泰勒公式及應用90856

1、泰勒公式及其應用摘要本文論述了泰勒公式的一些基本內(nèi)容，并著重介紹了它在數(shù)學分析中的一些應用。泰勒公式是數(shù)學分析中的重要知識，在某些題目中運用泰勒公式會達到快速解題的目的。本文主要從六個方面對泰勒公式進行綜合論述利用泰勒公式求極限、證明中值公式、證明不等式、估計、在方程中的應用、在近似計算的的應用。關鍵詞：泰勒公式佩亞諾余項拉格朗日余項泰勒級數(shù)一、泰勒公式及其余項1：泰勒公式對于一般函數(shù)，設它在點存在直到階的導數(shù)，由這些導數(shù)構(gòu)造一個 次多項式，稱為函數(shù)在點處的泰勒(Taylor)多項式,的各項系數(shù)稱為泰勒系數(shù)。2：泰勒余項定理1：若函數(shù)在點存在直到階導數(shù)，則有；即其中稱為泰勒公式的余項。形如的余

2、項稱為佩亞諾型余項。特殊的當時;稱為（帶有佩亞諾型余項的）麥克勞林(Maclaurin)公式。定理2：（泰勒定理） 若函數(shù)在上存在直至階的連續(xù)導函數(shù)，在內(nèi)存在階導函數(shù)，則對任意給定的，至少存在一點(a,b)使得其中,稱為拉格朗日型余項。特殊的當時; 稱為（帶有拉格朗日型余項的）麥克勞林(Maclaurin)公式。一、 泰勒公式的應用1、 利用泰勒公式求極限例1， 求極限解：因而求得例2，設函數(shù)在上二次連續(xù)可微，如果存在，且在上有界，求證：證：要證明，即要證明:,當x>時,利用泰勒公式,即記因有界，所以,使得故由知,首先可取.充分小，使得,然后將固定.因,所以,當時從而由式即得例3，設 在

3、內(nèi)是階連續(xù)可微函數(shù)，此外當時,有，但是；當時,有其中證明：證：我們要設法從式中解出.為此,我們將式左邊的及右端的在處展開.注意條件,知使得.,于是式變成從而因利用的連續(xù)性,由此可得2、 證明中值公式例4，設在上三次可導,試證:使得證：（待定常數(shù)法）.設為使下式成立的實數(shù)這時，我們的問題歸為證明:使得令則根據(jù)羅爾定理,使得,由式,即:這是關于的方程，注意到在點處的泰勒公式:其中，比較，可得式證畢。3、 證明不等式例5，設有二階導數(shù),試證證：二式相加，并除以,有令取極限得：4、 估計例6，若在上有二階導數(shù),試證:,使得證：應用泰勒公式，將分別在點展開，注意,使得(3)-(2)得,故例7，設在上有二階導數(shù),時,試證：當時,證：所以5、 方程中的應用例8，設在內(nèi)有連續(xù)三階導數(shù)，且滿足方程試證：是一次或二次函數(shù)證：問題在于證明:，為此將（1）式對求導，注意與無關.我們有: (2)從而,令取極限，得若,由此為一次函數(shù);若,(2)式給出此式兩端同時對求導，減去;除以,然后令取極限,即得;為二次函數(shù)6、 在近似計算上的應用例9，計算的值，使其誤差不超過.解：,由,得到有:故,當時,便有從而略去而求得的近似值為參考文獻1華東師范大學數(shù)學系編, 數(shù)學分析(第三版)M.北京：高