí)刻的瞬時(shí)荷載，上述位移反應(yīng)變換為：上述位移反應(yīng)變換為：()0( )( )()()tddxx teSintdt 版權(quán)所有：顏軍()001( )( )()ttddx txeSintd 21dF體系在整個(gè)地震作用過程中的位移反應(yīng)可以看作是上體系在整個(gè)地震作用過程中的位移反應(yīng)可以看作是上述瞬時(shí)荷載所引起微分位移的疊加述瞬時(shí)荷

6、載所引起微分位移的疊加“每天都是新的開每天都是新的開始始”，即，即l該積分即著名的杜哈曼（該積分即著名的杜哈曼（DuhamelDuhamel) )積分。積分。式中式中, , 為有阻尼自振圓頻率，因一般為有阻尼自振圓頻率，因一般=00.1=00.1，d d，單質(zhì)點(diǎn)體系相對(duì)位移，單質(zhì)點(diǎn)體系相對(duì)位移x(t) x(t) 為：為：()001( )( )()ttddx txeSintd 版權(quán)所有：顏軍20( )2( )( )( )x tx tx tx t(0)(0)( ) (0)tdddxxx texCos tSin t()001( )( )()ttddx txeSintd 0)0(, 0)0(xx總結(jié)總

7、結(jié)齊次方程的解齊次方程的解非齊次方程的解非齊次方程的解杜哈梅積分杜哈梅積分初始條件：相對(duì)地面靜止初始條件：相對(duì)地面靜止所以微分方程的解就是特解所以微分方程的解就是特解()001( )( )()ttddx txeSintd 版權(quán)所有：顏軍單自由度體系地震反應(yīng)分析過程單自由度體系地震反應(yīng)分析過程建立微分動(dòng)力方程建立微分動(dòng)力方程20( ) 2( )( )( )x tx tx tx t相對(duì)位移反應(yīng)相對(duì)位移反應(yīng)x(t)x(t)()01( )( )()ttcx txeSintd 相對(duì)速度反應(yīng)相對(duì)速度反應(yīng)v(t)v(t)上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并忽略高階阻尼的影響忽略高階阻尼的影響可得可得()00

8、( )( )()ttx txeCostd 版權(quán)所有：顏軍求絕對(duì)加速度反應(yīng)求絕對(duì)加速度反應(yīng)( () )20( ) 2( )( )( )x tx tx tx t由體系振動(dòng)微分方程由體系振動(dòng)微分方程可得質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)加速度可得質(zhì)點(diǎn)的絕對(duì)加速度( () )20( )( )( )2( )( )a tx tx tx tx t如果如果忽略上述方程右邊的阻尼項(xiàng)忽略上述方程右邊的阻尼項(xiàng)，則，則2()00( )( )( )()tta tx txeSintd版權(quán)所有：顏軍上述上述4 4式表明，對(duì)于可以簡化為單自由度體系的結(jié)構(gòu)，只要式表明，對(duì)于可以簡化為單自由度體系的結(jié)構(gòu)，只要知道地面加速度時(shí)程知道地面加速度時(shí)程 ，以及

9、結(jié)構(gòu)本身的頻率特性，以及結(jié)構(gòu)本身的頻率特性 和阻和阻尼特性尼特性 ，就可以計(jì)算出結(jié)構(gòu)的各種反應(yīng)（速度、加速度、，就可以計(jì)算出結(jié)構(gòu)的各種反應(yīng)（速度、加速度、位移反應(yīng)）。位移反應(yīng)）。( )x tFF因此，結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)是地震動(dòng)特性和結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性兩方因此，結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)是地震動(dòng)特性和結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性兩方面因素的綜合體現(xiàn)，即結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)同時(shí)包含了地震動(dòng)面因素的綜合體現(xiàn)，即結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)同時(shí)包含了地震動(dòng)和結(jié)構(gòu)體系兩者的特性。在結(jié)構(gòu)地震作用計(jì)算時(shí)，應(yīng)考慮和結(jié)構(gòu)體系兩者的特性。在結(jié)構(gòu)地震作用計(jì)算時(shí)，應(yīng)考慮兩者的影響。兩者的影響。版權(quán)所有：顏軍FF注意理解注意理解FF自由振動(dòng)自由振動(dòng)初始位移、初始初始位移、初始速度

10、速度FF瞬時(shí)作用振動(dòng)瞬時(shí)作用振動(dòng)初始速度引初始速度引起的自由振動(dòng)起的自由振動(dòng)FF地震反應(yīng)地震反應(yīng)一系列瞬時(shí)作用一系列瞬時(shí)作用的積分的積分FF方法方法達(dá)朗貝爾原理、杜哈達(dá)朗貝爾原理、杜哈梅積分、高等數(shù)學(xué)（求解微分方梅積分、高等數(shù)學(xué)（求解微分方程）程）版權(quán)所有：顏軍思考思考地震如何作用于結(jié)構(gòu)，形成等效荷載地震如何作用于結(jié)構(gòu)，形成等效荷載? ? 地震引起慣性力地震引起慣性力0( ) ( )( )F tm x tx t0( )( )( )( )mx tkx tcx tmx t ( )( )( )( )F tkx tcx tkx t 因此因此1( )( )( )x tF tF tk可以理解為可以理解為地

11、震作用產(chǎn)生的相對(duì)位移地震作用產(chǎn)生的相對(duì)位移是慣性力引起的，因此可以將慣性力理解為是慣性力引起的，因此可以將慣性力理解為一種能反映地震影響的等效荷載。一種能反映地震影響的等效荷載。版權(quán)所有：顏軍慣性力（等效荷載）的大小慣性力（等效荷載）的大小2()0( )( )( )()ttca tx txeSintd()00( )( )( )()ttF tma tmxeSintd 在結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中，只需求出水平地震作用的最大值在結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中，只需求出水平地震作用的最大值0max()00max( )( )22( )()ttFm x tx tmxeSintdTT因此，將地震作用通過因此，將地震作用通過等效荷載形

12、式傳遞到結(jié)構(gòu)等效荷載形式傳遞到結(jié)構(gòu)F F版權(quán)所有：顏軍3.4 3.4 彈性地震反應(yīng)譜彈性地震反應(yīng)譜3.4.1 3.4.1 單自由度體系地震反應(yīng)向反應(yīng)譜的轉(zhuǎn)化單自由度體系地震反應(yīng)向反應(yīng)譜的轉(zhuǎn)化設(shè)計(jì)中往往是最關(guān)心地震時(shí)程中結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的最大值。如果用設(shè)計(jì)中往往是最關(guān)心地震時(shí)程中結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的最大值。如果用S SD D表示最大相對(duì)位移，表示最大相對(duì)位移，S SV V表示最大相對(duì)素的，表示最大相對(duì)素的，S SA A表示最大絕對(duì)加速度，表示最大絕對(duì)加速度，注意到下列公式，有注意到下列公式，有相對(duì)位移反應(yīng)相對(duì)位移反應(yīng)x(t)x(t)()01( )( )()ttcx txeSintd 相對(duì)速度反應(yīng)相對(duì)速度反

13、應(yīng)v(t)v(t)()00( )( )()ttx txeCostd 版權(quán)所有：顏軍求絕對(duì)加速度反應(yīng)求絕對(duì)加速度反應(yīng)( () )2()00( )( )( )()tta tx txeSintd各變量的最大值各變量的最大值()max0max1( )( )()ttDcSx txeSintd()max00max( )( )()ttVSx txeCostd()0max00max2( )( )( )()ttASx txtxeSintdT如果地面運(yùn)動(dòng)加速度如果地面運(yùn)動(dòng)加速度 給定，上述地震反應(yīng)的最大值將是給定，上述地震反應(yīng)的最大值將是結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性（結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性（ 和和 ）的函數(shù)。）的函數(shù)。0()x t 版權(quán)所

14、有：顏軍()max0max1(, )( )( )()ttDcSx txeSintd ()max00max(,)( )( )()ttVSx txeCostd 20max( )( ), ADSx tSx t 只要地震加速度時(shí)程、結(jié)構(gòu)的阻尼比只要地震加速度時(shí)程、結(jié)構(gòu)的阻尼比已知，對(duì)于一個(gè)給定的頻率，即可分別已知，對(duì)于一個(gè)給定的頻率，即可分別算出該頻率下的三個(gè)地震反應(yīng)參數(shù)的最算出該頻率下的三個(gè)地震反應(yīng)參數(shù)的最大值。如果頻率沿橫坐標(biāo)軸不斷變化，大值。如果頻率沿橫坐標(biāo)軸不斷變化，就可以計(jì)算出一條最大（就可以計(jì)算出一條最大（S SD D，S SV V，S SA A）與頻率的關(guān)系曲線，改曲線稱作反應(yīng)譜。與頻率

15、的關(guān)系曲線，改曲線稱作反應(yīng)譜。相對(duì)位移反應(yīng)譜相對(duì)速度反應(yīng)譜絕對(duì)加速度反應(yīng)譜版權(quán)所有：顏軍彈性地震反應(yīng)譜彈性地震反應(yīng)譜是指具有一定阻尼的單自由度彈性體系的地震是指具有一定阻尼的單自由度彈性體系的地震最大反應(yīng)最大反應(yīng)（包括（包括S SD D、S SV V、或、或S SA A）與體系）與體系自振周期自振周期的關(guān)系曲線。的關(guān)系曲線。一次地震記錄一組反應(yīng)譜一次地震記錄一組反應(yīng)譜()2max0max( )( )()22TttDcTTSx txeSintd()max00max2( )( )()2ttTVTSx txeCostd()20max00max2( )( )( )()2TttATSx txtxeSin

16、tdT決定因素決定因素阻尼比、地震加速度特性（振幅、頻譜、持續(xù)時(shí)間）阻尼比、地震加速度特性（振幅、頻譜、持續(xù)時(shí)間）版權(quán)所有：顏軍加速度反應(yīng)譜形成過程示意加速度反應(yīng)譜形成過程示意()20max00max2( )( )( )()2TttATSx txtxeSintdT版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍3.4.2 3.4.2 地震反應(yīng)譜的特性地震反應(yīng)譜的特性地震反應(yīng)譜是極其復(fù)雜的多峰點(diǎn)的曲線，地震反應(yīng)譜是極其復(fù)雜的多峰點(diǎn)的曲線，較小的阻尼就能使反應(yīng)譜的峰點(diǎn)削較小的阻尼就能使反應(yīng)譜的峰點(diǎn)削平很多平很多（見圖示）。（見圖示）。加速度反應(yīng)譜在短周期部分上下跳動(dòng)比較大，但是加速度反應(yīng)譜在短周期部分上

17、下跳動(dòng)比較大，但是當(dāng)周期稍長時(shí)，就顯示出當(dāng)周期稍長時(shí)，就顯示出隨周期增大逐漸減少的趨勢。隨周期增大逐漸減少的趨勢。反應(yīng)譜與地震加速度記錄（地震波）三個(gè)特性相關(guān)：反應(yīng)譜與地震加速度記錄（地震波）三個(gè)特性相關(guān)： 地震波峰值地震波峰值地震烈度衡量；地震烈度衡量； 地震波持續(xù)時(shí)間地震波持續(xù)時(shí)間地震特性；地震特性； 地震波頻譜特性：各頻率分量所占比例與場地有關(guān)，場地可過濾或放大某地震波頻譜特性：各頻率分量所占比例與場地有關(guān)，場地可過濾或放大某些頻率的地震波分量。些頻率的地震波分量。版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍3.5 3.5 標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜地震時(shí)結(jié)構(gòu)經(jīng)受的最大地震作用：地震時(shí)結(jié)構(gòu)經(jīng)受的最大地震作用：

18、F FEKEK0max0maxAEKAxSFmSmgkGxg其中：其中：0maxASx動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù)表征結(jié)構(gòu)反應(yīng)表征結(jié)構(gòu)反應(yīng)0maxxkg地震系數(shù)地震系數(shù)表征地震強(qiáng)度表征地震強(qiáng)度版權(quán)所有：顏軍地震系數(shù)地震系數(shù)k k0maxxkg 由上式知，它表示是地面運(yùn)動(dòng)加速度峰值與重力加速度的由上式知，它表示是地面運(yùn)動(dòng)加速度峰值與重力加速度的比值；比值； 地震系數(shù)與地震烈度有關(guān)；地震系數(shù)與地震烈度有關(guān)； 根據(jù)抗震規(guī)范規(guī)定，烈度與根據(jù)抗震規(guī)范規(guī)定，烈度與k k值對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：值對(duì)應(yīng)關(guān)系如下： 實(shí)際地震可能大很多倍。實(shí)際地震可能大很多倍。基本烈度基本烈度6 67 78 89 9設(shè)計(jì)基本地震加設(shè)計(jì)基本地震加速度

19、值速度值0.050.05g g0.100.10（0.150.15）g g0.200.20（0.300.30）g g0.400.40g g表表3.2.2 3.2.2 抗震設(shè)防烈度和設(shè)計(jì)基本地震加速度值得對(duì)應(yīng)關(guān)系抗震設(shè)防烈度和設(shè)計(jì)基本地震加速度值得對(duì)應(yīng)關(guān)系( (抗抗-2010)-2010)基本烈度基本烈度6 67 78 89 9地震系數(shù)地震系數(shù)k k0.050.050.100.10（0.150.15）0.200.20（0.300.30）0.400.40版權(quán)所有：顏軍地震系數(shù)地震系數(shù)k k0maxASx()20max00max2( )( )( )()2TttATSx txtxeSintdT 物理意義

20、物理意義：由上式可知，動(dòng)力系數(shù)表示體系地震反應(yīng)最大：由上式可知，動(dòng)力系數(shù)表示體系地震反應(yīng)最大絕對(duì)加速度對(duì)地面運(yùn)動(dòng)最大加速度的放大倍數(shù)，絕對(duì)加速度對(duì)地面運(yùn)動(dòng)最大加速度的放大倍數(shù)，表征結(jié)構(gòu)的表征結(jié)構(gòu)的放大作用放大作用。 動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜加速度反應(yīng)譜除以地面運(yùn)動(dòng)加速度峰值，加速度反應(yīng)譜除以地面運(yùn)動(dòng)加速度峰值，二者曲線形狀完全一致，又稱二者曲線形狀完全一致，又稱反應(yīng)譜反應(yīng)譜； 反應(yīng)譜與地震烈度無關(guān)，就可以利用所有不同烈度地區(qū)反應(yīng)譜與地震烈度無關(guān)，就可以利用所有不同烈度地區(qū)的地震記錄進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，還需考慮地震持續(xù)時(shí)間、地震頻譜特的地震記錄進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，還需考慮地震持續(xù)時(shí)間、地震頻譜特性的影響，即還須

21、考慮地震特性、場地特性的影響。性的影響，即還須考慮地震特性、場地特性的影響。版權(quán)所有：顏軍標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜 產(chǎn)生的工程背景：產(chǎn)生的工程背景：由于地震由于地震的隨機(jī)性，影響地震動(dòng)的因素的隨機(jī)性，影響地震動(dòng)的因素復(fù)雜多變，因此，即使在同一復(fù)雜多變，因此，即使在同一地點(diǎn)、同一烈度，由不同地震地點(diǎn)、同一烈度，由不同地震記錄（加速度記錄）給出的地記錄（加速度記錄）給出的地震動(dòng)反應(yīng)譜往往表現(xiàn)得非常離震動(dòng)反應(yīng)譜往往表現(xiàn)得非常離散（如右圖），不便于工程應(yīng)散（如右圖），不便于工程應(yīng)用。用。 標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜根據(jù)大量的強(qiáng)震記錄計(jì)算出對(duì)應(yīng)于每一根據(jù)大量的強(qiáng)震記錄計(jì)算出對(duì)應(yīng)于每一條強(qiáng)震記錄的條強(qiáng)震記錄的反應(yīng)譜

22、曲線反應(yīng)譜曲線，然后將不同地震動(dòng)記錄的，然后將不同地震動(dòng)記錄的反應(yīng)譜曲線反應(yīng)譜曲線加以統(tǒng)計(jì)平均（均值反應(yīng)譜），即得到標(biāo)準(zhǔn)反加以統(tǒng)計(jì)平均（均值反應(yīng)譜），即得到標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜。應(yīng)譜。版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍3.5 3.5 標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的概念設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的概念 產(chǎn)生的工程背景：產(chǎn)生的工程背景：從工程設(shè)計(jì)角度，人們希望得到從工程設(shè)計(jì)角度，人們希望得到具有一定具有一定安全程度安全程度的地震力規(guī)定，設(shè)計(jì)反應(yīng)譜便是基于這種需要產(chǎn)生的；的地震力規(guī)定，設(shè)計(jì)反應(yīng)譜便是基于這種需要產(chǎn)生的； 在在標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜基礎(chǔ)上，各規(guī)范（國家、地區(qū)）根據(jù)各自的情基礎(chǔ)上，各規(guī)范（國家、地區(qū)）根據(jù)

23、各自的情況，提出用于指導(dǎo)設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜。況，提出用于指導(dǎo)設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜。版權(quán)所有：顏軍在研究與應(yīng)用中，應(yīng)該認(rèn)清設(shè)計(jì)反應(yīng)譜、標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜與地震反在研究與應(yīng)用中，應(yīng)該認(rèn)清設(shè)計(jì)反應(yīng)譜、標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜與地震反應(yīng)譜之間的概念差異。應(yīng)譜之間的概念差異。 地震反應(yīng)譜主要反映了地震動(dòng)頻譜特性地震反應(yīng)譜主要反映了地震動(dòng)頻譜特性 標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜是地震反應(yīng)譜的統(tǒng)計(jì)分析和數(shù)學(xué)處理標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜是地震反應(yīng)譜的統(tǒng)計(jì)分析和數(shù)學(xué)處理 設(shè)計(jì)反應(yīng)譜則是在標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜基礎(chǔ)上對(duì)設(shè)計(jì)地震力的一種規(guī)定設(shè)計(jì)反應(yīng)譜則是在標(biāo)準(zhǔn)反應(yīng)譜基礎(chǔ)上對(duì)設(shè)計(jì)地震力的一種規(guī)定 三者都同一在反應(yīng)譜是單質(zhì)點(diǎn)體系最大地震反應(yīng)關(guān)于結(jié)構(gòu)周期三者都同一在反應(yīng)譜是單質(zhì)點(diǎn)體系最大地震反

24、應(yīng)關(guān)于結(jié)構(gòu)周期（頻率）的變化曲線這已反應(yīng)譜的普遍定義上來。（頻率）的變化曲線這已反應(yīng)譜的普遍定義上來。版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍E KFkGG抗震規(guī)范采用的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜抗震規(guī)范采用的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜地震影響系數(shù)地震影響系數(shù) 為便于一般工程設(shè)計(jì)，抗震規(guī)范引入地震影響系數(shù)為便于一般工程設(shè)計(jì)，抗震規(guī)范引入地震影響系數(shù)； 并采用地震影響系數(shù)曲線作為設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜。并采用地震影響系數(shù)曲線作為設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜。 我國抗震規(guī)范定義地震影響系數(shù)我國抗震規(guī)范定義地震影響系數(shù)為作用于單質(zhì)點(diǎn)彈性體系為作用于單質(zhì)點(diǎn)彈性體系上的水平地震作用于該質(zhì)點(diǎn)的重力之比，即上的水平地震作用于該質(zhì)點(diǎn)的重力之比，即0max0maxAAEK

25、AxSSFmSmgGGxgg 物理意義：物理意義：表示體系地震作用于重力的相互關(guān)系；表示體系地震作用于重力的相互關(guān)系； 地震影響系數(shù)反應(yīng)譜地震影響系數(shù)反應(yīng)譜實(shí)質(zhì)是一種加速的反應(yīng)譜。實(shí)質(zhì)是一種加速的反應(yīng)譜。版權(quán)所有：顏軍 關(guān)鍵點(diǎn)一關(guān)鍵點(diǎn)一加速度反應(yīng)譜的特點(diǎn)加速度反應(yīng)譜的特點(diǎn)場地土的特性場地土的特性場地卓越周期場地卓越周期版權(quán)所有：顏軍 關(guān)鍵點(diǎn)二關(guān)鍵點(diǎn)二加速度反應(yīng)譜的特點(diǎn)加速度反應(yīng)譜的特點(diǎn)震級(jí)震級(jí)震級(jí)（烈度）高，峰值相近，長周期部分提高；震級(jí)（烈度）高，峰值相近，長周期部分提高；震中距震中距當(dāng)烈度基本相同時(shí)，震中距遠(yuǎn)時(shí)，加速度反應(yīng)當(dāng)烈度基本相同時(shí)，震中距遠(yuǎn)時(shí)，加速度反應(yīng)譜的峰點(diǎn)偏于較長周期，近時(shí)則

26、偏于較短周期譜的峰點(diǎn)偏于較長周期，近時(shí)則偏于較短周期版權(quán)所有：顏軍 關(guān)鍵點(diǎn)三關(guān)鍵點(diǎn)三合成合成版權(quán)所有：顏軍抗震規(guī)范抗震規(guī)范20102010規(guī)定：建筑結(jié)構(gòu)的地震影響系數(shù)應(yīng)根據(jù)烈度、規(guī)定：建筑結(jié)構(gòu)的地震影響系數(shù)應(yīng)根據(jù)烈度、場地類別、設(shè)計(jì)地震分組和結(jié)構(gòu)自振周期以及阻尼比等因素，按場地類別、設(shè)計(jì)地震分組和結(jié)構(gòu)自振周期以及阻尼比等因素，按下圖的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜確定。下圖的設(shè)計(jì)反應(yīng)譜確定。專門研究專門研究圖圖5.1.5 5.1.5 地震影響系數(shù)曲線地震影響系數(shù)曲線一地震影響系數(shù)；一地震影響系數(shù)；maxmax一地震影響系數(shù)最大值；一地震影響系數(shù)最大值；1 1一直線下降段的下降斜一直線下降段的下降斜率調(diào)整系數(shù)；率調(diào)

27、整系數(shù)；衰減指數(shù)；衰減指數(shù)；T Tg g一特征周期；一特征周期；2 2阻尼調(diào)整系數(shù)；阻尼調(diào)整系數(shù)；TT結(jié)構(gòu)自結(jié)構(gòu)自振周期振周期maxmaxmaxmax0,1= k=k0.452.25T 剛體版權(quán)所有：顏軍反應(yīng)譜曲線的描述參數(shù)反應(yīng)譜曲線的描述參數(shù)max12,gT 版權(quán)所有：顏軍的確定的確定maxmaxmaxk基本烈度基本烈度6789地震系數(shù)地震系數(shù)k0.050.10（0.15）0.20（0.30）0.40的確定的確定max 地震資料統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，動(dòng)地震資料統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，動(dòng)力系數(shù)最大值與地震烈度、地力系數(shù)最大值與地震烈度、地震環(huán)境影響不大，根據(jù)對(duì)四類震環(huán)境影響不大，根據(jù)對(duì)四類場地土的場地土的max

28、max分析可知，各類分析可知，各類場地的場地的maxmax相近，當(dāng)阻尼比為相近，當(dāng)阻尼比為0.050.05時(shí)，規(guī)范取時(shí)，規(guī)范取maxmax=2.25.=2.25.該該系數(shù)消除了烈度的影響，便于系數(shù)消除了烈度的影響，便于分析。分析。版權(quán)所有：顏軍maxmaxk表5.1.4-1水平地震影響系數(shù)最大值地震影響地震影響6 6度度7 7度度8 8度度9 9度度多遇地震多遇地震0.040.040.080.08（0.120.12）0.16(0.24)0.16(0.24)0.320.32罕遇地震罕遇地震0.280.280.500.50（0.720.72）0.90(1.20)0.90(1.20)1.401.40

29、注：括號(hào)中數(shù)僮分別用于設(shè)計(jì)基本地震加速度為0. 15g和0.30g的地區(qū)。特征周期特征周期TgTg的確定的確定特征周期反映場地類別、場地分組的影響；特征周期反映場地類別、場地分組的影響；根據(jù)場地類別和設(shè)計(jì)地震分組按下表采用根據(jù)場地類別和設(shè)計(jì)地震分組按下表采用設(shè)計(jì)地震分設(shè)計(jì)地震分組組場地類別場地類別0 01 1第一組第一組50.250.350.350.450.450.650.65第二組第二組00.300.400.400.550.550.750.75第三組第三組0.300.300.350.350.450.450.650.650.900.90版權(quán)所有：顏軍

30、阻尼系數(shù)的調(diào)整阻尼系數(shù)的調(diào)整當(dāng)建筑結(jié)構(gòu)的阻尼比按有關(guān)規(guī)定不等于0.05時(shí)，地震影響系數(shù)曲線的阻尼調(diào)整系數(shù)和形狀參數(shù)應(yīng)符合下列規(guī)定：0.050.90.3 610.050.024 3220.0510.08 1.6 版權(quán)所有：顏軍阻尼系數(shù)的調(diào)整阻尼系數(shù)的調(diào)整 除有專門規(guī)定外，建筑結(jié)構(gòu)的阻尼比應(yīng)取0.05，地震影響系數(shù)曲線的阻尼調(diào)整系數(shù)應(yīng)按1.0采用，形狀參數(shù)應(yīng)符合下列規(guī)定： 1)直線上升段，周期小于0.1s的區(qū)段。 2)水平段，自0.1s至特征周期區(qū)段，應(yīng)取最大值(max)。 3)曲線下降段，自特征周期至5倍特征周期區(qū)段，衰減指數(shù)應(yīng)取0.9。 4)直線下降段，自5倍特征周期至6s區(qū)段，下降斜率調(diào)整系

31、數(shù)應(yīng)取0.02。版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍3.6 3.6 多自由度體系地震反應(yīng)分析多自由度體系地震反應(yīng)分析版權(quán)所有：顏軍3.6.1 3.6.1 多自由度體系地震反應(yīng)微分方程的建立多自由度體系地震反應(yīng)微分方程的建立一一 兩個(gè)自由度體系運(yùn)動(dòng)方程兩個(gè)自由度體系運(yùn)動(dòng)方程版權(quán)所有：顏軍隔離體受力分析隔離體受力分析x x2 2x x1 1mm2 2mm1 1c c2 2k k2 2c c1 1k k1 1mm2 222( )m x t221( )( )c x tx t221( )( )k x tx t1 1( )cx t1 1( )k x t1 1( )mx t221( )( )c x t

32、x t221( )( )k x tx tmm1 1mm2 222( )m x t221( )( )c x tx t221( )( )k x tx t版權(quán)所有：顏軍111111221221( )( )( )( )( )( )( )0m x tc x tk x tcx tx tkx tx t建立隔離體平衡方程建立隔離體平衡方程質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)mm1 1質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)mm2 21 1( )cx t1 1( )k x t1 1( )mx t221( )( )c x tx t221( )( )k x tx tmm1 1mm2 222( )m x t221( )( )c x tx t221( )( )k x tx t2

33、2221221( )( )( )( )( )0m x tc x tx tk x tx t版權(quán)所有：顏軍1 11211212222( )() ( )() ( )( )( )0m x tcc x tkkx tc x tk x t111111221221( )( )( )( )( )( )( )0m x tc x tk x tcx tx tkx tx t22221221( )( )( )( )( )0m x tc x tx tk x tx t建立方程組建立方程組進(jìn)行變換進(jìn)行變換22222 1222 1( )( )( )( )( )0m x tc x tc x tk x tk x t1 1121121

34、2222( )() ( )() ( )( )( )0m x tcc x tkkx tc x tk x t進(jìn)行變換進(jìn)行變換22222 1222 1( )( )( )( )( )0m x tc x tc x tk x tk x t版權(quán)所有：顏軍1200mMm 1122112212222222( )( )( )0( )( )( )x tcccx tkkkx tmx tccx tkkx t1 11211212222( )() ( )() ( )( )( )0m x tcc x tkkx tc x tk x t方程形式方程形式22222 1222 1( )( )( )( )( )0m x tc x tc

35、 x tk x tk x t運(yùn)動(dòng)方程的矩陣表達(dá)運(yùn)動(dòng)方程的矩陣表達(dá) 12xxx 12xxx 12xxx 版權(quán)所有：顏軍 12211122221221221112222122ccccccccc ckkkkkkkkk k ( )( )( )0mx tcx tkx t 1122112212222222( )( )( )0( )( )( )x tcccx tkkkx tmx tccx tkkx t令令運(yùn)動(dòng)方程組為運(yùn)動(dòng)方程組為版權(quán)所有：顏軍 0( )( )( )1( )mx tcx tkx tmx t有地震有地震 加速度輸入加速度輸入 12211122221221221112222122ccccccccc

36、ckkkkkkkkk k1200mMm 12xxx 12xxx 12xxx 版權(quán)所有：顏軍二二 三個(gè)自由度體系運(yùn)動(dòng)方程三個(gè)自由度體系運(yùn)動(dòng)方程221 ()()c x tx t221 ()()k x tx t2 2()mx t332( )( )c x tx t332( )( )k x tx tmm2 2mm2 233( )m x t332( )( )c x tx t332( )( )k x tx t隔離體受力分析隔離體受力分析x x1 1mm2 2mm1 1c c2 2k k2 2c c1 1k k1 1x x2 2x x3 3mm3 3c c3 3k k3 31 1( )cx t1 1( )k

37、x t1 1( )mx t221( )( )c x tx t221( )( )k x tx tmm1 1版權(quán)所有：顏軍建立平衡方程建立平衡方程221 ()()c x tx t221 ()()k x tx t2 2()mx t332( )( )c x tx t332( )( )k x tx tmm2 222232332 1232332 1( )()( )( )( )()( )( )( )0m x tcc x tc x tc x tkk x tk x tk x t建立方程組建立方程組22232332 1232332 1( )()( )( )( )()( )( )( )0m x tcc x tc x

38、 tc x tkk x tk x tk x t111111221221( )( )( )( )( )( )( )0m x tc x tk x tcx tx tkx tx t3333323332( )( )( )( )( )0m x tc x tc x tk x tk x t版權(quán)所有：顏軍 ( )( )( )0mx tcx tkx t矩陣形式矩陣形式123mMmm 123xxxx 123xxxx 123xxxx 122111222332122233332331221112223321222333323300000000ccccccccccccccccckkkkkkkkkkkkkkkkk版權(quán)所有：

39、顏軍有地震加速度輸入有地震加速度輸入123mMmm 123xxxx 123xxxx 123xxxx 122111222332122233332331221112223321222333323300000000ccccccccccccccccckkkkkkkkkkkkkkkkk 0( )( )( )1( )mx tcx tkx tmx t版權(quán)所有：顏軍三三 n n個(gè)自由度體系運(yùn)動(dòng)方程個(gè)自由度體系運(yùn)動(dòng)方程 0( )( )( )1( )mx tcx tkx tmx t12nmmMm12nxxxx 12nxxxx 12nxxxx 11121222122232233(1)(1)1112122212223

40、2233(1)(1)0000000000000000000000000000nnnn nnnnnnnnn nnnnnccccccccccccccccccckkkkkkkkkkkkkkkkkkk版權(quán)所有：顏軍 ( )( )( )0mx tcx tkx t2111112222112222()0()0kmXk Xk XkmX3.6.2 3.6.2 多自由度體系自由振動(dòng)特性多自由度體系自由振動(dòng)特性（一）頻率方程及自振頻率（一）頻率方程及自振頻率對(duì)于對(duì)于2 2自由度體系，自由度體系，忽略阻尼的影響忽略阻尼的影響1122()()xX SintxX Sint1 111 11222221 1222()0()0

41、m xk xk xm xk xk x 2()0kmX微分方程的解的形式微分方程的解的形式帶入微分方程，得帶入微分方程，得用矩陣表示用矩陣表示版權(quán)所有：顏軍 20km2221122112212211212()()0kkk kk kmmm m（二）兩個(gè)自由度體系的自振頻率（二）兩個(gè)自由度體系的自振頻率 兩個(gè)方程，三兩個(gè)方程，三個(gè)未知數(shù)，不個(gè)未知數(shù)，不能全部求解能全部求解 克萊姆法則克萊姆法則2111122212220kmkkkm2111112222112222()0()0kmXk Xk XkmX2211221122112212211,212121211()()22kkkkk kk kmmmmm m

42、 解該方程，得解該方程，得版權(quán)所有：顏軍2111112222112222()0()0kmXk Xk XkmX21211111112XmkXk22212112112XmkXk2111112222112222()0()0kmXk Xk XkmX（三）主振型及其特點(diǎn)（三）主振型及其特點(diǎn)FF將求得的頻率將求得的頻率1 1和和2 2代入上述方程組，可求質(zhì)點(diǎn)代入上述方程組，可求質(zhì)點(diǎn)1 1，2 2的位移幅值的比值。對(duì)應(yīng)于的位移幅值的比值。對(duì)應(yīng)于1 1的用的用X X11 11和和X X1212表示；表示；對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于2 2的用的用X X2121和和X X2222表示。表示。l l對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于1 1l l對(duì)應(yīng)于

43、對(duì)應(yīng)于2 2常數(shù)常數(shù)版權(quán)所有：顏軍1111112121( )()( )()xtX SintxtX Sint 111211XXX212121111111112( )( )xtXmkxtXk222221211212112( )( )xtXmkxtXkl l對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于1 1 可得可得l l同樣地，同樣地，對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于2 2，有，有 212221XXX 當(dāng)體系按照某一自振頻率振動(dòng)時(shí)，當(dāng)體系按照某一自振頻率振動(dòng)時(shí)，體系中所有質(zhì)點(diǎn)位移在任體系中所有質(zhì)點(diǎn)位移在任意時(shí)刻的比值保持不變意時(shí)刻的比值保持不變，這種振動(dòng)形式稱為，這種振動(dòng)形式稱為主振型主振型。 主振型一般將其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)應(yīng)量記為主振型一般將其中一個(gè)

44、質(zhì)點(diǎn)對(duì)應(yīng)量記為1 1，其余按比例確，其余按比例確定定特征向量的歸一化。特征向量的歸一化。版權(quán)所有：顏軍 2()0kmX12n 任一多自由度體系的任一多自由度體系的運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程 克萊姆法則克萊姆法則上述齊次線性方程組要存在非零解，必須上述齊次線性方程組要存在非零解，必須 20km上式即為多自由度體系的上式即為多自由度體系的頻率方程頻率方程，通過對(duì)該方程的求解即可，通過對(duì)該方程的求解即可求得求得n n個(gè)頻率方程的正實(shí)根，即為個(gè)頻率方程的正實(shí)根，即為n n 個(gè)自由度體系的所有個(gè)自由度體系的所有n n個(gè)自振圓個(gè)自振圓頻率。頻率。12n自振頻率數(shù)量與自由度的個(gè)數(shù)相等。頻率的排列順序由大到小，

45、自振頻率數(shù)量與自由度的個(gè)數(shù)相等。頻率的排列順序由大到小，最小的稱最小的稱基本頻率基本頻率，對(duì)應(yīng)的周期稱，對(duì)應(yīng)的周期稱基本周期基本周期。基本頻率基本頻率版權(quán)所有：顏軍1110.6480.301-0.601-0.676-2.57-2.47關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)鍵點(diǎn)當(dāng)體系按某一主振型振動(dòng)時(shí)，這個(gè)當(dāng)體系按某一主振型振動(dòng)時(shí)，這個(gè)多自由度體系實(shí)際上就像一個(gè)單自由度體系在振多自由度體系實(shí)際上就像一個(gè)單自由度體系在振動(dòng)。主振型就是多自由度體系能夠按照單自由度動(dòng)。主振型就是多自由度體系能夠按照單自由度振動(dòng)所具有特定形式。振動(dòng)所具有特定形式。版權(quán)所有：顏軍 主振型的幾點(diǎn)說明主振型的幾點(diǎn)說明線性代數(shù)線性代數(shù)線性方程組（微分方程組

46、）、特征值（圓頻線性方程組（微分方程組）、特征值（圓頻率）、特征向量（主振型）。率）、特征向量（主振型）。在一般情況下，在一般情況下，n n個(gè)自由度體系的振動(dòng)可以看作是個(gè)自由度體系的振動(dòng)可以看作是n n個(gè)不個(gè)不同頻率的主振型的組合振動(dòng)，各個(gè)主振型所占比例隨時(shí)間同頻率的主振型的組合振動(dòng)，各個(gè)主振型所占比例隨時(shí)間變化，總體表現(xiàn)為復(fù)雜的振動(dòng)形式。變化，總體表現(xiàn)為復(fù)雜的振動(dòng)形式。多自由度體系能夠按照某一主振型自由振動(dòng)的條件是：初多自由度體系能夠按照某一主振型自由振動(dòng)的條件是：初始位移和初始速度與主振型相對(duì)應(yīng)。始位移和初始速度與主振型相對(duì)應(yīng)。舉例：多聲部大合唱舉例：多聲部大合唱.版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：

47、顏軍版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍212122222222( )()( )()xtX SintxtX Sint2111111121211211( )()( )()xtX SintxtX Sint 主振型及其正交性主振型及其正交性111111121212( )()( )()xtX SintxtX Sint2212212222222222( )()( )()xtX SintxtX Sint 第一振型第一振型第二振型第二振型版權(quán)所有：顏軍版權(quán)所有：顏軍22121112121222()() 0mX Xm X X虛功原理虛功原理第一狀態(tài)的力在第二狀態(tài)的位第一狀態(tài)的力在第二狀態(tài)的

48、位移上所作的功等于第二狀態(tài)的力移上所作的功等于第二狀態(tài)的力在第一狀態(tài)的位移上所作的功。在第一狀態(tài)的位移上所作的功。11121212220m X Xm X X2211112121122222122121222212mX XmX XmX XmXX 121111222221111122221112121222210000TmXXXmXXX mX mXm X Xm X XXmX版權(quán)所有：顏軍 110Tjkn nnnXmXjk對(duì)于多自由度體系對(duì)于多自由度體系 21110TTjkjkkn nnnnXkXXmXjk 0Mxkx 21kkkn nnkXmX忽略阻尼影響忽略阻尼影響兩邊左乘兩邊左乘 1TjnX版

49、權(quán)所有：顏軍 110Tjkn nnnXkXjk 110Tjkn nnnXmXjk振型正交性振型正交性 振型具有相互獨(dú)立性振型具有相互獨(dú)立性某一振型在振動(dòng)過程中在其他振型某一振型在振動(dòng)過程中在其他振型上不做功，所以它的動(dòng)能不會(huì)轉(zhuǎn)移到別的振型上，即它不會(huì)引上不做功，所以它的動(dòng)能不會(huì)轉(zhuǎn)移到別的振型上，即它不會(huì)引起和改變別的振型振動(dòng)。起和改變別的振型振動(dòng)。 主振型的正交性是多自由度體系自由振動(dòng)的一個(gè)重要特性，主振型的正交性是多自由度體系自由振動(dòng)的一個(gè)重要特性，也是多質(zhì)點(diǎn)體系地震反應(yīng)分析的重要工具。也是多質(zhì)點(diǎn)體系地震反應(yīng)分析的重要工具。版權(quán)所有：顏軍多自由度體系振型的計(jì)算方法多自由度體系振型的計(jì)算方法矩

50、陣迭代法矩陣迭代法StodolaStodola法法運(yùn)動(dòng)方程矩陣表達(dá)式運(yùn)動(dòng)方程矩陣表達(dá)式 22()0kmXkXmX 12XkmX 利用迭代的辦法逐步逼近的方法求振型和結(jié)構(gòu)的頻率利用迭代的辦法逐步逼近的方法求振型和結(jié)構(gòu)的頻率版權(quán)所有：顏軍 12XkmX 計(jì)算步驟計(jì)算步驟計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果假定假定計(jì)算計(jì)算反復(fù)迭代，直反復(fù)迭代，直到到 (0)1111X 1(1)211111Xkm ( )(1)11nnXX ( )1nXX根據(jù)正交性計(jì)算根據(jù)正交性計(jì)算xx2 2xxn n 特點(diǎn)特點(diǎn)誤差積累，利用正交性求解，由低到高；對(duì)高振型誤差較大。誤差積累，利用正交性求解，由低到高；對(duì)高振型誤差較大。 反復(fù)迭代反復(fù)迭代計(jì)

51、算工作量較大，編程計(jì)算計(jì)算工作量較大，編程計(jì)算 實(shí)際結(jié)構(gòu)分析中，由于考慮主要前幾個(gè)振型，所以誤差積累的影響不大，實(shí)際結(jié)構(gòu)分析中，由于考慮主要前幾個(gè)振型，所以誤差積累的影響不大，可以采用?？梢圆捎谩０鏅?quán)所有：顏軍3.6.3 3.6.3 運(yùn)動(dòng)方程的解運(yùn)動(dòng)方程的解振型分解法振型分解法運(yùn)動(dòng)方程組運(yùn)動(dòng)方程組 0( )( )( )1( )mx tcx tkx tmx t 方程組中每一個(gè)方程包含所有未知量方程組中每一個(gè)方程包含所有未知量X X1 1XXn n，聯(lián)立求解，聯(lián)立求解實(shí)現(xiàn)困難實(shí)現(xiàn)困難解決辦法解決辦法方程解耦方程解耦 當(dāng)體系按照某一主振型振動(dòng)時(shí)，這個(gè)多自由度體系當(dāng)體系按照某一主振型振動(dòng)時(shí)，這個(gè)多自由

52、度體系實(shí)際上就像一個(gè)單自由度體系在振動(dòng)。主振型就是多實(shí)際上就像一個(gè)單自由度體系在振動(dòng)。主振型就是多自由度體系能夠按照單自由度振動(dòng)所具有的特定形式。自由度體系能夠按照單自由度振動(dòng)所具有的特定形式。版權(quán)所有：顏軍因此，當(dāng)振型確定以后，結(jié)構(gòu)的反應(yīng)因此，當(dāng)振型確定以后，結(jié)構(gòu)的反應(yīng) 和和 就可就可以通過廣義坐標(biāo)來確定，而廣義坐標(biāo)相當(dāng)于各振型所以通過廣義坐標(biāo)來確定，而廣義坐標(biāo)相當(dāng)于各振型所占總體變形的比例。占總體變形的比例。廣義坐標(biāo)法廣義坐標(biāo)法變量代換變量代換對(duì)于二自由度體系，質(zhì)點(diǎn)對(duì)于二自由度體系，質(zhì)點(diǎn)1 1和和2 2在地震作用下任意時(shí)在地震作用下任意時(shí)刻的位移刻的位移x x1 1(t)(t)和和x x2

53、 2(t)(t)可以用兩個(gè)振型的組合來表示：可以用兩個(gè)振型的組合來表示：11112212112222( )( )( )( )( )( )x tq t Xq t Xx tq t Xq t X原來的未知量原來的未知量 和和 ；新的未知量為新的未知量為 和和 ，表示兩個(gè)振型在任意時(shí)，表示兩個(gè)振型在任意時(shí)刻所占比例，是時(shí)間的函數(shù)?？趟急壤?，是時(shí)間的函數(shù)。廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo) 和和 替代原來坐標(biāo)替代原來坐標(biāo) 和和 ，定義，定義為廣義坐標(biāo)。為廣義坐標(biāo)。1( )qt2()q t1( )qt2()q t1( )x t2( )x t1( )x t2( )x t1( )x t2( )x t版權(quán)所有：顏軍對(duì)于多自由度

54、體系，同樣可以建立廣義坐標(biāo)對(duì)于多自由度體系，同樣可以建立廣義坐標(biāo)q q1 1(t)q(t)qn n(t)(t)11( )( )njjijx tq t X xXq其中其中 12jnn nXXXXX 121Tjnnxxxxx 121Tjnnqqqqq版權(quán)所有：顏軍 0( )( )( )1( )mx tcx tkx tmx t 阻尼的處理阻尼的處理為了使方程解耦，假定阻尼矩陣為質(zhì)量阻為了使方程解耦，假定阻尼矩陣為質(zhì)量阻尼和剛度阻尼的線性組合，即尼和剛度阻尼的線性組合，即 12cmk xXq將上述兩公式帶入運(yùn)動(dòng)方程，得到：將上述兩公式帶入運(yùn)動(dòng)方程，得到： 120()1( )mXqmkXqkXqmx t

55、 此即為用廣義坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程。此即為用廣義坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程。版權(quán)所有：顏軍 120()1( )mXqmkXqkXqmx t 兩邊左乘兩邊左乘 TjX 120()1( )TTjjTTjjXmXqXmkXqXkXqXmx t 利用振型的正交性利用振型的正交性 110Tjkn nnnXkX 110Tjkn nnnXmX版權(quán)所有：顏軍 120()1( )TTjjTTjjXmXqXmkXqXkXqXmx t 1212TjTjjnjnTjjjXmXqqqXmXXXXqqXmXq TTjjjjjXmXqXmXqM版權(quán)所有：顏軍利用振型的正交性，同樣可以得到下列關(guān)系利用振型的正交性，同樣可以得到下列關(guān)系

56、 22()0jjjkmXkXmX TTjjjjjXkXqXkXqK 2TTjjjjjjjXkXqXmXq 1212212()()TjTTjjjjjjTjjjjXmkXqXmXqXkXqXmXq 版權(quán)所有：顏軍 120()1( )TTjjjjTTjjjXmXqXmkXqXkXqXmxt TTjjjjXmXqXmXq TTjjjjXkXqXkXq 12212()()TjTjjjjXmkXqXmXq 221201TjjjjjjTjjXmqqqxXmX 2TTjjjjjjjXkXqXmXq版權(quán)所有：顏軍 221201TjjjjjjTjjXmqqqxXmX 令令 1211nTijijijTnjjijii

57、m XXmXmXm X11njjijX2122jjj 最終得到最終得到202(1,2,. )jjjjjjjqqqxjn 版權(quán)所有：顏軍 最終得到最終得到n n個(gè)微分方程，只有一個(gè)未知數(shù)個(gè)微分方程，只有一個(gè)未知數(shù)q qj j，將聯(lián)立方程，將聯(lián)立方程組解耦成功。因此，問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼M解耦成功。因此，問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍髊 qj j，而，而q qj j的解法與單自由的解法與單自由度體系地震反應(yīng)分析求解方法類似。度體系地震反應(yīng)分析求解方法類似。202(1,2,. )jjjjjjjqqqxjn ()00( )( )()tjtjjjq txeSintd 20( )2( )( )( )x tx tx tx t ()0

58、1( )( )()ttcx txeSintd 回顧單自由度解回顧單自由度解版權(quán)所有：顏軍()00()00( )( )()1( )( )()( )( )tjtjjjttjjjjjjq txeSintdtxeSintdq tt 11( )( )( )nnijjijjjijjx tq t Xt X版權(quán)所有：顏軍11( )( )( )nnijjijjjijjx tqt Xt X()001( )( )()ttjjjtxeSintd 1211nTijijijTnjjijiim XXmXmXm X振型參與系數(shù)振型參與系數(shù)主要參數(shù)主要參數(shù)jjiX版權(quán)所有：顏軍?j2122jjj 2121112122222j

59、121221122212211222212()2() 試驗(yàn)確定試驗(yàn)確定12版權(quán)所有：顏軍11( )( )( )nnijjijjjijjx tqt Xt X 根據(jù)上述公式，可以求得多自由度體系在地震作用根據(jù)上述公式，可以求得多自由度體系在地震作用下的位移反應(yīng)，從而能進(jìn)一步求得加速的和速度反應(yīng)。下的位移反應(yīng)，從而能進(jìn)一步求得加速的和速度反應(yīng)。 需要計(jì)算的參變量主要是多自由度體系的各階振型需要計(jì)算的參變量主要是多自由度體系的各階振型的頻率、阻尼比、振型、振型參與系數(shù)。的頻率、阻尼比、振型、振型參與系數(shù)。 所以關(guān)鍵是所以關(guān)鍵是動(dòng)力特性（振型、阻尼比、頻率）動(dòng)力特性（振型、阻尼比、頻率）的計(jì)算和試驗(yàn)確定

60、。的計(jì)算和試驗(yàn)確定。版權(quán)所有：顏軍 0( )( )( )1( )mx tcx tkx tmx t 振型分解反應(yīng)法復(fù)習(xí)振型分解反應(yīng)法復(fù)習(xí)FFWHY?WHY?為什么需要振型分解法？為什么需要振型分解法？ 多自由度地震反應(yīng)分析多自由度地震反應(yīng)分析 單自由度單自由度直接求解；直接求解； 雙自由度雙自由度得到兩個(gè)位移反應(yīng)的比值，得到振型、但無法得到兩個(gè)位移反應(yīng)的比值，得到振型、但無法得到各質(zhì)點(diǎn)的地震反應(yīng)；得到各質(zhì)點(diǎn)的地震反應(yīng)； NN個(gè)自由度個(gè)自由度NN個(gè)方程耦合形成個(gè)方程耦合形成NN元二次微分方程，即：元二次微分方程，即：有有NN個(gè)方程，每個(gè)方程中有個(gè)方程，每個(gè)方程中有NN個(gè)未知量，無法直接得到各個(gè)振個(gè)