小學(xué)奧數(shù)教程：簡單的排列問題_全國通用含答案

1、7-4-1,簡單的排列問題目|訕巨教學(xué)目標(biāo)i,使學(xué)生正確理解排列的意義；2 .了解排列、排列數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列；3 .掌握排列的計(jì)算公式；4 .會(huì)分析與數(shù)字有關(guān)的計(jì)數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力;通過本講的學(xué)習(xí)，對(duì)排列的一些計(jì)數(shù)問題進(jìn)行歸納總結(jié)，并掌握一些排列技巧，如捆綁法等.MW1聽知識(shí)要點(diǎn)一、NE歹問題在實(shí)際生活中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構(gòu)成一列，計(jì)算有多少種排法，就是排列問題.在排的過程中，不僅與參與排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān).一般地，從n個(gè)不同的元素中取出m(mMn)個(gè)元素，按照

2、一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列相同，指的是兩個(gè)排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同.如果兩個(gè)排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個(gè)排列中，雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列.排列的基本問題是計(jì)算排列的總個(gè)數(shù).從n個(gè)不同的元素中取出m(mWn)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同的元素的排列中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，我們把它記做pim.根據(jù)排列的定義，做一個(gè)m元素的排列由m個(gè)步驟完成：步驟1:從n個(gè)不同的元素中任取一個(gè)元素排在第一位，有n種方法；步驟2：從剩下的(n-1)個(gè)元素中任取一個(gè)元素排在

3、第二位，有(n-1)種方法；步驟m：從剩下的n-(m-1)個(gè)元素中任取一個(gè)元素排在第m個(gè)位置，有n-(m-1)=n-m+1(種)方法；由乘法原理，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)是n(n1)，(n2)|(nm+1),即Rm=n(n-1).(n-2)|(n-m+1),這里，mEn,且等號(hào)右邊從n開始，后面每個(gè)因數(shù)比前一個(gè)因數(shù)小1,共有m個(gè)因數(shù)相乘.二、排列數(shù)一般地，對(duì)于m=n的情況，排列數(shù)公式變?yōu)镻n=n(n-1)，(n-2)川321.表示從n個(gè)不同元素中取n個(gè)元素排成一列所構(gòu)成排列的排列數(shù).這種n個(gè)排列全部取出的排列，叫做n個(gè)不同元素的全排列.式子右邊是從n開始，后面每一個(gè)因數(shù)比前一個(gè)因數(shù)

4、小1,一直乘到1的乘積，記為n!,讀做n的階乘,則"還可以寫為:Pnn=n!,其中n!=n(n1)(n2)川川321.助Ml俱例題精講模塊一、排列之計(jì)算【例1】計(jì)算：P52；F74-F73.【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】1星【題型】解答【解析】由排列數(shù)公式Pnm=n(n-1).(n-2)川(n-m+1)知：P52=54=20F74=7父6M5M4=840,F73=7父6M5=210,所以F74-F73=840210=630.【答案】20630【鞏固】計(jì)算：P32;【考點(diǎn)】簡單排列問題【解析】P32=3m2=6【答案】632P6p0.【題型】解答【難度】1星32P6P0=6m5m4_10

5、x9=12090=30.30【鞏固】計(jì)算：r4p4；3P65p；.【題型】解答【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】i星【解析】p4p4=14Mi3M12-14m13=2002；3喈-P33=3黑（6x5黑4x3m2）-3x2x1=2154.【答案】20022154模塊二、排列之排隊(duì)問題【例2】有4個(gè)同學(xué)一起去郊游，照相時(shí)，必須有一名同學(xué)給其他3人拍照，共可能有多少種拍照情況？（照相時(shí)3人站成一排）【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】2星【題型】解答【解析】由于4人中必須有一個(gè)人拍照，所以，每張照片只能有3人，可以看成有3個(gè)位置由這3人來站.由于要選一人拍照，也就是要從四個(gè)人中選3人照相，所以，問題就轉(zhuǎn)化成從四

6、個(gè)人中選3人，排在3個(gè)位置中的排列問題.要計(jì)算的是有多少種排法.由排列數(shù)公式，共可能有：P43=4X3X2=24（種）不同的拍照情況.也可以把照相的人看成一個(gè)位置，那么共可能有：P44=4父3M2M1=24（種）不同的拍照情況.【答案】24【鞏固】4名同學(xué)到照相館照相.他們要排成一排，問：共有多少種不同的排法？【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】2星【題型】解答【解析】4個(gè)人到照相館照相，那么4個(gè)人要分坐在四個(gè)不同的位置上.所以這是一個(gè)從4個(gè)元素中選4個(gè)，排成一列的問題.這時(shí)n=4,m=4.由排列數(shù)公式知，共有R4=4父3父2M1=24（種）不同的排法.【答案】24【鞏固】9名同學(xué)站成兩排照相，前排4

7、人，后排5人，共有多少種站法？【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】如果問題是9名同學(xué)站成一排照相，則是9個(gè)元素的全排列的問題，有P99種不同站法.而問題中，9個(gè)人要站成兩排，這時(shí)可以這么想，把9個(gè)人排成一排后，左邊4個(gè)人站在前排，右邊5個(gè)人站在后排，所以實(shí)質(zhì)上，還是9個(gè)人站9個(gè)位置的全排列問題.方法一：由全排歹U公式，共有p9=9父8M7M6父5父4父3父2父1=362880（種）不同的排法.方法二：根據(jù)乘法原理，先排四前個(gè)，再排后五個(gè).45p9P5=987654321=362880【答案】362880【鞏固】5個(gè)人并排站成一排，其中甲必須站在中間有多少種不同的站法？【考點(diǎn)】簡

8、單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】由于甲必須站在中間，那么問題實(shí)質(zhì)上就是剩下的四個(gè)人去站其余四個(gè)位置的問題，是一個(gè)全排列問題，且n=4.由全排列公式，共有p4=4父3乂2父1=24（種）不同的站法.【答案】24【鞏固】丁丁和爸爸、媽媽、奶奶、哥哥一起照全家?！?，5人并排站成一排，奶奶要站在正中間，有多少種不同的站法？【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】由于奶奶必須站在中間，那么問題實(shí)質(zhì)上就是剩下的四個(gè)人去站其余四個(gè)位置的問題，是一個(gè)全排列問題，且n=4.由全排列公式，共有P4=4父3父2父1=24（種）不同的站法.【答案】24例35個(gè)同學(xué)排成一行照相，其中甲在乙右側(cè)的排

9、法共有種？【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級(jí)，第8題【解析】5個(gè)人全排列有5!=120種，其中甲在乙右側(cè)應(yīng)該正好占一半，也就是60種【答案】60種例4一列往返于北京和上海方向的列車全程停靠14個(gè)車站（包括北京和上海），這條鐵路線共需要多少種不同的車票.【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】吊=14x13=182（種）.【答案】182學(xué)習(xí)委員、生活委員、宣傳委員和體育委員.問:【例5班集體中選出了5名班委，他們要分別擔(dān)任班長,有多少種不同的分工方式？【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答5一P=120（種）.120例6有五面顏色不同的小旗，

10、任意取出三面排成一行表示一種信號(hào)，問：共可以表示多少種不同的信號(hào)？【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】這里五面不同顏色的小旗就是五個(gè)不同的元素，三面小旗表示一種信號(hào)，就是有三個(gè)位置.我們的問題就是要從五個(gè)不同的元素中取三個(gè)，排在三個(gè)位置的問題.由于信號(hào)不僅與旗子的顏色有關(guān)，而且與不同旗子所在的位置有關(guān)，所以是排列問題，且其中n=5,m=3.由排列數(shù)公式知，共可組成P53=5父4父3=60（種）不同的信號(hào).【答案】60【鞏固】有紅、黃、藍(lán)三種信號(hào)旗，把任意兩面上、下掛在旗桿上都可以表示一種信號(hào)，問共可以組成多少種不同的信號(hào)？【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】p2

11、=3X2=6.【答案】6【鞏固】在航海中，船艦常以旗語”相互聯(lián)系，即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號(hào).如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子，按一定順序同時(shí)升起表示一定的信號(hào)，問這樣總共可以表示出多少種不同的信號(hào)？【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】方法一：這里三面不同顏色的旗子就是三個(gè)不同的元素，紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個(gè)排法表示一種信號(hào)，也就是從三個(gè)元素中選三個(gè)的全排列的問題.由排列數(shù)公式，共可以組成p3=3父2M1=6（種）不同的信號(hào).方法二：首先，先確定最高位置的旗子，在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個(gè)，有3種方法；其次，確定中間位置的旗子，當(dāng)最高位置確定之后，中

12、間位置的旗子只能從余下的兩面旗中去取，有2種方法.剩下那面旗子，放在最低位置.根據(jù)乘法原理，用紅、黃、綠這三面旗子同時(shí)升起表示出所有信號(hào)種數(shù)是：3M2M1=6（種）.【補(bǔ)充說明】這個(gè)問題也可以用乘法原理來做，一般，乘法原理中與順序有關(guān)的問題常?？梢杂门帕袛?shù)公式做，用排列數(shù)公式解決問題時(shí)，可避免一步步地分析考慮，使問題簡化.【答案】6模塊三、排列之?dāng)?shù)字問題【例7】用1、2、3、4、5、6、7、8可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】2星【題型】解答【解析】這是一個(gè)從8個(gè)元素中取4個(gè)元素的排列問題，已知n=8,m=4,根據(jù)排列數(shù)公式，一共可以組成4R=8父7父6父5=16

13、80（個(gè)）不同的四位數(shù).【答案】1680【鞏固】由數(shù)字1、2、3、4、5、6可以組成多少?zèng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】2星【題型】解答【解析】P63=120.【答案】120【例8】用0、1、2、3、4可以組成多少個(gè)沒重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】（法1）本題中要注意的是0不能為首位數(shù)字，因此，百位上的數(shù)字只能從1、2、3、4這四個(gè)數(shù)字中選擇一個(gè)，有4種方法；十位和個(gè)位上的數(shù)字可以從余下的4個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)進(jìn)行排列，有P42種方法.由乘法原理得，此種三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：4MP；=48（個(gè)）.（法2）:從0、1、2、3、4中任選三個(gè)數(shù)字進(jìn)行排

14、列，再減去其中不合要求的，即首位是0的.從0、1、2、3、4這五個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為P53,其中首位是0的三位數(shù)有P42個(gè).三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：P53-P42=5M4M3-4M3=48（個(gè)）.本題不是簡單的全排列，有一些其它的限制，這樣要么先全排列再剔除不合題意的情況，要么直接在排列的時(shí)候考慮這些限制因素.【答案】48【例9】用1、2、3、4、5、6可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的個(gè)位是5的三位數(shù)？【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】個(gè)位數(shù)字已知，問題變成從從5個(gè)元素中取2個(gè)元素的排列問題，已知n=5,m=2,根據(jù)排列數(shù)公式，一共可以組成p2=5M4=20（個(gè)）符合題意的三位

15、數(shù).【答案】20【鞏固】用1、2、3、4、5、6六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個(gè)不同的偶數(shù)？【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】由于組成偶數(shù)，個(gè)位上的數(shù)應(yīng)從2,4,6中選一張，有3種選法；十位和百位上的數(shù)可以從剩下的5張中選二張，有P2=5M4=20（種）選法.由乘法原理，一共可以組成3X20=60（個(gè)）不同的偶數(shù).【答案】60【例10】由0,2,5,6,7,8組成無重復(fù)數(shù)字的數(shù)，四位數(shù)有多少個(gè)？【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】方法一：先考慮從六個(gè)數(shù)字中任取四個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為P；=6父5M4M3=360,由于0不能在千位上，而以0為

16、千位數(shù)的四位數(shù)有歐=5父4M3=60,它們的差就是由0,2,5,6,7,8組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)，即為：360-60=300個(gè).方法二：完成這件事一一組成一個(gè)四位數(shù)，可分為4個(gè)步驟進(jìn)行，第一步：確定千位數(shù)；第二步：確定百位數(shù)；第三步：確定十位數(shù)；第四步：確定個(gè)位數(shù)；這四個(gè)步驟依次完成了，組成一個(gè)四位數(shù)”這件事也就完成了，從而這個(gè)四位數(shù)也完全確定了，思維過程如下：千位百位十位"三號(hào)L珀更卡像敦回為千崔和百崔已從：0C5.7.W中：用擊2個(gè)歙字，的以卡讓：二跪從制下的敷宇中忠：薛，孫惠4件落片.能一步:的之千崔敬由千百也不能勢(shì)0.H龜2.5.6.7.8申4f建一個(gè)數(shù)W，其高5導(dǎo)愿走

17、.策四修：盟友布依教囪為千假一15近如中柱已從口.2.5.6,7,S中國金個(gè)數(shù)半，所以個(gè)趙穴罪從制下咐激牛中庭擇.具求3計(jì)忠注，篇二后：岫瓦百位歉向千敷豐不£并重復(fù)健肥.所以千也需過的抵辛百崔不能再用，業(yè)而石位可以是。，肝以戊2,5,6.7,S中擊抻十位用去的一力敷辛，百俁具意5時(shí)根據(jù)乘法原理，所求的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是：5M5M4M3=300（個(gè)）.【答案】300【例11】用1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫出多少個(gè)3的倍數(shù)？【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】4星【題型】解答【解析】按位數(shù)來分類考慮：一位數(shù)只有1個(gè)3;兩位數(shù)：由1與2,1與5,2與4,4與5四組數(shù)字組成，每

18、一組可以組成P22=2M1=2（個(gè)）不同的兩位數(shù)，共可組成2M4=8（個(gè)）不同的兩位數(shù)；三位數(shù)：由1,2與3;1,3與5;2,3與4;3,4與5四組數(shù)字組成，每一組可以組成P33=3父2M1=6（個(gè)）不同的三位數(shù)，共可組成6父4=24（個(gè)）不同的三位數(shù)；四位數(shù)：可由1,2,4,5這四個(gè)數(shù)字組成，有p4=4父3父2父1=24（個(gè)）不同的四位數(shù)；五位數(shù)：可由1,2,3,4,5組成，共有P55=5父4父3父2父1=120（個(gè)）不同的五位數(shù).由加法原理，一共有1+8+24+24+120=177（個(gè)）能被3整除的數(shù)，即3的倍數(shù).【答案】177【例12】用1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)比2000

19、0大且百位數(shù)字不是3的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】4星【題型】解答【解析】可以分兩類來看：把3排在最高位上，其余4個(gè)數(shù)可以任意放到其余4個(gè)數(shù)位上，是4個(gè)元素全排列的問題，有4P=4M3M2M1=24（種）放法，對(duì)應(yīng)24個(gè)不同的五位數(shù)；把2,4,5放在最高位上，有3種選擇，百位上有除已確定的最高位數(shù)字和3之外的3個(gè)數(shù)字可以選擇，有3種選擇，其余的3個(gè)數(shù)字可以任意放到其余3個(gè)數(shù)位上，有P3=6種選擇.由乘法原理，可以組成3M3M6=54（個(gè)）不同的五位數(shù).由加法原理，可以組成24+54=78（個(gè)）不同的五位數(shù).【答案】78【鞏固】用0到9十個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；若將這

20、些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則5687是第幾個(gè)數(shù)？【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】4星【題型】解答【解析】從高位到低位逐層分類：千位上排1,2,3或4時(shí)，千位有4種選擇，而百、十、個(gè)位可以從09中除千位已確定的數(shù)字之外的9個(gè)數(shù)字中選擇，因?yàn)閿?shù)字不重復(fù)，也就是從9個(gè)元素中取3個(gè)的排列問題，所以百、十、個(gè)位可有P93=9父8M7=504（種）排列方式.由乘法原理，有4M504=2016（個(gè)）.千位上排5,百位上排04時(shí)，千位有1種選擇，百位有5種選擇，十、個(gè)位可以從剩下的八個(gè)數(shù)字中選擇.也就是從8個(gè)元素中取2個(gè)的排列問題，即P82=8M7=56,由乘法原理，有1m5m56=280（個(gè)）.千位上排5,

21、百位上排6,十位上排0,1,2,3,4,7時(shí)，個(gè)位也從剩下的七個(gè)數(shù)字中選擇，有1m1m6m7=42（個(gè)）.（4）千位上排5,百位上排6,十位上排8時(shí)，比5687小的數(shù)的個(gè)位可以選擇0,1,2,3,4共5個(gè).綜上所述，比5687小的四位數(shù)有2016+280+42+5=2343（個(gè)），故5687是第2344個(gè)四位數(shù).【答案】2344【例13】用數(shù)字l8各一個(gè)組成8位數(shù)，使得任意相鄰三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)都是3的倍數(shù).共有一種組成方法.【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，六年級(jí)，初賽，第7題【解析】l8中被三除余1和余2的數(shù)各有3個(gè)，被3整除的數(shù)有兩個(gè)，根據(jù)題目條件可以推導(dǎo)，

22、符合條件的排列，一定符合被三除所得余數(shù)以3位周期”，所以8個(gè)數(shù)字，第1、4、7位上的數(shù)被3除同余，第2、5、8位上的數(shù)被3除同余，第3、6位上的數(shù)被3除同余，顯然第3、6位上的數(shù)被3整除，第1、4、7位上的數(shù)被3除可以余1也可以余2,第2、5、8位上的數(shù)被3除可以余2可以余1,余數(shù)的安排上共有2種方法，余數(shù)安排定后，還有同余數(shù)之間的排列，一共有3!不！X2!=144種方法.【答案】144種【例14】由數(shù)字0、2、8（既可全用也可不全用）組成的非零自然數(shù)，按照從小到大排列.2008排在個(gè).【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】4星【題型】解答【解析】比2008小的4位數(shù)有2000和2002,比2008小的

23、3位數(shù)有2父3父3=18（種），比2008小的2位數(shù)有2x3=6（種），比2008小的1位數(shù)有2（種），所以2008排在第2+18+6+2+1=29（個(gè)）.【答案】29【例15】千位數(shù)字與十位數(shù)字之差為2（大減小），且不含重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個(gè)？【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】4星【題型】解答【解析】千位數(shù)字大于十位數(shù)字，千位數(shù)字的取值范圍為2:9,對(duì)應(yīng)的十位數(shù)字取0:7,每確定一個(gè)千位數(shù)字，十位數(shù)字就相應(yīng)確定了，只要從剩下的8個(gè)數(shù)字中選出2個(gè)作百位和個(gè)位就行了，因此總共有8MP0個(gè)這樣的四位數(shù).千位數(shù)字小于十位數(shù)字，千位數(shù)字取1:7,十位數(shù)字取3:9,共有7MP2個(gè)這樣的四位數(shù).所以總共有8M

24、p2+7MR2=840個(gè)這樣的四位數(shù).【答案】840模塊四、排列之策略問題【例16】某管理員忘記了自己小保險(xiǎn)柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個(gè)非0數(shù)碼組成，且四個(gè)數(shù)碼之和是9,那么確保打開保險(xiǎn)柜至少要試幾次？【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】4星【題型】解答【解析】四個(gè)非0數(shù)碼之和等于9的組合有1,1,1,6;1,1,2,5;1,1,3,4;1,2,2,4;1,2,3,3;2,2,2,3六種.第一種中，可以組成多少個(gè)密碼呢？只要考慮6的位置就可以了，6可以任意選擇4個(gè)位置中的一個(gè)，其余位置放1,共有4種選擇；第二種中，先考慮放2,有4種選擇，再考慮5的位置，可以有3種選擇，剩下的位置放1,共有4父3=12

25、（種）選擇同樣的方法，可以得出第三、四、五種都各有12種選擇.最后一種，與第一種的情形相似，3的位置有4種選擇，其余位置放2,共有4種選擇.綜上所述，由加法原理，一共可以組成4+12+12+12+12+4=56（個(gè)）不同的四位數(shù)，即確保能打開保險(xiǎn)柜至少要試56次.【答案】56【例17】幼兒園里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少種坐法？【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】在這個(gè)問題中，只要把3把椅子看成是3個(gè)位置，而6名小朋友作為6個(gè)不同元素，則問題就可以轉(zhuǎn)化成從6個(gè)元素中取3個(gè)，排在3個(gè)不同位置的排列問題.由排列數(shù)公式，共有：P63=6父5父4=120（種）不同的坐法.【答案】120【鞏固】幼兒園里3名小朋友去坐6把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少種不同的坐法？【考點(diǎn)】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】與例5不同，這次是椅子多而人少，可以考慮把6把椅子看成是6個(gè)元素，而把3名小朋友作為3個(gè)位置，則問題轉(zhuǎn)化為從6把椅子中選出3把，排在3名小朋友面前的排列問