第5章多目標(biāo)模型

1、1第第5章章 多目標(biāo)規(guī)劃多目標(biāo)規(guī)劃5.1 多目標(biāo)規(guī)劃的解集與像集多目標(biāo)規(guī)劃的解集與像集 一般認(rèn)為多目標(biāo)的概念是由一般認(rèn)為多目標(biāo)的概念是由1896年由法國經(jīng)濟(jì)學(xué)家年由法國經(jīng)濟(jì)學(xué)家VPareto首先在經(jīng)濟(jì)平衡的研究中提出來的。首先在經(jīng)濟(jì)平衡的研究中提出來的。1947年年VonNeuman等人從對策論的角度提出了具有彼此相互矛盾的多目標(biāo)決策問題。等人從對策論的角度提出了具有彼此相互矛盾的多目標(biāo)決策問題。1951年年TCKoopmans從生產(chǎn)從生產(chǎn)和分配分析中提出多目標(biāo)優(yōu)化問題，并正式提出和分配分析中提出多目標(biāo)優(yōu)化問題，并正式提出Pareto最優(yōu)解的概念。最優(yōu)解的概念。HWKuhn研究和研究和AW T

2、ucker從數(shù)學(xué)從數(shù)學(xué)規(guī)劃的角度提出了向量極值問題的規(guī)劃的角度提出了向量極值問題的Pareto最優(yōu)解，研究了這種解的充分必要條件。最優(yōu)解，研究了這種解的充分必要條件。1963年年LAZadch又從控制又從控制論角度提出了多目標(biāo)問題。論角度提出了多目標(biāo)問題。1973年，年，JLCochrance M Zeleny編輯出版了第一本多目標(biāo)決策的書，對多目標(biāo)編輯出版了第一本多目標(biāo)決策的書，對多目標(biāo)最最優(yōu)化學(xué)科形成起了推動(dòng)作用。我國從優(yōu)化學(xué)科形成起了推動(dòng)作用。我國從1976年開始研究和應(yīng)用多目標(biāo)規(guī)劃的理論和方法，經(jīng)過幾十年的努力，年開始研究和應(yīng)用多目標(biāo)規(guī)劃的理論和方法，經(jīng)過幾十年的努力，已經(jīng)形成了一支隊(duì)

3、伍，在理論及應(yīng)用上做了大量工作，引起了各級決策人員和廣大管理人員的重視。已經(jīng)形成了一支隊(duì)伍，在理論及應(yīng)用上做了大量工作，引起了各級決策人員和廣大管理人員的重視。5.1.1 引例引例 例例1 買糖問題買糖問題 設(shè)市場上有甲級和乙級兩種糖，單價(jià)分別為：設(shè)市場上有甲級和乙級兩種糖，單價(jià)分別為：10元元/斤及斤及5斤?，F(xiàn)在要籌辦一個(gè)茶會，要斤?，F(xiàn)在要籌辦一個(gè)茶會，要求買糖的錢數(shù)不超過求買糖的錢數(shù)不超過100元，總的糖數(shù)不少于元，總的糖數(shù)不少于10斤，而甲級糖的斤數(shù)不少于斤，而甲級糖的斤數(shù)不少于5斤，問應(yīng)怎樣買糖才是最好的方斤，問應(yīng)怎樣買糖才是最好的方案？試建立該問題的數(shù)學(xué)模型。案？試建立該問題的數(shù)學(xué)模

4、型。 建模：設(shè)建模：設(shè)x1為買甲級糖的斤數(shù)；為買甲級糖的斤數(shù)；x2為買乙級糖的斤數(shù)，可以得到以下關(guān)系：為買乙級糖的斤數(shù)，可以得到以下關(guān)系： 目標(biāo)目標(biāo)1：購買糖所花的費(fèi)用最?。嘿徺I糖所花的費(fèi)用最?。?目標(biāo)目標(biāo)2：購買糖的數(shù)量最大：購買糖的數(shù)量最大：21211510,minxxxxf21212,maxxxxxf2約束條件：約束條件： 例例2 投資問題投資問題 假設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)有一筆數(shù)量為假設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)有一筆數(shù)量為a元的資金可用于建廠投資，若記可供選擇的項(xiàng)目為，元的資金可用于建廠投資，若記可供選擇的項(xiàng)目為，1，2，m，一旦對第個(gè)項(xiàng)目投資，則必用掉，一旦對第個(gè)項(xiàng)目投資，則必用掉 ai 元。設(shè)元。設(shè)

5、i 第個(gè)項(xiàng)目可得到收益為第個(gè)項(xiàng)目可得到收益為ci元。問應(yīng)如何安排才會得元。問應(yīng)如何安排才會得到最佳方案？試建立該問題的數(shù)學(xué)模型。到最佳方案？試建立該問題的數(shù)學(xué)模型。 建模：設(shè)建模：設(shè)目標(biāo)目標(biāo)1：投資額最?。和顿Y額最小:目標(biāo)目標(biāo)2：收益最大：收益最大:約束條件：約束條件：0510100510212121xxxxxx各項(xiàng)目不投資決定對第個(gè)項(xiàng)目投資決定對第iixi01miiimxaxxxf121,minmiiimxcxxxf121,maxmixxaxaiimiii, 2 , 101135.1.2 多目標(biāo)數(shù)學(xué)規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)模型多目標(biāo)數(shù)學(xué)規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)模型 （1）模型：模型： （5-1）式中式中， （2）各種意

6、義下的解集各種意義下的解集 設(shè)設(shè)， 即即 , 當(dāng)有當(dāng)有, （a） 時(shí)時(shí)，意味著的每一個(gè)分量都嚴(yán)格小于的相應(yīng)分量，即對于意味著的每一個(gè)分量都嚴(yán)格小于的相應(yīng)分量，即對于 ,均有均有： 。 （b） 時(shí)時(shí)，意味著意味著F1的每一個(gè)分量都小于或等于的每一個(gè)分量都小于或等于F2的相應(yīng)分量的相應(yīng)分量，但至少有一個(gè)的分量但至少有一個(gè)的分量F1嚴(yán)格地小嚴(yán)格地小于于的相應(yīng)的相應(yīng)F2分量分量，即對于即對于 ，均有均有： ，且至少存在且至少存在， 使使 。 定義定義1 設(shè)設(shè) ，若對任意若對任意， 以及任意以及任意 均有均有 成立成立，則稱為問題則稱為問題（VP）的絕對最優(yōu)解的絕對最優(yōu)解。（。（VP）的絕對最優(yōu)解的全體

7、記為的絕對最優(yōu)解的全體記為 。絕對最優(yōu)解的幾何解釋如圖絕對最優(yōu)解的幾何解釋如圖1所示所示。 絕對最優(yōu)解是多目標(biāo)規(guī)劃的一個(gè)特例，只有當(dāng)若干個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)解重合時(shí)，才會出現(xiàn)，而更多情況則是圖絕對最優(yōu)解是多目標(biāo)規(guī)劃的一個(gè)特例，只有當(dāng)若干個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)解重合時(shí)，才會出現(xiàn)，而更多情況則是圖2描述的情況。描述的情況。 定義定義2 設(shè)，設(shè)， 若不存在若不存在 滿足滿足 ，則則 稱為稱為（VP）的有效解的有效解（或（或Pareto解），解），把把（VP）的有效解的全體記為的有效解的全體記為 。 mixgxfxfxfiTp, 2 , 10,min212,21PExxxxnTnnEFF21,TpfffF112111,

8、TpfffF222212,21FF pj, 2 , 121jjff21FF pj, 2 , 121jjffpjj0012100jjffpj, 2 , 1RxRx * *xFxF*xpaR mixgxRxi, 2 , 1,0* *xfxfjjRxabR4 可以看出，若可以看出，若 意味著找不到一個(gè)可行解意味著找不到一個(gè)可行解x使得使得F(f1(x), (f2(x), (fp(x)T 的每一個(gè)目標(biāo)值都不的每一個(gè)目標(biāo)值都不比比F(f1(x*), (f2(x*), (fp(x*)T的相應(yīng)值差，并且的相應(yīng)值差，并且F（x)至少有一個(gè)目標(biāo)值比至少有一個(gè)目標(biāo)值比F(x*)的相應(yīng)值好。也就是的相應(yīng)值好。也就是

9、說，當(dāng)說，當(dāng) 時(shí)時(shí)，x*在在“”意義下是找不到另一個(gè)可改進(jìn)的解。意義下是找不到另一個(gè)可改進(jìn)的解。paRxpaRx圖圖1 絕對最優(yōu)解的幾何解釋絕對最優(yōu)解的幾何解釋5圖圖2 有效解的直觀示意圖有效解的直觀示意圖定義定義3 設(shè)設(shè) ，若不存在若不存在 滿足滿足 則稱則稱 為為（VP）的弱有效解的弱有效解（或弱或弱Pareto解解），），把把（VP）的弱有效解的全體記為的弱有效解的全體記為 。圖圖 3 弱有效解的直觀示意圖弱有效解的直觀示意圖Rx *Rx *xFxF*xwpR6 定理定理1 對于問題（對于問題（VP）有）有：5.1.3 像集像集 記記 （5-2） 取定取定, , 可以得到關(guān)于可行解可以得

10、到關(guān)于可行解x0的的p個(gè)性能指標(biāo)的值個(gè)性能指標(biāo)的值： ，如果把它們排列起來，得到：如果把它們排列起來，得到： 可以看成是可以看成是P維歐式空間維歐式空間EP中的一個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)。一般地一般地，對任意對任意 ,都可以得到都可以得到EP中的一個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)F(x)。這這樣，我們可以利用上述規(guī)劃定義一個(gè)映像樣，我們可以利用上述規(guī)劃定義一個(gè)映像F。即即 , 集合集合:稱為約束集合稱為約束集合R在映像在映像F之下的像，簡稱像集。之下的像，簡稱像集。 由像集由像集F F( (R) )的定義不難看出：對于任何一可行解的定義不難看出：對于任何一可行解 , 必有必有反之，若某反之，若某 ,至少存在一個(gè)至少存在一

11、個(gè) （此時(shí)稱此時(shí)稱x0為為F 0 的一個(gè)原像的一個(gè)原像），），有有F（x0）=F 0即像集即像集F(R)中的一個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)F 0，至少有一個(gè)可行解，至少有一個(gè)可行解x0，使得它對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為，使得它對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為F 0。 例例3 若（若（n=1,P=2） f1(x)=x2-2x f2(x)= -x R=x0 x2 mixgxRi, 2 , 1, 0 TpxfxfxfxF,21Rx 0 001,xfxfp TpxfxfxfxF002010, 0 xFRRRRwppaabRx xFxF RxxFRFRx 0 RFxF0 RFF 0Rx 07 求像集求像集F(R)( (即求當(dāng)即求當(dāng)0 x2

12、) )時(shí)在時(shí)在E2中中f1與與f2的關(guān)系的關(guān)系。解：首先給出目標(biāo)函數(shù)與約束集合的圖形，見圖解：首先給出目標(biāo)函數(shù)與約束集合的圖形，見圖5。由于。由于x=-f2因而有，因而有，f1=(-f2)2-2(-f2)=(f2)2+2f2=f2(f2+2) 當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)，有時(shí)，有f1(0)=0, f2(0)=0 當(dāng)當(dāng)x=1時(shí)，有時(shí)，有f1(1)=-1, f2(1)=-1 當(dāng)當(dāng)x=-1時(shí)，有時(shí)，有f1(2)=0, f2(2)=-2圖圖4 目標(biāo)函數(shù)與約束集合示意圖目標(biāo)函數(shù)與約束集合示意圖F圖圖5 F(P)示意圖示意圖85.2 處理多目標(biāo)規(guī)劃的一些方法處理多目標(biāo)規(guī)劃的一些方法5.2.1 約束法約束法 對于對于 可

13、在目標(biāo)函數(shù)可在目標(biāo)函數(shù) 中找出一個(gè)主要目標(biāo)，例如，中找出一個(gè)主要目標(biāo)，例如， 而對其它各目標(biāo)而對其它各目標(biāo) 都都可可以事先給定一個(gè)所希望的值，不妨記為，以事先給定一個(gè)所希望的值，不妨記為， , ,使?jié)M足：使?jié)M足：于是可以把原來的多目標(biāo)問題化為如下的單目標(biāo)規(guī)劃問題：于是可以把原來的多目標(biāo)問題化為如下的單目標(biāo)規(guī)劃問題： （5-3） 也可以先求出一個(gè)也可以先求出一個(gè) , ,使得其他在較次要目標(biāo)使得其他在較次要目標(biāo) 的值都不比的值都不比 差的前提差的前提下，來求主要目標(biāo)下，來求主要目標(biāo) 的最小值，即求問題的最小值，即求問題 （5-4） mixgxfxfxfVPiTp, 2 , 10,min21）（ x

14、fxfxfp,21 xf1 xfxfp,2002,pff pjfxfjj, 20 pjfxfmixgxfjji, 2, 2 , 10min01Rx 0 xfxfp,2 002,xfxfp xf1 pjxfxfmixgxfjji, 2, 2 , 10min019對于對于n=2, p=2的情形，如圖的情形，如圖6。 圖圖6 處理多目標(biāo)規(guī)劃的約束法（當(dāng)處理多目標(biāo)規(guī)劃的約束法（當(dāng)n=2,p=2）示意圖）示意圖5.2.2 分層序列法分層序列法 對于對于 （VP） 可以把（可以把（VP）中的）中的p 個(gè)目標(biāo)個(gè)目標(biāo) 按重要程度排一個(gè)次序按重要程度排一個(gè)次序，不妨設(shè)問題（不妨設(shè)問題（VP）中）中p 個(gè)目個(gè)目標(biāo)

15、的次序已排定：標(biāo)的次序已排定： 最重要最重要， 其次其次，。首先求出第一個(gè)目標(biāo)首先求出第一個(gè)目標(biāo) 的最優(yōu)解?？捎洖榈淖顑?yōu)解?？捎洖椋?（P1） （5-5） xf2 xf1 022xfxfxRR mixgxRxxfxfxfVip, 2 , 1, 0,min21 xfxfxfp,21)(1xf)(2xf 11minfxfRx)(1xf10再求第二個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)解，即求問題：再求第二個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)解，即求問題： （P2） （5-6）的解，記為的解，記為 。這實(shí)際上是在第一個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)集合上來求第二個(gè)目標(biāo)這實(shí)際上是在第一個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)集合上來求第二個(gè)目標(biāo) 的最優(yōu)解。然后求第三的最優(yōu)解。然后求第三個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)

16、解，即求問題：個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)解，即求問題： （P3） （5-7）的最優(yōu)解，記為的最優(yōu)解，記為， 。如此進(jìn)行直到求得最后的第如此進(jìn)行直到求得最后的第p 個(gè)問題：個(gè)問題： （Pp） （5-8）的最優(yōu)解的最優(yōu)解 。 則則 就是多目標(biāo)（就是多目標(biāo)（VP）在分層序列意義下的最優(yōu)解。對于）在分層序列意義下的最優(yōu)解。對于P=2，n=1的簡單情形如圖的簡單情形如圖8所示，圖中所示，圖中 表示表示 的最優(yōu)集合。的最優(yōu)集合。 112minfxfxRxxf2f xf2 2 , 1,min3jfxfxRxxfjj3f 12 , 1,minpjfxfxRxxfjjp， 1Rxx xfRx1min圖圖7 用分層序列法對用分

17、層序列法對p=2,n=1求最優(yōu)集合示意圖求最優(yōu)集合示意圖x11可以證明可以證明 是問題（是問題（VP）的有效解（證明略）。）的有效解（證明略）。 在使用分層序列法時(shí)，若對于某個(gè)問題在使用分層序列法時(shí)，若對于某個(gè)問題（pj）的最優(yōu)解唯一時(shí)，則再求的最優(yōu)解唯一時(shí)，則再求（pj+1）, （pp）的最優(yōu)解時(shí)，的最優(yōu)解時(shí)，已經(jīng)沒有意已經(jīng)沒有意義了。義了。 一般情況，我們可以有如下的寬容意義下的分層序列法：一般情況，我們可以有如下的寬容意義下的分層序列法： 取取 作為一組事先給定的寬容值，即相應(yīng)目標(biāo)最優(yōu)化值的允許誤差，與分層序列法相類作為一組事先給定的寬容值，即相應(yīng)目標(biāo)最優(yōu)化值的允許誤差，與分層序列法相類

18、似，逐次求（似，逐次求（p1）, （pp）的最優(yōu)值，其不同的是把原來的問題（）的最優(yōu)值，其不同的是把原來的問題（pk）修改為：）修改為： （5-9） k=2,3,p 圖圖8是是n=1, p=2簡單情形的寬容分層序列法的求解示意圖。簡單情形的寬容分層序列法的求解示意圖。 圖圖8 用寬容值求解（用寬容值求解（VP）最優(yōu)集合示意圖）最優(yōu)集合示意圖x1R11f1fx0, 01p 12 , 1,minkjfxfxRxxfjjjj， 125.2.3 功效系數(shù)法功效系數(shù)法 設(shè)有目標(biāo)：設(shè)有目標(biāo)： ，其中前其中前k個(gè)目標(biāo)：個(gè)目標(biāo)： 要求越小越好，而后要求越小越好，而后P-k個(gè)目標(biāo)：個(gè)目標(biāo)： 要求越大越好。在處理

19、這些目標(biāo)之間的關(guān)系時(shí)，往往會由于各目標(biāo)的量綱不同，而帶來一些困難。所謂要求越大越好。在處理這些目標(biāo)之間的關(guān)系時(shí)，往往會由于各目標(biāo)的量綱不同，而帶來一些困難。所謂“功效系數(shù)法功效系數(shù)法”是針對這些目標(biāo)函數(shù)是針對這些目標(biāo)函數(shù) 值的好壞乘以一個(gè)功效系數(shù)值的好壞乘以一個(gè)功效系數(shù)d di i（俗稱打分），即（俗稱打分），即 （5-10） 或或 當(dāng)達(dá)到最滿意時(shí)，當(dāng)達(dá)到最滿意時(shí)，di=1( (或或 ) ) 當(dāng)達(dá)到最不滿意時(shí)，當(dāng)達(dá)到最不滿意時(shí)，di=0 （1）線性型線性型 設(shè)：設(shè)： （5-11） （5-12）其中，其中， （5-13） 由于對于由于對于j=1,2,k 時(shí)時(shí)， 越小越好，故令越小越好，故令 （5

20、-14） 見圖見圖9。 xfxfxfxfpk,21 xfxfxfk,21 xfxfxfpkk,21 xfi pixfdDiii, 2 , 1,10id10id kjfxfjjRx, 2 , 1minmin pkkjfxfjjRx, 2, 1maxmax mixgxRi, 2 , 1, 0 xfjmaxmin,0, 1jjjjjffffd當(dāng)當(dāng)10jdminjfmaxjfjf 圖9 j=1,2,.k時(shí)的功效系數(shù)示意圖0id13 由圖由圖10中的相似三角形可以得到如下相似比：中的相似三角形可以得到如下相似比： 從而得到功效系數(shù)：從而得到功效系數(shù)： （5-15）對于，對于，同理可以得到同理可以得到：

21、（5-16） （2）指數(shù)型）指數(shù)型 對于對于j=k+1,k+2,p, 要求越大越好，我們考慮如下的指數(shù)形式的函數(shù)：要求越大越好，我們考慮如下的指數(shù)形式的函數(shù)： （5-17） b10101minmaxminjjjjjdffffkjffffdjjjjj, 2 , 1,1minmaxmin10jdjfminjfmaxjfminmax, 0, 1jjjjjffffd當(dāng)當(dāng)pkkjffffdjjjjj, 2, 1,minmaxmin xfj jfbbejexd10圖10 j=k+1，k+2，p時(shí)的功效系數(shù)示意圖14 在解決實(shí)際問題中，對于每個(gè)目標(biāo)函數(shù)在解決實(shí)際問題中，對于每個(gè)目標(biāo)函數(shù) 總可以事先估計(jì)兩總可

22、以事先估計(jì)兩個(gè)值：個(gè)值： 及及 。 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，對于時(shí)，對于 來說勉強(qiáng)合格（合格值）來說勉強(qiáng)合格（合格值）。 當(dāng)當(dāng) 對于對于 來說不合格（不合格值）來說不合格（不合格值）。 例如，當(dāng)例如，當(dāng) ， （合格值）（合格值） 當(dāng)當(dāng) ， （不合格值）（不合格值） 圖圖11給出了給出了j=k+1，k+2，p時(shí)的指數(shù)型功效系數(shù)示意圖。時(shí)的指數(shù)型功效系數(shù)示意圖。因此，有：因此，有： （5-18）于是，由（于是，由（5-18）得到聯(lián)立方程組：）得到聯(lián)立方程組： （5-19）故解得，故解得， （5-20）代入（代入（5-17），得），得 （5-21）11eee0jf1jfminjfmaxjf xfj1jf0jf 1

23、jjfxf xfj 0jjfxf xfj37. 01edj 1jjfxf07. 0ejed 0jjfxf0101101jfbbjfbbeeeeeee10010110jjfbbfbb圖11 j=k+1，p時(shí)的指數(shù)型功效系數(shù)示意圖1010jjjfffb01101jjffb10/110/110jfjfjfxjfjfjfxjfjfxjfbbeeejeeedminjfmaxjf1jf0jf圖12 j=1,2，k時(shí)的指數(shù)型功效系數(shù)示意圖15 對于對于j=1,2,k，由于，由于 越小越好，故可類似得到越小越好，故可類似得到 （5-22）其幾何解釋見圖其幾何解釋見圖12。 在得到了功效系數(shù)在得到了功效系數(shù) （

24、5-23）以后，令以后，令 （5-24）即求問題即求問題 （5-25）的最優(yōu)解的最優(yōu)解 ，可以證明：，可以證明：5.2.4 評價(jià)函數(shù)法評價(jià)函數(shù)法 （1）理想點(diǎn)法）理想點(diǎn)法 對于對于 xfjkjedjfjfjfxjfej,2,1110/1， pkkjxfdDjjj, 1, 2 , 1, ppjjDFh/11 ppjjjRxRxxfDxFh/11maxmaxxpaRx mixgxRxfxfxfVVPip,2, 1,0,min2116先求出先求出p 個(gè)單目標(biāo)規(guī)劃問題，記個(gè)單目標(biāo)規(guī)劃問題，記 （5-26）令評價(jià)函數(shù)令評價(jià)函數(shù) （5-27）再求再求 （5-28）的最優(yōu)解，記為的最優(yōu)解，記為 。 有時(shí)我們

25、也可取有時(shí)我們也可取h（F）為更一般的模函數(shù)形式作為評價(jià)函數(shù)，即為更一般的模函數(shù)形式作為評價(jià)函數(shù)，即 （5-29）式中，式中，q為大于為大于1的整數(shù)?？梢宰C明的整數(shù)?？梢宰C明 。 （2）平方和加權(quán)法）平方和加權(quán)法 先求定先求定 為諸單目標(biāo)規(guī)劃問題為諸單目標(biāo)規(guī)劃問題 （5-30）的下界，亦即的下界，亦即 （5-31）令評價(jià)函數(shù)令評價(jià)函數(shù) （5-32）其中其中， 為事先給定的一組權(quán)系數(shù)，它滿足為事先給定的一組權(quán)系數(shù)，它滿足 pixffiRxi, 2 , 1,min piiipfffffhFh1221, piiiRxRxfxfxF12minminx qpiqiiffFh/11paRx0jf pjxf

26、jRx, 2 , 1,min pjfxfjjRx, 2 , 1,min0 201jjpjjffFhp，2,117 （5-33）再求再求 （5-34）的最優(yōu)解的最優(yōu)解 ，可以證明，可以證明 （3 3）虛擬目標(biāo)法）虛擬目標(biāo)法 開始如同平方和加權(quán)法那樣，先確定開始如同平方和加權(quán)法那樣，先確定 ，使?jié)M足使?jié)M足再令評價(jià)函數(shù)再令評價(jià)函數(shù) ( (5-35) )然后求問題然后求問題 （5-36）的最優(yōu)解的最優(yōu)解 ，可以證明，可以證明 。 （4 4）線性加權(quán)法）線性加權(quán)法 現(xiàn)對目標(biāo)函數(shù)現(xiàn)對目標(biāo)函數(shù) 按其重要程度給出一組權(quán)系數(shù)按其重要程度給出一組權(quán)系數(shù) （6-37） pjpjj, 2 , 1, 11 201min

27、minjjpjjRxRxfxfFhxpaRx00jf pjfxfjRxj, 2 , 1,min0 2/11200pjjjjfffFh 2/11200minminpjjjjRxRxfffFhxpaRx xfxfxfp,2111pjj02,1p，18再令評價(jià)函數(shù)再令評價(jià)函數(shù) （5-38）然后求問題然后求問題 （5-39）的最優(yōu)解的最優(yōu)解 ，可以證明，可以證明 。 對于對于p=2,n=2的情況下，有的情況下，有 （5-40） （5-41） 線性加權(quán)的幾何意義如圖線性加權(quán)的幾何意義如圖13所示。所示。 圖圖13 p=2，n=2時(shí)的線性加權(quán)幾何意義時(shí)的線性加權(quán)幾何意義 jpjjfFh1 xfFhjpjj

28、RxRx1minminpaRxx 0, 0,min212211,21ffRFffT1211f2f1f2f RFT21，19因而存在因而存在 ，使，使當(dāng)權(quán)系數(shù)當(dāng)權(quán)系數(shù) 中有等于零者，有中有等于零者，有 ，見圖，見圖14。 圖圖14 中有等于中有等于0者時(shí)，者時(shí)， 是弱有效解的情況是弱有效解的情況 （5）min-max方法方法 對策論中，經(jīng)常用到的一個(gè)思想就是在做決策時(shí)，要考慮在最不利的情況下找出一個(gè)最有利的策略，即所謂對策論中，經(jīng)常用到的一個(gè)思想就是在做決策時(shí)，要考慮在最不利的情況下找出一個(gè)最有利的策略，即所謂的的min-max。依次，可令評價(jià)函數(shù)。依次，可令評價(jià)函數(shù) （5-42）然后，化為求然

29、后，化為求 （5-43）Rx 11fxf22fxf2,1，wpRx RF2f1fT0, 11f2f21，x pipiEFfFh,max1 xfFhipiRxRx1maxminmin20的最優(yōu)解，的最優(yōu)解， 。值得指出的是。值得指出的是 變量變量x的函數(shù)，當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，當(dāng)n=1, p=2時(shí)其幾何意義如圖時(shí)其幾何意義如圖15所示。所示。 圖圖15 當(dāng)當(dāng)n=1,p=2時(shí)時(shí)min-max方法的幾何意義方法的幾何意義當(dāng)然，也可以使用加權(quán)的形式，即令當(dāng)然，也可以使用加權(quán)的形式，即令 （5-44）其中，其中， 是一組權(quán)系數(shù)，滿足是一組權(quán)系數(shù)，滿足 （5-45）可以證明，可以證明， 。x xfxFhipi1max

30、 xf1 xf2x xfFx jjpifxFh1maxp，21pjpjj, 2 , 1, 110jwpRx215.2.5 逐步法逐步法 逐步法（逐步法（step methodstep method）簡稱）簡稱STEMSTEM法，是一種決策人宣布偏好的多目標(biāo)決策方法。逐步法每求解一次，分法，是一種決策人宣布偏好的多目標(biāo)決策方法。逐步法每求解一次，分析人員都要與決策人進(jìn)行對話，分析人員把計(jì)算結(jié)果告訴決策人并征求反饋意見。若決策人對結(jié)果不滿意，則析人員都要與決策人進(jìn)行對話，分析人員把計(jì)算結(jié)果告訴決策人并征求反饋意見。若決策人對結(jié)果不滿意，則分析人員要根據(jù)決策人的意見對決策模型中的參數(shù)進(jìn)行必要的修改并

31、重新計(jì)算，以改進(jìn)計(jì)算結(jié)果，直到?jīng)Q策人分析人員要根據(jù)決策人的意見對決策模型中的參數(shù)進(jìn)行必要的修改并重新計(jì)算，以改進(jìn)計(jì)算結(jié)果，直到?jīng)Q策人對結(jié)果滿意為止。由于這種方法是逐步進(jìn)行的，所以稱為逐步法。下面通過具體算例加以說明。對結(jié)果滿意為止。由于這種方法是逐步進(jìn)行的，所以稱為逐步法。下面通過具體算例加以說明。 例例1 1 用逐步法求解如下多目標(biāo)決策問題：用逐步法求解如下多目標(biāo)決策問題： s.t. 假設(shè)決策人的偏好為原問題的理想點(diǎn)假設(shè)決策人的偏好為原問題的理想點(diǎn) ，因此分析人員要用逐步法求解來逼近理想點(diǎn)。第一步，因此分析人員要用逐步法求解來逼近理想點(diǎn)。第一步，求理想點(diǎn)。即求解兩個(gè)單目標(biāo)最優(yōu)化問題。求理想點(diǎn)

32、。即求解兩個(gè)單目標(biāo)最優(yōu)化問題。 第一步，求理想點(diǎn)。即求解兩個(gè)單目標(biāo)最優(yōu)化問題，得到：第一步，求理想點(diǎn)。即求解兩個(gè)單目標(biāo)最優(yōu)化問題，得到： 2122113min2)(minxxxfxxxf，5040926212121xxxxxx21, ffF11)5, 1 (11fXT，13,) 1,4(22fXT1311,21，ffF22 第二步，解極小化極大問題。第二步，解極小化極大問題。 所謂極小化極大問題，就是決策人希望離決策者偏好最遠(yuǎn)的目標(biāo)的偏差最小化。即求下面的最優(yōu)化問題：所謂極小化極大問題，就是決策人希望離決策者偏好最遠(yuǎn)的目標(biāo)的偏差最小化。即求下面的最優(yōu)化問題： s.t. （5-46）其中，其中，

33、權(quán)重：權(quán)重： 由下式給定：由下式給定： （5-47）式（式（5-47）中是規(guī)范了的目標(biāo)函數(shù)的偏差幅度：）中是規(guī)范了的目標(biāo)函數(shù)的偏差幅度： （5-48）列出如下性能指標(biāo)表：列出如下性能指標(biāo)表： 表表5-1 性能指標(biāo)表性能指標(biāo)表 min xffjjj0njj, 2 , 1，njnjjjj, 2 , 1,1Nijijjjjcfff12max1f2fmaxjf1X2X 函數(shù)最優(yōu)解=(1,5)-11-8-8=(4,1)-6-13-623計(jì)算權(quán)重：計(jì)算權(quán)重：帶入帶入（5-46）式，得：式，得：求下面的單目標(biāo)規(guī)劃問題：求下面的單目標(biāo)規(guī)劃問題： s.t.122. 05113)2() 1(11)8(112211

34、70. 010137) 1()3(13)6(13222418. 0170. 0122. 0122. 01582. 0170. 0122. 0170. 02598. 4836. 0418. 0)211(418. 02121xxxx566. 7582. 0746. 1)313(582. 02121xxxxmin50409260566. 7582. 0746. 14598. 0836. 0418. 02121212121xxxxxxxxxx24解得：解得： 第三步，把上述結(jié)果交給決策人，由他對（第三步，把上述結(jié)果交給決策人，由他對（-9.2，-11.6）與理想點(diǎn)（）與理想點(diǎn)（-11，-13）進(jìn)行比較

35、，判斷那個(gè)目）進(jìn)行比較，判斷那個(gè)目標(biāo)值需要改進(jìn)。假設(shè)決策人認(rèn)為標(biāo)值需要改進(jìn)。假設(shè)決策人認(rèn)為 需要改進(jìn)，則可以使得需要改進(jìn)，則可以使得 降低一個(gè)單位：降低一個(gè)單位：并令，并令， ，進(jìn)行第二輪迭代，即求解：，進(jìn)行第二輪迭代，即求解： s.t.可得：可得： )2 . 3,8 . 2(),(211xxX2 . 9)(11Xf6 .11)(12Xf1f2f2 . 92)(211xxxf6 .103)(212xxxf0121，min2 . 926 .10350409260112212121212121xxxxxxxxxxxx 6 .10,7 . 9)7 . 3,3 . 2(22212xfxfx，圖16 求

36、解結(jié)果255.3 確定權(quán)系數(shù)的方法確定權(quán)系數(shù)的方法5.3.1 專家評判法專家評判法 所謂專家評判法就是邀請一批專家，請他們對權(quán)系數(shù)的取法發(fā)表意見，為了便于他們獨(dú)立地發(fā)表意見，常所謂專家評判法就是邀請一批專家，請他們對權(quán)系數(shù)的取法發(fā)表意見，為了便于他們獨(dú)立地發(fā)表意見，常將事先準(zhǔn)備好的調(diào)查表送給他們，讓他們分別填寫。如表將事先準(zhǔn)備好的調(diào)查表送給他們，讓他們分別填寫。如表5-2。5-2 專家評價(jià)調(diào)查表專家評價(jià)調(diào)查表 上表中上表中k 表示專家的編號，表示專家的編號， 表示第表示第i個(gè)專家對第個(gè)專家對第j個(gè)目標(biāo)個(gè)目標(biāo) 給出的權(quán)系數(shù)給出的權(quán)系數(shù) 。在得到了專家們的意見之后，算出對權(quán)系數(shù)的平均值（數(shù)學(xué)期望）

37、：在得到了專家們的意見之后，算出對權(quán)系數(shù)的平均值（數(shù)學(xué)期望）： （5-49）對每個(gè)專家對每個(gè)專家 ，算出與平均值，算出與平均值 的偏差：的偏差： （5-50） 目標(biāo) 權(quán)專家1 xf1 xf2 xf1k1112p11k2kkpij xfjpjki, 2 , 1, 2 , 112ppjkkiijj, 2 , 111kii1jpjjijij, 2 , 126 確定權(quán)系數(shù)的第二輪是要開會進(jìn)行討論。首先然那些有最大偏差的專家發(fā)表意見，通過充分的討論達(dá)到確定權(quán)系數(shù)的第二輪是要開會進(jìn)行討論。首先然那些有最大偏差的專家發(fā)表意見，通過充分的討論達(dá)到對各自目標(biāo)重要性的正確認(rèn)識，以幫助消除在權(quán)系數(shù)估計(jì)中的一些可能的

38、誤解，如此重復(fù)進(jìn)行。對各自目標(biāo)重要性的正確認(rèn)識，以幫助消除在權(quán)系數(shù)估計(jì)中的一些可能的誤解，如此重復(fù)進(jìn)行。 這里，可以把表格的第這里，可以把表格的第j j 列看出是隨機(jī)變量列看出是隨機(jī)變量 的具體實(shí)現(xiàn)，因此，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的有關(guān)概念和方法可以用來的具體實(shí)現(xiàn)，因此，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的有關(guān)概念和方法可以用來更好地確定出更好地確定出 。5.3.2 法法 為了簡明起見，我們先用為了簡明起見，我們先用P P =2=2的情形說明此方法，首先求解單目標(biāo)規(guī)劃問題：的情形說明此方法，首先求解單目標(biāo)規(guī)劃問題： 的最優(yōu)解，的最優(yōu)解，記記其幾何圖形如圖其幾何圖形如圖1717所示。所示。 在像空間過點(diǎn)在像空間過點(diǎn) 及及 確定一條確定一

39、條直線，其方程設(shè)為：直線，其方程設(shè)為： （5-51）其中其中 （5-52）于是有于是有 圖圖 17 在像集空間的示意圖在像集空間的示意圖 （5-53） jp,21 xfpiRximin2 , 1ixi 1111xff 1212xff 2121xff 2222xff RF11f12f21f22f1f2f1f2fTff1211,Tff2221,2211ff12111f21f12f22f222211122111ffff27若問題（若問題（VP）不存在絕對最優(yōu)解，則必有）不存在絕對最優(yōu)解，則必有 （5-54） （5-55）由方程組（由方程組（5-53）解出：）解出： （5-56） （5-57）最后，對

40、于一般具有最后，對于一般具有 個(gè)目標(biāo)情形，也完全與此類似。先求個(gè)目標(biāo)情形，也完全與此類似。先求P P個(gè)單目標(biāo)規(guī)劃問題個(gè)單目標(biāo)規(guī)劃問題 的最優(yōu)解，的最優(yōu)解，設(shè)為設(shè)為 ，記，記過過p個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)做一個(gè)超平面，其方程設(shè)為做一個(gè)超平面，其方程設(shè)為 （5-58）當(dāng)（當(dāng)（VP）不存在絕對最優(yōu)解時(shí)，可以確定出方程組（）不存在絕對最優(yōu)解時(shí)，可以確定出方程組（6-556-55）的一組解（是唯一的一組解），以此來確定權(quán)）的一組解（是唯一的一組解），以此來確定權(quán)系數(shù)。系數(shù)。 11112111fxfxff 22221212fxfxff 02212112122121ffffff 02212112111212ffffff2p xfpiRximinpixi, 2 , 1, pjpixffiiji, 2 , 1, 2 , 1pjfffjpjj, 2 , 1,21piipiiipjf111, 2 , 1285.3.3 以理性點(diǎn)為準(zhǔn)則求權(quán)系數(shù)的方法以理性點(diǎn)為準(zhǔn)則求權(quán)系數(shù)的方法 本法以理性點(diǎn)作為準(zhǔn)則來求出權(quán)系數(shù)，使其能較好地反映出各個(gè)目