2020高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)排列與組合ppt課件

1、10.2 10.2 排列與組合排列與組合要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理1.1.排列排列 （1 1排列的定義：從排列的定義：從n n個(gè)個(gè) 的元素的元素中取出中取出m (mm (m n) n)個(gè)元素，按照一定的個(gè)元素，按照一定的 排成排成一列，叫做從一列，叫做從n n個(gè)不同的元素中取出個(gè)不同的元素中取出m m個(gè)元素的一個(gè)排列個(gè)元素的一個(gè)排列. . （2 2排列數(shù)的定義：從排列數(shù)的定義：從n n個(gè)不同的元個(gè)不同的元素中取出素中取出m mmnmn個(gè)元素的個(gè)元素的 的個(gè)數(shù)叫做從的個(gè)數(shù)叫做從n n個(gè)個(gè) 不同的元素中取出不同的元素中取出m m個(gè)元素的排列數(shù)，個(gè)元素的排列數(shù)，用用A A 表示表示. .不同不同順序順序所有不

2、同排列所有不同排列mn基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)（3 3排列數(shù)公式：排列數(shù)公式：A = . A = . （4 4全排列：全排列：n n個(gè)不同的元素全部取出的個(gè)不同的元素全部取出的 ，叫，叫 做做n n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列，個(gè)不同元素的一個(gè)全排列，A =n (n-1A =n (n-1） （n-2n-2）21= .21= .于是排列數(shù)公式寫(xiě)成階乘于是排列數(shù)公式寫(xiě)成階乘 的形式為的形式為 ，這里規(guī)定，這里規(guī)定0 0！= .= .2.2.組合組合（1 1組合的定義：從組合的定義：從n n個(gè)個(gè) 的元素中取出的元素中取出m mmm n n個(gè)元素個(gè)元素 叫做從叫做從n n個(gè)不同的元素中取出個(gè)不同的

3、元素中取出 m mmnmn個(gè)元素的一個(gè)組合個(gè)元素的一個(gè)組合. .nnmnn(n-1)(n-2)(n-m+1)n(n-1)(n-2)(n-m+1)排列排列n n！1 1)!(!Amnnmn不同不同合成一組合成一組（2 2組合數(shù)的定義：從組合數(shù)的定義：從n n個(gè)不同的元素中取出個(gè)不同的元素中取出m mm m n n個(gè)元素的個(gè)元素的 的個(gè)數(shù)，叫做從的個(gè)數(shù)，叫做從n n個(gè)個(gè)不同的元素中取出不同的元素中取出m mmnmn個(gè)元素的組合數(shù)，用個(gè)元素的組合數(shù)，用C C 表示表示. .（3 3組合數(shù)的計(jì)算公式：組合數(shù)的計(jì)算公式： = = ，由于，由于0 0！= = ，所以，所以 C = .C = .（4 4組合

4、數(shù)的性質(zhì)：組合數(shù)的性質(zhì)：C = C = ；C =C = + . + .所有不同組合所有不同組合mnmmmnmnAAC)!( !mnmn1 11 10n12) 1() 1()2)(1(mmmnnnnmnmn 1mnnCmnC1Cmn基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)1.1.從從1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6六個(gè)數(shù)字中，選出一個(gè)偶六個(gè)數(shù)字中，選出一個(gè)偶數(shù)和兩個(gè)奇數(shù)，組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)和兩個(gè)奇數(shù)，組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有數(shù)，這樣的三位數(shù)共有（） A.9A.9個(gè)個(gè)B.24B.24個(gè)個(gè)C.36C.36個(gè)個(gè)D.54D.54個(gè)個(gè) 解析解析 選出符合題意的三個(gè)數(shù)有選出符合題意的三

5、個(gè)數(shù)有 =9=9種方種方法，每三個(gè)數(shù)可排成法，每三個(gè)數(shù)可排成 =6=6個(gè)三位數(shù)，個(gè)三位數(shù)， 共有共有9 96=546=54個(gè)符合題意的三位數(shù)個(gè)符合題意的三位數(shù). .D2313CC33A2.2.知知11，22 X X 1,2,3,4,51,2,3,4,5，滿足這個(gè)關(guān)系式，滿足這個(gè)關(guān)系式的集合的集合X X共有共有（） A.2A.2個(gè)個(gè)B.6B.6個(gè)個(gè)C.4C.4個(gè)個(gè)D.8D.8個(gè)個(gè) 解析解析 由題意知集合由題意知集合X X中的元素中的元素1 1，2 2必取，另外，必取，另外，從從3 3，4 4，5 5中可以不取，取中可以不取，取1 1個(gè)，取個(gè)，取2 2個(gè)，取個(gè)，取3 3個(gè)個(gè). . 故有故有 =8=

6、8個(gè)）個(gè)）. .D33231303CCCC3.3.某中學(xué)要從某中學(xué)要從4 4名男生和名男生和3 3名女生中選派名女生中選派4 4人擔(dān)任奧人擔(dān)任奧 運(yùn)會(huì)志愿者，若男生甲和女生乙不能同時(shí)參加，運(yùn)會(huì)志愿者，若男生甲和女生乙不能同時(shí)參加， 則不同的選派方案共有則不同的選派方案共有（ ） A.25A.25種種B.35B.35種種C.840C.840種種D.820D.820種種 解析解析 若選男生甲，則有若選男生甲，則有 =10=10種不同的選法；同種不同的選法；同 理，選女生乙也有理，選女生乙也有1010種不同的選法；兩人都不選有種不同的選法；兩人都不選有 =5=5種不同的選法，所以共有種不同的選法，所

7、以共有2525種不同的選派方案種不同的選派方案. .A45C35C4.4.（20212021湖南理，湖南理，5 5從從1010名大學(xué)畢業(yè)生中選名大學(xué)畢業(yè)生中選3 3人人擔(dān)任村長(zhǎng)助理，則甲、乙至少有擔(dān)任村長(zhǎng)助理，則甲、乙至少有1 1人入選，而丙沒(méi)人入選，而丙沒(méi)有入選的不同選法的種數(shù)為有入選的不同選法的種數(shù)為（） A.85A.85B.56B.56C.49C.49D.28D.28 解析解析 丙不入選的選法有丙不入選的選法有 =84=84種）種）, , 甲乙丙都不入選的選法有甲乙丙都不入選的選法有 =35=35種）種）. . 所以甲、乙至少有一人入選，而丙不入選的選法所以甲、乙至少有一人入選，而丙不入

8、選的選法有有84-35=4984-35=49種種. .C123789C39123567C375.5.有有6 6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3 3人就坐，則恰有兩個(gè)人就坐，則恰有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法有空座位相鄰的不同坐法有（） A.36A.36種種B.48B.48種種C.72C.72種種D.96D.96種種 解析解析 恰有兩個(gè)空位相鄰，相當(dāng)于兩個(gè)空位與第恰有兩個(gè)空位相鄰，相當(dāng)于兩個(gè)空位與第 三個(gè)空位不相鄰，先排三個(gè)人，然后插空三個(gè)空位不相鄰，先排三個(gè)人，然后插空. .從而共從而共 =72 =72種排法種排法. .C33A24A題型一題型一 排列問(wèn)題排列問(wèn)題【例【例1 1】有】有3

9、 3名男生、名男生、4 4名女生，在下列不同條件下，名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)求不同的排列方法總數(shù). . （1 1選其中選其中5 5人排成一排；人排成一排； （2 2排成前后兩排，前排排成前后兩排，前排3 3人，后排人，后排4 4人；人； （3 3全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾； （4 4全體排成一排，女生必須站在一起；全體排成一排，女生必須站在一起； （5 5全體排成一排，男生互不相鄰；全體排成一排，男生互不相鄰； （6 6全體排成一排，甲、乙兩人中間恰好有全體排成一排，甲、乙兩人中間恰好有3 3人人. .題型分類題型分類 深度剖析

10、深度剖析 思維啟迪思維啟迪 無(wú)限制條件的排列問(wèn)題，直接利用排無(wú)限制條件的排列問(wèn)題，直接利用排列數(shù)公式即可列數(shù)公式即可. .但要看清是全排列還是選排列；有但要看清是全排列還是選排列；有限制條件的排列問(wèn)題，常見(jiàn)類型是限制條件的排列問(wèn)題，常見(jiàn)類型是“在與不在在與不在”、“鄰與不鄰問(wèn)題，可分別用相應(yīng)方法鄰與不鄰問(wèn)題，可分別用相應(yīng)方法. . 解解 （1 1從從7 7個(gè)人中選個(gè)人中選5 5個(gè)人來(lái)排列，個(gè)人來(lái)排列， 有有 =7=76 65 54 43=2 5203=2 520種種. . （2 2分兩步完成，先選分兩步完成，先選3 3人排在前排，有人排在前排，有 種方法，種方法，余下余下4 4人排在后排，有人

11、排在后排，有 種方法，故共有種方法，故共有 =5 040 =5 040種種. .事實(shí)上，本小題即為事實(shí)上，本小題即為7 7人排成一排的人排成一排的全排列，無(wú)任何限制條件全排列，無(wú)任何限制條件. .37A44A37A44A57A （3 3）（優(yōu)先法）（優(yōu)先法） 方法一方法一 甲為特殊元素甲為特殊元素. .先排甲，有先排甲，有5 5種方法；其種方法；其余余6 6人有人有 種方法，故共有種方法，故共有5 5 =3 600 =3 600種種. . 方法二方法二 排頭與排尾為特殊位置排頭與排尾為特殊位置. .排頭與排尾從非排頭與排尾從非甲的甲的6 6個(gè)人中選個(gè)人中選2 2個(gè)排列，有個(gè)排列，有 種方法，中

12、間種方法，中間5 5個(gè)位個(gè)位置由余下置由余下4 4人和甲進(jìn)行全排列有人和甲進(jìn)行全排列有 種方法，共有種方法，共有 =3 600 =3 600種種. . （4 4）（捆綁法將女生看成一個(gè)整體，與）（捆綁法將女生看成一個(gè)整體，與3 3名男生名男生在一起進(jìn)行全排列，有在一起進(jìn)行全排列，有 種方法，再將種方法，再將4 4名女生進(jìn)名女生進(jìn)行全排列行全排列, ,也有也有 種方法種方法, ,故共有故共有 =576=576種種. .66A66A26A55A26A55A44A4444AA 44A （5 5）（插空法男生不相鄰，而女生不作要求，）（插空法男生不相鄰，而女生不作要求，所以應(yīng)先排女生，有所以應(yīng)先排女生

13、，有 種方法，再在女生之間及首種方法，再在女生之間及首尾空出的尾空出的5 5個(gè)空位中任選個(gè)空位中任選3 3個(gè)空位排男生，有個(gè)空位排男生，有 種方種方法，故共有法，故共有 =1 440 =1 440種種. . （6 6把甲、乙及中間把甲、乙及中間3 3人看作一個(gè)整體，第一步先人看作一個(gè)整體，第一步先排甲、乙兩人有排甲、乙兩人有 種方法，再?gòu)氖Ｏ碌姆N方法，再?gòu)氖Ｏ碌? 5人中選人中選3 3人排到中間，有人排到中間，有 種方法，最后把甲、乙及中間種方法，最后把甲、乙及中間3 3人看作一個(gè)整體，與剩余人看作一個(gè)整體，與剩余2 2人全排列，有人全排列，有 種方種方法，故共有法，故共有 =720 =720

14、種種. .44A35A44A35A22A35A33A22A35A33A方法歸納：方法歸納：1: 1: 排列問(wèn)題的本質(zhì)就是排列問(wèn)題的本質(zhì)就是“元素占元素占“位位子問(wèn)題，某些元素子問(wèn)題，某些元素“排或排或“不排在哪個(gè)位置不排在哪個(gè)位置上，某些元素上，某些元素“相鄰或相鄰或“不相鄰不相鄰”. .對(duì)于這類問(wèn)對(duì)于這類問(wèn)題在分析時(shí)，主要按題在分析時(shí)，主要按“優(yōu)先原則，即優(yōu)先安排特優(yōu)先原則，即優(yōu)先安排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位置殊元素或優(yōu)先滿足特殊位置. .2 2：解組合題時(shí)，常遇到：解組合題時(shí)，常遇到“至多至多”、“至少問(wèn)題，至少問(wèn)題，用直接法求解，也可用間接法求解以減少運(yùn)算量用直接法求解，也可用間接法求解

15、以減少運(yùn)算量. .當(dāng)限制條件較多時(shí)，要恰當(dāng)分類，逐一滿足當(dāng)限制條件較多時(shí)，要恰當(dāng)分類，逐一滿足. .3 3：排列、組合綜合題目，一般遵循先分后排原則，：排列、組合綜合題目，一般遵循先分后排原則，將符合要求的元素取出或進(jìn)行分組，再對(duì)取出的元將符合要求的元素取出或進(jìn)行分組，再對(duì)取出的元素或分好的組進(jìn)行排列素或分好的組進(jìn)行排列. .其中分組時(shí)，要注意其中分組時(shí)，要注意“平平均分組與均分組與“不平均分組的差異及分類的標(biāo)準(zhǔn)不平均分組的差異及分類的標(biāo)準(zhǔn). .4 4：在解排列、組合綜合題目時(shí)，注意問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，：在解排列、組合綜合題目時(shí)，注意問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，把不熟悉的問(wèn)題背景轉(zhuǎn)化為熟悉的情形，如把不熟悉的問(wèn)題背景

16、轉(zhuǎn)化為熟悉的情形，如; ;排位排位置置. .分東西等問(wèn)題。分東西等問(wèn)題。知能遷移知能遷移1 1 用用0 0、1 1、2 2、3 3、4 4、5 5這六個(gè)數(shù)字，可以這六個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)分別符合下列條件的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位組成多少個(gè)分別符合下列條件的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)：數(shù)： （1 1奇數(shù)；（奇數(shù)；（2 2偶數(shù)；（偶數(shù)；（3 3大于大于3 1253 125的數(shù)的數(shù). . 解解 （1 1先排個(gè)位，再排首位，共有先排個(gè)位，再排首位，共有 =144 =144個(gè)）個(gè)）. . （2 2以以0 0結(jié)尾的四位偶數(shù)有結(jié)尾的四位偶數(shù)有 個(gè)，以個(gè)，以2 2或或4 4結(jié)尾的四結(jié)尾的四位偶數(shù)有位偶數(shù)有 個(gè)，則共有個(gè)，則

17、共有 =156 =156個(gè)）個(gè)）. . （3 3要比要比3 1253 125大，大，4 4、5 5作千位時(shí)有作千位時(shí)有2 2 個(gè)，個(gè)，3 3作千作千位，位，2 2、4 4、5 5作百位時(shí)有作百位時(shí)有3 3 個(gè)，個(gè)，3 3作千位，作千位，1 1作百位作百位時(shí)有時(shí)有2 2 個(gè)，所以共有個(gè)，所以共有2 =162(2 =162(個(gè)個(gè)).).13A14A24A35A12A14A24A1235AA 14A24A35A24A13A132435A2A3A題型二題型二 組合問(wèn)題組合問(wèn)題【例【例2 2】 （1212分男運(yùn)動(dòng)員分男運(yùn)動(dòng)員6 6名，女運(yùn)動(dòng)員名，女運(yùn)動(dòng)員4 4名，其名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各中男女隊(duì)長(zhǎng)各1 1人

18、人. .選派選派5 5人外出比賽人外出比賽. .在下列情形中在下列情形中各有多少種選派方法？各有多少種選派方法？ （1 1男運(yùn)動(dòng)員男運(yùn)動(dòng)員3 3名，女運(yùn)動(dòng)員名，女運(yùn)動(dòng)員2 2名；名； （2 2至少有至少有1 1名女運(yùn)動(dòng)員；名女運(yùn)動(dòng)員； （3 3隊(duì)長(zhǎng)中至少有隊(duì)長(zhǎng)中至少有1 1人參加；人參加； （4 4既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員. .思維啟迪思維啟迪 （1 1分步分步. .（2 2可分類也可用間接法可分類也可用間接法. .（3 3可分類也可用間接法可分類也可用間接法. .（4 4分類分類. .解解 （1 1第一步：選第一步：選3 3名男運(yùn)動(dòng)員，有名男運(yùn)動(dòng)員，有 種選法種選

19、法. .第二步：選第二步：選2 2名女運(yùn)動(dòng)員，有名女運(yùn)動(dòng)員，有 種選法種選法. .共有共有 =120 =120種選法種選法. .（2 2方法一方法一 至少至少1 1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況：名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況：1 1女女4 4男，男，2 2女女3 3男，男，3 3女女2 2男，男，4 4女女1 1男男. .由分類加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為由分類加法計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為 =246=246種種. .36C24C36C24C1644263436244614CCCCCCCC方法二方法二 “ “至少至少1 1名女運(yùn)動(dòng)員的反面為名女運(yùn)動(dòng)員的反面為“全是男運(yùn)全是男運(yùn)發(fā)動(dòng)可用間接法求解發(fā)動(dòng)可用間接

20、法求解. .從從1010人中任選人中任選5 5人有人有 種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有的選法有 種種. .所以所以“至少有至少有1 1名女運(yùn)動(dòng)員的選法為名女運(yùn)動(dòng)員的選法為 =246=246種種. 6. 6分分（3 3方法一方法一 可分類求解：可分類求解：“只有男隊(duì)長(zhǎng)的選法為只有男隊(duì)長(zhǎng)的選法為 ；“只有女隊(duì)長(zhǎng)的選法為只有女隊(duì)長(zhǎng)的選法為 ；“男、女隊(duì)長(zhǎng)都入選的選法為男、女隊(duì)長(zhǎng)都入選的選法為 ；所以共有所以共有2 + =1962 + =196種選法種選法. .9 9分分510C56C56510CC 48C48C38C38C48C方法二方法二 間接法：間接法：從從1010人中

21、任選人中任選5 5人有人有 種選法種選法. .其中不選隊(duì)長(zhǎng)的方法有其中不選隊(duì)長(zhǎng)的方法有 種種. .所以所以“至少至少1 1名隊(duì)長(zhǎng)名隊(duì)長(zhǎng)”的選法為的選法為 - =196- =196種種. .（4 4當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人任意選，共有當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人任意選，共有 種選種選法法. .不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男隊(duì)長(zhǎng)，共有不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男隊(duì)長(zhǎng)，共有 種選法種選法. .其其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有 種，所以不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)種，所以不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)的選法共有的選法共有 - - 種選法種選法. .所以既有隊(duì)長(zhǎng)又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有所以既有隊(duì)長(zhǎng)又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有 + - =191+ - =191

22、種種. . 510C510C58C58C49C48C45C48C45C49C48C45C 探究提高探究提高 解組合題時(shí)，常遇到解組合題時(shí)，常遇到“至多至多”、“至至少問(wèn)題，可用直接法分類求解，也可用間接法求少問(wèn)題，可用直接法分類求解，也可用間接法求解以減少運(yùn)算量解以減少運(yùn)算量. .當(dāng)限制條件較多時(shí)，要恰當(dāng)分類，當(dāng)限制條件較多時(shí)，要恰當(dāng)分類，逐一滿足逐一滿足. .知能遷移知能遷移2 2 在在7 7名男生名男生5 5名女生中選取名女生中選取5 5人，分別求人，分別求符合下列條件的選法總數(shù)有多少種？符合下列條件的選法總數(shù)有多少種？ （1 1A A，B B必須當(dāng)選；必須當(dāng)選； （2 2A A，B B必

23、不當(dāng)選；必不當(dāng)選； （3 3A A，B B不全當(dāng)選；不全當(dāng)選； （4 4至少有至少有2 2名女生當(dāng)選；名女生當(dāng)選； （5 5選取選取3 3名男生和名男生和2 2名女生分別擔(dān)任班長(zhǎng)、體育名女生分別擔(dān)任班長(zhǎng)、體育委員等委員等5 5種不同的工作，但體育委員必須由男生擔(dān)種不同的工作，但體育委員必須由男生擔(dān)任，班長(zhǎng)必須由女生擔(dān)任任，班長(zhǎng)必須由女生擔(dān)任. .解解 （1 1由于由于A A，B B必須當(dāng)選，那么從剩下的必須當(dāng)選，那么從剩下的1010人中人中選取選取3 3人即可，人即可，有有 =120=120種種. .（2 2從除去的從除去的A A，B B兩人的兩人的1010人中選人中選5 5人即可，人即可，有

24、有 =252=252種種. .（3 3全部選法有全部選法有 種，種，A A，B B全當(dāng)選有全當(dāng)選有 種，種，故故A A，B B不全當(dāng)選有不全當(dāng)選有 - =672- =672種種. .310C510C512C310C512C310C（4 4注意到注意到“至少有至少有2 2名女生的反面是只有一名名女生的反面是只有一名女生或沒(méi)有女生，故可用間接法進(jìn)行，女生或沒(méi)有女生，故可用間接法進(jìn)行，有有 =596=596種選法種選法. .（5 5分三步進(jìn)行：分三步進(jìn)行：第一步：選第一步：選1 1男男1 1女分別擔(dān)任兩個(gè)職務(wù)為女分別擔(dān)任兩個(gè)職務(wù)為 ；第二步：選第二步：選2 2男男1 1女補(bǔ)足女補(bǔ)足5 5人有人有 種

25、；種；第三步：為這第三步：為這3 3人安排工作有人安排工作有 . .由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有 =12 600=12 600種選法種選法. .574715512CCCC17C15C26C14C33A3314261517ACCCC題型三題型三 排列、組合的綜合應(yīng)用排列、組合的綜合應(yīng)用【例【例3 3】 4 4個(gè)不同的球，個(gè)不同的球，4 4個(gè)不同的盒子，把球全部放入個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)盒內(nèi). .（1 1恰有恰有1 1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？個(gè)盒不放球，共有幾種放法？（2 2恰有恰有1 1個(gè)盒內(nèi)有個(gè)盒內(nèi)有2 2個(gè)球，共有幾種放法？個(gè)球，共有幾種放法？（3 3恰有恰有2 2

26、個(gè)盒不放球，共有幾種放法？個(gè)盒不放球，共有幾種放法？ 把不放球的盒子先拿走，再放球到余把不放球的盒子先拿走，再放球到余 下的盒子中并且不空下的盒子中并且不空. . 解解 （1 1為保證為保證“恰有恰有1 1個(gè)盒不放球個(gè)盒不放球”，先從，先從4 4個(gè)盒個(gè)盒 子中任意取出去一個(gè)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為子中任意取出去一個(gè)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“4 4個(gè)球，個(gè)球，3 3個(gè)盒個(gè)盒 子，每個(gè)盒子都要放入球，共有幾種放法？子，每個(gè)盒子都要放入球，共有幾種放法？”即把即把 4 4個(gè)球分成個(gè)球分成2 2，1 1，1 1的三組，然后再?gòu)牡娜M，然后再?gòu)? 3個(gè)盒子中選個(gè)盒子中選1 1 個(gè)放個(gè)放2 2個(gè)球，其余個(gè)球，其余2 2個(gè)球放在另

27、外個(gè)球放在另外2 2個(gè)盒子內(nèi)，由分個(gè)盒子內(nèi)，由分 步乘法計(jì)數(shù)原理，共有步乘法計(jì)數(shù)原理，共有 =144 =144種種. .思維啟迪思維啟迪22A132414CCC（2 2）“恰有恰有1 1個(gè)盒內(nèi)有個(gè)盒內(nèi)有2 2個(gè)球個(gè)球”，即另外，即另外3 3個(gè)盒子放個(gè)盒子放2 2個(gè)球，每個(gè)盒子至多放個(gè)球，每個(gè)盒子至多放1 1個(gè)球，也即另外個(gè)球，也即另外3 3個(gè)盒子中個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒，因而，恰有一個(gè)空盒，因而，“恰有恰有1 1個(gè)盒內(nèi)有個(gè)盒內(nèi)有2 2個(gè)球與個(gè)球與“恰有恰有1 1個(gè)盒不放球是同一件事，所以共有個(gè)盒不放球是同一件事，所以共有144144種種放法放法. .（3 3確定確定2 2個(gè)空盒有個(gè)空盒有 種方法

28、種方法. .4 4個(gè)球放進(jìn)個(gè)球放進(jìn)2 2個(gè)盒子可分成個(gè)盒子可分成3 3，1 1）、（）、（2 2，2 2兩兩類，第一類有序不均勻分組有類，第一類有序不均勻分組有 種方法；第種方法；第二類有序均勻分組有二類有序均勻分組有 種方法種方法. .故共有故共有 （ ）=84=84種種. .24C221134ACC22222224AACC24C22222224221134AACCACC 探究提高探究提高 排列、組合綜合題目，一般是將符合排列、組合綜合題目，一般是將符合要求的元素取出組合或進(jìn)行分組，再對(duì)取出的要求的元素取出組合或進(jìn)行分組，再對(duì)取出的元素或分好的組進(jìn)行排列元素或分好的組進(jìn)行排列. .其中分組時(shí)

29、，要注意其中分組時(shí)，要注意“平均分組與平均分組與“不平均分組的差異及分類的標(biāo)不平均分組的差異及分類的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn). .知能遷移知能遷移3 3 已知已知1010件不同產(chǎn)品中有件不同產(chǎn)品中有4 4件是次品，現(xiàn)件是次品，現(xiàn)對(duì)它們進(jìn)行一一測(cè)試對(duì)它們進(jìn)行一一測(cè)試, ,直至找出所有直至找出所有4 4件次品為止件次品為止. .（1 1若恰在第若恰在第5 5次測(cè)試，才測(cè)試到第一件次品，第次測(cè)試，才測(cè)試到第一件次品，第1010次才找到最后一件次品，則這樣的不同測(cè)試方法次才找到最后一件次品，則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是多少？數(shù)是多少？（2 2若恰在第若恰在第5 5次測(cè)試后，就找出了所有次測(cè)試后，就找出了所有4 4件次品，件

30、次品，則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是多少？則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是多少？ 解解 （1 1先排前先排前4 4次測(cè)試，只能取正品，有次測(cè)試，只能取正品，有 種種不同測(cè)試方法，再?gòu)牟煌瑴y(cè)試方法，再?gòu)? 4件次品中選件次品中選2 2件排在第件排在第5 5和第和第1010的位置上測(cè)試，有的位置上測(cè)試，有 = = 種測(cè)法，再排余種測(cè)法，再排余下下4 4件的測(cè)試位置，有件的測(cè)試位置，有 種測(cè)法種測(cè)法. .所以共有不同排法所以共有不同排法 =103 680 =103 680種種. . （2 2第第5 5次測(cè)試恰為最后一件次品，另次測(cè)試恰為最后一件次品，另3 3件在前件在前4 4次次中出現(xiàn)，從而前中出現(xiàn)，從而前4 4

31、次有一件正品出現(xiàn)次有一件正品出現(xiàn). .所以不同測(cè)試所以不同測(cè)試方法共有方法共有 （ ） =576=576種種. .46A24C22A24A44A46A24A44A14A16C33C44A方法與技巧方法與技巧1.1.解排列、組合混合題一般是先選元素、后排元解排列、組合混合題一般是先選元素、后排元素、或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步，素、或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步，再利用兩個(gè)基本原理作最后處理再利用兩個(gè)基本原理作最后處理. .2.2.對(duì)于較難直接解決的問(wèn)題則可用間接法，但應(yīng)對(duì)于較難直接解決的問(wèn)題則可用間接法，但應(yīng)做到不重不漏做到不重不漏. .3.3.對(duì)于選擇題要謹(jǐn)慎處理，注意等價(jià)答案的不

32、同對(duì)于選擇題要謹(jǐn)慎處理，注意等價(jià)答案的不同形式，處理這類選擇題可采用排除法分析答案形式，處理這類選擇題可采用排除法分析答案的形式，錯(cuò)誤的答案都是犯有重復(fù)或遺漏的錯(cuò)的形式，錯(cuò)誤的答案都是犯有重復(fù)或遺漏的錯(cuò)誤誤. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提高4.4.對(duì)于分配問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要搞清楚事件是否對(duì)于分配問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要搞清楚事件是否與順序有關(guān)，對(duì)于平均分組問(wèn)題更要注意順序，避與順序有關(guān)，對(duì)于平均分組問(wèn)題更要注意順序，避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏. .失誤與防范失誤與防范 要注意均勻分組與不均勻分組的區(qū)別，均勻分組不要注意均勻分組與不均勻分組的區(qū)別，均勻分組不 要重復(fù)計(jì)數(shù)要重復(fù)計(jì)數(shù)

33、. .一、選擇題一、選擇題1.1.（20212021遼寧理，遼寧理，5 5從從5 5名男醫(yī)生、名男醫(yī)生、4 4名女醫(yī)生中名女醫(yī)生中選選3 3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有（） A.70A.70種種B.80B.80種種 C.100C.100種種D.140D.140種種 解析解析 對(duì)此問(wèn)題可分類：男對(duì)此問(wèn)題可分類：男2 2女女1 1和男和男1 1女女2 2，故總，故總共有共有 =70=70種不同的組隊(duì)方案種不同的組隊(duì)方案. .A24151425CCCC定時(shí)檢測(cè)定時(shí)檢測(cè)2.2.（202120

34、21北京理，北京理，7 7用用0 0到到9 9這這1010個(gè)數(shù)字，可以組個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（） A.324A.324B.328B.328 C.360 C.360D.648D.648 解析解析 若組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)，可分為若組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)，可分為兩種情況：兩種情況：當(dāng)個(gè)位上是當(dāng)個(gè)位上是0 0時(shí)，共有時(shí)，共有9 98=728=72種情況；種情況；當(dāng)個(gè)位上是不為當(dāng)個(gè)位上是不為0 0的偶數(shù)時(shí)，共有的偶數(shù)時(shí)，共有4 48 88=2568=256種種情況情況. . 綜上，共有綜上，共有72+256=32872+256=328種

35、情況種情況. .B3.3.高三一班學(xué)生要安排元旦晚會(huì)的高三一班學(xué)生要安排元旦晚會(huì)的4 4個(gè)音樂(lè)節(jié)目，個(gè)音樂(lè)節(jié)目，2 2個(gè)個(gè) 舞蹈節(jié)目和舞蹈節(jié)目和1 1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié)個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié) 目不連排，則不同排法的種數(shù)是目不連排，則不同排法的種數(shù)是（） A.1 800A.1 800 B.3 600 B.3 600C.4 320C.4 320D.5 040D.5 040 解析解析 4 4個(gè)音樂(lè)節(jié)目和個(gè)音樂(lè)節(jié)目和1 1個(gè)曲藝節(jié)目的排列共個(gè)曲藝節(jié)目的排列共 種種. . 兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，用插空法，不同的排法種兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，用插空法，不同的排法種 數(shù)是數(shù)是 =3

36、 600.=3 600.B55A2655AA4.4.攝影師要為攝影師要為5 5名學(xué)生和名學(xué)生和2 2位老師拍照，要求排成一排，位老師拍照，要求排成一排， 2 2位老師相鄰且不排在兩端，不同的排法共有位老師相鄰且不排在兩端，不同的排法共有 （） A.1 440A.1 440種種B.960B.960種種 C.720C.720種種D.480D.480種種 解析解析 2 2位老師作為一個(gè)整體與位老師作為一個(gè)整體與5 5名學(xué)生排隊(duì)，相名學(xué)生排隊(duì)，相當(dāng)于當(dāng)于6 6個(gè)元素排在個(gè)元素排在6 6個(gè)位置，且老師不排兩端，先安個(gè)位置，且老師不排兩端，先安排老師，有排老師，有 種排法，種排法，5 5名學(xué)生排在剩下的名

37、學(xué)生排在剩下的5 5個(gè)個(gè)位置位置, ,有有 種，所以共有種，所以共有 =960 =960種排法種排法. .B1422CA55A55A22A14C5.5.（20212021廣東理，廣東理，7 720192019年廣州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)要年廣州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共

38、有有（） A.36A.36種種B.12B.12種種C.18C.18種種D.48D.48種種 解析解析 小張和小趙選派一人參加有小張和小趙選派一人參加有 =24=24種種方案，小張和小趙都參加有方案，小張和小趙都參加有 =12=12種方案，種方案， 共有不同的選派方案共有不同的選派方案24+12=3624+12=36種種. .A331212ACC222223AAC6.20196.2019年北京奧運(yùn)會(huì)期間，計(jì)劃將年北京奧運(yùn)會(huì)期間，計(jì)劃將5 5名志愿者分配到名志愿者分配到 3 3個(gè)不同的奧運(yùn)場(chǎng)館參加接待工作，每個(gè)場(chǎng)館至個(gè)不同的奧運(yùn)場(chǎng)館參加接待工作，每個(gè)場(chǎng)館至 少分配一名志愿者的方案種數(shù)為少分配一名志

39、愿者的方案種數(shù)為（） A.540A.540B.300B.300C.150C.150D.180D.180 解析解析 每個(gè)場(chǎng)館至少一名志愿者，相當(dāng)于將每個(gè)場(chǎng)館至少一名志愿者，相當(dāng)于將5 5人分人分成三組，然后排列，三組的人數(shù)分別為成三組，然后排列，三組的人數(shù)分別為3 3，1 1，1 1或或2 2，2 2，1 1，這樣，這樣, ,分組方法共有分組方法共有 種，然后種，然后三組進(jìn)行排列，有三組進(jìn)行排列，有 種種. . 所以共有所以共有 =150=150種方案種方案. .C2CCC23253533A33232535A)2CC(C7.7.宿舍樓內(nèi)的走廊一排有宿舍樓內(nèi)的走廊一排有8 8盞燈，為節(jié)約用電又不影

40、盞燈，為節(jié)約用電又不影響照明，要同時(shí)熄掉其中響照明，要同時(shí)熄掉其中3 3盞，但這盞，但這3 3盞燈不能相盞燈不能相鄰，則不同的熄燈方法種數(shù)為鄰，則不同的熄燈方法種數(shù)為 . .（用數(shù)字作答）（用數(shù)字作答） 解析解析 可以先將五盞燈排列，然后將可以先將五盞燈排列，然后將3 3盞將要熄滅盞將要熄滅的燈插空，共有的燈插空，共有2020種不同的熄燈方法種不同的熄燈方法. .20208.8.（20212021浙江理，浙江理，1616甲、乙、丙甲、乙、丙3 3人站到共有人站到共有7 7級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站2 2人，同一級(jí)臺(tái)階人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法

41、種數(shù)是上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是 （用數(shù)字作答）（用數(shù)字作答）. . 解析解析 當(dāng)每個(gè)臺(tái)階上各站當(dāng)每個(gè)臺(tái)階上各站1 1人時(shí)有人時(shí)有 種站法，種站法，當(dāng)兩個(gè)人站在同一個(gè)臺(tái)階上時(shí)有當(dāng)兩個(gè)人站在同一個(gè)臺(tái)階上時(shí)有 種站法，種站法，因此不同的站法種數(shù)有因此不同的站法種數(shù)有 =210+126=210+126 =336 =336種）種）. .3363363733CA161723CCC1617233733CCCCA三、解答題三、解答題10.10.某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生1212名，外科醫(yī)生名，外科醫(yī)生8 8名，現(xiàn)選派名，現(xiàn)選派5 5名名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì)，其中參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì)，其中 （1 1某

42、內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？有多少種不同選法？ （2 2甲、乙均不能參加，有多少種選法？甲、乙均不能參加，有多少種選法？ （3 3甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？法？ （4 4隊(duì)中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，隊(duì)中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？有幾種選法？ 解解1 1只需從其他只需從其他1818人中選人中選3 3人即可，人即可， 共有共有 =816=816種）；種）；318C（2 2只需從其他只需從其他1818人中選人中選5 5人即可，共有人即可，共有 =8 568=8 568（種）；（種）；（3 3分兩類：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，分兩類：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，共有共有 =6 936=6 936種）；種）；（4 4方法一方法一 （直接法至少一名內(nèi)科醫(yī)生一名外科（直接法至少一名內(nèi)科醫(yī)生一名外科醫(yī)生的選法