新8重積分-習(xí)題課

1、習(xí)題課一、一、 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 二、典型例題二、典型例題 第八章 重積分的計算及應(yīng)用 良鄉(xiāng)良鄉(xiāng)1-101工科數(shù)學(xué)分析工科數(shù)學(xué)分析07011401、07011402、07011406良鄉(xiāng)良鄉(xiāng)1-106工科數(shù)學(xué)分析工科數(shù)學(xué)分析05941402考試時間：考試時間：2015年年5月月9日（第日（第9周周周周6）上午）上午9:50-11:50 良鄉(xiāng)良鄉(xiāng)1-102工科數(shù)學(xué)工科數(shù)學(xué)分析分析07011407、08111401、08111402良鄉(xiāng)良鄉(xiāng)1-105工科數(shù)學(xué)工科數(shù)學(xué)分析分析08111403、08111404定定 義義幾何意義幾何意義性性 質(zhì)質(zhì)計算法計算法應(yīng)應(yīng) 用用二重積分二重積分定定 義義物理意義

2、物理意義性性 質(zhì)質(zhì)計算法計算法應(yīng)應(yīng) 用用三重積分三重積分一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容定義定義 設(shè)設(shè)),(yxf是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域 D 上的有界函數(shù)，將上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域閉區(qū)域 D 任意分成任意分成n個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的面積，個小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個在每個i 上任取一點上任取一點),(ii ，作乘積作乘積 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并作和并作和 iiniif ),(1，1 1、二重積分的定義、二重積分的定義如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于零趨近于零時

3、，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 D 上的上的二重積分二重積分，記為記為 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10、二重積分的幾何意義、二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是曲頂柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是曲頂柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是曲頂柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是曲頂柱體的體積的負值的負值性質(zhì)性質(zhì)當(dāng)當(dāng) 為常數(shù)時，為常數(shù)時，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性質(zhì)性質(zhì) Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf

4、 、二重積分的性質(zhì)、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)對區(qū)域具有可加性對區(qū)域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf )(21DDD 性質(zhì)性質(zhì) 若若 為為D的面積的面積.1 DDdd 性質(zhì)性質(zhì)若在若在D上，上，),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf 設(shè)設(shè)M、m分別是分別是),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 D 上的最上的最大值和最小值，大值和最小值， 為為 D 的面積，則的面積，則 DMdyxfm ),( （二重積分估值不等式）（二重積分估值不等式）性質(zhì)性質(zhì) 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域D上上連連續(xù)續(xù)

5、， 為為D的的面面積積，則則在在 D 上上至至少少存存在在一一點點),( 使使得得 ),(),(fdyxfD.性質(zhì)性質(zhì)（二重積分中值定理）（二重積分中值定理）xyoD性質(zhì)性質(zhì)8 8 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(y,xfD 位于位于 x 軸上方的部分為軸上方的部分為D1 , , ,y,xfy,xf)()()1( ,y,xfy,xf)()()2( Ddy,xf)(0d )( y,xfD當(dāng)區(qū)域關(guān)于當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對稱軸對稱, , 函數(shù)關(guān)于變量函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時有奇偶性時, , 1D在在 D 上上 1)d(2Dy,xf在閉區(qū)域上可積在閉區(qū)域上可積, ,域域 D關(guān)于關(guān)于x 軸軸, ,則則則則仍仍有類似結(jié)

6、果有類似結(jié)果. .對稱，對稱，若若、二重積分的計算、二重積分的計算,:bxaD ).()(21xyx X型型.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf X-型區(qū)域的特點：型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y軸的軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.（）直角坐標(biāo)系下（）直角坐標(biāo)系下 Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf ,:dycD ).()(21yxy Y型型.d,fd )

7、()(21)sincos( 1)sincos(Ddd,f,:1 D.)()(21 （）極坐標(biāo)系下（）極坐標(biāo)系下,:2 D.)(0 ,20:3 D.d,fd )(0)sincos( 2)sincos(Ddd,f.)(0 .d,fd )(020)sincos( 3)sincos(Ddd,f5 5、二重積分的應(yīng)用、二重積分的應(yīng)用(1) 體積體積的體積為的體積為之間曲頂柱體之間曲頂柱體與區(qū)域與區(qū)域在曲面在曲面Dy,xfz)( DdxdyyxfV.),(設(shè)設(shè)S曲面的方程為：曲面的方程為：).,(yxfz 曲面曲面S的面積為的面積為 ;122dxdyAxyDyzxz (2) 曲面積曲面積當(dāng)薄片是均勻的，重

8、心稱為形心當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點點),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的重重心心為為(3) 重心重心薄片對于薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量薄片對于薄片對于y軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI (4) 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量薄片對薄片對軸上單位質(zhì)點的引力軸上單位質(zhì)點的引力z

9、設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點點),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，計計算算該該平平面面薄薄片片對對位位于于z 軸軸上上的的點點), 0 , 0(0aM處處的的單單位位質(zhì)質(zhì)點點的的引引力力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 為引力常數(shù)為引力常數(shù)f(5) 引力引力6 6、三重積分的定義、三重積分的定義 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .7、三

10、重積分的幾何意義、三重積分的幾何意義表示空間區(qū)域的體積表示空間區(qū)域的體積時時當(dāng)當(dāng) Vdvzyxf,1),(8 8、三重積分的性質(zhì)、三重積分的性質(zhì)類似于二重積分的性質(zhì)類似于二重積分的性質(zhì)當(dāng)積分區(qū)域當(dāng)積分區(qū)域 關(guān)于關(guān)于xoy平面對稱， 且被積函平面對稱， 且被積函數(shù)數(shù)),(zyxf是關(guān)于是關(guān)于z的奇函數(shù)， 則三重積分為零， 若的奇函數(shù)， 則三重積分為零， 若被積函數(shù)被積函數(shù)),(zyxf是關(guān)于是關(guān)于z的偶函數(shù)， 則三重積分為的偶函數(shù)， 則三重積分為 在在xoy平面上方的半個閉區(qū)域的平面上方的半個閉區(qū)域的三重積分的兩倍三重積分的兩倍. 對稱性對稱性9 9、三重積分的計算、三重積分的計算.);()()

11、;,(),(:2121bxaxyyxyyxzzyxz .),(),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydxdvzyxf.,),( ),(21czcDyxzyxz .),(),(21 zDccdxdyzyxfdzdvzyxf() 直角坐標(biāo)直角坐標(biāo) . zz,y,xsincos() 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo).dzddz ,fdvz , y,xf )sincos()(, zvdddd .cos,sinsin,cossin rzryrx,sin2 ddrdrdv dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf() 球面坐標(biāo)球

12、面坐標(biāo)1010、三重積分的應(yīng)用、三重積分的應(yīng)用. dvM 其中其中,1 dvxMx () 質(zhì)心質(zhì)心,1 dvyMy .1 dvzMz () 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量,)(22 dvzyIx ,)(22 dvxzIy ,)(22 dvyxIz .)(222 dvzyxIo )(y,xf在閉區(qū)域在閉區(qū)域D上可積上可積, , 若域若域 D關(guān)于線關(guān)于線關(guān)于輪換對稱性在重積分計算中的應(yīng)用關(guān)于輪換對稱性在重積分計算中的應(yīng)用y = x 對稱對稱, 則有則有y,xfDd )( xyfDd),(2)(2)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(z ,y,xf在空間有界閉區(qū)域在空間有界閉區(qū)域則有則有 vx, z , yf)d(上可積上可積, ,

13、 y,x, zx, z , yz , y,x或或分別換為分別換為(1) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)域域若將若將 . vy,x, zf)d( vz , y,xf)d(的形狀不變，的形狀不變，) ),(),(xyfyxg設(shè)例例1 1 計算二重積分計算二重積分, ydxdxyyxID)(2222122 yx在第一象限部分在第一象限部分. . 其中其中D 為圓域為圓域xy1o1xy 解解 21, DD兩部分 1DydxdyxydxdxyDD21)()(yxyxDdd)2(xy 作輔助線2D將D 分成Dydxd2yxxyyxIDdd)22(222) 12(32二、典型例題二、典型例題例例2 2 計算二重積分計算二重積

14、分,dd)(222yxeyxxIyxD其中其中: :(1) (1) D為圓域為圓域; 122 yx(2) (2) D由直線由直線1,1,xyxy解解: : (1)(1) 利用對稱性利用對稱性. .yox1DyxxIDdd202ydxdxD4yxeyxDyxdd22圍成圍成 . .yxeyxDyxdd122(2)(2) 積分域如圖積分域如圖: :o1yx11D2Dxyxy , xy將將D 分為分為,21DDyxxIDdd2yxeyxDyxdd22200dd1112xyxx32添加輔助線添加輔助線利用對稱性利用對稱性 , , 得得例例3 3 計算二重積分計算二重積分,yxyxybxaIDdd)()

15、()()(其中其中: :D: :.)(是是正正值值連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)x,Ryx222例例4 4 計算三重積分計算三重積分, zyxczbyaxddd)(222222其中其中: :.:1222zyx,Axxf,xf1010)d()(上上連連續(xù)續(xù)，并并設(shè)設(shè)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè). yyfxfxIx110)d()(d )(212baR 221A例例5 5求求 )111(154222cba例例6 6.)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx證明證明 證證 bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22 babynyxndyyf)(11)(1.)

16、()(111 bandyyfybnDxy bbaa例例7 7. zzyyxxy101141ddd求求 證證 從改變積分次序入手從改變積分次序入手101421yzzyydd101141zzyyxxyddd141yzzyd100yxydd100421zyzyzdd104313zzzd104313zzzd.18122例例8 8,)0(, 0)0(,)(存在設(shè)ffCuf，求)(1lim40tFtt)(tF解解: : 在球坐標(biāo)系下在球坐標(biāo)系下trrrftF02020d)(dsind)(trrrf02d)(440)(limttFt利用洛必達法則與導(dǎo)數(shù)定義利用洛必達法則與導(dǎo)數(shù)定義, ,得得3204)(4li

17、mtttftttft)(lim0)0(f0)0(Fzyxzyxftzyxddd)(2222222其中其中 0)0(f 例例9 9d)(dd)(d2122yyfxxxfybabababa，上連續(xù)在設(shè),)(baxf證明證明babaxxfabxxfd)()(d)(22證證: :左端左端yyfxxfbabad)(d)(yxyfxfDdd)()(222baab利用yxyfxfDdd)()(2221)(ab xdxfba)(2byabxaD:= = 右端右端ozyt)(tx)(tD例例1010設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 連續(xù)且恒大于零連續(xù)且恒大于零, , )(22)(222d)(d)()(tDtyxfvzy

18、xftFtttDxxfyxftGd)(d)()(2)(22其中其中,),()(2222tzyxzyxt.),()(222tyxyxtD(1) (1) 討論討論 F( t ) 在區(qū)間在區(qū)間 ( 0, +) 內(nèi)的單調(diào)性內(nèi)的單調(diào)性; ; (2) (2) 證明證明 t 0 時時, , . )(2)(tGtF解解: : (1)(1) 因為因為 ttrrrfrrrftF0220022020d)(ddsin)(dd)(ttrrrfrrrf02022d)(d)(2兩邊對兩邊對 t 求導(dǎo)求導(dǎo), , 得得202022d)(d)()()(2)(ttrrrfrrtrrftfttF,tF,0)()0( 上上在在.,tF單調(diào)增加單調(diào)增加上上在在故故)0()(2)(2) 問題轉(zhuǎn)化為證問題轉(zhuǎn)化為證 0)(2)(,0tGtFt時ttrrfrrrftG020220d)(2d)(d)(ttrrfrrrf0202d)(d)(即證即證 0d)(d)(d)(20202022tttrrrfrrfrrrf)(tg0d)()()(0222trrtrftftg,tg單調(diào)增單調(diào)增在在故故)0()( ,ttg連續(xù)連續(xù)在在又因又因0)( 故有故有)0()0()(tgtg0因此因此 t 0 時時, , .0)(2)(tGtF因因xy