未知數(shù)比方程個數(shù)多的方程組解法

1、初中數(shù)學(xué)競賽專題選講(初三.11)未知數(shù)比方程個數(shù)多的方程組解法一、內(nèi)容提要在一般情況下，解方程或方程組，未知數(shù)的個數(shù)總是與方程的個數(shù)相同的，但也有一些方程或方程組，所含的未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)，包括在列方程解應(yīng)用題時，引入的輔助未知數(shù). 解這類方程或方程組，一般有兩種情況：一是依題意只求其特殊解，如整數(shù)解，或幾個未知數(shù)的和(積)等，無需求出所有的解；二是在實數(shù)范圍內(nèi)，可運用其性質(zhì)，增加方程或不等式的個數(shù). 例如，利用取值范圍，非負數(shù)的性質(zhì)等.二、例題例1. 在實數(shù)范圍內(nèi)，解下列方程或方程組：；x2+xy+y23x3y+3=0； 解： 根據(jù)在實數(shù)范圍內(nèi)，二次根式被開方數(shù)是非負數(shù)，分母不等于

2、零.得不等式組 解得x2=1而x1, 整理為關(guān)于x的二次方程，利用方程有實數(shù)根，則判別式 0.x2+(y3)x+(y23y+3)=0.x是實數(shù)，0.即( y3)24(y23y+3)0 . 解得 (y1)20 . 而(y1)20. y=1.是原方程的解.消去一元后，利用實數(shù)平方是非負數(shù)性質(zhì). 由得z=2xy . 代入得2xy(2xy)24=0. 整理配方，得(x2)2+(y2)2=0.相加得0的兩個數(shù)，只有是互為相反數(shù).而 x, y 是實數(shù)，(x2)20，(y2)20.滿足等式的條件只能是：.方程組的解是 本題在消去z后，也可以仿，寫成關(guān)于 x的二次方程，用判別式求解.例2. 一個自然數(shù)除以4余

3、1，除以5余2，除以11余4，求適合條件的最小自然數(shù).分析：本題有多種解法：交集法， 設(shè)三元，消去一元，用二元一次方程求整數(shù)解，設(shè)二元，求二元一次方程的整數(shù)解.解法一：除以4余1的自然數(shù)集合：1，5，9，13，17，21，37；除以5余2的自然數(shù)集合：2，7，12，17，37；除以11余4的自然數(shù)集合：4，15，26，37，.三個集合的公共元素中最小的自然數(shù)是37. 解法二：設(shè)所求的自然數(shù) 為4a+1或5b+2 或11c+4 (a,b,c都是自然數(shù)). 得方程組 由(1)得 a=. 設(shè) (k為正整數(shù))， 那么 b=4k1， a=5k1.由(2)得 c=.要使為整數(shù)，k取最小正整數(shù)2.這時c=3

4、 (也可求得b=7, a=9), 所求自然數(shù) 是37.解法三：設(shè)所求的自然數(shù)為x, 則， 都是自然數(shù). >> . + 也是自然數(shù). 設(shè)y=+ . 去分母，得 200y=31x47.x=.y取最小正整數(shù)5，能使為整數(shù).x=37, 即最小的自然數(shù)是37.例3. 有甲，乙，丙三種貨物.若購買甲3件，乙7件，丙1件共需3.15元；若購買甲4件，乙10件，丙1件共需4.20元.問購買甲、乙、 丙各1件共需幾元？ (1985年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)解：設(shè)甲，乙，丙每件分別為x,y,z元.根據(jù)題意，得 ( 依題意只要求出x+y+z的值)(1)×3(2)×2：x+y+z=1.05

5、（元）. 答：買甲、乙、 丙各1件共需1.05元.例4. 甲、乙兩車分別從A、B兩站同時出發(fā)，相向而行，當(dāng)甲車走完全程的一半時，乙車距A站24公里；當(dāng)乙車走完全程的一半時，甲車距B站15公里.求A、B兩站的距離.解：設(shè)A、B兩站的距離為x公里，并引入輔助未知數(shù)V甲，V乙分別表示甲、乙兩車的速度. 根據(jù)題意，得 ( 這方程組可同時消去兩個輔助未知數(shù).) 方程(2)左、右不等于零 (1)÷(2)得.解得， x=40；或 x=12 (不合題意 舍去). 答：A、B兩站的距離為40公里.三、練習(xí)1. 甲，乙，丙，丁，戊做一件工程，甲，乙，丙合作需7.5小時，甲，丙戊合作需5小時，甲，丙，丁合

6、作需6小時，乙，丁，戊合作需4小時.問五人合作需幾小時？2. 服裝廠向百貨商店購買甲、乙兩種布，共付42.9元，售貨員收款時發(fā)現(xiàn)甲、乙兩種布單價對調(diào)了，退給廠方1.6元，廠方把這1.6元又買 了甲、乙兩種布各1尺.問服裝廠共買布幾尺？3. 兩只船分別從河的兩岸同時對開，速度保持不變，第一次相遇時，距河的一岸700米，繼續(xù)前進到達對岸后立即返回，第二次相遇時，距河的另一岸400米，求河的寬.4. 游泳運動員自閩江逆流而上，在解放大橋把水壺丟失，繼續(xù)前游20分鐘才發(fā)現(xiàn)，于是返回追尋，在閩江大橋處追到，已知兩橋相距1000米，求水流的速度.5. 已知長方形的長和寬均為整數(shù)，且周長的數(shù)值與面積的數(shù)值相

7、等.問這長方形的長和寬各是多少？6. 有一隊士兵，若排成3列縱隊，則最后一行只有1人；若排成5列縱隊，則最后一行只有7. 人；排成7列縱隊，則最后一行只有6人.問這隊士兵最少是幾人？7. 求下列方程的實數(shù)解： 5x2+6xy+2y214x8y+10=0 (x2+1)(y2+4)=8xy 8. 一件工程，如果甲單獨完成所需的時間是乙，丙合做，完成這件工程所需時間的a倍；如果乙單獨完成所需的時間是甲，丙合做，完成這件工程所需時間的b倍.(其中b>a>1),那么丙單獨完成所需的時間是甲，乙合做，完成這件工程所需時間的多少倍？(1990年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題 )9. 甲，乙兩車從東站，丙，丁兩車從西站，同時相向而行.甲車行120公里遇丙車，再行20公里遇丁車；乙車在離西站126公里處遇丙車，在中途遇丁車.求東西兩站的距離.10. 三輛車A，B，C從甲到乙.B比C遲開5分鐘，出發(fā)后20分鐘追上C；A比B遲開10分鐘，出發(fā)后50分鐘追上C.求A出發(fā)后追上B的時間.11. 學(xué)生若干人住宿，如果每間4人，有20人沒房?。蝗绻块g8人，則有一間不滿也不空.求學(xué)生人數(shù).12.一只船從甲碼頭順水航行到乙碼頭用5小時，由乙碼頭逆水航行到甲碼頭需7