北大光華證券投資學第10章春

1、2主要內(nèi)容n期權(quán)的定義和特點n影響期權(quán)價格的因素n期權(quán)與風險管理n期權(quán)的定價3期權(quán)合約的歷史n期權(quán)有著很長的歷史，但是它的歷史并非全部都是光輝燦爛的。n它曾經(jīng)在17世紀和18世紀早期得到廣泛的運用。n17世紀，荷蘭阿姆斯特丹股票交易所就有期權(quán)形式的合約交易n18世紀早期的南海公司泡沫事件n美國19世紀70年代的報紙刊載著交易所提供的期權(quán)報價。1934年通過的證券法授權(quán)證券管理委員會對股票期權(quán)進行規(guī)制。n直到1973年，期權(quán)都是場外交易，也極少有第二次交易。1973年，芝加哥期貨交易所（CBOE）看漲期權(quán)交易，1977年，交易看跌期權(quán)交易4期權(quán)合約的歷史n1973年，Black-Scholes期

2、權(quán)定價公式，1997年，Scholes 和 Merton 獲得諾貝爾經(jīng)濟學獎。n20世紀70年代，工業(yè)化國家的市場經(jīng)濟由固定匯率轉(zhuǎn)換為浮動利率體制。匯率波動導致貨幣期權(quán)合同出現(xiàn)。70年代另一重要事件是利率波動性的上升。這導致對利率套期保值工具的需求，債券期權(quán)出現(xiàn)。n從20世紀80年代開始，期權(quán)市場的創(chuàng)新有兩個方向：n引進基于新標的的期權(quán)（以期貨、股指、電力等為標的物）n奇異期權(quán)5期權(quán)合約的應用n金融市場的應用n投資n風險控制套期保值n一些證券具有期權(quán)的特征：可回購債、可轉(zhuǎn)債n公司財務n投、融資決策n兼并、重組方案設計6期權(quán)合約的應用n其它n人力資源激勵方式n自然資源的開采、核廢料的處理等決策n

3、等等7n學術(shù)領(lǐng)域內(nèi)的巨大進步帶來了實際領(lǐng)域的飛速發(fā)展。期權(quán)定價的技巧對產(chǎn)生全球化的金融產(chǎn)品和金融市場起著最基本的作用。n近年來，從事金融產(chǎn)品的創(chuàng)造及定價的行業(yè)蓬勃發(fā)展，從而使得期權(quán)定價理論得到不斷的改進和拓展。期權(quán)定價方法的應用1.一些基本定義一些基本定義9看漲期權(quán)看漲期權(quán)(Call Option)例子例子n例子：投資者B和W計劃簽定一份合同：現(xiàn)在B支付給W 5美元，交換條件是在接下來的六個月的任何時間，允許B自愿從W那里以110美元/股的價格購買100股IBM公司股票。 IBM公司股票現(xiàn)在的價格為105美元/股。n問題：nB和W為什么都愿意簽定這個合同？n如果需要B支付500美元，B是否愿意

4、？nB如果不支付5美元，W是否原因簽定合同？10看跌期權(quán)（Put Option)例子n例子：投資者B和W計劃簽定一份合同：現(xiàn)在B支付給W 4美元，交換條件是在接下來的六個月的任何時間，允許B可自愿以100美元/股的價格賣給W 100股IBM公司股票。 IBM公司股票現(xiàn)在的價格為105美元/股。n問題：nB和W為什么都愿意簽定這個合同？nB如果不支付給W4美元，W是否原因簽合同？n如果需要B支付500美元，B是否愿意？11期權(quán)具有四個特征：n標的物(underlying asset)n期權(quán)能夠買（對于看漲期權(quán)而言）或者賣（對于看跌期權(quán)而言）的對象，或者說，合約是關(guān)于哪種資產(chǎn)的合約。n以股票為標的

5、物的期權(quán)，每份期權(quán)通常包括100份特定的股票。例如，持有一份以IBM公司股票為標的物的看漲期權(quán)，是一份可以買100份IBM公司股票的權(quán)利。n幾乎所有對象都可以作為標的物，證券、指數(shù)、天氣、原材料等等12期權(quán)具有四個特征n所有股票期權(quán)合約在標的股票發(fā)生拆股或者分紅股的情況時，執(zhí)行價格和合約中規(guī)定的股數(shù)都要作相應的調(diào)整。但現(xiàn)金紅利不影響合約條款。n例子：假如在購買上述期權(quán)的當天， IBM公司股票的價格為105元，第二天，1股拆成6股。股價變?yōu)?05/6元。13期權(quán)具有四個特征：n執(zhí)行價格(exercise price, 或者strike price)。n這個價格是執(zhí)行期權(quán)合約時，可以以此價格購買標

6、的物的價格。n對于以IBM公司股票為標的物的看漲期權(quán)，如果執(zhí)行價格為110美元時，則在執(zhí)行這種期權(quán)時，按每份股票110美元購買。n期權(quán)有效的時間區(qū)間由到期日(expiration date)來確定。n這段時間區(qū)間可以是一天、一個星期、或者一年。以IBM公司股票為標的物的看漲期權(quán)，如果到期日為六個月，則在這六個月里，這份權(quán)利都是有效的。14期權(quán)具有四個特征：n期權(quán)應該包括是否可以在到期日之前執(zhí)行這種權(quán)利。n如果在到期日之前的任何時間以及到期日都能執(zhí)行，我們稱這種期權(quán)為美式期權(quán)美式期權(quán)。如果只能在到期日執(zhí)行，稱為歐式期權(quán)歐式期權(quán)。n美式和歐式這兩個名詞曾代表了以股票為標的物的期權(quán)在美洲和歐洲的結(jié)構(gòu)

7、形式。但是現(xiàn)在，它們已成為反映兩種不同結(jié)構(gòu)的期權(quán)的標準名詞，而不管期權(quán)是在哪兒發(fā)行的。15n期權(quán)的這四個特征標的物、是看漲還是看跌、執(zhí)行價格、到期日（包括是美式還是歐式）說明了一種期權(quán)的各個細節(jié)。n期權(quán)是兩人之間的一種合約，其中的一人給予另外一人在規(guī)定的一段時間內(nèi)，可以以規(guī)定的價格買或者賣某種規(guī)定的資產(chǎn)的權(quán)利。16n獲得權(quán)利的一方需要做出是否接受該權(quán)利的決定，我們稱這一方為期權(quán)的買者期權(quán)的買者(option buyer)，因為他需要付錢來獲得這種權(quán)利。提供權(quán)利的一方稱為期權(quán)的期權(quán)的寫者寫者(option writer)。n何時買看漲期權(quán)，何時買看跌期權(quán)？17n既然期權(quán)的持有者獲得的是權(quán)利而不需

8、要承擔什么義務，他就必須花錢購買這個權(quán)利，那么，公平的價格應該是多少？這是證券投資學研究的重要內(nèi)容。18n實值期權(quán)(in the money option)n兩平期權(quán)(at the money option)n虛值期權(quán)(out of the money option)其它定義19例子n執(zhí)行價格為100元，到期日為6個月06個月100元20n股票期權(quán) Stock Optionsn指標期權(quán) Index Options 現(xiàn)金結(jié)算n期貨期權(quán) Futures Optionsn外匯期權(quán) Foreign Currency Optionsn利率期權(quán) Interest Rate Options期權(quán)的種類21類似

9、期權(quán)的證券 Option like SecuritiesnCallable BondsnConvertible SecuritiesnWarrantsnCollateralized LoansnLevered equity and risky debt22權(quán)證案例：權(quán)證案例： 15萬的權(quán)證幾分鐘變成廢紙萬的權(quán)證幾分鐘變成廢紙n2006年12月15日(星期五)下午開市后不久，陳先生以0.50元左右的價格買入部分機場JTP1(580998)權(quán)證，但是其后該權(quán)證一路走跌，在距離收盤前15分鐘時，已經(jīng)跌至0.30元左右，陳先生就采取了低位補倉策略，準備在下周一(12月18日)再搶反彈，前后共投入資金1

10、5萬元?？墒?，12月18日開市后，當陳先生再次來到證券營業(yè)部開始交易時，才發(fā)現(xiàn)自己買入的機場JTP1權(quán)證已經(jīng)停牌了。機場JTP1(580998)為美式權(quán)證，行權(quán)價為6.90元,行權(quán)比例為1:1,行權(quán)期為2006年3月23日至2006年12月22日。白云機場股票從2006年12月18日至12月22日價格一直高于行權(quán)價,不宜行權(quán)，所以陳先生投入的15萬變成了一張廢紙。23機場JTP1權(quán)證基本資料 n權(quán)證簡稱 機場JTP1 上市地點 上海 權(quán)證代碼 580998 行權(quán)方式 美式n標的證券簡稱 白云機場 行權(quán)價格（元） 7 標的證券代碼 600004 n行權(quán)比例 1:1 權(quán)證類型 認沽權(quán)證 行權(quán)起始日

11、期 2006-03-23 n按發(fā)行人劃分的權(quán)證類型 備兌權(quán)證 行權(quán)截止日期 2006-12-22 n存續(xù)期限 1年 行權(quán)簡稱 AS061222 存續(xù)起始日期 2005-12-23 n行權(quán)代碼 582998 存續(xù)截止日期 2006-12-22 n結(jié)算方式證券給付24行權(quán)價格變動情況權(quán)證代碼 權(quán)證簡稱 公告日期 變動原因 變動后行權(quán)價格 變動后行權(quán)比例 生效日期 執(zhí)行日期580998 機場JTP1 20051214 首發(fā) 7 1:1 20051223 20060323580998 機場JTP1 20060717 利潤分配 6.9 1:1 20060721 2006072125奇異期權(quán)（Exotic

12、 option）n亞式期權(quán) Asian optionn障礙期權(quán) Barrier optionn回顧期權(quán) Lookback optionn外匯轉(zhuǎn)換期權(quán) Currency-translated optionn雙邊期權(quán) Binary option26n場外交易n主要是機構(gòu)投資者n優(yōu)點：量身定做（標的物、到期日、執(zhí)行價格）、信息保密、不被管制n缺點：信譽風險、流動性差、n場內(nèi)交易n大眾化n優(yōu)點：合約標準化（標的物、到期日、執(zhí)行價格） 、交易規(guī)范化、流動性好期權(quán)的交易2. 影響歐式期權(quán)價格的因素影響歐式期權(quán)價格的因素28n如果無特殊說明，標的物在到期日以前如果無特殊說明，標的物在到期日以前不支付紅利。不

13、支付紅利。29n假設一種歐式看漲期權(quán)，它以某種股票為標的物，該股票在時間 t 的價格以 表示，期權(quán)的執(zhí)行價格為 ，到期日為 ，期權(quán)在時間 t 的價格為 。tSKTtc30股票價格對歐式期權(quán)價格的影響n在到期日n在到期日前31期權(quán)在到期日的價值期權(quán)在到期日的價值n例子：投資者B和W計劃簽定一份合同：現(xiàn)在B支付給W 5美元，交換條件是在接下來的六個月的任何時間，允許B自愿從W那里以110美元/股的價格購買100股IBM公司股票。 IBM公司股票現(xiàn)在的價格為105美元/股。n在6個月時n如果股價為120美元n如果股價為108美元n如果股價為100美元32n在到期日 T，期權(quán)的價值為多少。n1）n2）

14、n n把期權(quán)在 T 時的價格顯示地表示成股票價格的函數(shù)。這個函數(shù)如下圖所示。該圖說明當 ，期權(quán)的價值為零，當 時，期權(quán)的價值隨著股票價格的增加而線性增加。n期權(quán)不可能有負的價值，責任有限金融工具。KSTKST KSKScTTT, 0maxKSTKST期權(quán)在到期日的價值33n圖1看漲期權(quán)在到期日的收益TSKTc34n對于看跌期權(quán)而言，上述結(jié)果正好反過來。假設一種看跌期權(quán)，它以某種股票為標的物，該股票在時間 t 的價格以 表示，期權(quán)的執(zhí)行價格為 ，到期日為 T，期權(quán)在時間 t 的價格為 tSKtp期權(quán)在到期日的價值35期權(quán)在到期日的價值期權(quán)在到期日的價值n例子：投資者B和W計劃簽定一份合同：現(xiàn)在B

15、支付給W 4美元，交換條件是在接下來的六個月的任何時間，允許B可自愿以100美元/股的價格賣給W 100股IBM公司股票。 IBM公司股票現(xiàn)在的價格為105美元/股。n在6個月時n如果股價為120美元n如果股價為108美元n如果股價為95美元36n在到期日 T，期權(quán)的價值。n1）n2）n n把期權(quán)在 T 時的價格顯示地表示成股票價格的函數(shù)。 這個函數(shù)如下圖所示。該圖說明當 ，期權(quán)的價值為零，當 時，期權(quán)的價值隨著股票價格的增加而線性減少。KSTKST TTTSKSKp, 0maxKSTKST期權(quán)在到期日的價值37TSKpn圖圖2 看跌期權(quán)在到期日的收益期權(quán)在到期日的價值期權(quán)在到期日的價值38n

16、注意，看跌期權(quán)在 時的價值是有界的，而看漲期權(quán)在 時的價格是無界的。相反，當寫一份看漲期權(quán)時，可能的損失是無界的。TT期權(quán)在到期日的價值期權(quán)在到期日的價值39n期權(quán)的寫者的收益n看漲期權(quán)的寫者在到期日的收益期權(quán)在到期日的價值期權(quán)在到期日的價值40n看跌期權(quán)的寫者在到期日的收益期權(quán)在到期日的價值期權(quán)在到期日的價值41期權(quán)在到期日前的價值n例子：投資者B和W計劃簽定一份合同：現(xiàn)在B支付給W 5美元，交換條件是在接下來的六個月的任何時間，允許B自愿從W那里以110美元/股的價格購買100股IBM公司股票。 IBM公司股票現(xiàn)在的價格為105美元/股。無風險利率為3%n在第二個月末， IBM公司股票價格

17、為n115美元n100美元Tt 42期權(quán)在到期日前的價值n內(nèi)在價值(intrinsic value)n時間價值(time value)Tt 43期權(quán)的內(nèi)在價值n權(quán)利的體現(xiàn))(KPVStt44期權(quán)的時間價值n即使在到期日以前的任何時間，期權(quán)均有價值，因為它提供了將來執(zhí)行權(quán)利的可能性。)(KPVSCttt45nIt is the part of the options value that may be attributed to the fact that it still has positive time to expiration.nMost of an options time valu

18、e typically is a type of “volatility value”nIs different from the time of money46n在到期日以前的任何時間 t ，這里 ，作為股票價格的函數(shù)，歐式看漲期權(quán)的價格 是 t 時股票價格 的光滑函數(shù)，其圖形如圖3所示。Tt )(ttSctS47n tS)(ttSc時間價值)(KPVStt48n當股票的價格遠遠大于執(zhí)行價格時，持有期權(quán)并不比持有股票占多大的優(yōu)勢。n當股票的價格遠遠小于執(zhí)行價格時，股票價格上漲超過的可能性很小，從而期權(quán)的價格為零。49還有哪些因素影響期權(quán)的價格？n執(zhí)行價格n標的股票價格的方差n無風險利率501

19、）執(zhí)行價格n一種看漲期權(quán)，其執(zhí)行價格越小，股票價格超過的可能性就越大，這種看漲期權(quán)也就越有價值。對于看跌期權(quán)，結(jié)果正好相反。512）標的股票價格的方差n在投資的過程中，投資者偏好以方差較大的股票為標的物的期權(quán)。方差越大，股票價格超過執(zhí)行價格的概率越大，這種期權(quán)對投資者也就越有價值52n假設有兩種期權(quán)，具有相同的執(zhí)行價格，但標的股票價格的分布不同，如圖4，這兩個分布的期望值相同，方差不同。我們偏好于哪一種期權(quán)？n圖4 股票價格的分布S Sf53標的股票價格的方差n因為只有當股票的價格大于執(zhí)行價格時，我們才能從期權(quán)合約中獲得收益。股票價格分布的方差越大，股票價格超過執(zhí)行價格的概率也就越大，我們獲得

20、收益的概率也就越大。所以，我們偏好以方差較大的股票為標的物的期權(quán)。n期權(quán)的價值與標的資產(chǎn)的價值之間的重大差別：如果持有標的資產(chǎn)，我們獲得收益的可能性由標的資產(chǎn)價格的整個概率分布決定。作為風險厭惡者，我們不喜歡高風險。如果我們持有期權(quán)，我們獲得收益的可能性由標的資產(chǎn)價格的尾部概率分布決定。期權(quán)的這種性質(zhì)使得大的方差更具有吸引力。54n例子：假設某家公司得到一筆長期貸款，每年應支付的利息為8000元。該公司可以把這筆貸款用于下面兩個項目中的一個。這兩個項目具有相同的5000元的期望現(xiàn)金流。n 項目1 項目2n概率 現(xiàn)金流 概率 現(xiàn)金流n0.2 4,0000.4 0n0.6 5,0000.2 5,0

21、00n0.2 6,0000.4 10,000標的股票價格的方差55n如果投資到第一個項目，該公司將破產(chǎn)，因為所有可能的現(xiàn)金流都比償還利息所需的8000元少。n由于第二個項目的方差較大，所以有40%的機會，除能夠償還利息外，還有2000元的剩余。顯然，該公司將選擇第二個項目。盡管它的風險更大，但是存在40%的機會給公司帶來正的利潤。標的股票價格的方差56n這個例子形象地說明了期權(quán)的持有者為什么更偏好大的方差。同時，這個例子也引入了一種重要的觀點。一個公司的股東實際上是一種期權(quán)的持有者，這種期權(quán)以公司的市場值為標的物。當公司的市場值比它所需償還的債務低時，公司破產(chǎn)。這時，股東允許期權(quán)到期而不執(zhí)行，

22、股東所持有的股票的價值為零；股東把公司移交給債權(quán)人，債權(quán)人獲得公司作為補償。當公司的市場值比它所需償還的債務高時，股東執(zhí)行期權(quán)，償還債權(quán)人的債務后，股東獲得剩余的利潤。573）無風險利率n在所有的因素里，這個因素是最不直觀的。一般說來，無風險利率越大，執(zhí)行價格的現(xiàn)值也就越小，這樣的期權(quán)也就越有價值。但是，無風險利率越大，股票的回報率也應該越高。從而，在到期日，股票的價格也應該越低，這時，期權(quán)的價格應該越低。但是，第一種作用是主要的。58影響看漲期權(quán)的價格的因素n在確定看漲期權(quán)的價格時，有五種因素是重要的：標的資產(chǎn)的價格，期權(quán)的執(zhí)行價格，標的資產(chǎn)價格的方差，到期日（實際應該是剩下的到期時間），以

23、及無風險利率。把歐式看漲期權(quán)的價格寫成如下的函數(shù)形式：fttrtTKSfc,24 歐式期權(quán)組合策略，圖形表示歐式期權(quán)組合策略，圖形表示60n假設：歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)具假設：歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)具有相同的到期日和相同的標的股票，并有相同的到期日和相同的標的股票，并且假設執(zhí)行價格等于標的股票期初的價且假設執(zhí)行價格等于標的股票期初的價格。格。61例子nInterest rate=3%/yearnCall Option nT=6 monthnK=$110nInitial stock price=$100nInitial option price $5nPut Option nT=6 mo

24、nthnK=$110nInitial stock price=$100nInitial option price $462n在T=6 month，當n在T=6 month，當100TS100TS63n組合策略恒等式TSTWBcpS64n買一份股票并買一份以此股票為標的物的看跌期權(quán)所獲得的收益，和持有一份債券并買一份以同樣股票為標的物的看漲期權(quán)所獲得的收益是一樣的。nThe put against downside losses65歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)價格之間的歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)價格之間的平價關(guān)系平價關(guān)系(put-call parity)ffrKSrpc11000n假設歐式看漲、看跌期權(quán)具

25、有相同的標的物、相同的到期日、相同的執(zhí)行價格n簡單一期模型n連續(xù)復利TrfKeSpc00066n有紅利時歐式期權(quán)的平價關(guān)系n美式期權(quán)不存在平價關(guān)系TrfeSpDc0005 . 期權(quán)定價理論期權(quán)定價理論二項式方法二項式方法68nBlack-Scholes 模型模型n等價鞅測度模型等價鞅測度模型n二項分布方法二項分布方法n在應用這種方法時，最重要的是套期保值套期保值的概念。套期保值最形象、最簡單的例子是有關(guān)保險中的定價問題。n可用于對美式期權(quán)的定價n可用于對標的物有紅利的期權(quán)定價69n假設1：標的股票不支付紅利n假設2：證券市場是無摩擦的和完全競爭的，且不存在套利機會。70nA. 以股票為標的物的

26、看漲期權(quán)的簡單二項模型n標的股票的價格服從二項分布產(chǎn)生的過程：n n 圖 一期二項式生成過程SuSdSqq171n這里 =股票現(xiàn)在的價格 =股票價格上漲的概率 =一期的無風險利率 =股票價格上漲的幅度 =股票價格下跌的幅度Sqfrud72n例子：n n20S24uS4 .13dSqq11 . 0fr21K2 . 1u67. 0d73n注：對 的假設，在這個假設之下，不管經(jīng)過多少期，股票的價格永遠不會跌到零以下。但是，對股票價格上漲的界沒有限制。 d74n每期的無風險利率為 。對 的限制為 ，這是無套利條件。直觀地可以看出，無論是 （這時，無風險利率總比股票的風險回報率高）還是 （這時，無風險利

27、率總比股票的風險回報率低），都存在套利機會。不失一般性，假設 。 frfrdruf1durf1frdu10fr75n以股票為標的物的歐式看漲期權(quán)，執(zhí)行價格為 ，到期日為一期，它的現(xiàn)價以 表示。該期權(quán)在到期日的支付如下圖n n 圖 歐式看漲期權(quán)的支付 Kcqq1c3, 0maxKuScu0, 0maxKdScd76n構(gòu)造無風險套期保值證券組合：以價格 買一份股票，寫 份以股票為標的物的看漲期權(quán)（ 稱為套期保值比率）。下圖說明了這個套期保值證券組合的到期支付。如果這個套期保值證券組合在每種狀態(tài)下的到期支付都相等，則這個證券組合是無風險的。n 圖11 套期保值證券組合的到期支付 SmmqmcSumc

28、uSdmcdSq177 n讓支付相等，得到： n = n從上式中解出看漲期權(quán)的份數(shù) ： nn把例子里的數(shù)字代入，得到 =3.53 n因此，無風險套期保值證券組合包括買一份股票，寫3.53份看漲期權(quán)。在兩個狀態(tài)下的支付相等，如下表：n不確定狀態(tài) 證券組合 支付 n 好狀態(tài) 1.2(20元)-3.53(3元)=13.40元 n 壞狀態(tài) 0.67(20元)-3.53(0元)=13.40元 umcuSdmcdSmduccduSmmumcuSdmcdS78n因為套期保值證券組合是無風險的，它的終端支付應該等于它的現(xiàn)價乘以 ，即，從這個式子得出期權(quán)的價格： nn設n則fr1ufmcuSmcSr1ffdfu

29、rdurucdudrcc111dudrPf1duruPf1179nfdurpcpcc1180n這里定義 的總是大于0而小于1，具有概率的性質(zhì)，我們稱之為套期保值概率套期保值概率。n從 的定義可以看出，無套利條件 成立當且僅當 大于0而小于1（即，保證 是概率）。PPdruf1PP81n 是當市場達到均衡時，風險中性者所認為的 值，即，股票價格上漲的概率。作為風險中性者，投資者僅僅需要投資在風險股票上的回報率為無風險利率：n從中解出值，得到：n所以，對一個風險中性者來說， = ，而(24)式中看漲期權(quán)的價格可以解釋為，在一個風險中性環(huán)境中，期權(quán)的期望終端支付的折現(xiàn)值。 PqdSqquSSrf)1

30、 (1dudrqf1Pq82n在求得看漲期權(quán)價格的過程中，有兩點是至關(guān)重要的：n市場完備性n套期保值證券組合的存在性；n無套利n無風險的套期保值證券組合的的回報率為無風險利率。 83n 看漲期權(quán)的定價公式具有以下三個有趣的特征：1該公式不依賴于股票價格上漲的概率。這使得，即使投資者的預期不一致，只要他們對別的參數(shù)的估計一致（包括 ），他們就會有一樣的定價公式。2該公式的獲得不依賴個體對風險的偏好。所需的假設僅僅只是無套利。3該公式依賴的唯一隨機變量是標的股票。（例如，與市場證券組合無關(guān)）frKSdu,84nB. 兩期模型n 圖12 股票價格SquSdSudSSu2Sd2q185nn 圖13 歐

31、式看漲期權(quán)的支付 cqucdcduudcc uucddcq186n假設兩期的無風險利率為 。利用一期期權(quán)的定價公式(24)得到期權(quán)在一期末的價值 和 n n21frucdcfuduuurpcpcc11fdddudrpcpcc1187n把和當作一期模型的終端支付，再一次利用一期期權(quán)的定價公式(24)得到期權(quán)的現(xiàn)在價格：fdurpcpcc1188n把(25)和(26)式代入得到： n n22211)1 (1fddduuduurcppcpcppcpc89n可以把(27)式中的分子部分看成是一期模型的定價公式(24)式的分子的二項展開。n(27)式的另外一種解釋是，看漲期權(quán)的價格等于期權(quán)在兩期末的期望支付的折現(xiàn)值，這里所用的概率