同濟(jì)版高數(shù)試卷與答案

1、模擬試卷一一、填空題（每小題3分，滿分18分）1、若函數(shù) f（x y, ） x f （x, y）dxdy成立的充分條件是（）. y2,則 f（x,y）=.x12、設(shè)函數(shù) u （j）z,貝Udu（i,i,i）=.、r 乙 _一 一 ,eIn x3、交換積分次序 :1 dx 0 f（x,y）dy=.4、曲面z xy包含在柱面x2 y2 1的面積可用二次積分表示為（不必具體計(jì)算）.5、已知 （1）n1an 2,a2n 1 5,則 an =.n 1n 1n 16、母線平行于z軸，準(zhǔn)線為兩曲面x2 9y2 1 z2與x2 y2 z2 x的交線的柱面方程為二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，滿分12分）1、z f

2、（x, y）在點(diǎn)（x, y）的偏導(dǎo)數(shù)-z及-z存在是f（x,y）在該點(diǎn)可微的 x y（）.A.充分條件B.必要條件C.充分必要條件D.既非充分又非必要條件2、函數(shù)z x2 y2在點(diǎn)（1,2）處沿從點(diǎn)（1,2）到點(diǎn)（2,2 J3）的方向的方向?qū)?shù)為（）.A. 1 2,3B. 1 2 3C. 2 4 . 3D. 2 4 . 33、若 an（x 1）n在x1處收斂，則此級數(shù)在x 2處（）.n 1A.條件收斂B.絕對收斂C.發(fā)散D.收斂性不能確定4、設(shè) D 為 x2 y2 1 ； D1 為 x2 y2 1 且 x 0 ,則使 f （x, y）dxdyD(A) f( x, y) f (x, y)(B)

3、f (x, y)f(x, y)(C) f( x, y) f (x,y)(D) f (x, y) f (x,y)三、計(jì)算下列各題(每小題7分，滿分49分)21、設(shè)z f(3x 2y,xy2),其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求二，二，. x y x y2、求曲面z y In二在點(diǎn)Mo(1,1,1)處的法線方程. zx ,113、計(jì)算 dx _eydy. 0-x4、計(jì)算三重積分zdv ,其中 是由曲面z2 x2 y2與z x2 y2所圍成的閉區(qū)域.n5、求幕級數(shù)的收斂半徑、收斂域及和函數(shù). non 16、將函數(shù)f(x)工展開為(x 3)的幕級數(shù). x7 、過點(diǎn)(1,2,1)且與直線L" U 二

4、，L2：以y z 0平行123x y z 0的平面方程。四、應(yīng)用題(每小題8分，滿分16分)21、求旋轉(zhuǎn)橢球面x2 y2 1在第一卦限的一點(diǎn)，使該點(diǎn)處的切平面在三 /4個坐標(biāo)軸上的截距平方和最小.2、設(shè)球體占有閉區(qū)域(x,y,z)x2 y2 z2 2Rz,它在部各點(diǎn)處的密度的大小等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，試求這球體的質(zhì)量.五、證明題(5分)若| an |收斂,試證a；也收斂.n 1n 1模擬試卷一答案(6分)、1、X2(1 y).1 y '2、dx dy; 3、1 e0dy ey f (x, y)dx ;4、11 X222 r 21dx G1 x ydy(或 0 d1 ；20n

5、r rdr)；5、8; 6、2x2 8y2 x 1.、1、B ; 2、B ; 3、1、解=f1 3 f2 y2 3fl x=f1 ( 2)f2 x 2yy2R =3fn ( 2) f12 xy2f2,(2 分)2f1 2xyf2.(4 分)一 一- 22y 2yf2 y f21 ( 2) f22 x 2yln z, （1分）則曲面在M 0點(diǎn)所以，所求法線方程為1 y2 x3、斛原式=0dy 0 e dx =2 x1 y y x0dy 0 ye d(7)1 y y .1 z y=0ye 0 dy = 0y(e1)dy（7分）（3分）（5分）、，12 11八=(y 1)ey 2y3 -6 f 11

6、 (6xy 2 y ) f12 2yf2 2xy f22(7分)2、解設(shè) F(x,y,z) z y In z y In x 的法向量為一一一.11一一， ，一八n Fx,Fy,FzM0 -, 1,1 -M0 1，1,2,(5 3|° 萬.(7 分)4、解 由z V2 x2y2及z x2y2中消去z得x2y21 ,因而 在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)椋簒2 y2 1.，、212 r2原式二 d rdr 2 zdz00r2-11 21 2 r2 ,1 _24=2 r z L dr =r(2 r r )dr0 2 1r202 21 41 6、17=(r 7r 6r 比也.5、解 收斂半徑 R l

7、im l-an-l lim n2 1 .n |an 1 n n 1當(dāng)x 1時,原級數(shù)為(?，收斂；n 0 n 當(dāng)X 1時，原級數(shù)為工，發(fā)散.n 0 n 1所以，原級數(shù)的收斂域?yàn)椋?x1.n設(shè) S(x) -,1 x 1.則n 0n 10時,S(x)=xxxndxxdxxx1=ln(1 x) = ln(1 x). x“x當(dāng)x 0時，S(0) 1.S(x)1ln(1 x), x 1,0) (0,1) x1,x 06、解f(x)=- 3(x3)（2分）（4分）（6分）（7分）（1分）（3分）（6分）（7分）（3分）八n,x 3、n (式，1) (-) = t/T (x3n 0 33)n .（5分）展開

8、域?yàn)? 即 0 x 6.(7分)7、解L1的方向向量li 1, 2,3,(1分)L2的方向向量可取l20,1,1(3分)所求平面的法向量可取1, 1,1 , (5 分)故的方程為1（x1) 1(y 2) 1(z 1) 0或 x y1 0 (6 分)(7分)四、1、解曲面位于第一掛限部分上任一點(diǎn)（x, y ,z）處的切平面方程為xX yY4 Z 1,（2分）則它在三個坐標(biāo)軸上的截距分別為；(3分）所以設(shè)F(x,y,z,)16 z(x21).(5分）FxFyFz2-3 x23y32z(7分）分）2、解密度函數(shù)為近.因?yàn)轳v點(diǎn)惟,所以（,2,<2）即為所求的點(diǎn)(8(x , y, z) x2z2,（1分）則球體的質(zhì)量為2M = (x , y, z)dv = (xz2)dv(2分)五、證22 Rcos 22d d r r sin dr000=202Sin1 c 2Rcos5r Io d64"5R5sin5,cos d6405