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1、2022-5-14.1 概述概述構(gòu)件的承載能力與平面圖形的各種幾何性構(gòu)件的承載能力與平面圖形的各種幾何性質(zhì)有密切的關(guān)系,比如前面學(xué)習(xí)的軸向拉質(zhì)有密切的關(guān)系,比如前面學(xué)習(xí)的軸向拉壓的應(yīng)力有橫截面的面積成反比等等。本壓的應(yīng)力有橫截面的面積成反比等等。本章將學(xué)習(xí)本課程將要用到的一些平面圖形章將學(xué)習(xí)本課程將要用到的一些平面圖形的幾和性質(zhì)及其計(jì)算方法。的幾和性質(zhì)及其計(jì)算方法。, 2022-5-1oyz4.2 靜矩和形心靜矩和形心一、一、 靜矩靜矩dA yz微元對(duì)微元對(duì) z , y 軸的靜矩為軸的靜矩為:靜矩可正,可負(fù),也可能等于零靜矩可正,可負(fù),也可能等于零。平面圖形面積與某一軸的一次矩平面圖形面積與某
2、一軸的一次矩 AyzdASAzydAS, dAzdAy圖形對(duì)圖形對(duì) z , y 軸的靜矩為軸的靜矩為:2022-5-1yzo dA yz二、截面形心二、截面形心 C 的坐標(biāo)的坐標(biāo)均質(zhì)薄板的重心與平面均質(zhì)薄板的重心與平面圖形的形心有相同的坐圖形的形心有相同的坐標(biāo)。標(biāo)。AyAyiicASzAzdAzAcASyAydAACzyCc2022-5-1截面對(duì)形心軸的靜矩截面對(duì)形心軸的靜矩若截面對(duì)某一軸的靜矩等于零,若截面對(duì)某一軸的靜矩等于零,三、已知形心求靜矩三、已知形心求靜矩CyzASCzyASyzoCzyCc則該軸必過(guò)形心。則該軸必過(guò)形心。等于零。等于零。2022-5-1四四 、 組合截面形心計(jì)算組合
3、截面形心計(jì)算截面各組成部分對(duì)于同一軸的靜矩之代數(shù)和;截面各組成部分對(duì)于同一軸的靜矩之代數(shù)和;截面對(duì)某一軸的靜矩:截面對(duì)某一軸的靜矩: 由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成的截面稱為組合截面由幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成的截面稱為組合截面2022-5-11 組合截面靜矩的計(jì)算公式組合截面靜矩的計(jì)算公式CiinizyAS1CiiniyzAS1niiniCiizCAyAASy11niiniciiyCAzAASz112 組合截面形心坐標(biāo)的公式組合截面形心坐標(biāo)的公式2022-5-1例例1: 已知:截面尺寸如圖。求已知:截面尺寸如圖。求:該截面的形心位置。:該截面的形心位置。cm2 . 01341135 . 1135 . 041)5
4、. 1(13AxAxiiCcm7 . 23435 . 0133415 . 413AyAyiiC2022-5-12010020例例2:求圖示圖形的形心:求圖示圖形的形心0cxmm40 201002010070201001020100 AAyAyAy212211C100oyx2022-5-1例例3:求圖示圖形的形心:求圖示圖形的形心0cxmm4521020020200210010200)10(20200321332211cAAAyAyAyAy202002001010A1A2A3xy2022-5-1例題4:求圖示平面圖形的形心.5m5m15m15m20m2022-5-1zy4.3 慣性矩和慣性積慣性
5、矩和慣性積一、極慣性矩一、極慣性矩dA2微元對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩圖形對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩dA2PIdA2022-5-1zy二、慣性矩二、慣性矩dAy21 微元對(duì)z軸的慣性矩dAy22 圖形對(duì)z軸的慣性矩zIdAz2yI平面圖形對(duì)某一軸的二次矩 長(zhǎng)度的四次方, 總為正 yzdA2022-5-1zydAy2zIdAz2yIdA2PI222zy zyPIII3 極慣性矩與慣性矩之間的關(guān)系極慣性矩與慣性矩之間的關(guān)系圖形對(duì)任意兩個(gè)互相垂直軸的慣性矩之和,等于它對(duì)該兩軸交點(diǎn)的極慣性矩。yzdA2022-5-14 幾種常見(jiàn)截面對(duì)本身形心軸的慣性矩幾種常見(jiàn)截面對(duì)本身形心軸的慣性矩zybhydycdAyIA2z
6、2h2h2bdyy2h2h3y3b3121bhdAzIA2y3121hb(1)、矩形截面2022-5-1(2)、實(shí)心圓形截面zydAPdAI24321dpzyIIIzyII 4641d2022-5-1(3)、空心圓截面小大PPPIII44321321dD)1 (32144DDd小大zzzyIIII)1 (64144DdDzy2022-5-1三、慣性半徑三、慣性半徑AIiyyAIizzzyii ,慣性半徑慣性半徑(單位:(單位: ) mzyyzdA2022-5-1AyzdA圖形對(duì)圖形對(duì)y、z兩軸的慣性積兩軸的慣性積微元對(duì)微元對(duì) x , y 軸的慣性積為軸的慣性積為dAyzyzIzyyzdA二、慣
7、性積二、慣性積2022-5-1在何種條件下,圖形對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零?在何種條件下,圖形對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零?IIIAAyzdAyzdAIAyzyzdAIIIAyzdA0yzIAIIA2022-5-1若若, 0yzI則該對(duì)坐標(biāo)軸稱為則該對(duì)坐標(biāo)軸稱為主慣性軸(主軸)主慣性軸(主軸)。對(duì)稱軸一定是主軸,對(duì)稱軸一定是主軸,主軸主軸主軸不一定是對(duì)稱軸主軸不一定是對(duì)稱軸zy2022-5-1對(duì)形心主慣性軸的矩。主慣性軸:主慣性軸:圖形對(duì)一對(duì)正交的坐標(biāo)軸的慣性積等于零;主慣性矩:主慣性矩: 對(duì)主慣性軸的慣性矩。形心主慣性軸:形心主慣性軸:通過(guò)圖形形心的主慣性軸。形心主慣性矩:形心主慣性矩:幾個(gè)常用概念幾個(gè)常
8、用概念2022-5-14.4 平行移軸公式平行移軸公式 (a , b ) :形心形心C 坐標(biāo)坐標(biāo)azzCA2CdAzycIA2dAzyIA2CydA)a(zIAaI2yCA2ACA2CdAadAz2adAz一、平行移軸公式一、平行移軸公式 byyCzyzcycdAbayczcCyz2022-5-1dAyzIAyzdA)az)(by(ACCdAzyACCabAIzyccdAyaACdAabAdAzbACzyzcycdAbayczcCyz2zczbAII同理得到:慣性積2022-5-1AaII2yyCAbII2zzCabAIICCzyyz平行移軸公式平行移軸公式 1 1 兩平行軸中,必須有一軸為兩
9、平行軸中,必須有一軸為形心軸形心軸, ,截面對(duì)任意兩平行軸的截面對(duì)任意兩平行軸的慣性矩間的關(guān)系慣性矩間的關(guān)系, ,應(yīng)通過(guò)平行的形心軸慣性矩來(lái)?yè)Q算應(yīng)通過(guò)平行的形心軸慣性矩來(lái)?yè)Q算; ;2 2 圖形對(duì)所有平行軸的慣性矩中圖形對(duì)所有平行軸的慣性矩中, ,以對(duì)通過(guò)形心軸的慣性矩最小以對(duì)通過(guò)形心軸的慣性矩最小. .注意:注意:zyzcycdAbayczcCyz2022-5-1二、二、組合截面的慣性矩組合截面的慣性矩 慣性積慣性積n1iiyyIIn1iizzIIn1iiyzyzII2022-5-120cm3173例例1:T字形截面字形截面,求其對(duì)形心軸的慣矩。求其對(duì)形心軸的慣矩。(1)求形心求形心zyC1y
10、czcz1y任選參考坐標(biāo)系任選參考坐標(biāo)系,ASzyc1IIIIIyIyAASS11173203)5 . 83(173)5 . 1(203cm1 . 69cm.13z20zcc2022-5-1,zcIycI(2)求求IIzcIzczcIII3331712120312142048 cmIIycIycycIII20cm3173zyC1yczczIII) 5 . 1(32032012123cz) 5 . 8(31717312123cz44030 cm2022-5-1練習(xí)練習(xí) 求求T形截面對(duì)其水平形心軸形截面對(duì)其水平形心軸 的慣性矩的慣性矩。20140100202022-5-1constIIIIIIz0
11、yozyzy11幾個(gè)結(jié)論幾個(gè)結(jié)論1 圖形對(duì)過(guò)一點(diǎn)的任意一對(duì)正交軸的慣性矩之和保持常量;圖形對(duì)過(guò)一點(diǎn)的任意一對(duì)正交軸的慣性矩之和保持常量;2 在過(guò)同一點(diǎn)的所有正交軸中,在過(guò)同一點(diǎn)的所有正交軸中,圖形對(duì)主軸的慣性矩圖形對(duì)主軸的慣性矩另一個(gè)為最小值;另一個(gè)為最小值;一個(gè)為最大值,一個(gè)為最大值,3 此公式適用于水平軸為此公式適用于水平軸為y軸軸2022-5-1 1 確定形心確定形心 的位置的位置2 選擇一對(duì)通過(guò)形心且便于計(jì)算慣性矩(積)的坐選擇一對(duì)通過(guò)形心且便于計(jì)算慣性矩(積)的坐 標(biāo)軸標(biāo)軸 yc ,zc, 求形心主慣性矩的步驟求形心主慣性矩的步驟IIi yyIIi zzIIiyzyzAyAASyn1
12、iCiizCAzAASzn1iciiyC計(jì)算圖形對(duì)形心軸的慣性矩計(jì)算圖形對(duì)形心軸的慣性矩 Iy , Iz 和慣性積和慣性積 Iyz 3 確定主慣性軸的位置確定主慣性軸的位置zyyzIII22tan020 0+2022-5-14 計(jì)算形心主慣性矩計(jì)算形心主慣性矩2yz2zyzyyI4II212III02242120yzzyzyzIIIIII5 方位與方位與形心主慣性矩的對(duì)應(yīng)關(guān)系形心主慣性矩的對(duì)應(yīng)關(guān)系z(mì)yII 如果20 0+中,絕對(duì)值較小者對(duì)應(yīng)慣性矩的最大值2022-5-1確定圖形的形心主軸位置,并計(jì)算形心主慣性矩確定圖形的形心主軸位置,并計(jì)算形心主慣性矩70701601111112022-5-1
13、(1)首先確定圖形的形心。(2) 利用平行移軸公式分別求出各矩形對(duì)y軸和z軸的慣性矩和慣性積423121yycm9 .360059. 0011. 00745. 0011. 0059. 0121AaII1C423121cm2 .98059. 0011. 0)035. 0(011. 0059. 01211AbIICzz4111cm169059. 0011. 00745. 0)035. 0(011AbaIICCzyyz 矩形I7070160111111yz2022-5-1矩形:376916. 0011. 01213222IIII1AaIICyy78. 1011. 016. 01213222IIII1
14、AbIICzz0IIyzI矩形:9 .360323IIIIII1AaIICyy2 .98323IIIIII1AbIICzz169333IIIIII11AbaIICCzyyz7070160111111yz2022-5-1整個(gè)圖形對(duì)軸和軸的慣性矩和慣性積為3 .1097yyyyIIII198zzzzIIII4 .338IIIIIyzyzyzyzIIII752. 01983 .1097)338(222tan0zyzyIII5 .1805 .108900(3)形心主軸方位逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)7070160111111yzy1z12022-5-1(4)0 0+90的兩個(gè)值分別確定了形心主軸位置4ycm121037sin)338(37cos21983 .109721983 .1097I04zcm85217sin)338(217cos21983 .109721983 .1097I07070160111111yzy1z12022-5-1 20 c10101207080例例 計(jì)算所示圖形的形心主慣性矩。計(jì)算所示圖形的形心主慣性矩。yz2022-5-1 20 c10101207080yz442323ymm10100.4)25(107
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