直線和平面所成角

1、直線和平面所成的角直線和平面所成的角如圖如圖,點(diǎn)點(diǎn)Q是是是點(diǎn)是點(diǎn)P到平面的垂線段到平面的垂線段 pQ過一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做過一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做 這點(diǎn)與垂足間的線段叫做這點(diǎn)與垂足間的線段叫做。 一一.斜線在平面內(nèi)的射影斜線在平面內(nèi)的射影. .垂線、斜線、射影垂線、斜線、射影( () )垂線垂線點(diǎn)點(diǎn)P在平面在平面 內(nèi)的射影內(nèi)的射影 線段線段PQ（2 2）斜線）斜線 一條直線和一個平面相交，但不和這個平一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜線和平面的交點(diǎn)叫做。從平面外一點(diǎn)向平面引斜線，從平面外一點(diǎn)向平面引斜

2、線，這點(diǎn)與斜足間的線段叫做這點(diǎn)這點(diǎn)與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到這個平面的到這個平面的斜線段斜線段PR 問題問題1：平面外一點(diǎn)到一個平面的垂線段：平面外一點(diǎn)到一個平面的垂線段有幾條？斜線段有幾條？有幾條？斜線段有幾條？PRQST 如圖：是斜線如圖：是斜線AC在內(nèi)的射影，線段在內(nèi)的射影，線段BC是是 ACB過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做和斜足的直線叫做 垂足與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到平面的垂足與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到平面的 ( () )射影射影直線直線BC斜線段斜線段AC在內(nèi)的射影在內(nèi)的射影 ACB O一點(diǎn)一點(diǎn)向向這個平面所引的垂線這

3、個平面所引的垂線段和斜線段中，段和斜線段中，（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長的斜線段也較長（2）相等的斜線段的射影相等，較長的斜線相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長段的射影也較長（3）垂線段比任何一條斜線段都短垂線段比任何一條斜線段都短2 2射影長定理射影長定理例例1.如圖：正方體如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）AB1在面在面BB1D1D中的射影中的射影（2）AB1在面在面A1B1CD中的射影中的射影（3）AB1在面在面CDD1C1中的射影中的射影A1D1C1B1ADCB2、過點(diǎn)為連則則邊點(diǎn)則0 0

4、ABC所ABC所在在平平面面外外一一P,作P,作PO PO ,垂,垂足足O,接O,接PA,PB,PC.PA,PB,PC.1).若1).若PA = PB = PC,O是PA = PB = PC,O是ABC的ABC的_心_心. .2).若2).若PA = PB = PC,PA = PB = PC,C = 90 ,O是C = 90 ,O是AB的AB的_._.*3).若*3).若PA PA PB,PB PB,PB PC,PC PC,PC PA,O是PA,O是ABCABC的的_心_心. .外外中中垂垂已知三棱錐已知三棱錐P-ABCP-ABC的三條側(cè)棱的三條側(cè)棱PA=PB=PCPA=PB=PC試判斷點(diǎn)試判

5、斷點(diǎn)P P在底面在底面ABCABC的射影的位置？的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO為三角形為三角形ABC的的外心外心已知三棱錐已知三棱錐P-ABCP-ABC的三條的三條側(cè)棱側(cè)棱PA,PB,PCPA,PB,PC兩兩垂直兩兩垂直, ,試判斷點(diǎn)試判斷點(diǎn)P P在底面在底面ABCABC的射影的射影的位置？的位置？PABCO O為三角形為三角形ABCABC的的垂心垂心DOPADBCPPOPABCPOBCPA平面已知三棱錐已知三棱錐P-ABCP-ABC的的頂點(diǎn)頂點(diǎn)P P到底面三角形到底面三角形ABCABC的三條邊的距離相等的三條邊的距離相等, ,試判斷點(diǎn)試判斷點(diǎn)P P在在底面底面ABCABC的射影的

6、位置？的射影的位置？PABCO O為三角形為三角形ABCABC的的內(nèi)心內(nèi)心OEF二、直線和平面所成的角：二、直線和平面所成的角：斜線和射影所成的銳角叫做這條直線和斜線和射影所成的銳角叫做這條直線和平面所成的角。平面所成的角。規(guī)定：規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們一條直線垂直于平面，它們一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們直線和平面所成角直線和平面所成角的范圍是的范圍是PAO斜線斜線斜足斜足射影射影3、如何作出直線與平面、如何作出直線與平面所成的角所成的角?過直線與平面交點(diǎn)外任意一點(diǎn)過直線與平面交點(diǎn)外任意一點(diǎn),作平面的垂作平面的垂線線,則斜足與垂足之間的連線則斜

7、足與垂足之間的連線AO與直線與直線PA之間所成的之間所成的銳角銳角(直角或零角直角或零角)就是就是直線與直線與平面所成的角平面所成的角.注意區(qū)別注意區(qū)別兩條異面直線兩條異面直線所成的角是所成的角是(00,900直線與平面直線與平面所成角所成角斜線與平面斜線與平面所成角所成角2、注意、注意:(0 ,90 )0 ,90 PAO例例1:如圖如圖,正方體正方體ABCD-A1B1C1D1中中,求求 (1) 直線直線A1B與平面與平面ABCD所成的角所成的角; (2)直線直線A1B與平面與平面BCC1B1所成的角所成的角; (3)直線直線BD1與平面與平面AD1所成的角的正切值所成的角的正切值.ABCDA

8、1B1C1D12.如圖：正方體如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）A1C1與面與面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1與面與面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1與面與面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1與面與面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB練練習(xí)習(xí)4、求斜線與平面所成的角一般步驟（三步曲）、求斜線與平面所成的角一般步驟（三步曲）（1）作圖）作圖。作（或找）出斜線在平面上的射影，將空間角（斜。作（或找）出斜線在平面上的射影，將空間角（斜線和平面所成的角）轉(zhuǎn)化為平面角（兩條相交直線所成線和平面所成的角）轉(zhuǎn)化為平面角（兩條相交直線所成

9、 的銳的銳角）。作射影要過斜線上一點(diǎn)作平面的垂線，再過垂足和斜足作角）。作射影要過斜線上一點(diǎn)作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線。直線。（2）證明）證明。證明某平面角就是斜線和平面所成的角。證明某平面角就是斜線和平面所成的角。（3）計(jì)算）計(jì)算。通常在垂線段，斜線段和射影所組成的直角三角形。通常在垂線段，斜線段和射影所組成的直角三角形中計(jì)算。中計(jì)算。 PP1Q一一“作作”二二“證證”三三“計(jì)算計(jì)算” 關(guān)鍵：關(guān)鍵：確定斜線在平面內(nèi)的確定斜線在平面內(nèi)的射影射影.例例2如圖如圖, ,在長方體在長方體ABCDABCDABCDABCD中，中，AA=3,AB=4,BC=5,AA=3,AB=4,BC=5,求直線求直線ACAC和平面和平面ABCDABCD所成的角的正弦值所成的角的正弦值練習(xí)練習(xí)2.如圖如圖,在正方體在正方體ABCD-A1B1C1D1中中,求直線求直線A1B和平面和平面A1B1CD所成的角所成的角.ABCDA1B1C1D1O3.如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，側(cè)棱正方形，側(cè)棱PD底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的中點(diǎn)的中點(diǎn)（1）證