高數(shù)各章綜合測試題與答案

1、精選第十一章 無窮級數(shù)測試題一、 單項選擇題1、若冪級數(shù)在處收斂，則該冪級數(shù)在處必定( )(A) 確定收斂; (B) 條件收斂; (C) 發(fā)散; (D) 收斂性不定.2、下列級數(shù)條件收斂的是( ). (A) (B) (C) (D) 3、若數(shù)項級數(shù)收斂于，則級數(shù)( )(A) (B) (C) (D) 4、設為正常數(shù)，則級數(shù)( ).(A) 確定收斂; (B) 條件收斂; (C) 發(fā)散; (D) 收斂性與有關.5、設，而，其中，則等于( )(A) (B) (C) (D) .二、 填空題1、 設，則( )2、 設的收斂域為，則級數(shù)的收斂區(qū)間為( )3、 設，則以2為周期的傅里葉級數(shù)在處收斂于( )4、

2、設的傅里葉級數(shù)為則( )5、級數(shù)的和為( )三、計算與應用題1、求級數(shù)的收斂域2、求的和3、將函數(shù)開放為的冪級數(shù)，并求4、求的和函數(shù)5、 已知滿足，為正整數(shù)，且，求函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).6、 設有方程，其中為正整數(shù)，證明此方程存在唯一正根，并證明當 時，級數(shù)收斂.四、證明題設（1） 求（2） 試證：對任意常數(shù)，級數(shù)收斂提示：，. 由于,所以,第十一章 無窮級數(shù)測試題答案與提示一、1、A； 2、D；3、B；4、C；5、B.二、1、1；2、；3、；4、；5、.三、1、答案：.2、答案：提示：原式為級數(shù)的和函數(shù)在點的值.而,分別求出和的和函數(shù)即可.3、答案： .提示: 4、答案：提示：，而5、答案：提

3、示：先解一階線性微分方程，求出特解為 ，記，則可得6、提示:設,則,故在內最多有一個正根.而,所以有唯一正根.由方程知,故當 時，級數(shù)收斂.四、提示：，. 由于,所以,第十章 曲線積分與曲面積分測試題一、單項選擇題1、已知為某二元函數(shù)的全微分，則等于( )(A) (B) (C) (D) .2、設閉曲線為的正向，則曲線積分的值等于( ) (A) (B) (C) (D) .3、設為封閉柱面，其向外的單位法向量為，則等于( )(A) (B) (C) (D) .4、設曲線為，則等于( ) (A) (B) ; (C) (D) .5、設為下半球的上側，是由和所圍成的空間閉區(qū)域，則不等于( ) (A) (B

4、) ; (C) (D) .二、填空題1、設是圓周，則( )2、設質點在力的作用下沿橢圓的逆時針方向運動一周，則所做的功等于( )3、設是平面被圓柱面所截下的部分，則等于( )4、設是球面的外側，則等于( )5、設與路徑無關，其中連續(xù)且，則( )三、計算與應用題1、求，其中為正常數(shù)，為從點沿曲線到點的弧.2、計算，其中為圓周.3、在變力的作用下，質點由原點沿直線運動到橢球面上第一卦掛線的點，問取何值時，力所做的功最大？并求出最大值.4、設為橢球面的上半部分，點，為在點處的切平面，為點到平面的距離，求.5、求，其中為曲面的上側.6、設對于半空間內任意光滑有向閉曲面，都有，其中函數(shù)在內具有連續(xù)的一階

5、導數(shù)，且，求.答案：提示：由題設和高斯公式得由的任意性，知，解此微分方程即可.四、 證明題已知平面區(qū)域，為的正向邊界，試證：（1）；（2）第十章 曲線積分與曲面積分測試題答案與提示一、1、D；2、C；3、A；4、B；5、B.二、1、；2、；3、；4、；5、.三、1、答案：.提示：添加從沿到點的有向直線段，然后用格林公式.2、答案：.提示：利用變量“對等性”.3、答案： .提示：直線段，從0變到1，功為 再求在條件下的最大值即可.4、答案： .提示：曲面在點處的法向量為，切平面方程為：，點到平面的距離.5、答案：.提示：添加曲面為平面上被橢圓所圍的下側，在和所圍封閉曲面上用高斯公式. 留意到在的

6、積分等于為0.6、提示：（1） 左邊=，同理，右邊=（2） 由（1）得=，而由和泰勒開放式知道，而.第九章 重積分測試題一、選擇題1、若區(qū)域是平面上以，和為頂點的三角形區(qū)域，是在第一象限中的部分，則( ).(A) ;(B) (C) (D) 02、設連續(xù)，且，其中是平面上由 和所圍區(qū)域，則等于( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) 3、設其中，則( ). (A) ; (B) ; (C) ; (D) 4、設空間閉區(qū)域由及確定，為在第一掛限的部分，則( ).(A) ; (B) ;(C) ; (D) 5、設空間閉區(qū)域，則下列將化為累次積分中不正確的是( ).(A) ; (B) ;(C) ;

7、 (D) 二、填空題1、設區(qū)域為，則的值等于( )2、設，則的值等于( )3、積分的值等于( )4、積分可化為定積分，則等于( )5、積分的值等于( )三、計算與應用題1、求，其中是由圓和所圍的平面區(qū)域.2、求，其中.3、計算，其中由曲線繞軸旋轉一周而成的旋轉曲面與平面所圍的立體.4、計算，由及確定.5、計算.6、設有一高度為（為時間）的雪堆在溶化過程中，其側面滿足方程（設長度單位為厘米，時間單位為小時），已知體積削減的速率與側面積成正比（比例系數(shù)為），問高度為的雪堆全部溶化需多少小時？四、證明題設函數(shù)在上連續(xù)，并設，證明.第九章 重積分測試題答案與提示一、1、A；2、D；3、A；4、C；5、

8、B.二、1、；2、；3、；4、；5、.三、1、答案：.提示:將看成兩個圓域的差，再考慮到奇偶對稱性，利用極坐標計算便可.2、答案：提示：為確定，必需將分成兩個區(qū)域，再考慮到積分次序的選取問題即可.3、答案：提示:旋轉曲面的方程為,用柱面坐標計算即可.4、答案：.提示: , .5、答案：.提示：交換積分次序.6、答案：小時提示：先利用三重積分求出雪堆的體積； 再求出雪堆的側面積；由題意，所以，解出并令其等于0，則可得結果.四、提示：交換積分次序，并利用.第八章 多元函數(shù)微分法及應用測試題一、選擇題1、已知函數(shù)在上連續(xù),那么( ). (A) (B) (C) ; (D) 2、在矩形域內，是（常數(shù)）的

9、（ ）.(A) 充要條件； (B)充分條件； (C) 必要條件; (D).既非充分又非必要條件3、若函數(shù)在區(qū)域內的二階偏導數(shù)都存在，則（ ） （A） 在內成立； （B）在內連續(xù)； （C） 在內可微分； （D）以上結論都不對4、的值為（ ）(A) ； (B) 不存在； (C) ； (D) .5、設有三元函數(shù)，據(jù)隱函數(shù)存在定理，存在點的一個鄰域，在此鄰域內該方程（ ）. （A）只能確定一個具有連續(xù)偏導的隱函數(shù)； （B）可確定兩個具有連續(xù)偏導的隱函數(shù)和； （C）可確定兩個具有連續(xù)偏導的隱函數(shù)和； （D）可確定兩個具有連續(xù)偏導的隱函數(shù)和.二、填空題1、設,則的值為（ ）.2、設具有連續(xù)偏導數(shù)，且，令，

10、則的值為（ ）.3、設，其中是由確定的隱函數(shù)，則（ ）.4、曲線在點處的切線方程為（ ）.5、函數(shù)在點處沿（ ）方向的方向導數(shù)最大？三、 計算和應用題1、設為某一函數(shù)的全微分，求和的值2、設，具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且，假如，求常數(shù)的值.3、在橢球內嵌入一中心在原點的長方體,問長寬高各是多少時長方體的體積最大?4、設，而是由方程所確定的的函數(shù)，求5、設有二階連續(xù)偏導數(shù), , 且, 證明 在取得極值, 推斷此極值是極大值還是微小值, 并求出此極值.6、設有一小山，取它的底面所在的平面為坐標面，其底部所占的區(qū)域為，小山的高度函數(shù)為（1） 設為區(qū)域上一點，問在該點沿平面上什么方向的方向導數(shù)最大？若記此方

11、向導數(shù)的最大值為，試寫出的表達式.（2） 現(xiàn)利用此小山開展攀巖活動，為此需在山腳下查找一上山坡度最大的點作為攀登的起點，試確定攀登起點的位置.四、 證明題設可微，試證曲面上任一點處的切平面都通過定點.第八章 多元函數(shù)微分法及應用測試題答案與提示一、1、C；2、A；3、D；4、B；5、D.二、1、；2、；3、1；4、；5、.三、1、答案：.提示： 利用這一條件.2、答案：.提示: ，又由于，所以，.3、答案：.提示：設所嵌入的長方體在第一掛線的頂點坐標為，則求體積在條件下的極值就可.4、答案：.5、答案：故是極大值.提示：由全微分的定義知 A= , 且, 故是極大值.6、答案: 攀登起點的位置:

12、 .提示: 沿梯度方向的方向導數(shù)最大,方向導數(shù)的最大值即為梯度的模. 然后再求在條件下的極大值點就可.四、答案: 通過定點.第六章 微分方程測試題一、選擇題1、設是的解,若且,則在點 ( ).(A) 取極大值; (B) 取微小值; (C) 在某鄰域內單增; (D) 在某鄰域內單減.2、微分方程的一個特解應具有形式 ( ) (為常數(shù)).(A) (B) (C) (D) 3、微分方程的特解形式可設為( ). (A) (B) (C) (D) 4、設線性無關的函數(shù)都是非齊次線性微分方程的解，是任意常數(shù)，則該方程的通解為( ). (A) (B) (C) (D) 5、方程滿足的特解為( ). (A) (B)

13、 (C) (D) 二、填空題1、已知微分方程有一個特解,則其通解為( ).2、以為特解的二階常系數(shù)齊次微分方程是( ).3、若連續(xù)函數(shù)滿足，則等于( ).4、已知函數(shù)在任意點處的增量，其中是比高階的無窮小，且，則等于( ).5、的通解為( ).三、計算和應用題1、 設是二階常系數(shù)線性微分方程的一個特解，求該微分方程的通解.2、 設函數(shù)在內具有二階導數(shù)，且是的反函數(shù).(1) 試將所滿足的微分方程變換為所滿足的微分方程;(2) 求變換后的微分方程滿足條件的解.3、已知都是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解，試求此微分方程4、 已知連續(xù)函數(shù)滿足，求.5、 已知連續(xù)函數(shù)滿足，求.6、設函數(shù)在上連續(xù)恒正

14、，若曲線，直線與軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉一周所成的旋轉體的體積為，試求所滿足的微分方程，并求該方程滿足的特解.四、證明題證明方程（其中連續(xù)）的通解為，其中為任意常數(shù).第六章 微分方程測試題答案與提示一、1、A；2、B；3、A；4、D；5、C.二、1、；2、；3、；4、；5、.三、1、答案：.提示：將代入原方程，比較同類項系數(shù)，求出的值，然后再去求解微分方程.2、答案: (1) ;(2) .3、答案: .提示: 是對應齊次微分方程的特解,從而可得出對應齊次微分方程為, 設非齊次線性微分方程為,再將其中任意個非齊次特解代入,得出.4、答案: .5、答案: .提示：作代換，則.6、答案: .提示：

15、依題意可得：，然后兩邊求導.四、略.第五章 定積分及應用測試題一、選擇題1、設連續(xù)，則的值是( ).（A） 依靠于和； （B）是一個常數(shù)； （C）不依靠于但依靠于； （D）依靠于但不依靠于.2、下列積分中,等于零的是( ).(A) (B) (C) (C) 3、設在上，令，則( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .4、已知，則的值等于( ). (A) (B) (C) (D) 5、設在處可導，且，則極限的值等于( ).(A)不存在； (B) (C) (D) 二、填空題1、設連續(xù)，則等于( ).2、定積分的值為( ).3、定積分的值為( ).4、若積分,則常數(shù)的值等于( ).5、曲線與

16、軸所圍成的面積值等于( ).三、計算和應用題1、已知，且，求.2、計算3、設，求4、 計算.5、設，求.6、設可導，且與無關，求.四、證明題設函數(shù)在上連續(xù)，在內，證明存在唯一的使曲線和所圍面積是和所圍面積的倍.第五章 定積分及應用測試題答案與提示一、1、D；2、C；3、B；4、A；5、D.二、1、；2、；3、；4、；5、.三、1、答案：.提示：用分部積分.2、答案：.提示：利用奇偶對稱性.3、答案：1.提示：分別求出和的值即可.4、答案：.提示：.5、答案：.6、答案：.提示：令， 由得，所以.四、提示：，令，用零點定理和單調性證明即可.第一章綜合測試題一、單項選擇題1、當時的左極限和右極限都

17、存在且相等是存在的( )條件.(A) 充分; (B) 必要; (C) 充要; (D) 無關.2、設 ( ).(A) ; (B) ;(C) ; (D) 極限不存在.3、設，則當，有 ( ).(A) 與是等價無窮小; (B) 與是同階但非等價無窮小; (C) 是比高階的無窮小; (D) 是比低階的無窮小.4、設，則是的( ).(A) 可去間斷點; (B) 跳動間斷點; (C) 其次類間斷點; (D) 連續(xù)點.5、方程至少有一個根的區(qū)間是( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .二、填空題7、 若，則( )8、 已知函數(shù)在連續(xù)，則 ( )9、 ( )10、 設 ( )5、已知，則 ( )

18、， ( )三、計算與應用題1、設，求函數(shù)項級數(shù) .2、設，要使在內連續(xù)，應當怎樣選擇數(shù)？3、設，求的間斷點，并說明間斷點所屬類型4、計算極限 5、計算極限 6、設的定義域是，求函數(shù)的定義域.四、證明題證明方程在開區(qū)間內至少有一個根.第一章綜合測試題答案與提示一、1、C；2、C；3、B；4、B；5、C.二、1、；2、1；3、；4、；5、任意常數(shù)，6.三、1、答案： .2、答案：3、答案： 是第一類間斷點，是其次類間斷點4、答案： 15、答案：.6、答案: .四、提示：利用零點定理其次章綜合測試題一、單項選擇題1、若在處可導，則的值應為( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .2、設

19、( ).(A)不連續(xù); (B)連續(xù)，但不行導; (C)連續(xù)，且有一階導數(shù); (D) 有任意階導數(shù).3、若為內的可導奇函數(shù)，則 ( ).(A) 必為內的奇函數(shù); (B) 必為內的偶函數(shù); (C) 必為內的非奇非偶函數(shù); (D) 在內，可能為奇函數(shù)，也可能為偶函數(shù).4、在處可導，則 ( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .5、設，則 ( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .二、填空題11、 在點可導是在點連續(xù)的（ 充分 ）條件，在點可導是在點可微的（ ）條件12、 設，則 ( )13、 設為可微函數(shù)，則當時，在點處的是關于的( )無窮小.14、 已知，則 ( )， (

20、) 15、 設函數(shù)由方程確定，則 ( )三、計算與應用題1、爭辯函數(shù)在處的連續(xù)性和可導性.2、已知，求 . 3、設且存在，求.4、設，求微分. 5、用對數(shù)求導法計算函數(shù)的導數(shù) 6、求函數(shù)的階導數(shù).四、證明題設在內有定義，且，恒有，其中，證明在內處處可導. 其次章綜合測試題答案與提示一、1、A；2、C；3、B；4、D；5、B二、1、充要；2、；3、高階；4、；5、1三、1、答案：連續(xù)不行導.2、答案：3、答案：. 4、答案：； 5、答案：.6、答案: .四、提示: ，有，第三章綜合測試題一、單項選擇題1、下列函數(shù)在上滿足拉格朗日定理條件的是 ( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .

21、2、設 ，則( ).(A) 是的極大值; (B) 是的極大值; (C) 是的微小值; (D) 是曲線的拐點.3、設函數(shù)在上滿足，則，或的大小挨次是 ( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .4、指出曲線的漸近線 ( ).(A) 沒有水平漸近線; (B)只有一條垂直漸近線; (C) 既有垂直漸近線，又有水平漸近線; (D) 只有水平漸近線.5、曲線 ( ).(A) 有極值點，但無拐點; (B) 有拐點，但無極值點; (C) 有極值點，且是拐點; (D) 既無極值點，又無拐點.二、填空題16、 設常數(shù)，函數(shù)在內零點的個數(shù)為（ ）17、 若在上連續(xù)，則 ( )18、 曲線的漸近線方程為

22、( )19、 ( )5、若是的四次多項式函數(shù)，它有兩個拐點，并且在點處的切線平行于軸，那么函數(shù)的表達式是 ( )三、計算與應用題1、當為何值時，在處有極值？求此極值，并說明是極大值還是微小值.2、求.3、求.4、求橢圓上縱坐標最大和最小的點. 5、求數(shù)列的最大項.6、曲線弧上哪一點處的曲率半徑最?。壳蟪鲈擖c處的曲率半徑.四、證明題設在內二階可導，且. 證明對于少內任意兩點及，有.第三章綜合測試題答案與提示一、1、B；2、D；3、B；4、C；5、B二、1、2；2、；3、；4、；5、三、1、答案： 是極大值.2、答案：.3、答案： . 4、答案： 和5、答案：.6、答案: 處的曲率半徑最小，值為1

23、.四、略第四章綜合測試題一、單項選擇題1、 ( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .2、已知的一個原函數(shù)是，求 ( ).(A) ; (B) ;(C) ; (D) 以上答案都不正確.3、已知，則 ( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .4、已知曲線上任一點的二階導數(shù)，且在曲線上處的切線為，則這條曲線的方程為( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) 以上都不是.5、若，則 ( ).(A) ; (B) ; (C) ; (D) .二、填空題20、 設函數(shù)的二階導數(shù)連續(xù)，那么( ).21、 若，則 ( ).22、 已知曲線上任意點的切線的斜率為，且時，是極大值，則( )；的微小值是 ( ).23、 ( ).5、 ( ).三、計算與應用題1、求不定積分.2、求不定積分.3、求