5.6.3_正弦定理、余弦定理的應(yīng)用---邊角互化_2017.3.15

1、第五章三角比5.6.2 余弦定理和解斜三角形余弦定理和解斜三角形5.6.3 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用正弦定理、余弦定理的應(yīng)用 -邊化角、角化邊邊化角、角化邊例例1.在在 中，中， ，判斷，判斷ABCcoscosaAbBABC的形狀的形狀.解：根據(jù)解：根據(jù)正弦定理正弦定理得得2 sin,2 sinaRA bRB代入條件代入條件,并化簡得并化簡得sincossincosAABB即即sin2sin2AB2 ,2(0, )AB22AB或者或者22AB得得 或或AB2AB所以所以 為等腰三角形或直角三角形為等腰三角形或直角三角形.ABC例例1.在在 中，中， ，判斷，判斷ABCcoscosaAbBABC

2、的形狀的形狀.解法二：根據(jù)解法二：根據(jù)余弦定理余弦定理得得222222cos,cos22bcaacbABbcac代入條件并化簡得代入條件并化簡得2222222()()()cababab所以所以 為等腰三角形或直角三角形為等腰三角形或直角三角形.ABC解得解得 或或ab222cab變式：變式： 在在 中，中， ，判斷，判斷ABCcoscosaBbAABC的形狀的形狀.例例2.若銳角若銳角 的三邊長分別是的三邊長分別是 ，,1,2a aaaABC試確定試確定 的取值范圍的取值范圍.解：解：0(1)2aaaa由兩邊之和大于第三邊，由兩邊之和大于第三邊，解得解得1a 由由最大角最大角為銳角，得為銳角，

3、得222(1)(2)02 (1)aaaa a解得解得3a 綜上，當(dāng)綜上，當(dāng) 時，邊長滿足條件時，邊長滿足條件.3a 變式：變式：若若 為鈍角三角形，求為鈍角三角形，求 a 的取值范圍的取值范圍.ABC例例3.在在 中，中， ，判斷判斷ABCsin:sin:sin6:7:9ABC 若ABC的形狀的形狀.解：根據(jù)解：根據(jù)正弦定理正弦定理得得: :sin:sin:sin6:7:9a b cABC 設(shè)設(shè)a, b, c三邊長分別為三邊長分別為 6x, 7x, 9x, x0, 則長為則長為9x的邊的邊c是最大邊，它所對的角應(yīng)是最大邊，它所對的角應(yīng)該是最大角，該是最大角，三角形的形狀由三角形的形狀由最大角最

4、大角決定決定由余弦定理，得由余弦定理，得222(6 )(7 )(9 )1cos=02 6721xxxCxxC為銳角，所以是銳角三角形為銳角，所以是銳角三角形.例例4.在在 中，求證：中，求證： ABC22sin2sin22sinaBbAabC證明：利用正弦定理和余弦定理，得證明：利用正弦定理和余弦定理，得 22=2sincos2sincosaBBbAA左左式式22222222222222b acba bcaabRacRbc22abcR2sin=abC右右式式課堂練習(xí)課堂練習(xí)1.已知三角形邊長為已知三角形邊長為 ，求外接圓半徑，求外接圓半徑R.5,12,132.三角形滿足三角形滿足 ，判定其形狀

5、，判定其形狀.coscosaBbA3.邊長為連續(xù)正整數(shù)的鈍角三角形，求鈍角的度邊長為連續(xù)正整數(shù)的鈍角三角形，求鈍角的度數(shù)數(shù). (精確到精確到 )4.在在 中，求證：中，求證：ABCcossincossinacBBbcAA5,12,131、不解三角形，判斷解三角形問題有一解、兩解還是無解。、不解三角形，判斷解三角形問題有一解、兩解還是無解。 (1)30 ,14,7;(2)12,18,453105 ,8,7BababAAbaA B C22 ,2baA中，中，如果三角形有解，則如果三角形有解，則的范圍的范圍2、練習(xí)：兩邊一鄰角，判斷解的個數(shù)判斷解的個數(shù)作業(yè)課堂練習(xí)答案課堂練習(xí)答案解：解：132sin

6、90R 1.已知三角形邊長為已知三角形邊長為 ，求外接圓半徑，求外接圓半徑R.5,12,135,12,13得得132R 2.三角形滿足三角形滿足 ，判定其形狀，判定其形狀.coscosaBbA解：解：2 sincos2 sincosRABRBAsin()0AB得得(, )AB 0AB該三角形為等腰三角形該三角形為等腰三角形. 解畢解畢解畢解畢課堂練習(xí)答案課堂練習(xí)答案3.邊長為連續(xù)邊長為連續(xù)正整數(shù)正整數(shù)的鈍角三角形，求鈍角的度的鈍角三角形，求鈍角的度數(shù)數(shù). (精確到精確到 )1解：設(shè)邊長為解：設(shè)邊長為, 1, 2, a aaaZ1(1)2aaaa且且222(1)(2)02 (1)aaaa a化簡得化簡得11aa13a 且且因此因此2a 最大角余弦值為最大角余弦值為 ，14角度約為角度約為104解畢解畢課堂練習(xí)答案課堂練習(xí)答案4.在在 中，求證：中，求證：ABCcossincossinacBBbcAA證：左邊證：左邊=2 sin2 sincos2