第1章點(diǎn)線面的投影

1、 1.1 點(diǎn)的三面投影點(diǎn)的三面投影 1.2直線直線的投影的投影 1.3平面平面的投影的投影第第1章章 點(diǎn)、直線和平面的投影點(diǎn)、直線和平面的投影 1.1點(diǎn)的三面投影點(diǎn)的三面投影 二、三面投影體系的建立二、三面投影體系的建立 1 1、三投影面體系、三投影面體系由三個(gè)互相垂直的投影面組成。由三個(gè)互相垂直的投影面組成。 （1）投影面）投影面 正立投影面正立投影面-V ( (正面）正面） 水平投影面水平投影面-H ( (水平面）水平面） 側(cè)側(cè)立投影立投影面面-W ( (側(cè)側(cè)面）面） （2）投影軸）投影軸 OX軸軸 - V H OY軸軸 - H W OZ軸軸 - V W （3）原點(diǎn)）原點(diǎn) O -原點(diǎn)原點(diǎn)H

2、VXOZWY2 2、三面投影的展開(kāi)、三面投影的展開(kāi) 規(guī)定規(guī)定正面正面V V不動(dòng)不動(dòng)，將，將水平面水平面H H繞繞OXOX軸向下旋轉(zhuǎn)軸向下旋轉(zhuǎn)9090，側(cè)側(cè)面面W W繞繞OZOZ軸向右旋轉(zhuǎn)軸向右旋轉(zhuǎn)9090，就得到如下圖所示的在同一平面，就得到如下圖所示的在同一平面上的三個(gè)視圖。上的三個(gè)視圖。三、點(diǎn)的三面投影三、點(diǎn)的三面投影1 1、點(diǎn)三面投影的形成、點(diǎn)三面投影的形成A A點(diǎn)的點(diǎn)的水平投影水平投影 a A A點(diǎn)的點(diǎn)的正面投影正面投影 a A A點(diǎn)的側(cè)面點(diǎn)的側(cè)面投影投影 a Ha aa VWXOZYWYHHVXZYWOaaaA分析：分析：a az = aay =o axaxa ax = a ay =

3、 o azaz a az = aax = o ayay2 2、點(diǎn)的投影規(guī)律、點(diǎn)的投影規(guī)律( (特性特性) ) a a ox （長(zhǎng)對(duì)正）（長(zhǎng)對(duì)正） a a oz （高平齊）（高平齊） a az = aax（寬相等）（寬相等）HVXZYWOayaxazxyzaaaHa aa VWXOZYWYHaxayazayA例題例題1.1 已知點(diǎn)已知點(diǎn)B的正面與側(cè)面投影，求點(diǎn)的正面與側(cè)面投影，求點(diǎn)B的水平投影。的水平投影。XZYWYHOb b b四、四、 點(diǎn)的空間坐標(biāo)點(diǎn)的空間坐標(biāo)1 1、點(diǎn)的空間位置可用、點(diǎn)的空間位置可用直角坐標(biāo)表示：直角坐標(biāo)表示：X X坐標(biāo)坐標(biāo)=A=A點(diǎn)到點(diǎn)到W W面的距離面的距離A Aa a

4、 Y Y坐標(biāo)坐標(biāo)=A=A點(diǎn)到點(diǎn)到V V面的距離面的距離A Aa a Z Z坐標(biāo)坐標(biāo)=A=A點(diǎn)到點(diǎn)到H H面的距離面的距離A Aa a 2 2、書寫形式為、書寫形式為A (XA (X，Y Y，Z) Z) 。 HVXZYWOayaxazxyzaaaA例題例題1.2 已知點(diǎn)已知點(diǎn)A和點(diǎn)和點(diǎn)B的坐標(biāo)值分別為的坐標(biāo)值分別為A（25,15,10）、）、B（16,10,0），求作這兩個(gè)點(diǎn)的三面投影。），求作這兩個(gè)點(diǎn)的三面投影。 正面圖正面圖（V V面）反映形體的面）反映形體的上、下上、下和和左、右左、右，不反映，不反映前前、后后； 平面圖平面圖（H H面）反映形體的面）反映形體的前、后前、后和和左、右左、右

5、，不反映，不反映上上、下下； 側(cè)面圖側(cè)面圖（W W面）反映形體的面）反映形體的上、下上、下和和前、后前、后，不反映，不反映左左、右右。 五、點(diǎn)的空間方位五、點(diǎn)的空間方位六、六、 兩點(diǎn)的相對(duì)位置及重影點(diǎn)的可見(jiàn)性兩點(diǎn)的相對(duì)位置及重影點(diǎn)的可見(jiàn)性X X坐標(biāo)確定左右：大者在坐標(biāo)確定左右：大者在左左；Y Y坐標(biāo)確定前后：大者在坐標(biāo)確定前后：大者在前前；Z Z坐標(biāo)確定上下：大者在坐標(biāo)確定上下：大者在上上。1 1、兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)的相對(duì)位置 2 2、重影點(diǎn)及可見(jiàn)性判別、重影點(diǎn)及可見(jiàn)性判別重影點(diǎn)重影點(diǎn) -若兩點(diǎn)位若兩點(diǎn)位于同一條垂直于同一條垂直某投影面的投某投影面的投射線上，則這射線上，則這兩點(diǎn)在該投影兩點(diǎn)在

6、該投影面上的投影重面上的投影重合，這兩點(diǎn)稱合，這兩點(diǎn)稱為該投影面的為該投影面的重影點(diǎn)。重影點(diǎn)。 點(diǎn)直觀圖的畫法點(diǎn)直觀圖的畫法 為了便于建立空間概念，加深對(duì)投影原理的理解，常常需為了便于建立空間概念，加深對(duì)投影原理的理解，常常需要畫出具有立體感的直觀圖。根據(jù)點(diǎn)的投影，畫其直觀圖的要畫出具有立體感的直觀圖。根據(jù)點(diǎn)的投影，畫其直觀圖的方法步驟見(jiàn)例方法步驟見(jiàn)例2.2?！纠纠?.2】 已知已知A(28，0，20)、B(24，12，12)、C(24，24，12)、D(0，0，28)四點(diǎn)，試畫出其直觀圖與投影圖。四點(diǎn)，試畫出其直觀圖與投影圖。 (a) 直觀圖直觀圖 (b) 投影圖投影圖 1.2.1 各種位

7、置直線的三面投影各種位置直線的三面投影1.2.2一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及其與投影面的夾角一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及其與投影面的夾角1.2.3直線上點(diǎn)的投影直線上點(diǎn)的投影1.2 直線的投影直線的投影直線的投影直線的投影直線上任意兩點(diǎn)同面投影的連線。直線上任意兩點(diǎn)同面投影的連線。 直線的投影仍為直線，特殊情況下為一點(diǎn)。直線的投影仍為直線，特殊情況下為一點(diǎn)。HabDCc(d)AB1.2 直線的投影直線的投影1.2.1 各種位置直線的三面投影各種位置直線的三面投影1 1、投影面垂直線、投影面垂直線 與一個(gè)投影面垂直（必與另兩個(gè)平行）的直線。與一個(gè)投影面垂直（必與另兩個(gè)平行）的直線。（1 1）鉛垂線）鉛垂線與與H

8、 H面垂直，與面垂直，與V V、W W面平行；面平行；（2 2）正垂線）正垂線與與V V面垂直，與面垂直，與H H、W W面平行；面平行；（3 3）側(cè)垂線）側(cè)垂線與與W W面垂直，與面垂直，與V V、H H面平行。面平行。2 2、投影面平行線、投影面平行線 與一個(gè)投影面平行，而與另兩個(gè)傾斜的直線。與一個(gè)投影面平行，而與另兩個(gè)傾斜的直線。（1 1）水平線）水平線與與H H面平行，與面平行，與V V、W W面傾斜；面傾斜；（2 2）正平線）正平線與與V V面平行，與面平行，與H H、W W面傾斜；面傾斜；（3 3）側(cè)平線）側(cè)平線與與W W面平行，與面平行，與V V、H H面傾斜。面傾斜。 3 3、

9、一般位置直線、一般位置直線 與三個(gè)投影面都傾斜的直線。與三個(gè)投影面都傾斜的直線。Zb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：投影特性：1) a b 積聚積聚 成一點(diǎn)成一點(diǎn) 2) a bOX ; a b OY 3) a b = a b = AB（1）鉛垂線）鉛垂線OXZYb a(b)a abAB（2）正垂線）正垂線投影特性：投影特性： 1) a b 積聚積聚 成一點(diǎn)成一點(diǎn) 2) ab OX ; a b OZ 3) ab = a b =ABOXZYbababaABzXab baOYHYWab（3）側(cè)垂線）側(cè)垂線投影特性：投影特性：1) a b 積聚積聚 成一點(diǎn)成一點(diǎn) 2) ab OYH ; a b

10、 OZ 3) ab = a b =ABOXZYABbaababZXabbaOYHYWab投影面投影面垂直線垂直線判別口訣：判別口訣：一點(diǎn)兩直線，定是垂直線；點(diǎn)在哪個(gè)面，垂直哪個(gè)一點(diǎn)兩直線，定是垂直線；點(diǎn)在哪個(gè)面，垂直哪個(gè)面（投影面）面（投影面）（1）水平線）水平線XZYOaababb Xa b ab baOzYHYWAB投影特性：投影特性：1) ab = AB 2) a b OX ; a b OYW 3) 反映反映 、 角的真實(shí)大小角的真實(shí)大小XZYO（2）正平線）正平線aababbXabab baOZYHYWAB 投影特性：投影特性： 1) a b = AB 2) ab OX ; a b O

11、Z 3) 反映反映 、 角的真實(shí)大小角的真實(shí)大小XZYO（3）側(cè)平線）側(cè)平線XZa b bbaOYHYWaaa b a bbAB投影特性：投影特性： 1) a b = AB 2) a b OZ ; ab OYH 3) 反映反映 、 角的真實(shí)大小角的真實(shí)大小投影面投影面平行線平行線判別口訣：判別口訣：一斜兩直線，定是平行線；斜線在哪面，平行哪個(gè)面一斜兩直線，定是平行線；斜線在哪面，平行哪個(gè)面（投影面）（投影面）OXZY3、一般位置直線、一般位置直線ABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性：投影特性：1） a b、 a b 、a b 均小于實(shí)長(zhǎng)均小于實(shí)長(zhǎng) 2） a b、a b 、a b

12、均傾斜于投影軸均傾斜于投影軸 3）不反映）不反映 、 、 實(shí)角實(shí)角 求解一般位置線段的實(shí)長(zhǎng)及傾角是求解畫法幾何綜合題時(shí)經(jīng)求解一般位置線段的實(shí)長(zhǎng)及傾角是求解畫法幾何綜合題時(shí)經(jīng)常遇到的基本問(wèn)題之一，而用常遇到的基本問(wèn)題之一，而用直角三角形法直角三角形法求解實(shí)長(zhǎng)、傾角又求解實(shí)長(zhǎng)、傾角又最為方便簡(jiǎn)捷。最為方便簡(jiǎn)捷。1.2.2 一般位置線段的實(shí)長(zhǎng)及其與投影面的夾角一般位置線段的實(shí)長(zhǎng)及其與投影面的夾角 (a) 直觀圖直觀圖 (b) 利用水平投影求實(shí)長(zhǎng)利用水平投影求實(shí)長(zhǎng) (c) 利用正面投影求實(shí)長(zhǎng)利用正面投影求實(shí)長(zhǎng) 例題例題1.3 已知一般位已知一般位置直線置直線AB的兩面投影，的兩面投影，見(jiàn)圖見(jiàn)圖1-13

13、（a），求直），求直線對(duì)線對(duì)H投影面的傾角投影面的傾角a 和實(shí)長(zhǎng)。和實(shí)長(zhǎng)。例題例題1.4 已知直已知直線線AB的水平投影的水平投影ab和點(diǎn)和點(diǎn)A的正投的正投影影a見(jiàn)圖見(jiàn)圖1-14（a），并知），并知AB對(duì)對(duì)H面的傾角面的傾角a 為為30，求直線，求直線AB的傾角的傾角。例題例題1.5 已知線段已知線段AB的水平投影的水平投影ab和點(diǎn)和點(diǎn)B的正面投影的正面投影b如圖如圖 (a)所示所示，線段線段AB與與H面的夾角面的夾角 =30，求出線段，求出線段AB的正面投影的正面投影ab。 (a) 已知條件已知條件 (b) 作圖方法作圖方法 直線上的點(diǎn)具有兩個(gè)特性：直線上的點(diǎn)具有兩個(gè)特性： 1 1、從屬性、

14、從屬性 若點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線的各則點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線的各同面投影上。同面投影上。 利用這一特性可以在直線上找點(diǎn)，或判斷已知點(diǎn)是否在直線上。利用這一特性可以在直線上找點(diǎn)，或判斷已知點(diǎn)是否在直線上。 2 2、定比性、定比性 屬于線段上的點(diǎn)分割線段之比等于其投影之比。即屬于線段上的點(diǎn)分割線段之比等于其投影之比。即A C: C B = a c : c b= a c : c b = a c : c b 利用這一特性，在不作側(cè)面投影的情況下，可以在側(cè)平線上找點(diǎn)利用這一特性，在不作側(cè)面投影的情況下，可以在側(cè)平線上找點(diǎn)或判斷已知點(diǎn)是否在側(cè)平線上?；蚺袛嘁阎c(diǎn)是否在側(cè)平線上。1.

15、2.3 直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn)ABbbaaXOccCc例題例題1.6 已知點(diǎn)已知點(diǎn)K從屬于直線從屬于直線AB，且點(diǎn)且點(diǎn)K將線段分成將線段分成2：3，求點(diǎn)，求點(diǎn)K的的投影，見(jiàn)圖投影，見(jiàn)圖1-17。例題例題1.7 已已知側(cè)平線知側(cè)平線AB的兩面投影的兩面投影及從屬于及從屬于AB的一點(diǎn)的一點(diǎn)K的水的水平投影平投影，見(jiàn)圖見(jiàn)圖1-19（a），試，試在兩面投影在兩面投影體系中求出體系中求出點(diǎn)點(diǎn)K的正面投的正面投影影。1.3.1 平面的表示法平面的表示法1.3.2 各類平面的投影及其投影特性各類平面的投影及其投影特性1.3 平面的投影平面的投影1.3.1 平面的表示法平面的表示法 1、用幾何元素表示平面、用幾

16、何元素表示平面 用幾何元素表示平面有五種形式：用幾何元素表示平面有五種形式： （1）不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)；）不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)； （2） 一直線和直線外一點(diǎn)；一直線和直線外一點(diǎn)； （3） 平行二直線；平行二直線； （4） 相交二直線；相交二直線； （5） 任意平面圖形。任意平面圖形。 1、用幾何元素表示平面、用幾何元素表示平面aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd平面圖形的投影平面圖形的投影 組成該平面圖形的各線段同面組成該平面圖形的各線段同面投影的集合投影的集合。1.3.2 各類平面的投影及其投影特性各類平面的投影及其投影特性1、投影面的平行面、投影面的平行面 與

17、一個(gè)投影面平行（必與另兩個(gè)垂直與一個(gè)投影面平行（必與另兩個(gè)垂直)的平面。的平面。 （1）水平面）水平面與與H H面平行，與面平行，與V V、W W面垂直；面垂直； （2 2）正平面）正平面與與V V面平行，與面平行，與H H、W W面垂直；面垂直； （3 3）側(cè)平面）側(cè)平面與與W W面平行，與面平行，與V V、H H面垂直；面垂直；2、投影面的垂直面、投影面的垂直面 與一個(gè)投影面垂直，而與另兩個(gè)傾斜的平面。與一個(gè)投影面垂直，而與另兩個(gè)傾斜的平面。 （1）鉛垂面）鉛垂面與與H H面垂直，與面垂直，與V V、W W面傾斜；面傾斜； （2 2）正垂面）正垂面與與V V面垂直，與面垂直，與H H、W

18、W面傾斜；面傾斜； （3 3）側(cè)垂面）側(cè)垂面與與W W面垂直，與面垂直，與V V、H H面傾斜。面傾斜。 3、一般位置平面、一般位置平面 與三個(gè)投影面都傾斜的平面。與三個(gè)投影面都傾斜的平面。 VWH（1）水平面）水平面投影特性：投影特性：（一框兩線）（一框兩線） 1、水平、水平投影投影abc 反映反映 ABC實(shí)形實(shí)形 2 、a b c 、 a b c 分別分別積聚為一條線積聚為一條線CABabcbacabccabbbaacc（2）正平面）正平面VWH投影特性：投影特性：（一框兩線）（一框兩線） 1、正面投影、正面投影a b c 反映反映 ABC實(shí)形實(shí)形 2 、abc 、 a b c 分別分別積聚為一條線積聚為一條線cabbacbcabacabcbcaCBA投影特性：投影特性：（一框兩線）（一框兩線） 1、側(cè)面投影、側(cè)面投影a b c 反映反映 ABC實(shí)形實(shí)形 2 、abc 、 a b c 分別分別積聚為一條線積聚為一條線（3 ）側(cè)平面）側(cè)平面VWHabbbacccabcbacabcCABa投影面投影面平行面平行面判別口訣：判別口訣：一框兩直線，定是平行面；框在哪個(gè)面，平行哪個(gè)面一框兩直線，定是平行面；框在哪個(gè)面，平行哪個(gè)面（投影面）（投影面）VWHPPH（1）鉛垂面）鉛垂面投影特