數(shù)學(xué)廣角數(shù)與形教材分析

1、數(shù)學(xué)廣角數(shù)與形教材分析數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題，可以使復(fù)雜的問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單，使抽象的問(wèn)題變得更直觀。數(shù)與形相結(jié)合的例子在小學(xué)數(shù)學(xué)教材與教學(xué)中隨處可見(jiàn)。有些情況下，是圖形中隱含著數(shù)的規(guī)律，可利用數(shù)的規(guī)律來(lái)解決圖形的問(wèn)題。本單元的例1以及相關(guān)練習(xí)就屬于這種情況。例如，第109頁(yè)第2題（如下圖），使學(xué)生通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)第2個(gè)圖比第1個(gè)圖增加2個(gè)小圓，第3個(gè)圖比第2個(gè)圖增加3個(gè)小圓，第4個(gè)圖比第3個(gè)圖增加4個(gè)小圓這樣依次下去，各個(gè)圖形中的小圓個(gè)數(shù)分別是1，3，6，10，即1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，如果是第個(gè)圖，小圓的個(gè)數(shù)是。等學(xué)生將來(lái)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的有關(guān)知

2、識(shí)，就知道第個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)是。而有些情況下，是利用圖形來(lái)直觀地解釋一些比較抽象的數(shù)學(xué)原理與事實(shí)，讓人一目了然。尤其是對(duì)于小學(xué)生，其思維的抽象程度還不夠高，經(jīng)常需要借助直觀模型來(lái)幫助理解。例如，利用長(zhǎng)方形模型來(lái)教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法的算理，利用線段圖來(lái)幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的算理，利用面積模型來(lái)解釋兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理、乘法分配律、完全平方公式等。還有的時(shí)候，數(shù)與形密不可分，可用“數(shù)”來(lái)解決“形”的問(wèn)題，也可用“形”來(lái)解決“數(shù)”的問(wèn)題。例如，解析幾何中，函數(shù)圖象與方程、方程組互為工具，互為解釋?zhuān)袡C(jī)融合。小學(xué)中的正比例關(guān)系和反比例關(guān)系圖象也很好地反映了這樣的思想。本單元教材以“”“”為例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)利

3、用數(shù)和形的結(jié)合解決一些有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。一、與實(shí)驗(yàn)教材（義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)六年級(jí)，下同）的主要區(qū)別新教材把義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)的“雞兔同籠”問(wèn)題移至四年級(jí)下冊(cè)，新編“數(shù)形結(jié)合”的內(nèi)容。本冊(cè)的數(shù)學(xué)廣角，編排了一個(gè)新的內(nèi)容數(shù)與形。二、教材例題分析例1：連續(xù)奇數(shù)的等差數(shù)列之和等于某平方數(shù)。本例讓學(xué)生計(jì)算從1開(kāi)始的連續(xù)若干奇數(shù)之和。在計(jì)算時(shí)，即使不借助圖形，也可以通過(guò)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：從1開(kāi)始，連續(xù)個(gè)奇數(shù)之和，就是的平方。但把圖形與算式對(duì)應(yīng)起來(lái)，更具直觀性，更能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)之美。圖中有的規(guī)律顯而易見(jiàn)（每個(gè)圖都是一個(gè)大的正方形，第個(gè)圖形中，大正方形的每行、每列都有個(gè)小正方形，

4、因此，小正方形的總數(shù)是）,有的規(guī)律相對(duì)比較隱蔽(從左下角到右上角，每個(gè)“”形的小正方形的個(gè)數(shù)分別是1，3，5，7，)。每個(gè)圖中都“隱藏”著一個(gè)等式，如第個(gè)圖中的等式就是。從圖形的角度直觀理解“正方形數(shù)”或“平方數(shù)”的特點(diǎn)，顯然，使學(xué)生通過(guò)數(shù)與形的對(duì)照，利用圖形直觀形象的特點(diǎn)得到關(guān)于數(shù)的規(guī)律。例2：等比數(shù)列之和等于1。本例讓學(xué)生計(jì)算的得數(shù)。學(xué)生在計(jì)算的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，加數(shù)有規(guī)律，即后一個(gè)加數(shù)是前一個(gè)加數(shù)的；和也有規(guī)律，每次相加所得的和都等于1減去最后一個(gè)加數(shù)；加數(shù)的項(xiàng)數(shù)越多，和越接近1。這些加數(shù)無(wú)限地加下去，最后的和無(wú)限接近于1。但這個(gè)無(wú)限接近于1的數(shù)到底是多少呢？教材利用“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”中的面積模型

5、和長(zhǎng)度模型，在圓上和線段上表示出這些加數(shù)，使學(xué)生借助圖理解：無(wú)限加下去，最終的得數(shù)為1。由此，教材借助圖形解決了比較抽象的、復(fù)雜的、不好解決的問(wèn)題。但在實(shí)際教學(xué)中，即使有了圖形的直觀支持，仍有學(xué)生對(duì)最終結(jié)果為1這一事實(shí)不能理解，這也是非常正常的?？梢杂袃煞N解釋的方法：第一種，如果學(xué)生認(rèn)為和為，教師可以追問(wèn)：如果再加上一項(xiàng)呢？加上，和就變成了。不管找到一個(gè)多么接近1的數(shù)，總還能再加一項(xiàng)，得到一個(gè)比它更接近1的和，這恰恰是極限思想的精髓所在。第二種，可以利用反推的方法來(lái)使學(xué)生明白其中的道理：本單元的教學(xué)重點(diǎn)是自主探索圖形中隱藏著的數(shù)的規(guī)律，會(huì)利用圖形來(lái)解決一些有關(guān)數(shù)的問(wèn)題，并學(xué)會(huì)應(yīng)用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

6、教學(xué)難點(diǎn)是體會(huì)和掌握數(shù)形結(jié)合、歸納推理、極限等基本數(shù)學(xué)思想?；谏鲜鰞?nèi)容和要求，教師在實(shí)際教學(xué)時(shí)需注意以下方面問(wèn)題：（一）引導(dǎo)學(xué)生自主探索規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生合作交流、抽象概括的能力“形”的問(wèn)題中包含著“數(shù)”的規(guī)律，“數(shù)”的問(wèn)題也可以用“形”來(lái)幫助解決。教師教學(xué)時(shí)，通過(guò)學(xué)生的自主探究、合作交流，既要讓學(xué)生充分利用圖形的直觀、形象特點(diǎn)，用圖形來(lái)表示數(shù)的規(guī)律性，感受化數(shù)為形的簡(jiǎn)捷性；同時(shí)，又要讓學(xué)生尋找圖形中所包含的數(shù)的規(guī)律，用數(shù)（或代數(shù)式）來(lái)表示圖形，建立模式，感受用數(shù)或者代數(shù)式表示的概括性?？傊寣W(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程體會(huì)到數(shù)與形的完美結(jié)合，并逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。（二）引導(dǎo)學(xué)生從

7、多角度探索數(shù)與形的通用模式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想小學(xué)階段，雖然不要求寫(xiě)出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，但可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式，利用圖形的規(guī)律，從不同角度用自己的語(yǔ)言描述出數(shù)列的通用表達(dá)式，進(jìn)而達(dá)到滲透數(shù)形結(jié)合、抽象概括等數(shù)學(xué)思想的教學(xué)目的。數(shù)學(xué)廣角數(shù)與形重難點(diǎn)突破 一、自主探索圖形中隱藏著的數(shù)的規(guī)律，會(huì)利用圖形來(lái)解決一些有關(guān)數(shù)的問(wèn)題，并學(xué)會(huì)應(yīng)用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律突破建議：1引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，從不同角度尋找規(guī)律。形的問(wèn)題中包含著數(shù)的規(guī)律，數(shù)的問(wèn)題也可以用形來(lái)幫助解決，教學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生通過(guò)解決問(wèn)題體會(huì)到數(shù)與形的這種完美結(jié)合。既可以從數(shù)的角度出發(fā)，讓學(xué)生看看可以怎樣用圖形來(lái)表示數(shù)的規(guī)律，也可以讓學(xué)生尋找圖形中所包含

8、的數(shù)的規(guī)律。通過(guò)數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，互相印證結(jié)果，感受數(shù)學(xué)的魅力。例如，教學(xué)例1時(shí)，可從形引入，先讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)三幅圖中分別有多少個(gè)小正方形？你是怎么發(fā)現(xiàn)的？通過(guò)學(xué)生的討論，學(xué)生容易得出小正方形數(shù)為12，22，32，的結(jié)論；也可以使學(xué)生看到三個(gè)圖中的小正方形數(shù)還可以分別表示成1，1+3，1+3+5，的結(jié)論。也可以從數(shù)引入，讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)1+3=4，1+3+5=9，有的學(xué)生可能很快發(fā)現(xiàn)4=22，9=32，此時(shí)老師可以引導(dǎo)學(xué)生用正方形來(lái)表示這些算式，使學(xué)生通過(guò)數(shù)與形的比照，看到這些連續(xù)的奇數(shù)在圖形中的什么地方，平方數(shù)代表的又是圖形中的什么。從而對(duì)規(guī)律形成更為直觀的認(rèn)識(shí)。2充分發(fā)揮教師的指導(dǎo)作用，

9、讓學(xué)生感受用形來(lái)解決數(shù)的有關(guān)問(wèn)題的直觀性與簡(jiǎn)捷性。例2中，“無(wú)限”的概念非常抽象，學(xué)生不易理解。因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師要積極發(fā)揮自身的主導(dǎo)作用，幫助學(xué)生深刻理解。比如說(shuō)，教師可以出示一個(gè)圓或者一條線段或者一個(gè)正方形，讓學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義表示出這些加數(shù)，使學(xué)生直觀地看到最終的結(jié)果是“1”。從而進(jìn)一步感受到“化數(shù)為形”的直觀、形象、簡(jiǎn)捷特點(diǎn)。當(dāng)然，如果學(xué)生還是有困難，教師也可以通過(guò)反推的方法幫助學(xué)生理解。二、體會(huì)和掌握數(shù)形結(jié)合、歸納推理、極限等基本數(shù)學(xué)思想突破建議：1在學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)模式、應(yīng)用模式的過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合、歸納推理等數(shù)學(xué)思想。本單元教學(xué)通過(guò)數(shù)與形的比照，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度探索規(guī)律。例如，通過(guò)觀察與計(jì)算1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，既能發(fā)現(xiàn)加數(shù)的規(guī)律，又能發(fā)現(xiàn)和的規(guī)律。在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎(chǔ)上，通過(guò)推理，逐步抽象，形成模式，再引導(dǎo)學(xué)生把規(guī)律應(yīng)用于一般的情形，解決問(wèn)題。顯然，這樣的一個(gè)教學(xué)過(guò)程，既是學(xué)生自主探究獲取知識(shí)的過(guò)程，更是有機(jī)滲透數(shù)學(xué)思想方法的過(guò)程，使學(xué)生在潛移默化的過(guò)程