隨機(jī)過(guò)程1-概率論復(fù)習(xí)

1、1隨機(jī)過(guò)程論：研究隨機(jī)現(xiàn)象演變的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性隨機(jī)過(guò)程論：研究隨機(jī)現(xiàn)象演變的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.是近代數(shù)學(xué)的重要組成部分是近代數(shù)學(xué)的重要組成部分, 特點(diǎn)特點(diǎn):1.應(yīng)用非常廣泛應(yīng)用非常廣泛,實(shí)際工程背景強(qiáng)實(shí)際工程背景強(qiáng); 2.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求較高數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求較高;3.建立隨機(jī)分析的思維較難建立隨機(jī)分析的思維較難.本課程教學(xué)中本課程教學(xué)中:1.立足于基本理論的介紹立足于基本理論的介紹; 2.力圖幫助同學(xué)掌握隨機(jī)分析的基本思想和力圖幫助同學(xué)掌握隨機(jī)分析的基本思想和基本方法基本方法;序序 言言23.盡量闡述清楚基本概念及相應(yīng)的工程背景盡量闡述清楚基本概念及相應(yīng)的工程背景;4.訓(xùn)練數(shù)學(xué)表述能力訓(xùn)練數(shù)學(xué)表述能力.第一章第

2、一章 隨機(jī)事件隨機(jī)事件第二章第二章 隨機(jī)事件隨機(jī)事件的概率的概率第三章第三章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量及其分布及其分布第五章第五章 大數(shù)定律及中心極限定理大數(shù)定律及中心極限定理第四章第四章 隨機(jī)變量的隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)字特征1.11.1、隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象 1.21.2、隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)試驗(yàn)1.31.3、樣本空間、樣本空間 樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)1.41.4、隨機(jī)事件的概念、隨機(jī)事件的概念第一章第一章 隨機(jī)事件隨機(jī)事件在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象的現(xiàn)象稱(chēng)為稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象. 具有具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性統(tǒng)計(jì)規(guī)律性2. 隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象 在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱(chēng)為在一定條件

3、下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱(chēng)為確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象. .1.確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象 1.1、隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象 隨機(jī)現(xiàn)象的特征隨機(jī)現(xiàn)象的特征條件不能完全決定結(jié)條件不能完全決定結(jié)果果1.21.2、隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)試驗(yàn) 1. 1. 可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行; ; 2. 2. 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè), ,并且能并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果; ; 3. 3. 進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)會(huì)出現(xiàn). .定義定義 在概率論中在概率論中, ,把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱(chēng)把具有以下三個(gè)特征的

4、試驗(yàn)稱(chēng)為為隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn). .規(guī)定不含任何元素的空集為不可能事件規(guī)定不含任何元素的空集為不可能事件，用用 表示表示。1.31.3、樣本空間、樣本空間 樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)E1: 拋一枚硬幣，觀察正拋一枚硬幣，觀察正(H)反反(T) 面面 的情的情 況況. =H,T 1=H , 2=T E4:電話交換臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)電話交換臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù). 4=0，1，2， 1=0, 2=1, 3=2 E3: :擲一顆骰子擲一顆骰子, ,觀察點(diǎn)數(shù)觀察點(diǎn)數(shù). .則則E2:將一枚硬幣拋三次將一枚硬幣拋三次,觀察正反面出現(xiàn)的情況觀察正反面出現(xiàn)的情況.2=HHH, THH， HTH, HHT,HTT,THT

5、,TTH,TTT 1.4、隨機(jī)事件的概念隨機(jī)事件隨機(jī)事件 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn) E E 的樣本空間的樣本空間 的子集的子集( (或某些樣本點(diǎn)的子集），稱(chēng)為或某些樣本點(diǎn)的子集），稱(chēng)為 E E 的隨機(jī)事件的隨機(jī)事件, , 簡(jiǎn)稱(chēng)事件簡(jiǎn)稱(chēng)事件. .例如例如 隨機(jī)實(shí)驗(yàn)拋三次硬幣隨機(jī)實(shí)驗(yàn)拋三次硬幣 ，HH代表正面，代表正面， T T代表反代表反面面隨機(jī)事件隨機(jī)事件A A“至少出一個(gè)正面至少出一個(gè)正面” HHH, HHT, HTH, THHHHH, HHT, HTH, THH，HTTHTT，THTTHT，TTHTTH；B=“B=“三次出現(xiàn)同一面三次出現(xiàn)同一面”=HHH,TTT”=HHH,TTTC=“C=“恰好出

6、現(xiàn)一次正面恰好出現(xiàn)一次正面” ” = =HTTHTT，THTTHT，TTHTTH隨機(jī)事件間的關(guān)系隨機(jī)事件間的關(guān)系對(duì)立差互斥(互不相容)交（積）和（并）包含事件關(guān)系事件事件的的互不相容互不相容 (互斥互斥) 若事件若事件 A 、B 滿(mǎn)足滿(mǎn)足則稱(chēng)事件則稱(chēng)事件 A與與B互不相容互不相容. ABBA圖示圖示 A與與B互互斥斥 AB說(shuō)明說(shuō)明 當(dāng)當(dāng)A B= 時(shí)時(shí),可將可將A B記為記為“直和直和”形式形式A+B. 任意事件任意事件A與不可能事件與不可能事件為互斥為互斥. 若事件若事件 A 、B 滿(mǎn)足滿(mǎn)足則稱(chēng)則稱(chēng) A 與與B 為為互逆事件互逆事件. A 的逆記作的逆記作.A. ABBA且事件的互逆事件的互逆

7、圖示圖示 A 與與 B 的對(duì)立的對(duì)立. BA A對(duì)立事件與互斥事件的區(qū)別對(duì)立事件與互斥事件的區(qū)別 ABABA A、B 對(duì)立對(duì)立A、B 互斥互斥 . ABBA且, AB互互 斥斥對(duì)對(duì) 立立概率論與集合論之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 記號(hào)記號(hào)概率論概率論集合論集合論樣本空間樣本空間, ,必然事件必然事件不可能事件不可能事件基本事件基本事件隨機(jī)事件隨機(jī)事件A的對(duì)立事件的對(duì)立事件A出現(xiàn)必然導(dǎo)致出現(xiàn)必然導(dǎo)致B出現(xiàn)出現(xiàn)事件事件A與事件與事件B相等相等空間空間(全集全集)空集空集元素元素子集子集A的補(bǔ)集的補(bǔ)集A是是B的子集的子集A集合與集合與B集合相等集合相等 eAAAB A B BA 事件事件A與事件與事件B的差的差

8、A與與B兩集合的差集兩集合的差集 AB事件事件A與與B互不相容互不相容A與與B 兩集合中沒(méi)有兩集合中沒(méi)有相同的元素相同的元素BA事件事件A與事件與事件B的和的和 A集合與集合與B集合的并集集合的并集AB 事件事件A與與B的積事件的積事件 A集合與集合與B集合的交集集合的交集2.1 2.1 頻率與概率頻率與概率2.2 2.2 古典概型古典概型2.3 2.3 條件概率條件概率2.4 2.4 全概率公式和貝葉斯公式全概率公式和貝葉斯公式2.5 2.5 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性2.12.1頻率與概率頻率與概率5s5s* *24000/3600=33.3h24000/3600=33.3h 概率的統(tǒng)計(jì)定義

9、直觀地描述了事件發(fā)生的概率的統(tǒng)計(jì)定義直觀地描述了事件發(fā)生的可能性大小，反映了概率的本質(zhì)內(nèi)容，但可能性大小，反映了概率的本質(zhì)內(nèi)容，但也有不足，即無(wú)法根據(jù)此定義計(jì)算某事件也有不足，即無(wú)法根據(jù)此定義計(jì)算某事件的概率。的概率。2.22.2、古典概型、古典概型若隨機(jī)試驗(yàn)滿(mǎn)足以下特征：若隨機(jī)試驗(yàn)滿(mǎn)足以下特征：(1)(1)試驗(yàn)的可能結(jié)果只有有限個(gè)；試驗(yàn)的可能結(jié)果只有有限個(gè)；則稱(chēng)此試驗(yàn)為則稱(chēng)此試驗(yàn)為古典概型古典概型. .(2)(2)各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的. .古典概型中事件概率的計(jì)算公式古典概型中事件概率的計(jì)算公式設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E為古典概型，其樣本空間為古典概型，其樣本空間及及

10、事件事件A分別為：分別為： =1，2，n A=i1，i2，ik則隨機(jī)事件則隨機(jī)事件 A 的概率為：的概率為： 中的基本事件總數(shù)中包含的基本事件數(shù)事件AnkAP)(2.3 2.3 條件概率條件概率( )0,()( | )( ).P BP ABP A BP BBAFFF件件概概率率 若（ ， ，P）是一個(gè)概率空間，B，且對(duì)任意的A，稱(chēng) 為在事件發(fā)生的條件下，事條件 發(fā)生的 ABAB);()()()( ) 3(212121BAAPBAPBAPBAAP ).(1)( )4(BAPBAP 則則有有件件是是兩兩兩兩不不相相容容的的事事設(shè)設(shè)可可加加可可列列性性,A,A:)5(21. )BA(PBAP1ii1

11、ii ; 1)(0:) 1 ( BAP有有界界性性0)B|(PBP 1,)(2)規(guī)規(guī)范范性性條件概率的性質(zhì)條件概率的性質(zhì)乘法定理乘法定理則則有有且且, 0)(121 nAAAP, 2,21 nnAAAn個(gè)個(gè)事事件件為為設(shè)設(shè)推推廣廣則則有有且且為為事事件件設(shè)設(shè), 0)(, ABPCBA()( ) () ().P ABCP A P B A P C AB( )0,()() ( )() ( ).P AP ABP B A P AP A B P B設(shè)則有)()()()()(12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP2.4 全概率公式和貝葉斯公式全概率公式和貝葉斯公式: :21一組事件

12、滿(mǎn)足若定義n, B, , BB1. 樣本空間的劃分樣本空間的劃分, .,n, j, i, j, iB Bji21 (i),Bnii1 (ii).B ,B ,n21的一個(gè)劃分本空間為樣則稱(chēng)B例例 學(xué)生在回答多項(xiàng)選擇題時(shí)，或者知道答案或?qū)W生在回答多項(xiàng)選擇題時(shí)，或者知道答案或猜測(cè)答案。假定他知道答案的概率是猜測(cè)答案。假定他知道答案的概率是p p，而猜的，而猜的概率是概率是1-p1-p。假設(shè)他猜對(duì)的概率為。假設(shè)他猜對(duì)的概率為1/m1/m，其中，其中mm是選項(xiàng)數(shù)。是選項(xiàng)數(shù)。問(wèn)已知學(xué)生答題正確時(shí)，他確實(shí)知道答案的概率問(wèn)已知學(xué)生答題正確時(shí)，他確實(shí)知道答案的概率是多少？是多少？A-A-學(xué)生答題正確學(xué)生答題正確

13、B-B-他確實(shí)知道答案他確實(shí)知道答案()(|)()() (|)()(|)() 1(1)1(1)ccP ABP BAP AP ABP A B P BP A BP Bpmpmppppm40.9364,0.9,(|)0.9740.90.13740.5204,0.5,(|)0.840.50.525mpP BAmpP BA2.5 2.5 事件獨(dú)立性事件獨(dú)立性(一一) 兩個(gè)事件的獨(dú)立性?xún)蓚€(gè)事件的獨(dú)立性,()( )( ),.A BP ABP A P BA BA B設(shè)是兩事件 如果滿(mǎn)足等式則稱(chēng)事件相互獨(dú)立 簡(jiǎn)稱(chēng)獨(dú)立事件事件 A 與與 B 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,是指事件是指事件 A 的的發(fā)生與事件發(fā)生與事件 B 發(fā)

14、生的概率無(wú)關(guān)發(fā)生的概率無(wú)關(guān).2 獨(dú)立與互斥的關(guān)系獨(dú)立與互斥的關(guān)系這是兩個(gè)不同的概念這是兩個(gè)不同的概念.兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立)()()(BPAPABP 兩事件互斥兩事件互斥 AB二者之間沒(méi)二者之間沒(méi)有必然聯(lián)系有必然聯(lián)系獨(dú)立是事獨(dú)立是事件間的概件間的概率屬性率屬性互斥是事互斥是事件間本身件間本身的關(guān)系的關(guān)系1定義定義2: 設(shè)設(shè)A,B,C是三個(gè)事件是三個(gè)事件,若滿(mǎn)足若滿(mǎn)足: P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 則稱(chēng)則稱(chēng)A,B,C為相互獨(dú)立的事件為相互獨(dú)立的事件.定義定義3：對(duì)：對(duì)n個(gè)事件個(gè)事件

15、A1,A2,An,如果對(duì)所有可如果對(duì)所有可能的組合能的組合1ijkn成立著成立著 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak) P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An), 則稱(chēng)這則稱(chēng)這n個(gè)事件個(gè)事件A1,A2,An相互獨(dú)立相互獨(dú)立.定義定義4：設(shè)：設(shè)A1, A2, , An是是n個(gè)事件，如果對(duì)個(gè)事件，如果對(duì)任意的任意的1ij n有有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj), 則則稱(chēng)這稱(chēng)這 n個(gè)事件個(gè)事件兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立.注注： 若若n個(gè)事件相互獨(dú)立，必蘊(yùn)含這個(gè)事件相互獨(dú)立，必蘊(yùn)含這n個(gè)事個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立件兩兩相互獨(dú)立. 反之不成立。反之不成立

16、。例例 同時(shí)拋擲兩個(gè)均勻的正四面體一次，每同時(shí)拋擲兩個(gè)均勻的正四面體一次，每一四面體的面分別標(biāo)有號(hào)碼一四面體的面分別標(biāo)有號(hào)碼1 1，2 2，3 3，4 4令令A(yù)=A=第一個(gè)四面體出現(xiàn)偶數(shù)第一個(gè)四面體出現(xiàn)偶數(shù) B= B=第二個(gè)四面體出現(xiàn)奇數(shù)第二個(gè)四面體出現(xiàn)奇數(shù) C= C=兩個(gè)四面體同時(shí)出現(xiàn)偶數(shù)或同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)四面體同時(shí)出現(xiàn)偶數(shù)或同時(shí)出現(xiàn)奇數(shù)奇數(shù) 驗(yàn)證驗(yàn)證A A、B B、C C的獨(dú)立性的獨(dú)立性 故故A、B、C三事件不相互獨(dú)立但兩兩獨(dú)立三事件不相互獨(dú)立但兩兩獨(dú)立。 )(21168)(BPAP21)(CP)()(41164)(BPAPABP)()(41164)(CPAPACP)()(41164)(CPB

17、PBCP0)(ABCP81)()()(CPBPAP第三章第三章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布3.1 隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的概念3.2 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)3.3 離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布3.4 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度3.5 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)變量的函數(shù)的分布3.6 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布3.1 隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的概念例例1 從一批產(chǎn)品中任意抽取從一批產(chǎn)品中任意抽取k件件,觀察出現(xiàn)的觀察出現(xiàn)的“廢品數(shù)廢品數(shù)”X1,依試驗(yàn)結(jié)果不同依試驗(yàn)結(jié)果不同X1的所有可能的所有可能取值為取值為:0,1,2,k.

18、j個(gè)廢品結(jié)果可用個(gè)廢品結(jié)果可用(X1=j)表示表示.例例2 記錄某接待站一天中來(lái)訪的人數(shù)記錄某接待站一天中來(lái)訪的人數(shù)X2,“接待接待k個(gè)人個(gè)人”可用可用(X2=k)表示表示.定義定義如果對(duì)于樣本空間中每個(gè)樣本點(diǎn)如果對(duì)于樣本空間中每個(gè)樣本點(diǎn) ，都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)X( )與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)X( )為為隨機(jī)變量隨機(jī)變量簡(jiǎn)記簡(jiǎn)記X( )為為X.隨機(jī)變量分類(lèi)：隨機(jī)變量分類(lèi)：(1) 離散型，離散型，(2)連續(xù)型連續(xù)型.3.23.2 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義定義：X是一隨機(jī)變量是一隨機(jī)變量, 對(duì)任意對(duì)任意x R, 函數(shù)函數(shù) F(x)=P Xx 稱(chēng)為稱(chēng)為X的的分布函

19、數(shù)分布函數(shù).P x1x1, F(x2)-F(x1) 0.(2) 0F(x)1 且且(規(guī)范性規(guī)范性)(3) F(x)至多有可列個(gè)間斷點(diǎn)至多有可列個(gè)間斷點(diǎn), 而在其間斷點(diǎn)而在其間斷點(diǎn) x0處是右連續(xù)的處是右連續(xù)的,1)x(lim)( , 0)x(lim)(xxFFFF)x()0 x()x(lim00 x0FFFx(右連續(xù)性右連續(xù)性)3.3 離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布 定義定義 若隨機(jī)變量全部可能取值是有限或若隨機(jī)變量全部可能取值是有限或 可列無(wú)窮多可列無(wú)窮多, 則稱(chēng)為則稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量.,.)3 , 2 , 1: 2.(kxXk值為所有可能取設(shè)離散型隨機(jī)變量分

20、布律(1) 1,2,. , kp)xP(Xkk則稱(chēng)則稱(chēng)(1)式為離散型變量的式為離散型變量的分布律。分布律。分布律的性質(zhì)：分布律的性質(zhì)：. 1 (2) ,.210 (1)1kkkp, kp或列表或列表若離散型隨機(jī)變量若離散型隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為),1,2( )(kpxXPkk則則X的的分布函數(shù)分布函數(shù)為為xxxxk)x( )x()x()x(kkXPXPXPFkxxk)x( kpF即幾種重要的離散型隨機(jī)變量的分布律幾種重要的離散型隨機(jī)變量的分布律：(一一) 0- -1分布分布設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X只可能取只可能取0和和1兩個(gè)數(shù)值，其分兩個(gè)數(shù)值，其分布為布為 P(X=1)=p, P(X=

21、0)=1-p. 其中其中0p1,則稱(chēng)則稱(chēng)X服從服從(0-10-1)分布。分布。設(shè)設(shè)A是隨機(jī)事件，是隨機(jī)事件，P(A)=p(0p1),記記發(fā)生發(fā)生A AX 0 1, 則則X服從服從(0-10-1)分布分布.試驗(yàn)。這樣的試驗(yàn)稱(chēng)為貝努利且與只有兩個(gè)可能結(jié)果設(shè)試驗(yàn)定義 , ) 10( )( , :ppAPAAE(二二) 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布將試驗(yàn)E獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行n次得到的試驗(yàn)序列稱(chēng)為n重貝努利試驗(yàn)重貝努利試驗(yàn)。以X表示n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)則發(fā)生次試驗(yàn)中第 ,AiAinkqpCkXPknkkn, 2 , 1 , 0 ,)(稱(chēng)隨機(jī)變量稱(chēng)隨機(jī)變量X服從服從參數(shù)為參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布的二項(xiàng)分布,記為

22、記為).,(pnBX假設(shè)飛機(jī)的每一臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)在飛行中的故障率假設(shè)飛機(jī)的每一臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)在飛行中的故障率都是都是1-P1-P，且各發(fā)動(dòng)機(jī)的互不影響，且各發(fā)動(dòng)機(jī)的互不影響，如果至少如果至少50%50%的發(fā)動(dòng)機(jī)能正常運(yùn)行，飛機(jī)就的發(fā)動(dòng)機(jī)能正常運(yùn)行，飛機(jī)就可以順利的飛行，可以順利的飛行，問(wèn)對(duì)于多大的問(wèn)對(duì)于多大的P P而言，四發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)比二發(fā)而言，四發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)比二發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)更安全？動(dòng)機(jī)飛機(jī)更安全？ 波音波音747747A380A380波音波音777777四發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)：四發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)： 正常運(yùn)行時(shí)正常運(yùn)行時(shí)2 2臺(tái)或臺(tái)或3 3臺(tái)或臺(tái)或4 4臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)正常運(yùn)行臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)正常運(yùn)行 2 2臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)正常運(yùn)行另外臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)正常運(yùn)

23、行另外2 2臺(tái)故障概率臺(tái)故障概率C(4.2)C(4.2)* *P(1-p)=6P(1-p) P(1-p)=6P(1-p) 3 3臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)正常運(yùn)行另外臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)正常運(yùn)行另外1 1臺(tái)故障概率臺(tái)故障概率C(4.3)C(4.3)* *P(1-p)=4P(1-p) P(1-p)=4P(1-p) 4 4臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)正常運(yùn)行概率概率臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)正常運(yùn)行概率概率P4 P4 四發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)正常運(yùn)行概率四發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)正常運(yùn)行概率 6P(1-p)+4P(1-p)+P4 6P(1-p)+4P(1-p)+P4 =P6(1-p)+4P(1-p)+P =P6(1-p)+4P(1-p)+P =P(3p-8p+6) =P(3p-8p+6)

24、二發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)：二發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)： 正常運(yùn)行時(shí)正常運(yùn)行時(shí)1 1臺(tái)或臺(tái)或2 2臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)正常運(yùn)行臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)正常運(yùn)行 1 1臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)正常運(yùn)行另外臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)正常運(yùn)行另外1 1臺(tái)故障概率臺(tái)故障概率C(2.1)C(2.1)* *P(1-P(1-p)=2P(1-p) p)=2P(1-p) 2 2臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)正常運(yùn)行概率臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)正常運(yùn)行概率P P 二發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)正常運(yùn)行概率二發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)正常運(yùn)行概率 2P(1-p)+P=P2(1-p)+P=p(2-p)2P(1-p)+P=P2(1-p)+P=p(2-p)四發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)比二發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)更安全時(shí)四發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)比二發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)更安全時(shí) P(3p-8p+6)P(3p-8p+6)p(2-p) p

25、(2-p) (3p-2)(p-1)(3p-2)(p-1)0 0 3p-2 3p-20 p0 p2/3 2/3 當(dāng)當(dāng)p p2/32/3時(shí)四發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)比二發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)更安全時(shí)四發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)比二發(fā)動(dòng)機(jī)飛機(jī)更安全P2/3, Ps+t|Xs)=P(Xt)(三三) 正態(tài)分布正態(tài)分布:).,(,)0(,x,21f(x) ) 1 (222)x(22NXXeX記作正態(tài)分布的服從參數(shù)為則稱(chēng)為常數(shù)其中的概率密度為設(shè)隨機(jī)變量:其其圖圖像像為為性質(zhì)性質(zhì):)f()f( 0h ,x 10hh有這表明對(duì)對(duì)稱(chēng)曲線關(guān)于.X. 21)f( x 20附近較集中值在取表明時(shí)取最大值當(dāng)x.)(30軸為漸近線以xxf.,)(.)(, ,) 1

26、 (.,)(40為位置參數(shù)稱(chēng)確定的位置由可見(jiàn)狀不變軸平移而形的圖形沿則改變?nèi)艄潭ǖ膱D形依賴(lài)于兩個(gè)參數(shù)xfxxfxf的尺度參數(shù)為故稱(chēng)相反則越平坦越陡峭越小改變則最大值改變固定f(x),f(x),21f(x),)2(2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:).1 ,0(, t21(x) ,21)x(,1,0 x2t2x22NXXdee記服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布則稱(chēng)時(shí)當(dāng)).1 , 0(),N(X 2NXY則若定理引理引理 對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有).(1)(xx3.5 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)變量的函數(shù)的分布已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X的分布的分布,求求Y=g(X)的分布的分布一、一、 X為離散型變量為離散

27、型變量例例1.設(shè)設(shè)X具有以下的分布律具有以下的分布律,求求Y=(X-1)2分布律分布律: X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4X -1 0 1 2pk 0.2 0.3 0.1 0.4Y4101即即 PY=0 =PX=1 =0.1PY=1 =PX=0+PX=2 =0.3+0.4=0.7或者或者 Y 0 1 4 pk 0.1 0.7 0.2 PY=4=PX=-1=0.2設(shè)設(shè)X的分布律為的分布律為 X x1 x2 xk P(X=xi) p1 p2 pk . 記記yi=g(xi)(i=1,2,), yi的值也是互不相同的的值也是互不相同的, 則則Y的分布律為的分布律為: PY=y

28、i)= P(X=xi) =pi 若若yk=g(xk1)=g(xk2)=g(xkm),則則 P(Y=yk)=P(X=xk1)+P(X=xkm)離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布律的求法離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布律的求法:例例 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X N( , 2),求求Y=aX+b(a0)的的概率密度。概率密度。222)(221)(),(xXexfNX知解：由)()()()(abyXPybaXPyYPyFYdxxfabyX)(于是求導(dǎo)可得于是求導(dǎo)可得)(1)()(abyfayFyfXYY2222)(21abayea二、二、X為連續(xù)型為連續(xù)型 - 分布函數(shù)法分布函數(shù)法3.63.6 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量

29、及其分布 n維維隨機(jī)變量隨機(jī)變量定義定義: 設(shè)設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn), 樣本樣本點(diǎn)是點(diǎn)是 ，若，若X1( )X2( ),Xn( )是定義在樣本空是定義在樣本空間間上上 的的n個(gè)隨機(jī)變量個(gè)隨機(jī)變量,則稱(chēng)則稱(chēng)),(,),(),()(21nXXXX構(gòu)成一個(gè)構(gòu)成一個(gè)n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量,簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為X=(X1,X2,Xn)的和隨機(jī)變量或稱(chēng)為的分布函數(shù)稱(chēng)為二維隨機(jī)變量二元函數(shù)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)YX(X, Y)YPX)(Y)P(X)F( ,yx,yxy x, y, x, 1. 二維二維隨機(jī)變量隨機(jī)變量(聯(lián)合聯(lián)合)分布函數(shù)分布函數(shù):聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù).二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量YXP2121yy

30、;xx)F()F)F()F(11122122y ,xy,(xy ,xy,x(1) F(x,y)是變量是變量x或或y的單調(diào)不減函數(shù)，即的單調(diào)不減函數(shù)，即).,(),(,);,(),(,21212121yxFyxFyyyxFyxFxx時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)1),(lim),( 0),(),( 0),(lim),(, 1),(0 )2(yxFFFyFyxFxFyxFyxy且聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：(3) F(x,y)關(guān)于關(guān)于x,y都是右連續(xù)的，即都是右連續(xù)的，即 ),()0,( ),(), 0(yxFyxFyxFyxF0),(),(),(),( , )4(112112222121yxFyxFyxF

31、yxFyyxx有對(duì)于任意實(shí)數(shù)2. 二維隨機(jī)變量的分布二維隨機(jī)變量的分布(一一) 二維離散型隨機(jī)變量的分布律二維離散型隨機(jī)變量的分布律的聯(lián)合分布律。維離散型隨機(jī)變量為二稱(chēng)(X, Y), , YPX21j i, ,py,xijji. 1 p 2 0,p) 1 ( ijijij）（分布律滿(mǎn)足：(二二) 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度稱(chēng)為函數(shù)其中量為連續(xù)型的二維隨機(jī)變則稱(chēng)有對(duì)任意存在非負(fù)函數(shù)數(shù)的分布函若對(duì)二維隨機(jī)變量定義),()y x,(f , dudv, vu,fy x, ,),(),(),( : . 1y-x-YX(X, Y) )()F(yxyxfy

32、xFYX Gy)dxdy.f(x, :Gy) (x, ,xoyG G) P(X, Y40內(nèi)內(nèi)的的概概率率為為在在落落點(diǎn)點(diǎn)平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)域域是是設(shè)設(shè) ; 1),(dxdyy x,f2 -0 F)( ; )yx,( fyx)yx,(F ,)y x,()y x,( f 3 20 則則有有點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若:y x,f . 2的性質(zhì))(0;y x,f 1 0)(.X)3( );yx,()2( ;) 1 ( :, 0, 0,y 0, x,Aey) f(x, Y) (X, 2.y)(2x-YPFA概率分布函數(shù)常數(shù)求其它具有概率密度設(shè)二維隨機(jī)變量例 - 1,y)dxdy f(x, )1(

33、 :則則由由解解 , 1dxdyAe 00)yx2( 1dyedxeA 0y02x- 即即. 2, 12/AA yxyxF-y)dxdy f(x,),( )2( , 0, 0,y 0, x, yx2y0 x0)yx2(其它dde. 0, 0,y 0, x),e-)(1e-(1-y-2x其它xyy)dxdy f(x,X)P(Y (3) 31yx20)yx2( ydde3. 二維均勻分布及二維正態(tài)分布二維均勻分布及二維正態(tài)分布(1) 二維均勻分布二維均勻分布設(shè)設(shè)G是平面上的有界區(qū)域是平面上的有界區(qū)域,面積為面積為 A,若二維隨機(jī)若二維隨機(jī)變量變量(X,Y)具有概率密度具有概率密度其它 0,Gy)(

34、x, ,1),(Ayxf則稱(chēng)則稱(chēng)(X,Y)在在G上服從均勻分布上服從均勻分布.若區(qū)域若區(qū)域G1是是G內(nèi)的面積為內(nèi)的面積為A1的子區(qū)域的子區(qū)域,則有則有AAdxdyAGYXPG1111),(2) 二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度具有概率密度yxyyxxyxf,)()(2)()1 (21exp121),(2222212121212221的的服從參數(shù)為服從參數(shù)為均為常數(shù)，則稱(chēng)均為常數(shù)，則稱(chēng)其中其中,),() 1|(|),0(),0(,2222112121YX二維正態(tài)分布，二維正態(tài)分布，).;,;,(),( 222211NYX記為2. 邊緣分布邊緣分布 一、一

35、、邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)： .YX) (y) (x), ,yx,的邊緣分布函數(shù)和關(guān)于關(guān)于稱(chēng)為是的分布函數(shù)和分量分布函數(shù)為對(duì)于二維變量(X, YFFYX)F(X, Y)YXPX)(FXxx) F()( F Yy ,y 同理) F(YPX x, x,二、二、邊緣分布律邊緣分布律：二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分量的分量X,Y的分布律的分布律 P(X=xi ), P(Y=yj) (i=1,2,)分別稱(chēng)為分別稱(chēng)為(X,Y)關(guān)于關(guān)于X,Y的的邊緣分布律邊緣分布律。設(shè)設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律 P(X=xi,Y=yj)=pij(i,j=1,2,)則關(guān)于則關(guān)于X的邊緣分布律為的

36、邊緣分布律為),()(YxXPxXPii), 2 , 1()( ipxXPpjijii簡(jiǎn)記為jijiipyYxXPyYxXP),(),(21三、三、邊緣概率密度邊緣概率密度:概率密度。的邊緣關(guān)于分別稱(chēng)為的概率密度的概率密度為設(shè)Y,X),()(),(f YX, y), f(x,XYXyfx(X, Y)Y x-y)dydx f(x,x,)()F(xFX,y)dy f(x,)(-xfX所以，關(guān)于所以，關(guān)于X的邊緣密度為的邊緣密度為3. 條件分布條件分布 一、一、二維離散型變量的情況二維離散型變量的情況:2, 1,j ,p Y, 2, 1,i ,py ,x jijji jyPYYPX(X, Y)的邊緣

37、分布律為關(guān)于分布律設(shè)yPYYPXYPXjjjijiy ,xy| x : , 0p 有設(shè)).(j13 2, 1,i , pp ij.y, 2 , 1,ppy| x稱(chēng)ijji的條件分布律條件下為在故XYiYPXjj4.4. 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 若兩個(gè)事件若兩個(gè)事件A, B滿(mǎn)足滿(mǎn)足P(AB)=P(A)P(B), 則稱(chēng)則稱(chēng)A, B相互獨(dú)立相互獨(dú)立.定義定義:. yxyx, y x, , 相互獨(dú)立和則稱(chēng)隨機(jī)變量有若對(duì)于所有的為二維隨機(jī)變量設(shè)YXPYPXYPXX, Y.yxy x, 相互獨(dú)立與即YX)(F)(F)F(YX例例 (X,Y)由聯(lián)合分布由聯(lián)合分布其它, 00, 0,1),()(

38、2121yxeeeyxFyxyx證明證明X與與Y獨(dú)立。獨(dú)立。0, 00,1),()(1xxexFxFxX證：因?yàn)?, 00,1),()(2yyeyFyFyY相互獨(dú)立。所以顯然YX,),()(),(yFxFyxFYX1,2,ji, ,yxy,xjijiPYPXYPX定理定理: 如果如果(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量是二維離散型隨機(jī)變量,則則X,Y相互獨(dú)立的充要條件是相互獨(dú)立的充要條件是:對(duì)任意的一對(duì)對(duì)任意的一對(duì)值值(xi,yj)有有), 2 , 1,(jipppjiij即)()()(YXyfxfy x,f 定理定理 如果如果(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,則則X,Y相互獨(dú)立的

39、充要條件是相互獨(dú)立的充要條件是:在在 f(x,y)的連的連續(xù)點(diǎn)續(xù)點(diǎn)(x,y)處，有處，有命題命題：設(shè)：設(shè)(X, Y)服從二維正態(tài)分布服從二維正態(tài)分布, 則則X, Y相相互獨(dú)立的充要條件是互獨(dú)立的充要條件是 =0.第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1. 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望4.2 隨機(jī)變量的隨機(jī)變量的方差方差 4.3. 4.3. 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)4.44.4 矩、協(xié)方差矩陣矩、協(xié)方差矩陣 .pxE(X) ),(,px ,p|x| 21k ,pxX P :r.v.X : 1k1k1kkkkkkkkk即記作機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為隨則稱(chēng)收斂若級(jí)數(shù)的分布律

40、為設(shè)離散型定義XE, 的數(shù)學(xué)期望不存在。發(fā)散時(shí)，則說(shuō)當(dāng)Xpxiii1|1. 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望下面計(jì)算一些離散型分布的期望值。下面計(jì)算一些離散型分布的期望值。1) (0-1)分布分布 設(shè)設(shè)X服從服從(0-1)分布，分布律為分布，分布律為P(X=1)=p,P(X=0)=1-p, 0p1X的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為 EX=1p+0(1-p)=p p), B(n,X : 2) 設(shè)二項(xiàng)分布 :n0kn-kkknqpCkEX解n. 1, 0,k ,qpkPX k-nkknC.1npq)np(pn ),( : 3)即設(shè)泊松分布PX0. 2, 1, 0,k ,e!kkPX -k 11 -k-

41、)!1(ekk. -k0e!k : kE(X)k解, 2 , 1, )41kpqpkk幾何分布11kkpqkEX解：pqp1)1 (12)1()(1qqpqpkkdx.)x(xf . ,Xdx)x(xf ,dx )x(f |x|),x(f. :-E(X)E(X)X即記為的數(shù)學(xué)期望的值為則稱(chēng)積分收斂若積分的概率密度為設(shè)定義連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望下面計(jì)算常用連續(xù)型變量的數(shù)學(xué)期望：下面計(jì)算常用連續(xù)型變量的數(shù)學(xué)期望： . , 0 b,xa ,1f(x) :X , b a, : 1其他的密度函數(shù)為即設(shè)均勻分布 b-aUXdx xf(x)-EX,2ba1 badxb-ax則則它恰

42、是區(qū)間它恰是區(qū)間a,b的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。 0. x0, , 0 x,e f(x) : , )e(X : 2 -x則其密度函數(shù)為設(shè)指數(shù)分布dx xf(x)-EX 0 xxdex 0txtdtet 1令令 ,10ete1tt 則設(shè)正態(tài)分布 ),N(X : 32)x(dx ex21222)(-tEXx令dtt222-e)(t21 dte21 dtet2122222t-2t- .隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式: 則收斂若的分布律為的函數(shù)是設(shè)定理,p| )g(x|, , 21k,px gY :1kkkkk,XP(i)XX(X) .)pg(x)()( 1kkkXgEYE ,dx f(x

43、)|g(x)| f(x),X (ii)-則收斂若的概率密度為dx.g(x)f(x)()(-XgEYE均值的性質(zhì)均值的性質(zhì):(1) E(c)=c; (c為常數(shù)為常數(shù))(2) E(cX)=cE(X);( c為常數(shù)為常數(shù))(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4) 設(shè)設(shè)X,Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 則則 E(XY)=E(X)E(Y); (5) |E(XY)|2E(X2)E(Y2)(許瓦爾茲不等式許瓦爾茲不等式)作變量為作變量為t的函數(shù)的函數(shù)g(t)=E(tX-Y)，由數(shù)學(xué)由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)得期望的性質(zhì)得g(t)=tEX-t2EXY+EY042222EYEXEXY即即因?yàn)橐驗(yàn)間(t) 0，所以二次三項(xiàng)

44、式所以二次三項(xiàng)式tEX-t2EXY+EY最最多有一個(gè)實(shí)根，多有一個(gè)實(shí)根，從而其判別式滿(mǎn)足從而其判別式滿(mǎn)足222EYEXEXY4.2 4.2 方差方差 .E(X)-XED(X) , D(X) ,X ,E(X)-XE ,X22即記作的方差則稱(chēng)它為存在若為一隨機(jī)變量定義：設(shè) .XD(X)的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差為稱(chēng)若若X為離散型為離散型r.v.其分布律為其分布律為PX=xk=pk, k=1,2, 則則,pE(X)xD(X)kkk2 ),x( f.,v . rX則則其其密密度度函函數(shù)數(shù)為為為為連連續(xù)續(xù)型型若若 . x)x(f-x -2dE(X)D(X)方差的計(jì)算公式方差的計(jì)算公式:22222)( )(2( )

45、(EXEXEXEXXXEEXXEDX1. X服從服從(0-1)分布分布, 則則EX=0(1-p)+1p=p,故故 D(X) =E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p).E(X2)=02(1-p)+12p=p, 下面計(jì)算一些常見(jiàn)分布的方差下面計(jì)算一些常見(jiàn)分布的方差k-nkn0k22qpknkXEk-nkn0kk-nkn0kqpqp) 1(knkknkk)()(p) 1(22XEqpnnn.pq)()()(22nXEXEXD故 p), b(n,X : 2 設(shè)二項(xiàng)分布pp) 1(2nnn ),( : 3即設(shè)泊松分布PX e!k)(-k022kXEk解：-k0e!1)1-(kkkk,e)!1(e

46、)!2(12-1 -k2-2-k2kkkk . 22)-E(X)E(XD(X) b a, : 4UX均勻分布dxf(x)x -22EX, )(31 33ba2ababdxb-ax. 12222(b-a)- E(X)E(XDX)e(X : 5 指數(shù)分布dx x 0 x22eEX解：,2 t1 2022xtdtet. 1222)- E(X)E(XD(X)x(dx e)-(x21222)x(-2tDX令 e21t2-222dtt.2則設(shè)正態(tài)分布 ),N(X : 62方差的性質(zhì)方差的性質(zhì):1 設(shè)設(shè)C是常數(shù)是常數(shù), 則則D(C)=0;2 C是常數(shù)是常數(shù), 則有則有 D(CX)=C2D(X);3 設(shè)設(shè)X,

47、 Y是兩個(gè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量隨機(jī)變量, 則有則有 D(X Y)=D(X)+D(Y);nnnnnnnDXcDXcXcXcXcDDXDXDXXXXDXXX21212211212121)()(,相互獨(dú)立，則推論：4.3. 4.3. 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) E(Y).-E(X)Y-EXY) Cov(X, Y), Cov(X, ,YX ,E(Y)-E(X)Y-EX , Y) (X, 1即記作的協(xié)方差和則稱(chēng)為存在若為二維隨機(jī)變量設(shè)：定義)(2)(EYYEXXEDYDXYXD展開(kāi)可得計(jì)算公式展開(kāi)可得計(jì)算公式: Cov(X, Y)=EX-EXY-EY =E(XY)-E(X)E(Y).

48、由方差性質(zhì)證明知對(duì)于任意的由方差性質(zhì)證明知對(duì)于任意的X和和Y, 有有 D(X Y)=D(X)+D(Y) 2Cov(X,Y).).,(,010, 2),(),(.YXCovyxyxfYX求求其它其它的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為設(shè)設(shè)例例 210 ,22),()(10 , )1 (22),()(01yydxdxyxfyfxxdydyyxfxfyYxX解：3/22, 3/1)1 (21010dyyyEYdxxxEX4/12),(010yxydxdydxdyyxxyfEXY36/1) 3/2() 3/1 (4/1),cov(EXEYEXYyx 協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差的性質(zhì):1 Cov(X, Y)=Cov(Y,

49、X);2 Cov(aX, bY)=abCov(X,Y), a, b是常數(shù)是常數(shù);3 Cov(X1+X2, Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2, Y);6 |Cov(X, Y)|2D(X)D(Y);5 若若X, Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 則則Cov(X, Y)=0.4 Cov(X,a)=0,Cov(X,X)=DX,a為常數(shù)為常數(shù);.,)(D(X)Y) Cov(X, 0,D(Y) 0,D(X)2XY的相關(guān)系數(shù)，記為為則稱(chēng)：若定義YXYD是不相關(guān)的。和則稱(chēng)：若定義YXXY, 030a ,b a, 1,baXYP ,1Y X1 2XY0且為常數(shù)其中即線性相關(guān)以概率和. 0,30XYYX相互獨(dú)立，則若1

50、;. 1 XY0相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：由性質(zhì)由性質(zhì)(6) |Cov(X, Y)|2D(X)D(Y)可得可得. 獨(dú)立與不相關(guān)都是隨機(jī)變量之間相互聯(lián)系程度獨(dú)立與不相關(guān)都是隨機(jī)變量之間相互聯(lián)系程度的一種反映的一種反映, ,獨(dú)立獨(dú)立指的是指的是X X與與Y Y沒(méi)有任何關(guān)系，沒(méi)有任何關(guān)系，不相關(guān)不相關(guān)指的指的X X與與Y Y之間沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系之間沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系 事實(shí)上，若事實(shí)上，若X X與與Y Y獨(dú)立，則獨(dú)立，則X X與與Y Y一定不相關(guān)；一定不相關(guān)；但反過(guò)來(lái)，若但反過(guò)來(lái)，若X X與與Y Y不相關(guān)，則不相關(guān)，則X X與與Y Y卻未必獨(dú)立卻未必獨(dú)立反之，則不成立。不相關(guān)則相互獨(dú)立若命題 ;Y X, , 1.

51、X, Y .(y).(x)ffy)f(x, ,0, 0, , 1y x,1y)f(x, . , YXXY22但其其它的密度函數(shù)是反例(X, Y)y)dxdy)f(x,-)(y-(xY)Cov(X,21- )()(2)()1 (21exp121),(2222212121212221yyxxyxf)(D(X)Y) Cov(X,XYYD不相關(guān)獨(dú)立則命題YX, YX, , );,;,( 2.222211N(X, Y)公式：公式：Cov(aX+bY,cX+dY) =acDX+(ad+bc)Cov(X,Y)+bdDY4.4 矩、協(xié)方差矩陣矩、協(xié)方差矩陣E(X)為一階原點(diǎn)矩為一階原點(diǎn)矩, D(X)為二階中心

52、矩為二階中心矩, cov(X,Y)為二階混合為二階混合中心中心矩矩.(1) 若若E(Xk), k=1, 2, 存在存在, 則稱(chēng)為則稱(chēng)為X的的k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩.(2) 若若EX-E(X)k, k=1, 2, 存在存在,則稱(chēng)它為則稱(chēng)它為X的的 k階中心矩階中心矩.(3) 若若EX-E(X)kY-E(Y)l, k, l=1, 2,存在存在, 則則稱(chēng)它為稱(chēng)它為X和和Y的的k+l階混合階混合中心中心矩矩.一、矩一、矩二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量(X1,X2) 的二階中心矩分別記為的二階中心矩分別記為2222211222122111221111EXXEEXXEXXEEXXEXXEEXXE將它們排成矩陣形式將

53、它們排成矩陣形式22211211 稱(chēng)這個(gè)矩陣為稱(chēng)這個(gè)矩陣為(X1,X2)的協(xié)方差矩陣。的協(xié)方差矩陣。二、協(xié)方差矩陣二、協(xié)方差矩陣.n , ,ji, ),X,Cov(X nnn2n12n22211n1211jiij的的協(xié)協(xié)方方差差陣陣維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量為為則則稱(chēng)稱(chēng)矩矩陣陣都都存存在在中中心心矩矩階階的的二二), X, , X(X,n,), X, , X(Xnn212121協(xié)方差陣的性質(zhì)：協(xié)方差陣的性質(zhì)：對(duì)稱(chēng)性、正定性對(duì)稱(chēng)性、正定性等。等。第五章第五章 大數(shù)定律及中心極限定理大數(shù)定律及中心極限定理5.1 5.1 大數(shù)定律大數(shù)定律 5.2 5.2 中心極限定理中心極限定理 5.1 5.1 大數(shù)定律大數(shù)定律 一一. . 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出: : 1. 1.當(dāng)當(dāng)n n足夠大時(shí)足夠大時(shí), , 頻率頻率 是否收斂到相應(yīng)的是否收斂到相應(yīng)的概率概率p p，即即? pnnn時(shí)，nn?)(1,)(,. 22121aXXXnXnaEXaXXXnin時(shí)當(dāng)，的一組測(cè)量是對(duì)某長(zhǎng)度.nn 1 nn Plim 0,AAnppP即有對(duì)于 貝努利大數(shù)定律貝努利大數(shù)定律:設(shè)設(shè)nA是是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù), p是是事件事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率, 則則貝努利大數(shù)定