小學(xué)數(shù)學(xué)拓展專題數(shù)的整除完整版題型訓(xùn)練帶答案

1、數(shù)的整除板塊一：基礎(chǔ)題型1.下面有 9個自然數(shù)：14, 35, 80, 152, 650, 434, 4375, 9064, 24125.在這 些自然數(shù)中請問：（1）有哪些數(shù)能被2整除？哪些能被4整除？那些能被8整除？（2）有哪些數(shù)能被5整除？那些數(shù)能被25整除？哪些能被125整除？【分析與解】主要考察整除的性質(zhì)：（1）能被 2 整除的有 14 , 80, 152, 650, 434, 9064；能被4整除的有80 , 152, 9064；能被8整除的有80 , 152, 9064.（2）能被 5 整除的有 35 , 80, 650, 4375, 24125能被25整除的有650, 4375,

2、 24125能被125整除的有4375, 24125.2.有如下 9 個三位數(shù)：452, 387, 228, 975, 525, 882, 715, 775, 837,這些數(shù)中那些能被3整除？哪些能被9整除？那些能同時被2和3整除？【分析與解】主要考察整除的性質(zhì)：能被 3整除的數(shù)有：387, 228, 975, 525, 882, 837 能被9整除的數(shù)有：387, 882, 837能同時被2和3整除的數(shù)有：228, 8823. 一個三位數(shù)6 4的十位數(shù)字未知。請分別根據(jù)下列要求找出“”中合適的取 值：（1）如果要求這個三位數(shù)能被3整除，“”可能等于多少？（2）如果要求這個三位數(shù)能被4整除，“

3、”可能等于多少？（3） 這個三位數(shù)有沒有可能同時被 3和4整除，如果有可能，“”可能等 于多少？【分析與解】這個數(shù)能被3整除，則6+ +4=12或15或18,所以 =2或5或8;若6 4能被四整除，則這個數(shù)的末兩位能被四整除，所以=0, 2, 4, 6, 8;通過（1）和（2）得，當 =2, 8時，能同時被3和4整除。4. 新學(xué)年開學(xué)了，同學(xué)們要改穿新的校服。小悅收課9位同學(xué)的校服費（每人交的一樣多）交給老師。老師給了小悅一張紙條，上面寫著“交來校服費2 38元”, 其中有一滴墨水，把方格處的數(shù)字污染的看不清了。東東看了看，很快就算出 了方格處的數(shù)字。聰明的讀者們，你們能算出這個數(shù)字是多少嗎？

4、【分析與解】9位同學(xué)交的錢數(shù)一樣多，共2 38元，說明2 38能被9整除, 即2+ +3+8=13+0能被9整除，并且是一位數(shù)，所以=5.5. 四位數(shù)2 9能同時被3和5整除，求出所有滿足條件的四位數(shù)?！痉治雠c解】能被5整除，則個位數(shù)為0或者5;當個位數(shù)為0時，2+0 +9+0=11+0能被3整除，并且為09的數(shù)字， 所以 =1, 4, 7;當個位數(shù)字為5時，2+0 +9+5=16+0能被3整除，并且為09的數(shù)字, 所以 =2, 5, 8;綜上得滿足題意的四位數(shù)為：2190, 2490, 2790, 2295, 2595, 2895。6. 四位偶數(shù)6 4能被11整除，求出所有滿足條件的四位數(shù)【

5、分析與解】6 4是偶數(shù)，所以個位是0, 2, 4, 6, 8,并且能被11整除，則 偶數(shù)位上的數(shù)字之和與奇數(shù)位上的數(shù)字之和的差是11的倍數(shù)，當個位是0時，6+4- 0 =10- 是11的倍數(shù)，無解；當個位是 2時，6+4- 0-2=8- 0 =0,所以0 =8;依次驗證當0 =4, 6, 8時，得0 =6, 4, 2.所以滿足題意的四位數(shù)為6842, 6644, 6446, 6248.7. 多位數(shù)323232T能被11整除，滿足條件的n的最小值是多少？n個 32【分析與解】若393321能被11整除，則1+JJ3 -(爼42 )n 個 32n個 3n 個 2=1+3n-2n=1+ n (3-2

6、 ) =1+ n 是 11 的倍數(shù)，若使 n 最小，則 1+ n=11,所以 n=10.8. 一天，王經(jīng)理去電信營業(yè)廳為公司安裝一部電話。服務(wù)人員告訴他，目前只 有形如“ 1234060 8”的號碼可以申請。也就是說，在申請?zhí)柎a時，方框內(nèi)的兩個數(shù)字可以隨意選擇，而其余的數(shù)字不可得改動。王經(jīng)理打算申請一個能同時被8和11整除的號碼。請問：他申請的號碼可以是多少？【分析與解】“ 12340 6 0 8”能被8整除，則這個數(shù)的后三位6 08能被8整除， 則0 =0, 4, 8 ,當十位的0 =0 時，2+4+6+8- (1+3+0) =16- 0是 11 的倍數(shù)，且 為09的數(shù)字，則0 =5;同理當

7、0 =4, 8時，得0 =1, 8,所以他申請的電話 號碼可以是 12345608, 12341648, 12348688。9. 一個各位數(shù)字互不相同的四位數(shù)能被9整除，把它的個位數(shù)字去掉后剩下一個三位數(shù)，這個三位數(shù)字能被4整除。這個數(shù)字最大是多少？【分析與解】設(shè)這個四位數(shù)為 ABCD，要使這四位數(shù)字最大，則最高位的數(shù)字 應(yīng)該最大，則A=9;且ABC能被4整除，也就是BC能被4整除，并且與A的數(shù) 字不同，最大為84,所以D最大為6,這個四位數(shù)字為9846.10. （1） 一個多位數(shù)（兩位及兩位以上），它的各位數(shù)字互不相同，并且含有數(shù)字0.它能被11整除，那么這個多位數(shù)最小是多少？（2）一個多位

8、數(shù)，它的各位數(shù)字之和為 13,如果它能被11整除，那么這 個多位數(shù)最小是多少？【分析與解】（1）若為兩位數(shù)，且含有數(shù)字 0,則這個數(shù)只能為10，20，3090這樣的數(shù)字，但是他們都不是11的倍數(shù)；若為3位數(shù)，且給位數(shù)字都不相同，所以 0不 能在最高位，也不能在個位（若在個位，十位與百位的數(shù)字必須相同才能被11整除，這樣與題意不符），所以0只能在十位，既為A0B這種形式，A+B=11, A 最小為2,所以B=9,所以這個多位數(shù)最小為 209.（2 ）這個數(shù)不可能為兩位數(shù)，若為三位數(shù)，設(shè)這個數(shù)為ABC ,則A+B-C=11,且A+B+C=13所以B=1,A+B=12,A最小為3,所以這個數(shù)為319

9、.板塊二：中檔題型1.判斷下面11個數(shù)的整除性：23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407.（1）這些數(shù)中，有哪些數(shù)能被4整除？有哪些數(shù)能被8整除？ 哪些數(shù)能被25整除？哪些數(shù)能被125整除？ 哪些數(shù)能被3整除？哪些數(shù)能被9整除？（4）哪些數(shù)能被11整除？【分析與解】 本題主要考察數(shù)整除的性質(zhì)。數(shù)整除的性質(zhì)一定要牢記。（1） 能被4整除的數(shù)（末兩位能被4整除則這個數(shù)就能被4整除）有：3568, 5880, 6512, 864;能被8整除的數(shù)（末三位能被8整除則這個數(shù)就能被8整除）有：3568, 5880, 6512, 864

10、;（2）能被25整除的數(shù)（末兩位能被25整除則這個數(shù)就能被25整除）有:8875, 93625;能被125整除的數(shù)（末三位能被125整除則這個數(shù)就能被125整除）有: 8875, 93625;（3） 能被3整除的數(shù)（各位數(shù)字之和能被 3整除則這個數(shù)就能被3整除）有: 23487, 6765， 5880， 198954， 864；能被9整除的數(shù)（各位數(shù)字之和能被 9整除則這個數(shù)就能被9整除）有: 198954， 864；（4） 能被11整除的數(shù)（奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差是11的倍數(shù)） 有：6765，6512，407.2. 173是一個四位數(shù)。數(shù)學(xué)老師說：“我在其中的方格內(nèi)先后填入 3個

11、數(shù)字， 得到3個四位數(shù)，依次能被9, 11, 8整除?！眴枺簲?shù)學(xué)老師在方格中先后填入 的3個數(shù)字之和是多少？【分析與解】芮 能被9整除，則1+7+3+ =11+ 是9的倍數(shù)則 =7,則這個四位數(shù)是1737；173能被11整除，則7+ -1-3=3+ 是11的倍數(shù)則 =8,則這個四位數(shù)是1738；芮 能被8整除，則Tr是8的倍數(shù)，則 =6,則這個四位數(shù)是1736；所以內(nèi)填入的三個數(shù)分別是 7, 8, 6,和為21.3. 五位數(shù)3能同時被11和25整除。這個五位數(shù)是多少？【分析與解】3 能被25整除，則后兩位能被25整除，則為75,這個五位數(shù)為,同時這個數(shù)能被11整除，則 +7-3-5-0= -1

12、=0 ,=1,所以這個五位數(shù)是31075.4. 牛叔叔給45名工人發(fā)完工資后，將總錢數(shù)記在一張紙上。但是記賬的那張紙被香煙燒了了兩個洞，上面只剩下“”，其中方框表示被燒出的洞。牛叔叔記得每名工人的工資都一樣，并且都是整數(shù)元。請問：這 45名工人的總工 資有可能是多少元呢？【分析與解】通過題意得，能被45整除，45=5 9,所以能同時被5和9整除；這個數(shù)能被5整除，則這個數(shù)的末位能被 5整除，所以末位可以是O或者是5；當末位是O時，6+7+8+O =21+ 能被9整除，則 =6;當末位是5時，6+7+8+ +5=26+能被9整除，則 =1,這45名工人的總工資有可能是 67680或67185.5

13、.六位數(shù)能同時被9和11整除。這個六位數(shù)是多少?【分析與解】設(shè)這個六位數(shù)為，這個數(shù)能被9整除，則A+2+8+B=10+A+B=1或27,既A+B=8或17 （ 1），同時這個數(shù)能被11整除，貝U A+8-2- B=A+6-B=0或11 （2）；（1）與（2）聯(lián)立得A=1, B=7,所以這個六位數(shù)為120087.6. 請從1, 2, 3, 4, 5, 6, 7這7個數(shù)字中選出5個組成一個五位數(shù)，使它 是99的倍數(shù)。這個五位數(shù)最大是多少？【分析與解】因為99=9 11 ,所以這個五位數(shù)能同時被9和11整除；首先要看能被9整除數(shù) 的特點：選出五位數(shù)使得他們的和是9的倍數(shù)，7+5+3+2+仁18 （

14、1）或者6+5+4+2+仁18 （2）;當為（1）時，同時這五個數(shù)滿足能被11整除，所以技術(shù) 為上的數(shù)字和與偶數(shù)位的數(shù)字和之差為 0 ,符合條件的最大的五位數(shù)為 57321; 同理滿足條件（2）的最大的五位數(shù)為 65241 ,所滿足條件的最大的五位數(shù)為 65241.7、 小悅寫了一個兩位數(shù) 59,冬冬寫了一個兩位數(shù) 89,他們讓阿奇寫了一個一 位數(shù)放在59和89之間拼成一個五位數(shù)5989 ,使得這個五位數(shù)能被7整除。請 問：阿奇寫的數(shù)是多少？【分析與解】考察能被7整除的數(shù)的特點。因為五位數(shù)59 89能被7整除，所以89 59= 是7的倍數(shù)，所以 =6,這個五位數(shù)為59689.8、已知51位數(shù)5

15、599能被13整除，中間方格內(nèi)的數(shù)字是多少？25個525個9【分析與解】先看前25個5,我們可以先把它看做25位數(shù)，則這個數(shù)字除以13的余數(shù)是多 少呢？我們可以把六個 5看做一組，則555555=555 1001,所以555555 一定能 被13整除，256=4-1 ,剩下一個5所以此時原書轉(zhuǎn)化為99 9 ,同理最后的24個9也25個9能被13整除，所以要是這個51位數(shù)能被13整除，則能被13整除，所以 =5,既中間方格內(nèi)的數(shù)字是5.9、用數(shù)字6, 7, 8各兩個數(shù)，要組成能同時被 6, 7, 8整除的六位數(shù)。請寫出 一個滿足要求的六位數(shù)?！痉治雠c解】能被8整除的數(shù)字為末三位數(shù)字能被 8整除，

16、則由這三個數(shù)字首先能想到的數(shù) 字是678,并且能被7整除，則末三位與前幾位數(shù)字的差能被 7整除，所以為 678678,且這個數(shù)字能被6整除。10、東東和阿奇玩一個數(shù)字游戲。冬冬先將一個三位數(shù)的百位數(shù)與個位數(shù)填好， 然后阿奇來填這個三位數(shù)的十位。如果最后這個三位數(shù)能被11整除，那么阿奇獲勝，否則東東獲勝。東東想了一會，想到一個必勝的辦法。請問：冬冬想到 的辦法是什么？【分析與解】 考察被11整除數(shù)的特點。設(shè)這個三位數(shù)為 ABC , A+B- C=O或者是11,若差為 0,則 A+B=C既A+B=C=什9,若差為11時，A+B=C+11貝U A+B=H20,通過觀察發(fā)現(xiàn)這兩 種情況沒有出現(xiàn)的是 A

17、+B=10的情況，所以東東想要獲勝，只要讓A+B的和是10 就可以了。11、對于一個自然數(shù)N ,如果具有以下的性質(zhì)就稱為“破壞數(shù)”：把它添加到任 何一個自然數(shù)的右端，形成的新數(shù)都不能被N+1整除。請問：一共有多少個不大于10的破壞數(shù)？【分析與解】我們找的數(shù)是從110中的破壞數(shù)，只有10個數(shù)字，所以我們可以采取逐一嘗 試的方法。當N=0時，則形成的新數(shù)個位數(shù)字是0,是個奇數(shù)，而N+1=1 ,任意數(shù)都能被1 整除，所以0不是一個破壞數(shù)；當N=1時，則形成的新數(shù)個位數(shù)字是1 ,是個奇數(shù)，而N+1=2,奇數(shù)一定不能 被2整除，所以1是一個破壞數(shù)；同理得到10以內(nèi)的所有的破壞數(shù)為1, 3, 4, 5,

18、7, 9,共6個。12、一個五位數(shù)，它的末三位為999.如果這個五位數(shù)能被23整除，那么這個五 位數(shù)最小是多少？【分析與解】首先推導(dǎo)一下能被23整除的數(shù)的特點：因為：23 435= 10005, 29 345=10005,由此得到一個末四位隔開的方法由于 N=GFEDCBA GFE 1000 DCBA GFE 1005 5 GFE DCBA 所以N=DCBA 5 GFE （mod23因此，判定一個數(shù)可否被 23整除，只要將其末四位與前面隔開，看末四位與前面隔出數(shù)的5倍的差（大減?。┦欠癖?3整除。設(shè)這個數(shù)最小為BA999，A999 -5 B是23的倍數(shù)，驗證得當B=2, A=O時 是23的倍數(shù)

19、，所以這個五位數(shù)最小是 20999.板塊三、拔高題型1、在所有個位數(shù)字互不同的五位數(shù)中，能被45整除的數(shù)最小是多少？【分析與解】五個數(shù)字互不相同的五位數(shù)最小是 10234,但是還要考慮這個數(shù)能被 45整除， 因為45=5 9,所以這個數(shù)能同時被5和9整除，所以個位應(yīng)為5,這個數(shù)字可 以為10235,又因為能被9整除，則數(shù)字和最小為18,而10235為11,則還應(yīng) 該是某些數(shù)字變大，但還要讓這個數(shù)盡可能的小，則只能改變十位和百位，十 位和百位的數(shù)字和應(yīng)為12,最小的組合為39。所以這個五位數(shù)最小為10395.2、將自然數(shù)1, 2, 3, 次寫下去形成一個多位數(shù)“ 123456789101112”

20、。 當寫到某個數(shù)N時，形成的多位數(shù)恰好第一次能被 90整除。請問：N是多少？【分析與解】這個數(shù)能被 90整除，既 90=9 10這個數(shù)的個位一定是0 ,當這個數(shù)是12345678910時，這個數(shù)不能被 9 整除；當這個數(shù)是 1234567891011121314151617181920寸，各位數(shù)字和為102,不是9的倍數(shù)；當 這個數(shù)為123456282930,各位數(shù)字和為165,仍不是9的倍數(shù)；同理，當這 個數(shù)為123456787980時，各位數(shù)字和為648是9的倍數(shù)，所以N是80.3、小悅的爸爸買回來兩箱杯子，兩個箱子上個貼有一張價簽，分別寫著“總價117. 元”,“總價127. O元”（,

21、A,O, 四個數(shù)字已辨認不清，但是 他們互不相同）。爸爸告訴小悅，其中一箱裝了 99只A型杯子，另一箱子裝了 75只B型杯子，每只杯子的價格都是整數(shù)分。但是爸爸記不清每個價簽具體是多少錢，也不記得那個箱子裝的是A型杯子，哪個箱子裝的是B型杯子了。爸爸知道小悅的數(shù)學(xué)水平很厲害，于是他想 考考小悅。小悅看了看，說：“這課難不倒我，我剛好學(xué)了一些復(fù)雜的整除性質(zhì)，這下可以 派上用場了?！蓖瑢W(xué)們，你能像小悅一樣把價簽的數(shù)分辨出來嗎？【分析與解】由題意知，1+1+7+ + =9+ + 是9的倍數(shù)，所以 +是9的倍數(shù)，既 +可能為 0+9=1+8=2+7=3+6=4+5 又 1+7+A- （1+） =7+4

22、- =0綜合這兩個條件 得厶=1, =8;127. O是75的倍數(shù)，75=25 3,所以=00或者25或者50或者75,又 因為127. O是3的倍數(shù)，所以1+2+7+O +=10+O +是3的倍數(shù)，也就是 1+O+是3的倍數(shù)，所以O(shè) =50,這兩個數(shù)分別是117.81 , 127.50.4、冬冬在一張紙上依次寫下 2, 3, 4, 5, 6, 7這6個數(shù)字，形成一個六位數(shù)， 阿奇把這張紙條撕成三節(jié)。這三節(jié)紙上的數(shù)相加起來得到的和（如圖 2-1 ,三條 紙條上的和為23+456+7=486能被55整除。請問：阿奇可能是在什么位置撕段 的這張紙條？25圖2-1【分析與解】這3個數(shù)的和是55的倍數(shù)，55=5 11,所以這3個數(shù)的和同時是5和11的倍 數(shù)，若為5的倍數(shù)，則這個數(shù)的末尾為0或者是5,所以這3個數(shù)可能為2,3456, 7 或者 23, 45, 67。2+3456+7=3465,并且3465是11的倍數(shù)；23+45+67=135不是11的倍數(shù)，所以 阿奇可能是在2, 3456, 7撕段的這張紙條。5、將一個自然數(shù)N接在任一自然數(shù)的右