第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析

1、注：1） 2008年春季講課用；2）帶下劃線的黑體字為板書(shū)內(nèi)容；3）公式及帶波浪線的部分為必講內(nèi)容第3章工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析3.1引言在第2章中，我們只討論了工業(yè)機(jī)器人的位移關(guān)系，還未涉及到力、速度、加速度。由 理論力學(xué)的知識(shí)我們知道，動(dòng)力學(xué)研究的是物體的運(yùn)動(dòng)和受力之間的關(guān)系。要對(duì)工業(yè)機(jī)器人 進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)和性能分析，在使用中實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)性能良好的實(shí)時(shí)控制，就需要對(duì)工業(yè)機(jī)器人 的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析。在本章中，我們將介紹工業(yè)機(jī)器人在實(shí)際作業(yè)中遇到的靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué) 問(wèn)題，為以后“工業(yè)機(jī)器人控制”等章的學(xué)習(xí)打下一個(gè)基礎(chǔ)。在后面的敘述中，我們所說(shuō)的力或力矩都是“廣義的”，包括力和力矩。工業(yè)機(jī)器人作業(yè)時(shí)

2、，在工業(yè)機(jī)器人和環(huán)境之間存在著相互作用力。外界對(duì)手部（或末端 操作器）的作用力將導(dǎo)致各關(guān)節(jié)產(chǎn)生相應(yīng)的作用力。假定工業(yè)機(jī)器人各關(guān)節(jié)“鎖住”，關(guān)節(jié)的“鎖定用”力和外界環(huán)境施加給手部的作用力取得靜力學(xué)平衡。工業(yè)機(jī)器人靜力學(xué)就是分析手部上的作用力和各關(guān)節(jié)“鎖定用”力之間的平衡關(guān)系，從而根據(jù)外界環(huán)境在手部上的作用力求出各關(guān)節(jié)的“鎖定用”力，或者根據(jù)已知的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力求解出手部的輸出力。關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力和手部施加的力之間的關(guān)系是工業(yè)機(jī)器人操作臂力控制的基礎(chǔ)，也是利用 達(dá)朗貝爾原理解決工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)。工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問(wèn)題有兩類(lèi)：（1）動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題已知關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力，求工業(yè)機(jī)器人 系統(tǒng)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，包括

3、關(guān)節(jié)位移、速度和加速度。 （2）動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題已知運(yùn)動(dòng)軌跡點(diǎn) 上的關(guān)節(jié)位移、速度和加速度，求出相應(yīng)的關(guān)節(jié)力矩。研究工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的目的是多方面的。動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題對(duì)工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)仿真是非常 有用的。動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題對(duì)實(shí)現(xiàn)工業(yè)機(jī)器人實(shí)時(shí)控制是相當(dāng)有用的。禾I用動(dòng)力學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)最 優(yōu)控制，以期達(dá)到良好的動(dòng)態(tài)性能和最優(yōu)指標(biāo)。工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型主要用于工業(yè)機(jī)器人的設(shè)計(jì)和離線編程。在設(shè)計(jì)中需根據(jù)連桿質(zhì) 量、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)參數(shù)，傳動(dòng)機(jī)構(gòu)特征和負(fù)載大小進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真，對(duì)其性能進(jìn)行分析，從 而決定工業(yè)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)和傳動(dòng)方案， 驗(yàn)算設(shè)計(jì)方案的合理性和可行性。 在離線編程時(shí)， 為了估計(jì)工業(yè)機(jī)器人高速運(yùn)動(dòng)引起的動(dòng)載荷和

4、路徑偏差，要進(jìn)行路徑控制仿真和動(dòng)態(tài)模型的 仿真。這些都必須以工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)。工業(yè)機(jī)器人是一個(gè)非線性的復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的求解比較困難，而且需要 較長(zhǎng)的運(yùn)算時(shí)間。因此，簡(jiǎn)化求解過(guò)程，最大限度地減少工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)在線計(jì)算的時(shí)間 是一個(gè)受到關(guān)注的研究課題。在這一章里，我們將首先討論和工業(yè)機(jī)器人速度和靜力學(xué)有關(guān)的雅可比矩陣，然后介紹 工業(yè)機(jī)器人的靜力學(xué)問(wèn)題和動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。3.2工業(yè)機(jī)器人速度雅可比和速度分析工業(yè)機(jī)器人速度雅可比數(shù)學(xué)上雅可比矩陣(Jacobian matrix)是一個(gè)多元函數(shù)的偏導(dǎo)矩陣 假設(shè)有六個(gè)函數(shù)，每個(gè)函數(shù)有六個(gè)變量，即：(3-1)y = fi(Xi,X2,X3

5、,X4,X5,X6) 目2 = f2(Xi，X2，X3，X4，X5，X6)6 工 f6(Xi,X2,X3,X4,X5,X6)可寫(xiě)成:將其微分，得:dyidy2汴f1 .-dx1- dx2cx2;f2X.:f22 dx1:x1汗1人 dx6-X6ff22 dx6-X6(3-2)dy6主dX2:x24X6-X6也可簡(jiǎn)寫(xiě)成:(3-3)cFdYdXcX式(3-3)中的(6X 6)矩陣叫做雅可比矩陣。在工業(yè)機(jī)器人速度分析和以后的靜力學(xué)分析中都將遇到類(lèi)似的矩陣，我們稱之為工業(yè)機(jī)器人雅可比矩陣，或簡(jiǎn)稱雅可比。一般用符號(hào)J表示。圖3-1為二自由度平面關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人(2R工業(yè)機(jī)器人)，其端點(diǎn)位置x, y和關(guān)節(jié)

6、變 量?jī)摇⒍?的關(guān)系為：(3-4)Xhhcod +I2COS +日2) =h sin耳 +l2sin( 中日2)即：將其微分，得：將其寫(xiě)成矩陣形式為:；x = x(日i,劃)$ (日1,日2)dxIdyl2龍l171OoXo端點(diǎn)(X，y)T圖3-1二自由度平面關(guān)節(jié)工業(yè)機(jī)器 人(3-5)(3-6)(3-7)(3-8)嚴(yán)1=胡1dy旦令:日2一 exex J =C02式(3-6)可簡(jiǎn)寫(xiě)為：dX= Jd 日式中：心;d 日 1 I d日=我們將J稱為圖3-1所示二自由度平面關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人的速度雅可比，它反映了關(guān)節(jié)空間微小運(yùn)動(dòng)d，和手部作業(yè)空間微小位移dX之間的關(guān)系。注意:dX此時(shí)表示微小 線位移。

7、若對(duì)式(3-7)進(jìn)行運(yùn)算，則2R工業(yè)機(jī)器人的雅可比寫(xiě)為：2)(3-9)q表示，q= q1 q2dq= dq1 dq2 dqn反X表示，它是關(guān)節(jié)變量-l1siny _l2sin(叫 丁2)- l2sin(刊 丁J IICOSK JCOSG 丁2)l2cos 丁2)從J中元素的組成可見(jiàn)，J陣的值是X及二2的函數(shù)。對(duì)于n個(gè)自由度的工業(yè)機(jī)器人，其關(guān)節(jié)變量可以用廣義關(guān)節(jié)變量 qnT，當(dāng)關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，qi=r，當(dāng)關(guān)節(jié)為移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，qi = di 映了關(guān)節(jié)空間的微小運(yùn)動(dòng)。工業(yè)機(jī)器人手部在操作空間的運(yùn)動(dòng)參數(shù)用 的函數(shù)，即X= X(q),并且是一個(gè)6維列矢量(因?yàn)楸磉_(dá)空間剛體的運(yùn)動(dòng)需要 6個(gè)參數(shù)，即 三個(gè)沿

8、坐標(biāo)軸的獨(dú)立移動(dòng)和三個(gè)繞坐標(biāo)軸的獨(dú)立轉(zhuǎn)動(dòng))。因此，dX =dx dy dz 6牧6% MzT反 映了操作空間的微小運(yùn)動(dòng)，它由工業(yè)機(jī)器人手部微小 線位移和微小角位移(微小轉(zhuǎn)動(dòng))組成，d 和沒(méi)差別，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)上，dx= x0于是，參照(3-8)式可寫(xiě)出類(lèi)似的方程式，即：dX = J(q)dq(3-10)式中J(q)是6X n的偏導(dǎo)數(shù)矩陣，稱為n自由度工業(yè)機(jī)器人速度雅可比矩陣。它反映了關(guān)節(jié)空間微小運(yùn)動(dòng)dq和手部作業(yè)空間微小運(yùn)動(dòng)dX之間的關(guān)系。它的第i行第j列元素為：ex, (q)Jij(q)，i二 1, 2,，6; j二 1, 2,，n(3-11)工業(yè)機(jī)器人速度分析dXdtdqdt(3-12)(3-

9、13)對(duì)式(3-10)左、右兩邊各除以dt，得:V=J(q)q式中：V工業(yè)機(jī)器人手部在操作空間中的廣義速度，V = X ;q工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間中的關(guān)節(jié)速度；J(q)確定關(guān)節(jié)空間速度q和操作空間速度V之間關(guān)系的雅可比矩陣對(duì)于圖3-1所示2R工業(yè)機(jī)器人來(lái)說(shuō)，J(q)是式(3-9)所示的2X 2矩陣。若令J1、J2分別為式(3-9)所示雅可比的第一列矢量和第二列矢量，則式(3-13)可寫(xiě)成:V = JJ 2七式中右邊第一項(xiàng)表示僅由第一個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)引起的端點(diǎn)速度；右邊第二項(xiàng)表示僅由第二個(gè)關(guān)節(jié) 運(yùn)動(dòng)引起的端點(diǎn)速度；總的端點(diǎn)速度為這兩個(gè)速度矢量的合成。因此，工業(yè)機(jī)器人速度雅可 比的每一列表示其它關(guān)節(jié)不

10、動(dòng)而某一關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的端點(diǎn)速度。 a 3- - - *- -*- -. = -，-=- I - ，-= =，- - - - -圖3-1所示二自由度平面關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人手部的速度為：hs in 刊l2si n（y二2）l2si n（y匕）KVyhcosd +l2c（d + 日2）cos +日2） 62I sin 3 l2sin（y v2）匕 _ l2sin（宀 v2）v2 LcosU + l2c（0 +02）打 +l2cos +82）82假如和及2是時(shí)間的函數(shù)，sin(-60)0.5=6,力雅可比矩陣就有可能不是一個(gè)方陣，則JT就沒(méi)有逆解。所以，對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的求解就困難得多，在一般情況下不一定能得

11、 到唯一的解。如果F的維數(shù)比的維數(shù)低，且J是滿秩的話，則可利用最小二乘法求得F的估值。例3-2圖3-5所示的一個(gè)二自由度平面關(guān)節(jié)型機(jī)械手，已知手部端點(diǎn)力F二Fx, Fy T,求相應(yīng)于端點(diǎn)力F的關(guān)節(jié)力矩(不考慮摩擦)F =Fx，F(xiàn)yTo12C1J Yo土 liSR1 -解已知該機(jī)械手的速度雅可比為：-l iSi - l 2S( 3 J =| hey l2C(3則該機(jī)械手的力雅可比為：根據(jù)=JTF ,得:JiT =所以(a)-JSI * 二2)1中日2)l2/I# F2)l2C(曲兀)F殍眸92)【ll2 e(軌日 2)；0 Fy (b)_n圖3?5isin部端點(diǎn)力n(F 1和關(guān)節(jié)力矩I1C0S&

12、1+ bcos什日2)Fy稔=-l 2Sin( + 02)Fx+ l2 COSl+02)Fy若如圖3-5(b)所示，在某瞬時(shí)E = 0,n= 90 ,貝恠該瞬時(shí)和手部端點(diǎn)力相對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)力 矩為： 1=-l2Fx+ l1Fy2=- bFx3.4工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)研究的是各桿件的運(yùn)動(dòng)和作用力之間的關(guān)系。工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析 是工業(yè)機(jī)器人設(shè)計(jì)、運(yùn)動(dòng)仿真和動(dòng)態(tài)實(shí)時(shí)控制的基礎(chǔ)。在本章開(kāi)頭說(shuō)過(guò)，工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問(wèn)題有兩類(lèi)：1) 動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題一一已知關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力矩，求工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)參數(shù) (包括關(guān) 節(jié)位移、速度和加速度)。也就是說(shuō)，給出關(guān)節(jié)力矩向量.，求工業(yè)機(jī)器人所產(chǎn)生的運(yùn) 動(dòng)參數(shù)

13、及T。2) 動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題一一已知運(yùn)動(dòng)軌跡點(diǎn)上的關(guān)節(jié)位移、速度和加速度，求出所需要的關(guān)節(jié)力矩。即給出X二及二，求相應(yīng)的關(guān)節(jié)力矩向量0工業(yè)機(jī)器人是由多個(gè)連桿和多個(gè)關(guān)節(jié)組成的復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，具有多個(gè)輸入和多個(gè)輸 出。存在著錯(cuò)綜復(fù)雜的耦合關(guān)系和嚴(yán)重的非線性。因此，對(duì)于工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)的研究，引 起了十分廣泛的重視，所采用的方法很多，有拉格朗日(Lagra nge)方法、牛頓一歐拉方法(Newton-Euler)方法、高斯(Gauss)方法、凱恩(Kane)方法；旋量對(duì)偶數(shù)方法、羅伯遜一魏登堡 (Roberson-WitTenburg方法等。拉格朗日方法不僅能以最簡(jiǎn)單的形式求得非常復(fù)雜的系統(tǒng)動(dòng)力 學(xué)方

14、程，而且具有顯式結(jié)構(gòu)，物理意義比較明確，對(duì)理解工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)比較方便。因此， 本節(jié)只介紹拉格朗日方法，而且用簡(jiǎn)單實(shí)例進(jìn)行分析。工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的求解比較困難，而且需要較長(zhǎng)的運(yùn)算時(shí)間。因此，簡(jiǎn)化求解的 過(guò)程，最大限度地減少工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)在線計(jì)算的時(shí)間是一個(gè)受到關(guān)注的研究課題。拉格朗日方程1) 拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)L的定義是一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)能 Ek和勢(shì)能Eq之差，即：L = Ek - Eq(3-24)令qi(i = 1，2，n)是使系統(tǒng)具有完全確定位置的廣義關(guān)節(jié)變量， qi是相應(yīng)的廣義關(guān)節(jié) 速度。由于系統(tǒng)動(dòng)能Ek是qi和qi的函數(shù)，系統(tǒng)勢(shì)能Eq是qi的函數(shù)，因此拉格朗日函數(shù)也是 qi和

15、qi的函數(shù)。2) 拉格朗日方程系統(tǒng)的拉格朗日方程為：F-， i二 1, 2,，n(3-25)dt外 比|i式中，F(xiàn)i稱為關(guān)節(jié)i的廣義驅(qū)動(dòng)力。如果是移動(dòng)關(guān)節(jié)，則 Fi為驅(qū)動(dòng)力；如果是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，則 Fi為驅(qū)動(dòng)力矩。3) 用拉格朗日法建立工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程的步驟：(1) 選取坐標(biāo)系，選定完全而且獨(dú)立的廣義關(guān)節(jié)變量qi(i = 1，2，n)(2) 選定相應(yīng)的關(guān)節(jié)上的廣義力 Fi:當(dāng)qi是位移變量時(shí)，則Fi為力；當(dāng)q是角度變量時(shí)， 則Fi為力矩。(3) 求出工業(yè)機(jī)器人各構(gòu)件的動(dòng)能和勢(shì)能，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)。(4) 代入拉格朗日方程求得工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。二自由度平面關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程（動(dòng)

16、力學(xué)分析實(shí)例）1）廣義關(guān)節(jié)變量及廣義力的選定選取笛卡爾坐標(biāo)系如圖3-6所示。連桿I和連桿2的關(guān)節(jié)變量分別為轉(zhuǎn)角m和七，相應(yīng)的 關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的力矩是.1和2。連桿1和連桿2的質(zhì)量分別是mi和m2，桿長(zhǎng)分別為Ii和I2， 質(zhì)心分別在Ci和C2處，離相應(yīng)關(guān)節(jié)中心的距離分別為 pi和p2。因此，桿1質(zhì)心Ci的位置坐 標(biāo)為：X1 = P1si n“1 y1 = -p1cos1桿1質(zhì)心Ci的速度平方為：、2 2力二 pp12X1桿2質(zhì)心C2的位置坐標(biāo)為：X2= iisi+ p2Si n（j +n）y2 = -liCOSR - p2COS（n +V2）桿2質(zhì)心C2的速度平方為：=i1COp1 P2COS

17、玉）36=i1si n“ p2si n（ 丁 2）“ 丁2 y； 于 P；哥 r $ 2h P2 襯二樣2 cosi圖3-6二自由度工業(yè)機(jī)器 人動(dòng)力學(xué)方程的建立X2y22X22）系統(tǒng)動(dòng)能1 2 2Eq =刁g P1円3）!anSSEk2m2i12）12m2 p| 刊 v2m2i1 p2 刊2 刁二2 cosr222Ek 二 Ekim1 P12 mbh2 分m2 pl 刁 mzh P2 詳 n cosi呂22系統(tǒng)勢(shì)能（以質(zhì)心處于最低位置為勢(shì)能零點(diǎn)）Ep1 =口侮1 1 -cos3Ep2 = m2gh 1 -cosym2gp21 - cos 円 二2 12Ep 二 Epi 二 mb P1 m2l1

18、 g 1 -costm2gp21 - cost 】i 二4）拉格朗日函數(shù)L 二 Ek - Ep2mi p2 m2I：普m2 pf 片 二2m2I1 p2 片2 +2 cos-m1P1 m g 1 -cos -m2gp2 1 -cos 匕丨5）系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程 根據(jù)拉格朗日方程d cLgLFi dt cqi cqi可計(jì)算各關(guān)節(jié)上的力矩，得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。i = 1，2,，n計(jì)算關(guān)節(jié)1上的力矩1：:L222mip1m2l1r m2 p2 r ：F2m2l1p22“j2 cosr2:lmi p1m2l1 gsin 哥-m2gp2sin(刊：F2)所以d乩cL-1 :dt ：r &2222-m p1

19、m2p2 m2l1 2m2l1 p2cos寸2m2 p2 m2l1 p2cos寸2 寸2 r 2亠2m2l1 p2sin 3 亠 m2l1 p2sin j2)2 亠m1p1 m2l1 gsiny m2gp2sin(宀 r)上式可簡(jiǎn)寫(xiě)為：“ ”2 1 二 D1C1 D2 =2 D112二 1 =2 。122二2 D1(3-26)由此可得 2 2 2?！岸~小 +m2p2 +m2h +2m2l1p2co%22D12 = m2 p2 十 m2l1 p2cin 日2= D112 = 2m2h p?si n日 2D122 = -口2丨1 p?s in 日 2Dj = (g + m2h gsin6 +m2

20、gp2sin但勺 +日2)(3-27)所以關(guān)節(jié)2上的力矩2：LTi2:L2m2 P2 宀 =2m2ll pPlCO2fh P2E22)si2 - m2gp2Sin(r 二2)d cL亂-2 : dt ；：二 2乜= ：im2p；m2l1p2cosT2 3m2pd2 - m2l1 p2m2l1 p2 sinv2 2im2l1 p2sin2 刊m2gp2sin(t)2)上式可簡(jiǎn)寫(xiě)為:2 二 D2“ D226 D21pp2 - D21p12 - D2(3-28)由此可得:D21D22D212D211=m2 P2二-m2l1 p2m2l1 p2 sinr2=0二 m2l1p2sin(3-29)D2 =

21、m2gp2si n(q +日2)(3-27)及式(3-28)、(3-29)分別表示了關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩和關(guān)節(jié)位移、速度、加速度 3-6所示二自由度工業(yè)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程。式(3-26)、之間的關(guān)系，即力和運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，稱為圖 對(duì)其進(jìn)行分析可知：(1) 含有3或去的項(xiàng)表示由于加速度引起的關(guān)節(jié)力矩項(xiàng)，其中：含有Dii和D22的項(xiàng)分別表示由于關(guān)節(jié)1加速度和關(guān)節(jié)2加速度引起的慣性力矩項(xiàng)；含有Di2的項(xiàng)表示關(guān)節(jié)2的加速度對(duì)關(guān)節(jié)1的耦合慣性力矩項(xiàng)；含有D2i的項(xiàng)表示關(guān)節(jié)1的加速度對(duì)關(guān)節(jié)2的耦合慣性力矩項(xiàng)。 含有弓；和二；的項(xiàng)表示由于向心力引起的關(guān)節(jié)力矩項(xiàng)，其中：含有D122的項(xiàng)表示關(guān)節(jié)2速度引起的向心力對(duì)關(guān)節(jié)

22、1的耦合力矩項(xiàng)；含有D211的項(xiàng)表示關(guān)節(jié)1速度引起的向心力對(duì)關(guān)節(jié)2的耦合力矩項(xiàng)。(3) 含有二2的項(xiàng)表示由于哥氏力引起的關(guān)節(jié)力矩項(xiàng)，其中：含有D112的項(xiàng)表示哥氏力對(duì)關(guān)節(jié)1的耦合力矩項(xiàng)；含有D212的項(xiàng)表示哥氏力對(duì)關(guān)節(jié)2的耦合力矩項(xiàng)。(4) 只含關(guān)節(jié)變量E、R的項(xiàng)表示重力引起的關(guān)節(jié)力矩項(xiàng)。其中：含有D1的項(xiàng)表示連桿1、連桿2的質(zhì)量對(duì)關(guān)節(jié)1引起的重力矩項(xiàng)；含有D2的項(xiàng)表示連桿2的質(zhì)量對(duì)關(guān)節(jié)2引起的重力矩項(xiàng)。從上面推導(dǎo)可以看出，很簡(jiǎn)單的二自由度平面關(guān)節(jié)型工業(yè)機(jī)器人其動(dòng)力學(xué)方程已經(jīng)很復(fù) 雜了，包含很多因素，這些因素都在影響工業(yè)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)特性。對(duì)于復(fù)雜一些的多自由 度工業(yè)機(jī)器人，動(dòng)力學(xué)方程更龐雜了

23、，推導(dǎo)過(guò)程也更為復(fù)雜。不僅如此，對(duì)工業(yè)機(jī)器人實(shí)時(shí) 控制也帶來(lái)不小的麻煩。通常，有一些簡(jiǎn)化問(wèn)題的方法：(1) 當(dāng)桿件質(zhì)量不很大，重量很輕時(shí)，動(dòng)力學(xué)方程中的重力矩項(xiàng)可以省略；(2) 當(dāng)關(guān)節(jié)速度不很大，工業(yè)機(jī)器人不是高速工業(yè)機(jī)器人時(shí)，含有沂、二:、二門(mén)2等項(xiàng)可以省略；(3) 當(dāng)關(guān)節(jié)加速度不很大，也就是關(guān)節(jié)電機(jī)的升降速不是很突然時(shí)，那么含&、日2的項(xiàng)有可能給予省略。當(dāng)然，關(guān)節(jié)加速度的減少，會(huì)引起速度升降的時(shí)間增加，延長(zhǎng)了工業(yè)機(jī)器 人作業(yè)循環(huán)的時(shí)間。關(guān)節(jié)空間和操作空間動(dòng)力學(xué)1)關(guān)節(jié)空間和操作空間n個(gè)自由度操作臂的手部位姿 X由n個(gè)關(guān)節(jié)變量所決定，這n個(gè)關(guān)節(jié)變量也叫做n維關(guān) 節(jié)矢量q，所有關(guān)節(jié)矢量q構(gòu)成了

24、關(guān)節(jié)空間。而手部的作業(yè)是在直角坐標(biāo)空間中進(jìn)行的，即 操作臂手部位姿又是在直角坐標(biāo)空間中描述的，因此把這個(gè)空間叫做操作空間。運(yùn)動(dòng)學(xué)方程X = X (q)就是關(guān)節(jié)空間向操作空間的映射；而運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解則是由映射求其在關(guān)節(jié)空間中的原 像。在關(guān)節(jié)空間和操作空間中操作臂動(dòng)力學(xué)方程有不同的表示形式，并且兩者之間存在著一 定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。(3-30)2)關(guān)節(jié)空間動(dòng)力學(xué)方程和.帚TJ；I.；q =；q =日2一將式(3-26)、(3-27)及式(3-28)、(3-29)寫(xiě)成矩陣形式，則曠 D(q)q +H (q, q) + G (q)式中:所以、 小 p2+m2(h2 + p!+2h gcos)rni2(p； +

25、h P2cos2 D(q)m2(p；+l1p2COSV22m2 P2(3-31)H (q, q)hmgsin艸進(jìn)9站也一(3-32)(mpi G (q) = Hm2li gsiny m2P2gsin(R 屯)(3-33) m2 p2gs in(也+日2)式(3-30)就是操作臂在關(guān)節(jié)空間中的動(dòng)力學(xué)方程的一般結(jié)構(gòu)形式，它反映了關(guān)節(jié)力矩和關(guān)節(jié)變量、速度、加速度之間的函數(shù)關(guān)系。對(duì)于n個(gè)關(guān)節(jié)的操作臂，D(q)是nxn的正定對(duì)稱矩陣，是q的函數(shù)，稱為操作臂的慣性矩陣；H(q, q)是nX 1的離心力和哥氏力矢量；G(q)是nX 1的重力矢量，和操作臂的形位n有關(guān)。3) 操作空間動(dòng)力學(xué)方程和關(guān)節(jié)空間動(dòng)力學(xué)

26、方程相對(duì)應(yīng)，在笛卡爾操作空間中，可以用直角坐標(biāo)變量即手部位姿 的矢量X來(lái)表示工業(yè)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程。因此，操作力量和手部加速度X之間的關(guān)系可表示(3-34)為:F =M x(q)XUx(q, q) G x(q)式中，Mx(q)、Ux(q, q)和Gx(q)分別為操作空間中的慣性矩陣、離心力和哥氏力矢量、重力 矢量，它們都是在操作空間中表示的；F是廣義操作力矢量。關(guān)節(jié)空間動(dòng)力學(xué)方程和操作空間動(dòng)力學(xué)方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以通過(guò)廣義操作力F和廣義關(guān)節(jié)力矩之間的關(guān)系(3-35)(3-36)二 JT(q) F和操作空間和關(guān)節(jié)空間之間的速度、加速度的關(guān)系X =J( q) q 彳X = J(q)q J(q )q求出。=b = 0.5m，試求下面三種情況時(shí)的關(guān)節(jié)瞬時(shí)速V x (m/s )-1.001.0V y (m/s )01.01.0Qi30 s30。30-60。120-301.圖3-7所示二自由度機(jī)械手，桿長(zhǎng)為li 度哥和*。2.已知二自由度機(jī)械手的雅可比矩陣為:11卩Xo圖3