山西2015屆高三第二次診斷考試數(shù)學(xué)文試題版含解析

1、2014-2015學(xué)年山西省高三(上)第二次診斷數(shù)學(xué)試卷(文科)參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分1.已知集合m=xZ|-x2+6x>0,N=x|x2-5<0,則MCN等于()A,1,2,3B.1,2C.2,3D.3,4考點：交集及其運算.專題：集合.分析：求出M中不等式的整數(shù)解確定出M,求出N中不等式的解集確定出N,找出M與N的交集即可.解答：解：由M中不等式變形得：x(x-6)V0,解得：0vx<6,即M=1,2,3,4,5;由N中不等式解得：-Vs<x<Vs,即N=(-泥，泥)，則M仆1=1,2.故選：B.點評：此題考查了交

2、集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.2 .cos)的值為()3A.-1B.立C.-D.-立2222考點：運用誘導(dǎo)公式化簡求值.專題：三角函數(shù)的求值.分析：原式中角度變形后，利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值計算即可得到結(jié)果.解答：解：cos兀)=cos(670+-)=cos-=cos(t+)=-cos-=,333332故選：C.點評：此題考查了運用誘導(dǎo)公式化簡求值，熟練掌握誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵.3 .已知等差數(shù)列an中，a4=5,a9=17,則a14=()A.11B.22C.29D.12考點：等差數(shù)列的通項公式.專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析：由等由差數(shù)列的性質(zhì)可得2a9=a4+a4

3、,代入數(shù)據(jù)計算可得.解答：解：.一等差數(shù)列an中，a4=5,比=17,.,由等由差數(shù)列的性質(zhì)可得2a9=a14+a4,2M7=a14+5,解得a14=29故選：C點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式和性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.4 .已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x>0時，f(x)=log2(2x+1),則f(-J)等于()7A.10g23B.10g25C.1D.-1考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì).專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析：由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)可得f(-2)=-f(工)，由此可解得f(-4)的值.222解答：解：.由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)可得f(-x)=-f(x),f(-1)=-f(1)

4、=-iogc(2X-n)=T.2222故選：D.點評：本題主要考察函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5.已知a為第三象限角，且sina+cosa=2m,sin2a=m2,則m的值為()A.立B,-立C.-D.-返3333考點：兩角和與差的正弦函數(shù).專題：三角函數(shù)的求值.分析：把sina+cosa=2m兩邊平方可得m的方程，解方程可得m,結(jié)合角的范圍可得答案.2解答：解：把sina+coso=2m兩邊平方可得1+sin2a=4m,又sin2a=m2,3m2=l,解得m=+,3又a為第三象限角，m=-亞3故選：B點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，涉及二倍角公式，屬基礎(chǔ)題.6.已知Ovtvm(m>

5、;0)”是函數(shù)f(x)=-x2-tx+3t在區(qū)間(0,2)上只有一個零點”的充分不必要條件，則m的取值范圍是()A.(0,2)B,(0,2C.(0,4)D,(0,4考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.專題：簡易邏輯.分析：先根據(jù)函數(shù)f(x)解析式求出該函數(shù)在(0,2)上存在零點時t的取值范圍：0Vt<4,所以由0<t<m(m>0)是f(x)在(0,2)上存在一個零點的充分不必要條件，得到：0vmv4.解答：解：對于函數(shù)f(x)=-x2-tx+3t,在區(qū)間(0,2)上只有一個零點時，只能占t2+12t>0,即tv12,或t>0;此時，f(0)f(2)=3

6、t(t-4)<0,解得0vt<4;-0<t<m(m>0)是函數(shù)f(x)在(0,2)上只有一個零點的充分不必要條件；.0vm<4.故選C.點評：考查函數(shù)零點的概念，二次函數(shù)圖象和x軸交點的情況和判別式鄧關(guān)系，充分條件，必要條件，充分不必要條件的概念.7.已知非零向量,E滿足|%=1,且E與E二的夾角為30。，則前的取值范圍是(C. 1,+8)D. 4,+8)7考點：平面向量數(shù)量積的運算.專題：平面向量及應(yīng)用.分析：在空間任取一點C,分別作近二%,以二則前其并且使/A=30。.從而；，E,便構(gòu)成一個三角形，從三角形中，便能求出I：|的取值范圍.解答：解：根據(jù)題意

7、，作不與，CA=b>5-£前且2A=30。；過C作CD必B,垂足為D,則CD的長度便是|4|的最小值；在RtZCDA中，CA=1,/A=30°,.CD=1;2的取值范圍是-,+00).故選D.點評：把,1-W這三個向量放在一個三角形中，是求解本題的關(guān)鍵.8.設(shè)a=-,b=log9-,c=logs/s,則a,b,c之間的大小關(guān)系是()45A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a考點：對數(shù)的運算性質(zhì).專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析：利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得=1口1唯右,1口與石>1。眄|即可得出.解答：解

8、：a=,b=log9Ac=logs,J,451二10旦9«10后/5，1口知正1口虛.c>a>b.故選：C.點評：本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.9.設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若a2oi3=2S20i4+6,3a20i4=2S20i5+6,則數(shù)列an的公比q等于()A."B.-或1C.或1D.2222考點：等比數(shù)列的前n項和.專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析：已知兩式相減結(jié)合等比數(shù)列的通項公式和求和公式可得q的方程，解方程可得.解答：解：由題意可知32013=282014+6,，3a2014=2S2015+6,彳導(dǎo)3a2014a2013=2S2015

9、2S2014=2a2015,223a2013q-電013=2a2013q，2q-3q+1=0,解得q=1或q=-2故選：C點評：本題考查等比數(shù)列的求和公式，涉及通項公式和一元二次方程，屬基礎(chǔ)題.10 .給出下列命題，其中錯誤的是（）A, 在AABC中，若A>B,則sinA>sinBB, 在銳角必BC中，sinA>cosBC.把函數(shù)y=sin2x的圖象沿x軸向左平移個單位，可以得到函數(shù)y=cos2x的圖象D.函數(shù)y=sinwx+V3coswx（3=0）最小正周期為兀的充要條件是3=2考點：命題的真假判斷與應(yīng)用.專題：閱讀型；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).分析：由正弦定理和三角形中大角對

10、大邊，即可判斷A;由銳角三角形中，兩銳角之和大于90。，運用正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷B;運用圖象的左右平移，只對自變量x而言，再由誘導(dǎo)公式，即可判斷C;由兩角和的正弦公式化簡，再由周期公式，即可判斷D.解答：解：對于A.在必BC中，若A>B,則a>b,即由正弦定理有sinA>sinB,故A正確；對于B.在銳角MBC中，A+B>,則A>-B,由y=sinx在（0,三）上遞增，222貝UsinA>sin（-B）=cosB,故B正確；2y=sin2(x對于C.把函數(shù)y=sin2x的圖象沿x軸向左平移三個單位，可以得到函數(shù)4一一五、.=sin（2x+i）=cos2

11、x的圖象，故C正確；對于D.函數(shù)y=sinwx+VScoswx（司）=2sin（建行藪），最小正周期為兀時，3也可能為-2,故D錯.故選D.點評：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查三角形的邊角關(guān)系和正弦定理的運用，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及三角函數(shù)的圖象平移規(guī)律，周期公式，屬于中檔題.11 .已知a,bCR,函數(shù)f（x）=tanx在x=-處與直線y=ax+b+相切，設(shè)g（x）=-bxlnx+a在42定義域內(nèi)（）A.極大值工B.有極小值-C.有極大值2-工D.有極小值2-工eeee考點：正切函數(shù)的圖象.專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).分析：先求出f'(x)=1,再由條件根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得a=

12、f'(-三)=2.再把切點(-2dCOSK4工，2)代入切線方程求得b,可得g(x)解析式.再根據(jù)g'(x)的符號，求出g(x)的單調(diào)區(qū)4間，從而求得g(x)的極值.解答：解：由函數(shù)f(x)=tanx,可得f'(x)=-.2cosx再根據(jù)函數(shù)f(x)=tanx在x=-工處與直線y=ax+b+?E相切，可得a=f'(-_!£)=2.424再把切點(,2)代入直線y=ax+b+_H.,可得b=-1,.g(x)=xlnx+1,g'(x)=lnx+1.42令g'(x)=lnx+1=0,求得x=,在(0,工)上，g'(x)v0,在(，+&

13、#176;°)上，g'(x)>0,eee故g(x)在其定義域(0,+8)上存在最小值為g(-)=2-,ee故選：D.點評：本題主要考查函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，屬于基礎(chǔ)題.12 .函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f(x+2)=f(x),當(dāng)x0,1時，f(x)=2x,若方程ax-a-f(x)=0(a>0)恰有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(1,1)B.0,2C.(1,2)D.1,+8)2考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷.專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析：由題意可得可得函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，函數(shù)y=f(x)的圖象

14、和直線y=ax-a=a(x-1)有3個交點，數(shù)形結(jié)合可得a(3-1)<2,且a(5-1)>2,由此求得a的范圍.解答：解：由f(x+2)=f(x),可得函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù).由方程ax-a-f(x)=0(a>0)恰有三個不相等的實數(shù)根，可得函數(shù)y=f(x)的圖象(紅色部分)和直線y=ax-a=a(x-1)(藍(lán)色部分)有3個交點，如圖所示：故有a(3-1)<2,且a(5-1)>2,求得<a<1,2故選：A.點評：本題主要考查方程的根的存在性及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共

15、20分13 .函數(shù)y=ln(x-1)+J4-.2的定義域為(1,2.考點：函數(shù)的定義域及其求法.專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析：根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)得不等式組，解出即可.x-1>0解答：解：9,4->0.1vx2故答案為：(1,2.點評：本題考查了對數(shù)的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)，考查函數(shù)的定義域，是一道基礎(chǔ)題.的取值范14.已知p：關(guān)于x的方程x2+mx+1=0有兩個不等的負(fù)實數(shù)根，若7P是真命題，則實數(shù)m圍是(一2.考點：命題的否定.專題：簡易邏輯.分析：求出命題p是真命題時m的取值范圍，再得出7P是真命題時m的取值范圍即可.解答：解：二.命題p：關(guān)于x的方程x2+mx+1=

16、0有兩個不等的負(fù)實數(shù)根，(0.設(shè)x1，x2是方程的兩個負(fù)實數(shù)根，則解得m>2;當(dāng)7P是真命題時，m的取值范圍是(-8,2.故答案為：(-8,2.點評：本題考查了命題與命題的否定之間的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)利用命題與命題的否定只能一真一假，從而進(jìn)行解答問題，是基礎(chǔ)題.7+1,0<y<l1%，設(shè)a>b雙若f(a)=f(b),則b?f(a)的取值范圍2X-弓，>1是一6，2)考點：函數(shù)的零點；函數(shù)的值域.專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析：首先作出分段函數(shù)的圖象，因為給出的分段函數(shù)在每一個區(qū)間段內(nèi)都是單調(diào)的，那么在a>b用時，要使f(a)=f(b),必然有bC0,1),aq

17、i,+8),然后通過圖象看出使f(a)=f(b)的b與f(a)的范圍，則b?f(a)的取值范圍可求.fr+1,0<x<l解答：解：由函數(shù)fH17,作出其圖象如圖,2Ki>1因為函數(shù)f(x)在0,所以，若滿足a>b用,1)和1,+°°)上都是單調(diào)函數(shù),時f(a)=f(b),必有b0,1),aqi,+8),由圖可知，使f(a)=f(b)的bql,1),f(a)2J,2).2由不等式的可乘積性得：b?f(a)q-,2).故答案為-,2).44點評：本題考查函數(shù)的零點，考查了函數(shù)的值域，運用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變

18、抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，此題是中檔題.16 .在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2ccosB=2a+b,若ZABC的面積為S=yc,則ab的最小值為12.考點：正弦定理.專題：解三角形.分析：由條件里用正弦定理、兩角和的正弦公式求得cosC=-l,C=22L.根據(jù)必BC的面積為23S=ab?sinC=Z!c,求得c=-ab.再由余弦定理化簡可得a2b2=a2+b2+ab3ab,由此求得ab的最小值.2224解答：解：在必BC中，由條件里用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin(B+C)+sinB,即2sinCcosB=2sinBco

19、sC+2sinCcosB+sinB,2sinBcosC+sinB=0,.cosC=,C=-=_.23由于ZABC的面積為S=_lab?sinC=Yab=Yc,c=Jiab.2422再由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab?cosC,整理可得工a2b2=a2+b2+ab用ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號，4.ab”故答案為：12.點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式、基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共6小題，滿分70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或者演算步驟.17 .(10分)已知函數(shù)f(x)=1口：5-3)的定義域為A,函數(shù)g(x)=2x(-1

20、女巾)的值域為B.(1)當(dāng)m=1時，求ACB;(2)若ALB=B,求實數(shù)m的取值范圍.考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用.專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析:根據(jù)函數(shù)f(x)=枷%5的定義域為A,函數(shù)g(x)=2x(-1立前)的值域得出A,>0r4x-3>0為B.求解，（4x-3）lIoS0.5函數(shù)g(x)=2x(-1a/)的值域為B.m=1根據(jù)單調(diào)性可得；，或或由，即巳<y<2,再利用集合的關(guān)系求解得出答案.解答：(1).函數(shù)f(x)=410gg,5(©-3)的定義域為A,4箕-3>0§（4冥-3）、.A為：x|二vx目1嗎54,函數(shù)g(x)=2x

21、(-1立前)的值域為B.m=1，可Km,即系y<2,可得ArB=x|：vx4(2)-.ALB=B,.A?B,根據(jù)(1)可得：2m*,即m用,實數(shù)m的取值范圍為；0,+8)點評：本題考查了函數(shù)的概念，性質(zhì)，運用求解集合的問題，屬于容易題.18. (12分)在ZABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足(a-b)(sinA-sinB)=csinC一asinB.(1)求角C的大小；若c=7r,a>b,且"BC的面積為求上的值.考點：正弦定理；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用.專題：解三角形.分析：(1)9BC中，由條件利用正弦定理求得a2+b2-c2=ab.再利用余弦定理求得

22、cosC的值,可得C的值.(2)由(1)可得即a2+b2-ab=7又以BC的面積為aab.sinC=I網(wǎng)，可得ab=6由顏得上的值.ra2+b2-c2icosC=,23b2C=a2+b2-ab=7又ABC的面積為解答：解：(1)ZABC中，由(a-b)(sinAsinB)-csinC-asinB,利用正弦定理可得(a-b)(a-b)=c2-ab,即a2+b2-c2=ab.再利用余弦定理可得,(2)由(1)可得即.ab=6由w得上=2a3點評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19. (12分)已知向量=(sinx,cosx),=(cosx,-cosx).TTTRTT(1)若b&

23、#177;(0b),且cosx為，求sin2x+sin(+2x)的值；2(2)若f(x)=a?b,求f(x)在-匹，0上的最大值和最小值.4考點：平面向量數(shù)量積的運算；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用.專題：計算題；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；平面向量及應(yīng)用.分析：(1)由b，(君b),得至ij(g-E)=0，即有sinxcosx=3cos2x,由cosx加，即tanx=3.再由誘導(dǎo)公式和二倍角公式，將所求式子化為含正切的式子，代入即可得到；(2)化簡f(x),運用二倍角公式，注意逆用，及兩角差的正弦公式，再由x的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到最值.解答：解：(1),一向量=(si

24、nx,cosx),b=(cosx,cosx),.a"b=sinxcosx-cos2x,b?=2cos2x,（己-b），.!>（W-）=0，即有a,b=B'，9492sinKcosx+cosxsin2.2cosx+sinx2.sinxcosx=3cosx,cosx0,.slnx=3cosx,即tanx=3.sin2x+sin+2x）=sin2x+cos2x=22tanz+l-tan2x2X3+1-321二一二一一二_l+tan2x1+325'(2)f(x)=a?b=slnxcosx-cos2x-sln2x-coss22=(sln2x+cos2x)-=sln(2x-

25、三)-,22242由于x-2£,0,貝U2x-12£,三.4444則有sln(2x2£)q1,-返,故f(x)q-工-亞,-1,4222則f(x)在-三，0上的最大值為-1,最小值為-1-電.422點評：本題考查平面向量向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式及向量垂直的條件，考查三角函數(shù)的化簡與求值,注意運用二倍角公式和兩角的和差公式，同時考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.20.(12分)2014世界園藝博覽會在青島舉行，某展銷商在此期間銷售一種商品，根據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)每套商品售價為x元時，銷量可以達(dá)到15-0.1x萬套，供貨商把該產(chǎn)品的供貨價格分為兩部分，其中固定價格為每套30元，

26、浮動價格與銷量(單位：萬套)成反比，比例系數(shù)為k,假設(shè)不計其它成本，即每套產(chǎn)品銷售利潤=售價-供貨價格.(1)若售價為50元時，展銷商的總利潤為180萬元，求售價為100元時的銷售總利潤；(2)若k=10,求銷售這套商品總利潤的函數(shù)f(x),并求f(x)的最大值.考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用.專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析：(1)由題意可得10X(50-30-)=180,解得k=20,即可求得結(jié)論；10(2)由題意得f(x)=x-(30+7777；)X(150.1x)=-0.1x2+18x-460,(0vxv150),利15-U.lx用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求得最大值.解答：解；(1)售價為50

27、元時，銷量為15-0.1>50=10萬套，此時每套供貨價格為30T(元)，10則獲得的總利潤為10X(50-30-卡)=180,解得k=20,售價為100元時，銷售總利潤為；(15-0.1000(100-30-=)=330(萬元).15-0.1X100,開一公zis-,人、井一一生,、,)(KAOrr(2)由題意可知每套商品的定價x滿足不等式組.,即0vxv150,15-8lz>0X.f(x)=x-(30+)X(150.1x)=-0.1x2+18x-460,(0vxv150),15- 0.lx.f'(x)=-0.2x+18,令f'(x)=0可得x=90,且當(dāng)0Vx&

28、lt;90時，f'(x)>0,當(dāng)90vxv150時，f'(x)<0,.當(dāng)x=90時，f(x)取得最大值為350(萬元).點評：本題以函數(shù)為載體，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最值的方法，屬于中檔題.21. (12分)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn=2n2,bn為等比數(shù)列，且a1=b1,b2(a2-研)二b(D求數(shù)列an和bn的通項公式；(n)設(shè)Cn=,求數(shù)列Cn的前n項和Tn.考點：數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項公式；數(shù)列遞推式.專題：計算題；綜合題.'S1n=l分析：(I)由已知利用遞推公式、可得an,代入分別可求數(shù)列bn的首項氣一sn-l口*2b1,公比q,從而可求bn(II)由(I)可得Cn=(2n-1)?4n1,利用乘公比”錯位相減求和.解答：解：(1)：當(dāng)n=1時，a1=S1=2;當(dāng)n更時，an=Sn-Sn1=2n22(n1)2=4n2,故an的通項公式為ai=4n-2,即an是a1=2,公差d=4的等差數(shù)列.設(shè)bn的公比為q,貝Ub1qd=b1,d=4,-q.故bn=b1qn1=2x巳7，即bn的通項公式為bn=4nl4n/“、.an4門一2/C,、n1(II)-Cn=-=(2n1)4)研一】Tn=C1+C2+-+CnTn=1+3如+5>42+-+(2nT)4n14