第五章 基本圖像變換ppt課件

1、長安大學地測學院長安大學地測學院1圖像處理圖像處理彭曉東圖像工程第五章第五章 基本圖像變換基本圖像變換長安大學地測學院長安大學地測學院2第五章 基本圖像變換v本章實質(zhì):頻率域變換v重中之重:傅里葉變換長安大學地測學院長安大學地測學院3第5章 圖象變換基礎(chǔ) 為了有效和快速地對圖象進行處理，常常為了有效和快速地對圖象進行處理，常常 需要將原定義在圖象空間的圖象以某種形式轉(zhuǎn)換需要將原定義在圖象空間的圖象以某種形式轉(zhuǎn)換到另外一些空間，并利用在這些空間的特有性質(zhì)到另外一些空間，并利用在這些空間的特有性質(zhì)方便地進行一定的加工，最后再轉(zhuǎn)換回圖象空間方便地進行一定的加工，最后再轉(zhuǎn)換回圖象空間以得到所需的效果。

2、這些轉(zhuǎn)換方法就是本章要著以得到所需的效果。這些轉(zhuǎn)換方法就是本章要著重介紹和討論的圖象變換技術(shù)重介紹和討論的圖象變換技術(shù) 變換是雙向的，或者說需要雙向的變換。變換是雙向的，或者說需要雙向的變換。在圖象處理中，一般將從圖象空間向其他空間的在圖象處理中，一般將從圖象空間向其他空間的變換稱為正變換，而將從其他空間向圖象空間的變換稱為正變換，而將從其他空間向圖象空間的變換稱為反變換或逆變換變換稱為反變換或逆變換 長安大學地測學院長安大學地測學院4第5章 圖象變換基礎(chǔ)長安大學地測學院長安大學地測學院55.1 可分離和正交圖象變換v分離變換目的:簡化計算,長安大學地測學院長安大學地測學院65.1 可分離和正

3、交圖象變換1 , , 1 , 0),()()(10NuuxhxfuTNx正向變換核1 , , 1 , 0),()()(10NxuxkuTxfNu反向變換核長安大學地測學院長安大學地測學院75.1 可分離和正交圖象變換 1010),(),( ),(NxNyvuyxhyxfvuT 1010),(),( ),(NuNvvuyxkvuTyxf反向變換核正向變換核變換核與原始函數(shù)及變換后函數(shù)無關(guān)長安大學地測學院長安大學地測學院8),(),(),(21vyhuxhvuyxh),(),(),(11vyhuxhvuyxh102),(),(),(NyvyhyxfvxT101),(),(),(NxuxhvxTvu

4、T5.1 可分離和正交圖象變換長安大學地測學院長安大學地測學院9AFAT BAFABBTB 圖象矩陣對稱變換矩陣反變換矩陣變換結(jié)果BTBF BAFABF 1 AB1 AB5.1 可分離和正交圖象變換反變換反變換完全恢復不完全恢復長安大學地測學院長安大學地測學院10BTBF 1 AB5.1 可分離和正交圖象變換*1AAT1AA長安大學地測學院長安大學地測學院115.2傅里葉變換5.2.1 2-D傅里葉變換 5.2.2 傅里葉變換定理 5.2.3 快速傅里葉變換長安大學地測學院長安大學地測學院125.2傅里葉變換周期為 的周期函數(shù)用一系列三角函數(shù) 的和來表示為:2)sin(0tnAn10)sin(

5、)(nnntnAAtf這種展開稱為諧波分析。其中， 為直流分量， 為一次諧波又做基波），而 依次稱為二次諧波，三次諧波等等。0A)sin(11tA)2sin(22tA)3sin(33tA傅里葉級數(shù)三角級數(shù)）傅里葉級數(shù)三角級數(shù)）長安大學地測學院長安大學地測學院135.2 傅里葉變換若函數(shù)若函數(shù) ( )f x以以2l為周期的光滑或分段光滑函數(shù)，即為為周期的光滑或分段光滑函數(shù)，即為(2 )( )f xlf x( )f x將將展開為傅里葉級數(shù)展開為傅里葉級數(shù)01( )(cossin)2kkkak xk xf xabll1( )cos()lnln xaf xdxll1( )sin()lnln xbf x

6、dxll0,1,2n 1,2,3n 長安大學地測學院長安大學地測學院145.2傅里葉變換歐拉公式歐拉公式:cossinixexix長安大學地測學院長安大學地測學院155.2 傅里葉變換01( )(cossin)kkkk xk xf xaablliiii1cos()21sin()2ixxxxxeexeei( )k xlkkf xC eii*11( ) d( )d22k xk xllllkllCf x exf x exll+復數(shù)形式的傅里葉級數(shù)長安大學地測學院長安大學地測學院165.2 傅里葉變換傅里葉展開的復數(shù)形式上式的物理意義為上式的物理意義為: 一個周期為一個周期為2l 的函數(shù)的函數(shù) ( )

7、f x可以分解可以分解為頻率為為頻率為nl，復振幅為，復振幅為 nc的復簡諧波的疊加的復簡諧波的疊加 nl稱為譜點，稱為譜點，所有譜點的集合稱為譜對于周期函數(shù)所有譜點的集合稱為譜對于周期函數(shù) ( )f x而言，譜是離散的而言，譜是離散的i( )k xlkkf xC e1( )2n xillklCf x edxl長安大學地測學院長安大學地測學院175.2 傅里葉變換傅里葉變換對(三種):ii1111( )( )d , ( )( )d22xxFf x exf xFeii221( )( )d , ( )( )d2xxFf x exf xFei2i233( )( )d , ( )( )dxxFf t

8、exf xFe(1)(1)(2)(2)(3)(3)12311( )( )()222FFF三者之間的關(guān)系:長安大學地測學院長安大學地測學院185.2傅里葉變換傅里葉譜頻譜，幅度）傅里葉相位角傅里葉功率譜22 1/2|(*)| FRIarctanIR222(*) |(*)|PFRI長安大學地測學院長安大學地測學院195.2 傅里葉變換v傅立正反變換對是怎么確立的？假設(shè)非周期函數(shù)假設(shè)非周期函數(shù) ( )f x是一個周期函數(shù)是一個周期函數(shù) ( )g x的周期的周期 2l 時的極限情況。由此，時的極限情況。由此， ( )g x的傅里葉級數(shù)展開式的傅里葉級數(shù)展開式01( )(cossin)kkkk xk x

9、g xaabll在在 l 時的極限形式就是所要尋找的非周期函數(shù)時的極限形式就是所要尋找的非周期函數(shù) ( )f x的傅里葉展開的傅里葉展開長安大學地測學院長安大學地測學院205.2傅里葉變換 設(shè)不連續(xù)的參量設(shè)不連續(xù)的參量 1 (0,1,2,), kkkkkkll則傅立葉級數(shù)寫為：則傅立葉級數(shù)寫為： 01( )(cossin)kkkkkg xaaxbx傅里葉系數(shù)為傅里葉系數(shù)為1( )cosd1( )sind lkklklkklaf xxxlbf xxxl2 (0)1 (0)kkk長安大學地測學院長安大學地測學院215.2傅里葉變換 對于系數(shù)對于系數(shù) 0a，假設(shè)，假設(shè) lim( )dlllf xx有

10、限，那么有限，那么 01limlim( )d02llllaf xxl對于余弦部分：對于余弦部分：當當 ,0kll ，不連續(xù)參變量，不連續(xù)參變量 k變?yōu)樽優(yōu)?連續(xù)參量，以符號連續(xù)參量，以符號 替代對替代對 k的求和變?yōu)閷B續(xù)參量的求和變?yōu)閷B續(xù)參量 的積分。的積分。長安大學地測學院長安大學地測學院225.2傅里葉變換11001(cos)( )cosdcos1( )cosd cosd1( )cosd cosdlkklkkk xk xaf xxxlllk xf xxxkllf xxxx同理可得正弦部分同理可得正弦部分01( )sind sindf xxxx長安大學地測學院長安大學地測學院235.2傅

11、里葉變換若令若令1( )( )cosd1( )( )sindAf xxxBf xxx00( )( )cosd( )sindf xAxBx則傅里葉變換可表示為：長安大學地測學院長安大學地測學院245.2 傅里葉變換iiii1cos(), sin()22xxxxixeexee 由歐拉公式得：00( )( )cosd( )sindf xAxBxii0011( ) ( )i ( )d ( )i ( )d22xxf xABeABe0ii011( ) ( )i ( )d (|)i (|)d22xxf xABeABei( )( )dxf xFe反變換反變換長安大學地測學院長安大學地測學院255.2.1 2-

12、D傅里葉變換傅里葉變換 1-D正變換對1個連續(xù)函數(shù) f (x) 等間隔采樣20( )f x13101525450575685790 x10/j2exp)(1)()(NxNuxxfNuFxfF長安大學地測學院長安大學地測學院265.2.1 2-D傅里葉變換傅里葉變換 1-D反變換 變換表達頻譜幅度）相位角101/j2exp)()()(NuNuxuFxfuFF)( j exp )( )(j)()(uuFuIuRuF21 22)()( )( uIuRuF)()(arctan)( uRuIu 長安大學地測學院長安大學地測學院275.2.1 2-D傅里葉變換傅里葉變換 二維傅里葉變換頻譜幅度）相位角功率

13、譜 1010/ )(j2exp),( 1),(NuNvNvyuxvuFNyxf21 22 ),(),( ),( vuIvuRvuF),(),(arctan),(vuRvuIvu 1010/ )(j2exp),( 1),(NxNyNvyuxyxfNvuF),(),( ),( ),(222 vuIvuRvuFvuP長安大學地測學院長安大學地測學院285.2.1 2-D傅里葉變換傅里葉變換傅里葉頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖。（實際上圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小 長安大學地測學院長安大學地測學院295.2.1 2-D傅里葉變換傅里葉變換v 頻率域v 由傅立葉變換和

14、頻率變量( u, v)定義的空間v 基本性質(zhì)v （1變化最慢的頻率成分(u=0, v=0)對應一幅圖像的平均灰度v （2低頻原點附近對應圖像灰度變化慢的像素v （3高頻遠離原點對應圖像灰度變化快的像素長安大學地測學院長安大學地測學院305.2.1 2-D傅里葉變換傅里葉變換長安大學地測學院長安大學地測學院315.2.2 傅里葉變換定理傅里葉變換定理 0、分離性質(zhì) 1次2-D 2次1-D O(N 4)減為O(N 2) (0,0)XV(0,0)XY(0,0)UV列變換乘以行變換f (x, y)F(x, v)F(u, v)N(N 1)(N 1)-(N 1)-(N 1)-(N 1)-(N 1)-10/

15、xj2exp),(1),(NxNuvxFNvuF/exp),(=),(=101NyNvyj2yxfNNvxF長安大學地測學院長安大學地測學院321、平移定理 ),(/ )(j2exp),(dvcuFNdycxyxf5.2.2 傅里葉變換定理傅里葉變換定理 )( ),(/ )()(j2exp),( 1/ )(j2exp/ )(j2exp),( 1/ )(j2exp),(10101010dvcuFNydvxcuyxfNNvyuxNdycxyxfNNdycxyxfNxNyNxNy F),(),(vuFyxf長安大學地測學院長安大學地測學院335.2.2 傅里葉變換定理傅里葉變換定理2、旋轉(zhuǎn)定理、旋轉(zhuǎn)

16、定理借助極坐標：cossinxryr00( ,)( ,)f rF 說明：對 旋轉(zhuǎn) 對應于將其傅里葉變換 也旋轉(zhuǎn)。反之亦然。( , )f x y00( , )F x y長安大學地測學院長安大學地測學院345.2.2 傅里葉變換定理傅里葉變換定理v旋轉(zhuǎn)定理示例旋轉(zhuǎn)定理示例例5.2.3長安大學地測學院長安大學地測學院355.2.2 傅里葉變換定理傅里葉變換定理3、尺度定理(相似定理)( , )( , )af x yaF u1(,)(,)|uf ax byFaba bu原函數(shù)在幅度方面變化導致對其傅里葉變換在幅度方面產(chǎn)生對應的尺度變化。u原函數(shù)在空間尺度方面的縮放導致對其傅立葉變換在頻域方面的相反縮放

17、。長安大學地測學院長安大學地測學院365.2.2 傅里葉變換定理傅里葉變換定理v尺度定理例5.2.4長安大學地測學院長安大學地測學院374、剪切定理（水平方向純剪切 （垂直方向純剪切 5.2.2 傅里葉變換定理傅里葉變換定理 byxxyy ),(),(buvuFybyxfxx ydxy),(),(vduuFydxxf圖5.2.5 (a)與(b)長安大學地測學院長安大學地測學院385、組合剪切定理平移旋轉(zhuǎn)尺度 水平剪切 垂直剪切 5.2.2 傅里葉變換定理傅里葉變換定理 bdvbubddvuFbdydxbyxf1,111),(xx11db101b101d圖5.2.5長安大學地測學院長安大學地測學

18、院396、仿射定理u = (eu dv)/D和v = ( bu + av)/D 5.2.2 傅里葉變換定理傅里葉變換定理 bdaeedbavuebdavu長安大學地測學院長安大學地測學院407、卷積定理 2-D ( , )( , )( , ) ( , )f x yg x yF u v G u v( , ) ( , )( , )( , )f x y g x yF u vG u v5.2.2 傅里葉變換定理傅里葉變換定理 ( )( )( ) ( )f xg xF u G u( ) ( )( )( )f x g xF uG u-( , )( , ) ( , ) (,)d df x yg x yf p

19、 q g xp yqp q u兩函數(shù)在空間的卷積與其傅立葉變換在頻率域的乘積構(gòu)成一對變換u兩函數(shù)在空間的乘積與其傅里葉變換在頻率域的卷積構(gòu)成一對變換長安大學地測學院長安大學地測學院418、相關(guān)定理互相關(guān)：f (x) 與g(x)不是同一個函數(shù) 自相關(guān)：f (x) = g(x)2-D5.2.2 傅里葉變換定理傅里葉變換定理 *( )( )( ) ()df xg xfz g xzz),(),(*),(),(vuGvuFyxgyxf),(),(),(),(*vuGvuFyxgyxf qpqypxgqpfyxgyxfdd),(),(),(),(長安大學地測學院長安大學地測學院425.2.3 快速傅里葉變

20、換快速傅里葉變換直接進行一個N N的2-D傅里葉變換需要N4次復數(shù)乘法運算和N2(N2 1) 次復數(shù)加法運算1-D：復數(shù)乘法和加法的次數(shù)都正比于N2 快速傅里葉變換FFT）： 將復數(shù)乘法和加法的次數(shù)減少為正比于N log2N 逐次加倍法：復數(shù)乘法次數(shù)由N2減少為(N log2 N)/2 復數(shù)加法次數(shù)由N2減少為N log2 N 1 , , 1 , 0/j2exp)(1)()(10NuNuxxfNuFxfNxF長安大學地測學院長安大學地測學院435.2.3 快速傅里葉變換快速傅里葉變換 考察一維有限長序列x(n)(0=n=N-1)的傅立葉變換： 1, 1 ,0e1210NmnxNmXNmnjNn

21、其中：10*110*010212)()1()()0()()(e,eNnnNnnNnmnNjNjWnxXWnxXWnxmXWW即有：則令或記為或記為Wn，Wn -1長安大學地測學院長安大學地測學院445.2.3 快速傅里葉變換快速傅里葉變換) 1(.) 1 () 0 (.) 1(.) 1 () 0 () 1() 1(1) 1(0) 1() 1(11101) 1(01000NxxxWWWWWWWWWNXXXNNNNNN計算復雜性：一個頻率分量需計算復雜性：一個頻率分量需N N次乘法，次乘法，N-1N-1次加法次加法 整個變換需整個變換需N2N2次乘法，次乘法，N(N-1)N(N-1)次加法次加法矩

22、陣表示：矩陣表示：10)()(NnmnWnxmX長安大學地測學院長安大學地測學院455.2.3 快速傅里葉變換快速傅里葉變換為為周周期期是是以以，知知由由 2NWeWnmNj 結(jié)論：系數(shù)多數(shù)相同，且具有對稱性結(jié)論：系數(shù)多數(shù)相同，且具有對稱性mnNmnmnNNNjNWWWWeW 222221 9630642032100000WWWWWWWWWWWWWWWW例：例：N=40213192604;WWWWWWWWWW ；對對稱稱性性：；周周期期性性： 1010000010100000WWWWWWWWWWWWWWWW最小無重最小無重復運算復運算0W2W3W1WN=4長安大學地測學院長安大學地測學院465

23、.2.3 快速傅里葉變換快速傅里葉變換12/0212/011021)()()()()12, 1 ,0()12()()2()(:)(2NnmnNNnmnNNnmnNWnxWnxWnxmXNnnxnxnxnxnxN劃分為為整數(shù)），現(xiàn)將序列（設(shè))()()12()2()12()2(2112/02/12/02/12/0)12(12/0)2(mXWmXWWnxWnxWnxWnxmNmNNnmnNNnmnNNnnmNNnnmNmnNmNmnNjmNjmmnNjnmNmnNmnNjmnNjnmNWWeeeWWeeW2/2/22)2(2)12(2/2/222)2(N點的點的DFT轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為兩個求為兩個求N/2點

24、的點的DFT 1965 1965年年，庫利，庫利- -圖圖基提出把基提出把原始的原始的N N點點序列依次序列依次分解成一分解成一系列短序系列短序列，減少列，減少乘法運算乘法運算長安大學地測學院長安大學地測學院47)3,2,1 ,0()()4();()4(4)()()7()7()7()6()6()6()5()5()5()4()4()4()3()3()3()2()2()2()1()1()1()0()0()0(8848822112127812681258124812381228121812081mWWWmXmXmXmXDFTmXmXXWXXXWXXXWXXXWXXXWXXXWXXXWXXXWXXNm

25、mm的對稱性有：的是周期為和又例子：)()()(21mXWmXmXmN5.2.3 快速傅里葉變換快速傅里葉變換長安大學地測學院長安大學地測學院48)3()3()7()2()2()6() 1 () 1 ()5()0()0()4()3()3()3()2()2()2() 1 () 1 () 1 ()0()0()0(23812281218120812381228121812081XWXXXWXXXWXXXWXXXWXXXWXXXWXXXWXX則則有有： X1(0) X(0) 08W 08W X2(0) X(4) 蝶蝶形形運運算算單單元元 5.2.3 快速傅里葉變換快速傅里葉變換長安大學地測學院長安大學

26、地測學院49X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)08W18W28W38W-1-1-1-11111X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)N/2點點DFTN/2點點DFTX1(0)X1(1)X1(3)X1(2) 3 () 3 () 7 () 2 () 2 () 6 () 1 () 1 () 5 () 0 () 0 () 4 () 3 () 3 () 3 () 2 () 2 () 2 () 1 () 1 () 1 () 0 () 0 () 0 (2381228121812081238122812181208

27、1XWXXXWXXXWXXXWXXXWXXXWXXXWXXXWXX5.2.3 快速傅里葉變換快速傅里葉變換長安大學地測學院長安大學地測學院50DFTMXmXmXmXmXWmXmXmXWmXmXNnnxnxnxnxNnnxnxnxnxDFTmHmGmNmN點的點的都是都是、而而，同樣奇偶分組，同樣奇偶分組點的點的都是都是和和又又2)()()()()()()()()()() 14/,.,1 , 0() 12()()2()() 14/,.,1 , 0() 12()()2()(4)()(654362524231262514135.2.3 快速傅里葉變換快速傅里葉變換長安大學地測學院長安大學地測學院51

28、 X5(0) X2 (0) X5 (1) X2 (1) X6 (0) X2 (2) X6 (1) X2 (3) X3(0) X1 (0) X3 (1) X1 (1) X4 (0) X1 (2) X4 (1) X1 (3) ) 1 () 1 () 3 () 0() 0() 2() 1 () 1 () 1 () 0() 0() 0() 1 () 1 () 3 () 0() 0() 2() 1 () 1 () 1 () 0() 0() 0(2)()()()(62852608526285260852428314083142831408316543XWXXXWXXXWXXXWXXXWXXXWXXXWXX

29、XWXXDFTMXmXmXmX點點的的都都是是、而而5.2.3 快速傅里葉變換快速傅里葉變換長安大學地測學院長安大學地測學院52)6()2()1 ()6()2()0()4()0()1 ()4()0()0(284284083083xWxXxWxXxWxXxWxX)7()3()1 ()7()3()0()5()1 ()1 ()5()1 ()0(386386185185xWxXxWxXxWxXxWxX完整的蝶形圖如下頁：完整的蝶形圖如下頁：5.2.3 快速傅里葉變換快速傅里葉變換長安大學地測學院長安大學地測學院53)7()3()5() 1 ()6()2()4()0(xxxxxxxx ) 1 ()0()

30、 1 ()0() 1 ()0() 1 ()0(66554433XXXXXXXX )3()2() 1 ()0()3()2() 1 ()0(22221111XXXXXXXX )7()6()5()4()3()2() 1 ()0(XXXXXXXX 5.2.3 快速傅里葉變換快速傅里葉變換長安大學地測學院長安大學地測學院54時間復雜性：Nlog2N注意：輸出X(m)是以m從小到大排列，而輸入序列x(n)不是以n從小到大排列。采用碼位倒序法排序：將自然順序數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)，然后首尾位倒序，再轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)，那么十進制數(shù)就是輸入序列中的位置。如：N=8X(3)的位置是：011110(6)5.2.3 快速傅里

31、葉變換快速傅里葉變換長安大學地測學院長安大學地測學院55二維FFT 101021010210/210/2e ),(*1),(*e ),(1),(e )(*1)(*1e )()(NuNvNvyuxjNuNvNvyuxjNuNuxjNuNuxjvuFNyxfvuFNyxfuFNxfNuFxf 逆逆FFTFFT112 ()001122001( , )( , )e1( , )e( , )eux vyNNjNxyuxvyNNjjNNxyF u vf x yNF u vf x yNFFT根據(jù)可分離性有：二維變換用兩次一維實現(xiàn)5.2.3 快速傅里葉變換快速傅里葉變換長安大學地測學院長安大學地測學院56v傅立

32、葉變換注意的問題v 兩個缺點：v (1)要進行復數(shù)運算，計算比較費時v 實用中還采用如沃爾什(Walsh)變換等。v (2)很多圖像的高頻項衰減的很快，在頻域不清楚。v 解決方法：vuFvuD,1lg,5.2.3 快速傅里葉變換快速傅里葉變換長安大學地測學院長安大學地測學院575.3沃爾什/哈達瑪變換5.3.1 沃爾什變換 5.3.2 哈達瑪變換 5.3.3 關(guān)于兩種變換的討論沃爾什和哈達碼變換都是可分離和正交變換 長安大學地測學院長安大學地測學院585.3.1 沃爾什變換沃爾什變換10)( )(1) 1( 1),(niubxbiniNuxh長安大學地測學院長安大學地測學院595.3.1 沃爾

33、什變換沃爾什變換N=4N=4和和8 8時的沃爾什變換核時的沃爾什變換核長安大學地測學院長安大學地測學院605.3.1 沃爾什變換沃爾什變換1010)( )(1) 1( )(1)(NxniubxbinixfNuW10)( )(1) 1(),(niubxbiniuxk1010)( )(1) 1( )()(NuniubxbiniuWxf長安大學地測學院長安大學地測學院6110)( )()( )(11) 1(1),(nivbybubxbiniiniNvuyxh 101010)( )()( )(11) 1( ),( 1),(NxNynivbybubxbiniiniyxfNvuW 101010)( )()

34、( )(11) 1( ),( 1),(NuNvnivbybubxbiniinivuWNyxf5.3.1 沃爾什變換沃爾什變換10)( )()( )(11) 1(1),(nivbybubxbiniiniNvuyxk長安大學地測學院長安大學地測學院6210)( )(10)( )(111111) 1(1) 1(1),(),(),(),(),(nivbybniubxbiniiniNNvykuxkvyhuxhvuyxh5.3.1 沃爾什變換沃爾什變換111( )( )( )( )01( , , , )( 1)iniininb x buby bvik x y u vN 正變換核反變換核長安大學地測學院長安

35、大學地測學院635.3.1 沃爾什變換沃爾什變換v沃爾什變換中,正向變換核與反向變換核只依賴于x,y,u,v，而與f(x,y)或W(u,v)的值無關(guān)。這些核可看一組基本函數(shù)，一旦圖像尺寸確定，這些函數(shù)也就完全確定。N=4時的二維沃爾什變換圖5.3.1長安大學地測學院長安大學地測學院645.3.1 沃爾什變換沃爾什變換長安大學地測學院長安大學地測學院655.3.1 沃爾什變換沃爾什變換v離散傅里葉變換是浮點數(shù)的運算，因此計算量會比較大，而且浮點數(shù)運算產(chǎn)生的誤差會比較大；v沃爾什變換矩陣的系數(shù)是1或是1，只需要使用加法即可實現(xiàn)，計算復雜度?。籿離散傅立葉轉(zhuǎn)換相當于把信號拆解成在不同頻率的正弦函數(shù)與

36、余弦函數(shù)的分量，而使用沃爾什轉(zhuǎn)換相當于把信號拆解成在許多不同震蕩頻率的方波上，因而，除非所要分析的信號擁有類似方波組合的特性，否則沃爾什轉(zhuǎn)換作頻譜分析的效果會比使用離散傅立葉轉(zhuǎn)換分析的效果要差，這是降低運算復雜度所要付出的代價。長安大學地測學院長安大學地測學院665.3.1 沃爾什變換沃爾什變換沃爾什變換具有某種能量集中。而且沃爾什變換具有某種能量集中。而且原始數(shù)據(jù)中數(shù)字越是均勻分布，經(jīng)變換后原始數(shù)據(jù)中數(shù)字越是均勻分布，經(jīng)變換后的數(shù)據(jù)越集中于矩陣的邊角上。因此沃爾的數(shù)據(jù)越集中于矩陣的邊角上。因此沃爾什變換可以壓縮圖像信息。且變換比傅立什變換可以壓縮圖像信息。且變換比傅立葉變換快。葉變換快。長安

37、大學地測學院長安大學地測學院6710)( )( ) 1(1),(niiiubxbNuxh5.3.2 哈達瑪變換哈達瑪變換10)()( 10) 1)(1)(NxubxbniiixfNuHN=8時，哈達瑪變換核表5.3.2長安大學地測學院長安大學地測學院685.3.2 哈達瑪變換哈達瑪變換10)( )( ) 1(1),(niiiubxbNuxh10)( )( ) 1(),(niiiubxbuxk10)( )( 10) 1)()(NuubxbniiiuHxf長安大學地測學院長安大學地測學院695.3.2 哈達瑪變換哈達瑪變換10 )( )()( )( ) 1(1),(niiiiivbybubxbNv

38、uyxh10 )( )()( )( ) 1(1),(niiiiivbybubxbNvuyxk 1010 )( )()( )( 10) 1)(,( 1),(NxNyvbybubxbniiiiiyxfNvuH 1010 )( )()( )( 10) 1)(,( 1),(NuNvvbybubxbniiiiivuHNyxf長安大學地測學院長安大學地測學院705.3.2 哈達瑪變換哈達瑪變換v二維哈達瑪變換正變換和反變換都可分成兩個步驟計算，每個步驟用一個1維變換實現(xiàn)。長安大學地測學院長安大學地測學院715.3.3 關(guān)于兩種變換的討論關(guān)于兩種變換的討論v兩種變換核里的數(shù)值都是1和-1，但是在行列的秩序上

39、兩者有所不同。（下頁說明）v在絕大多數(shù)圖像變換應用中，?；旌鲜褂梦譅柺沧儞Q和哈達瑪變換，所以被統(tǒng)稱為“沃爾什哈達瑪變換，通常用來指兩者中的任意一個。長安大學地測學院長安大學地測學院7210)( )( ) 1(1),(niiiupxbNuxg5.3.3 關(guān)于兩種變換的討論關(guān)于兩種變換的討論 )()()()()()()()(01121110ububupububupubupnnnn對比表5.3.2與表5.3.3長安大學地測學院長安大學地測學院73ux012345670+1+2+3+4+5+6+7+5.3.3 關(guān)于兩種變換的討論關(guān)于兩種變換的討論長安大學地測學院長安大學地測學院7411112HNNNNNHHHHH2NNHA1AFAT 11111111111111114H5.3.3 關(guān)于兩種變換的討論關(guān)于兩種變換的討論同樣適合于哈達瑪反變換長安