立體幾何大題訓(xùn)練及答案

1、1、如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形,(1)線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為, 求證：；(2)求直線與平面所成角的正切值解：(1)取AB的中點(diǎn)為N ,連MN , PN ,則PMN EBC PM /平面 BCE FE EBCAB/DE (1)求證：AO 平面 CDE(2)求直線BD與平面CBE所成角的正弦值3、如圖，在 ABC中,C 90 , AC BC 3a,點(diǎn) P 在 AB 上，PEBC 交 AC 于ABC ;沿PF將 BPF翻折成B'PFE , PF AC 交 BC 于 F .沿 PE 將4APE翻折成 A'PE,使平面 A'PE 平面

2、，使平面B'PF 平面ABC.(1)求證：(2)若 APB'C平面 A'PE;2PB,求二面角A'PC解：(1)因?yàn)镕C / PE , FC 平面A' PE ,所以FC /平面 A' PE .因?yàn)槠矫?A' PE 平面PEC，且A'E PE ,所以A'E 平面 ABC .2分同理，B'F 平面ABC ,所以B'F A'E ,從而B'F/平面A'PE . 一分 所以平面B'CF 平面 A'PE ,從而B'C/平面A' PE .一十 分(2)因?yàn)?AC B

3、C 3a , AP 2BP ,所以 CE a, EA 2a, PE 2a, PC V5a.8 分過E作EM PC ,垂足為M,連結(jié)A M .B'EA由（1）知（第20題）A' E 平面ABC，可得A E PC，所以PC 面A EM ,所以 AM PC .所以 A'ME即為所求二面角 A' PC E的平面角，可記為12分在RtA PCE中，求得EM2.5所以tanA EEM2a2Tz515分4、如圖，DA平面ABC ED平面 BCD DE=DA=AB=AC. BAC(2)P求直線EM與平面BCD所成角的正弦值；為線段DM±一點(diǎn)，且 AP DM求證：AP解

4、:ED 平面BCD，為在平面上的射影,為與平面所成角.Q DA 平面 ABC ,設(shè)，又Q DA在 ABC中, 又Q為中點(diǎn)，ABAC1BM BC2Q ,DM, 3a2在 RtA EDM中，EM DE 2 DM 2Bsin EMD DEEMa3 a2(2) AB AC , M 為 BC 中點(diǎn),BC AM .又 DA 平面 ABC ，11分13分14分10分BC DA ,平面.又平面，又，平面.又ED 平面BCD5、如圖，已知 ABC比邊長為1的正方形，AFL平面(1)證明：BDL EF;(2)若AF= 1,且直線BE與平面ACE所成角的正弦值為返，求的值.10解：(1)連結(jié)BD AC交點(diǎn)為OABC

5、D是正方形. AH平面 ABCD，AH BD .BDL平面 ACEF BDL EF(2)連結(jié)OE由(1)知，BDL平面 ACEF所以/BEO即為直線BE與平面AC即成的角. AF，平面 ABCD CE/ AF , CEL平面 ABCD CELBC. BC =1, AF= 1,貝U CE=,BE= .12BO=立,2.Rt"EO 中,sin BEOBOBE3，, 2"Tq-，13分15分因?yàn)?1 ,解得6、如圖，在幾何體中,AA1 平面ABCAB BC,CC1 / AA1, AB BC AA12,CCi 1,D, E分別是AB, AAi的中點(diǎn).求證：BC1平面CDEC1EAC

6、(2)求二面角E DC A的平面角的正切值.解：(1)連接ACRR交EC于點(diǎn)F,由題意知四邊形 ACCRRE是矩形，則F是ACRR的中點(diǎn), 連接DF, 皿AB的中點(diǎn)，.二DFABCRR的中位線，BCRR7分(2) 作AH，直線CD,垂足為H,連接HE AARR1 平面 ABC 1 AARiRX DCCD，平面 AHECD，EHAHE是二面角E - CD - A的平面角.11 分D是AB的中點(diǎn)，AH等于點(diǎn)B至ij CD的距離，在 BCD43,求得：AH= 45 ,5在 4AEH 中，tan AHE 生AH 2即所求二面角的正切值為 .27、如圖，已知平面與直線均垂直于所在平面，且(1)求證：平面

7、；(2)若，求與平面所成角的正弦值 .解：(1)證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)，平面，平面，平面2分又，平面/,2 分又平面/平面6分(2)二.平面,又丁 8分點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)，則，平面/ ,.四邊形是矩形10分設(shè)又，, 從而，過作于點(diǎn)，則： ，是與半囿所成角，與平回所成角的正弦值為8、如圖，在直二棱柱 ABC A1B1cl中，AA=2, D, E分別為CC與AB的中點(diǎn)，點(diǎn)(1)求證：DE 12分 14分ABC是等腰直角三角形，ACB 90O ,側(cè)棱E在平面ABD上的射影是 ABD的重心.Ai 3GCB9、如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱/ B=90° ,D為棱BB的中點(diǎn)。ABC- A1B1C1中，

8、底面 ABC為等腰直角三角形,(1)求證：面DAC，面 AACC;(2)若也AB求二面角 A AiD- C的大小。10在四棱錐 P-ABCD 中PA，平面ABCD ,AB ABCD AB/DCE F AB DE AB CFABCF,3,EF FB P2 G FBAE t ADE, BCF DE,CF A B P PEFCD(2)當(dāng)EG 面PFC時，求DG與平面(1)求證:CPD 平C : MFDBPED所成角的正切值(1)證明：連接DF交EC于點(diǎn)M ,連接MGM,G為中點(diǎn) PD/MG又 PD 面EGCMG 面 EGCPD 平面 EGC5 分(2)當(dāng)EG 面PFC時，EG PF又 G為FB的中點(diǎn)

9、，EF EP 2 , t 27 分過點(diǎn)G在平面PEF中作EP的垂線，垂足為 N,連接DN .DE 面 PEF 面 PED 面 PEF GN 面 PEDGDN即為DG與平面PED所成角.11分3217易求得GN , DN "1,所以DG與平面PED所成角的正切值為 .14分22712、如圖，在四邊形 ABCD中，AB AD 4, BC CD J7 ,點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)現(xiàn)將 DCE沿線段EC翻折到PAC,使得平面 PAC 平面ABCE ,連接PA , PB.證明：BD 平面PAC ;（2）若 BAD 60,且點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，求直線 PE與平面ABCE所成角的正弦值解：（1）連接AC ,

10、AB AD 4,BD交于點(diǎn)O,在四邊形ABCD中,BC CD 7ABC ADC , DAC BAC, . . AC BD又.平面PAC 平面ABCE,且平面PAC 平面ABCE = ACBD 平面 PAC 6 分(2)如圖，過點(diǎn)P作AC的垂線，垂足為 H ,連接EH , EC并取AO中點(diǎn)F ,連接EF ,.平面PAC 平面ABCE ,且平面PAC 平面ABCE = AC, PH AC PH 平面ABCE, PEH即為直線PE與平面ABCE的所成角，由（I ）可知，AC BD ,且 AO 2V3 , CO 33 , 又PE 2, PC 百，設(shè)CH x,則有PH V7 x2 , EH CPE2 PH2 Jx2 3又F為AO的中點(diǎn)，在Rt EFH中，F(xiàn)H 2/3 x , EF 1由勾股定理得，(2/3 x)2 1 x2 3,解得x 4J3,3 EH 273, PH 5V3 33，直線PE與平面ABCE的所成角的正弦值即 sin PEH 里 PE 313、在三棱柱 ABC-A1B1G 中，AB=AC=AA=2,平面 ABC,平面 AACC, / AAG=/BAC=60° ,設(shè)AC與AC相交于點(diǎn)O,如圖.(1)求證：BOL平面AACC;(