畫法幾何制圖第三章 直線、平面的相對位置

1、 第三章 直線、平面的相對位置 本章討論直線與平面、平面與平面的本章討論直線與平面、平面與平面的相對位置關系及其投影，包括以下內(nèi)容：相對位置關系及其投影，包括以下內(nèi)容： 1)1)平行關系：平行關系：直線與平面平行，直線與平面平行， 兩平面平行。兩平面平行。 2)2)相交關系：相交關系：直線與平面相交，直線與平面相交， 兩平面相交。兩平面相交。 1.1 1.1 直線與平面平行直線與平面平行定理定理: : 若一直線平行于平面上的某一直線，若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。則該直線與此平面必相互平行。1 1 平行關系平行關系 由于由于efad，e f a d ，即即EFAD

2、，且且AD是是ABC平面上的一直線，平面上的一直線，所以，所以，直線直線EF平行于平行于ABC平面。平面。 例例11過已知點過已知點k，作一條水平線平行于，作一條水平線平行于ABC平面。平面。 步驟：步驟：1 1）在）在ABC平面內(nèi)平面內(nèi)作一水平線作一水平線AD；2 2）過點）過點K作作 KLAD；3 3）直線）直線KL 即為所求。即為所求。ddllkkaabebcX 例例22 試判斷試判斷:已知直線已知直線AB是否平行于四棱錐的側表面是否平行于四棱錐的側表面SCF。作圖步驟：作圖步驟：1 1）作）作c m a b ；2 2）根據(jù)）根據(jù)CM在平面在平面SCF內(nèi)，作出內(nèi)，作出cm；3 3）由于）

3、由于cm不平不平行于行于ab，即在該，即在該平面內(nèi)作不出與平面內(nèi)作不出與AB平行的直線，平行的直線，所以，所以，直線直線AB不不平行于四平行于四棱棱錐側錐側表面表面SCF。1.2 1.2 平面與平面平行平面與平面平行 兩平面相平行的條件是：如果一平面上的兩兩平面相平行的條件是：如果一平面上的兩條相交直線分別平行于另一平面上的兩條相交直條相交直線分別平行于另一平面上的兩條相交直線，則此線，則此兩平面平行兩平面平行。 因為：因為：ABDE，BCEF ，所以：平面所以：平面ABC 和平面和平面DEF 相平行。相平行。例例3 3過點過點K作一平面，是其與平面作一平面，是其與平面ABC平行。平行。解：解

4、：只要過只要過K點作兩條相交直線分別平行于點作兩條相交直線分別平行于ABC的兩的兩條邊，則這兩條相交直線所確定的平面就是所求平面。條邊，則這兩條相交直線所確定的平面就是所求平面。作圖步驟作圖步驟：2 2）作）作KDAC(k d a c ,kdac);a cac bb k kl ld dX1 1）作）作KLBC(k l b c , klbc);3 3）平面）平面KDL即為所求。即為所求。2.1 2.1 直線與平面相交直線與平面相交 2 2 相交關系相交關系 2.1.1 2.1.1 利用利用積聚性積聚性求交點求交點 當平面或直線的投影有當平面或直線的投影有積聚性積聚性時，交點的兩個投影中有一個可直

5、時，交點的兩個投影中有一個可直接確定，另一個投影可用在直線上接確定，另一個投影可用在直線上或平面上取點的方法求出?；蚱矫嫔先↑c的方法求出。 平面為特殊位置平面為特殊位置 例例 求直線求直線MN與平面與平面ABC的交點的交點K并判別可見性。并判別可見性?？臻g及投影分析空間及投影分析 平面平面ABC 是一正垂面，是一正垂面，其其V 投影積聚成一條直線，投影積聚成一條直線，該直線與該直線與m n 的交點即為的交點即為K點的點的V 投影。投影。1)1)求交點。求交點。2)2)判別可見性。判別可見性。由由V投影可知，投影可知，k m 段在平面段在平面上方，上方，故故H投影上投影上km為可見。為可見。還可

6、通過還可通過重影點重影點判別可見性。判別可見性。作作 圖圖2k M (n)bm n c b a ac 直線為特殊位置直線為特殊位置空間及投影分析空間及投影分析: 直線直線MN為鉛垂線，為鉛垂線，其水平投影積聚成一個其水平投影積聚成一個點，故交點點，故交點K 的水平投的水平投影也積聚在該點上。影也積聚在該點上。1)1) 求交點求交點2)2) 判別判別可見性可見性點點位于平面上，在前；位于平面上，在前；點點位于位于MN上，在后。上，在后。故故k 2 為不可見。為不可見。1 (2 )k 1作作 圖圖:用面上取點法用面上取點法X通過通過重影點重影點判別可見性判別可見性直線直線EF為正垂線時為正垂線時例

7、例1 1求直線求直線MN 與鉛垂面與鉛垂面P 的交點。的交點。解解: :平面平面P為鉛垂為鉛垂面，面，PH有積聚性有積聚性，故故mn與與PH的交點的交點k 即為交點即為交點K 的的H 投投影。影。k 由于交點由于交點K必在直必在直線線MN上，故可用上，故可用在直線上取點在直線上取點的方的方法，由法，由k求出求出k 。規(guī)定：規(guī)定：在求在求用跡線表用跡線表示示的平面的交點和交線的平面的交點和交線時，時，不必分辨可見性不必分辨可見性。k例例2 2求直線求直線MN與四棱柱表面與四棱柱表面ABCD和和ABEF的交點。的交點。解：解：ABCD為為水平面水平面，其，其V投投影有積聚性；影有積聚性；ABEF為

8、為鉛垂面鉛垂面，其其H投影有積聚性，故本題可投影有積聚性，故本題可用平面的用平面的積聚性求解積聚性求解。作圖步驟：作圖步驟：1 1）求求m n 與與a b c d 的的交點交點k ；2 2）根據(jù)根據(jù)k ，在，在mn上上求求得點得點k，則點則點K(k,k )就是就是MN與與ABCD 的交點；的交點；3 3）求求mn與與abef的的交點交點l ；4 4）根據(jù)根據(jù)l，在，在m n 上上求求得點得點l ，則點則點L(l,l )就是就是MN與與ABEF的的交點；交點；5 5）因直線因直線MN穿通四棱柱，所穿通四棱柱，所以線段以線段KL之間部分的投影均為之間部分的投影均為不可見。不可見。 一般位置直線與一

9、般位置平面相交，一般位置直線與一般位置平面相交，其投影都沒積聚性，則采用換面法：其投影都沒積聚性，則采用換面法： 將一般位置直線或平面變成投影面的將一般位置直線或平面變成投影面的垂直線或垂直面，在新的投影體系中利用垂直線或垂直面，在新的投影體系中利用積聚性直接求得交點的投影。然后利用所積聚性直接求得交點的投影。然后利用所得交點的投影返回到原體系當中，即可求得交點的投影返回到原體系當中，即可求的平面與直線的交點。的平面與直線的交點。2.1.2 2.1.2 一般位置直線與一般位置平面相交一般位置直線與一般位置平面相交例例3 3求一般位置直線求一般位置直線MN與一般位置平面與一般位置平面ABC的交點

10、。的交點。解：解：根據(jù)上述分析，應采根據(jù)上述分析，應采用用換面法換面法將平面將平面ABC變換變換成投影面成投影面垂直面垂直面，這樣就，這樣就可以在新的投影體系中直可以在新的投影體系中直接求得交點的投影。接求得交點的投影。作圖步驟：作圖步驟：1 1）在平面在平面ABC上上作水平作水平線線AD(ad,a d );2 2）作作X1軸垂直于軸垂直于ad; ;3 3）求出求出直線直線MN和平面和平面ABC在在V1投影面上的新投影面上的新投影投影m1 n1 和和a1 b1 c1 ；4 4）求求出出m1 n1 和和a1 b1 c1 的交點的交點k1 ；5 5）根據(jù)根據(jù)k1 求出求出k，再由，再由k求出求出k

11、 ，則點，則點K(k,k )就是就是直線直線MN與平面與平面ABC的交的交點；點；6 6）取取H面的面的重影點重影點1、2判斷判斷直線直線MN 的的H 投影投影的的可見性?？梢娦?。7 7）取取V面的面的重影點重影點3 、4 判斷判斷直線直線MN 的的V 投影的投影的可見性?？梢娦浴?.2 2.2 兩平面相交兩平面相交2.2.1 2.2.1 一般位置平面與特殊位置平面相交一般位置平面與特殊位置平面相交 在兩平面之一有在兩平面之一有積聚性積聚性的情況下，的情況下，可以在沒有積聚性的那個平面上取兩可以在沒有積聚性的那個平面上取兩條直線，分別求這兩條直線與有積聚條直線，分別求這兩條直線與有積聚性的那個

12、平面的交點，則這兩個交點性的那個平面的交點，則這兩個交點的連線就是兩平面的交線。的連線就是兩平面的交線。例例4 4求一般位置平面求一般位置平面ABC與鉛垂面與鉛垂面DEF的交線。的交線。解：解：由圖可見，由圖可見，只要求出只要求出ABC上的兩條直線上的兩條直線AB、AC和和DEF 的的交點交點M、N ，就可以求得兩平面的，就可以求得兩平面的交線交線。作圖步驟：作圖步驟：1)1)利用利用積聚性求積聚性求AB與與DEF的的交點交點M (m,m )；2)2)利用利用積聚性求積聚性求AC與與DEF的的交點交點N (n,n )；3)3)連接連接MN (mn,m n )就可得到兩平面的交線；就可得到兩平面

13、的交線；4)4)取直線取直線AB和和DF在在V面上的重影點面上的重影點1 (2 )，分辨可見性：分辨可見性： 由圖可見，點由圖可見，點1在點在點2的前面，故的前面，故b m 為可為可見，為見，為m l 不可見。由于過重影點的兩線段的不可見。由于過重影點的兩線段的投影之可見性必不相同，因此可以確定其他各投影之可見性必不相同，因此可以確定其他各邊的可見性。邊的可見性。 例例55求一般位置直線求一般位置直線ABC與正垂面與正垂面P 的交線。的交線。解：解：P 平面為正垂面，平面為正垂面，可以可以利用利用PV 的積聚的積聚性性，直接求出交線，直接求出交線的的V 投影投影m n ，再，再由由m n 求得

14、求得mn。由于由于P 平面是用平面是用跡線表示跡線表示的平面，的平面，故故不需要判斷其可不需要判斷其可見性。見性。例例6 6求證垂面求證垂面P與三棱柱表面的交線。與三棱柱表面的交線。解解:求求P 平面與三棱平面與三棱柱表面的交線，只柱表面的交線，只需要利用積聚性求需要利用積聚性求出三條棱邊出三條棱邊AA1、AB、AC 和和P 平面平面的交點的交點D、E、F，然后將交點順次連然后將交點順次連接即可。接即可。作圖步驟：作圖步驟：1)1)利用積聚性求直線利用積聚性求直線AA1與與P 平面的交點平面的交點(d,d ,d )；3 3）用同樣的方法用同樣的方法求出求出F (f, f , f )；4 4）順

15、序連接點順序連接點D、E、F 的同面投影，的同面投影，就可求得就可求得P 平面與平面與三棱柱表面的交三棱柱表面的交線。線。2 2）利用積聚性求直線利用積聚性求直線AB與與P 平面的交點平面的交點E，其過，其過程為先求程為先求e ， 根據(jù)根據(jù)e 求出求出e ，再跟據(jù)再跟據(jù)e 求出求出e； 例例77已知三棱錐已知三棱錐SABC 被鉛垂面被鉛垂面Q 切去一角，切去一角，試完成其主、左視圖。試完成其主、左視圖。解：解：平面平面Q為鉛垂面，只為鉛垂面，只需利用積聚性求得需利用積聚性求得Q 平面平面與三棱錐三條棱邊與三棱錐三條棱邊SA 、AB、AC的交點的交點D、E、F，然后將其順序連接即可。然后將其順序

16、連接即可。作圖步驟：作圖步驟：1)1)求求D、E、F得得H投影投影d、e、f；2)2)由由d、e、f求出求出d 、e 、f ；3)3)由由e、f求出求出e 、f ；4)4)由由d 求出求出d ；5)5)順序連接順序連接D、E、F的同面投影即可。的同面投影即可。2.2.2 2.2.2 兩個一般位置平面相交兩個一般位置平面相交 兩一般位置平面的投影都沒有積兩一般位置平面的投影都沒有積聚性，所以其交線不能直接求出。解聚性，所以其交線不能直接求出。解決此類問題的決此類問題的思路思路是采用是采用換面法換面法，將，將兩相交平面之一變換為投影面垂直面，兩相交平面之一變換為投影面垂直面，這樣就可以利用積聚性在

17、新的投影體這樣就可以利用積聚性在新的投影體系中直接求得交線的一個投影，然后系中直接求得交線的一個投影，然后將其返回原投影體系中，即可求得兩將其返回原投影體系中，即可求得兩平面的交線。平面的交線。 例例88求兩一般位置平面求兩一般位置平面ABC 和和DEF 的交線。的交線。解解: :將平面將平面ABC變換成變換成投影面投影面垂直面，垂直面，即可求即可求得交線的一個投影。得交線的一個投影。作圖步驟：作圖步驟：1)1)在平面在平面ABC上上作水作水平線平線AN(an,a n )；2)2)作作X1軸垂直于軸垂直于an；3)3)求出求出ABC和和DEF在在V1面上的新投影面上的新投影 a1 b1 c1

18、和和 d1 e1 f1 ；6 6）利用利用V1投影直接投影直接判斷判斷H 投影的投影的可見性可見性；利用利用重影點重影點1 ,2 和和 3 , 4 判斷投影的可見性。判斷投影的可見性。4 4）求出求出a1 b1 c1 和和d1 e1 f1 的交線的交線k1 l1 ；5 5）根據(jù)根據(jù)k 1 l 1 求出求出kl，再根據(jù)再根據(jù)kl 求出求出k l ，則，則直線直線 KL(kl, k l ) 就是就是兩平面的交線；兩平面的交線；3 3 綜合舉例綜合舉例 本節(jié)給出了用換面法解決一些較復雜的本節(jié)給出了用換面法解決一些較復雜的相對位置問題的一些例子。相對位置問題的一些例子。 例例11求點求點M與直線與直線

19、AB之間的距離。之間的距離。解：解：由圖可見，求點由圖可見，求點 M 與與直線直線AB 間的距離，應由點間的距離，應由點向直線向直線AB引垂線，交引垂線，交AB于于K點，則線段點，則線段MK 即為點即為點M與直線與直線AB 間的距離。間的距離。 當直線當直線AB垂直于某垂直于某一投影面時，則線段一投影面時，則線段MK必必平行于該投影面，且在該平行于該投影面，且在該投影面上的投影反映實長。投影面上的投影反映實長。m b a abXm圖所示直線圖所示直線AB為水平線，若求點為水平線，若求點M到直線到直線AB的的距離，應進行一次投影換面，將直線距離，應進行一次投影換面，將直線AB變換為投影變換為投影

20、面垂直線，則在新的投影體系中，即可求出點面垂直線，則在新的投影體系中，即可求出點M與與直線直線AB 之間的距離的實長。將其返回原投影體系之間的距離的實長。將其返回原投影體系中，就可求出距離的投影。中，就可求出距離的投影。AKBA(b)(k)MmHm b a abXmk km b a a bXmX1H V1( (b1 ) )a1 k1 m1 作圖步驟：作圖步驟：1)1)取新投影軸取新投影軸X1垂直于垂直于ab，求出點，求出點M與直線與直線AB的新的新投影投影m1 和和a1 b1 ; ;2)2)由點由點M向直線向直線AB作垂作垂線，與直線線，與直線AB相交于點相交于點K，點，點K在新投影體系中在新

21、投影體系中的投影的投影k1 與與a1 b1 重合，重合，連接連接m m1 1 k k1 1 即為所求距即為所求距離的實長；離的實長；3)3)自自m引直線平行于引直線平行于X1軸，軸，與與ab相交于相交于k ；4)4)由由k求出求出k ，則可求，則可求得點得點M與直線與直線AB的距離的距離MK (mk, m k )。 例例2 2 求點求點S 到平面到平面ABC 的的距離。距離。解：解：求點到平面的距離，需自該點向平面作垂求點到平面的距離，需自該點向平面作垂線，求出該垂線與平面相交的的垂足，則該點線，求出該垂線與平面相交的的垂足，則該點到垂足的距離，即為所求點到平面的距離。如到垂足的距離，即為所求

22、點到平面的距離。如圖圖(a)可見，當平面垂直于某一投影面時，則由可見，當平面垂直于某一投影面時，則由點點M向平面所作的垂線向平面所作的垂線MK為該投影面的平行為該投影面的平行線，且在該投影面上的投影反映實長。線，且在該投影面上的投影反映實長。圖圖(b)所示的平面所示的平面ABC為一般位置平面，求為一般位置平面，求點點S到平面的距離時，應先把點到平面的距離時，應先把點S和和ABC平面作平面作一次換面，使平面一次換面，使平面ABC在新的投影體系中為投在新的投影體系中為投影面垂直面，再由點影面垂直面，再由點S向平面向平面ABC作垂線，則作垂線，則垂足垂足L和點和點S的連線的連線SL即為所求點即為所求

23、點S到平面到平面ABC的距離。的距離。作圖步驟：作圖步驟：1 1）在在ABC 平面上作水平線平面上作水平線CD( cd , c d ) ；2 2）取取X1軸垂直于軸垂直于cd，在，在V1投影面上求出投影面上求出s1 和和 a1 b1 c1 ( (積聚為一直線）積聚為一直線）；3 3）自自s1 引引a1 b1 c1 的的垂線與之相交于垂線與之相交于l1 ，則，則s1 l1 即為所求距離的實長；即為所求距離的實長；4 4）自自s 作作X1的平行線，并在其上根據(jù)的平行線，并在其上根據(jù)l1 求出求出l ；5 5）用取面上點的方法求出用取面上點的方法求出l ，則線段，則線段SL(sl ,s l )即為所求點到平面的距離。即為所求點到平面的距離。例例3 3求平面求平面ABC和平面和平面ABD間的間的夾角。夾角。解解: :由圖由圖( (a) )可見，當兩平面同時垂直于某投影面時，這兩可見，當兩平面同時垂直于某投影面時，這兩個平面在此投影面上的投影反映兩平面夾角的真實大小。個平面在此投影面上的投影反映兩平面夾角的真實大小。要使兩平面同時變換為投影面垂直面，只需將它們的交線要使兩平面同時變換為投影面垂直面，只需將它們的交線變換為投影面垂直線