課題：極化恒等式在向量問題中的應用

1、課題：極化恒等式在向量問題中的應用目標1:通過自主學習掌握極化恒等式兩種模式，理解其幾何意義；目標2-1:通過對例1的自主學習掌握用極化恒等式求數(shù)量積的值；目標2-2:通過對例2的自主學習掌握用極化恒等式求數(shù)量積的最值、范圍;目標2-3:通過小組合作學習掌握極化恒等式解決與數(shù)量積有關的綜合問題。重點掌握極化恒等式，利用它解決一類與數(shù)量積有關的向量問題難點根據(jù)具體的問題情境，靈活運用極化恒等式目標達成途徑學習自我評價目標1:閱讀材料，了解極化恒等式的由來過程，掌握極化恒等式的兩種模式，并理解其幾何意義閱讀以下材料：引例：平彳亍四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型。你能用向量方法證明：平行四邊形的

2、對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍證明：不妨設ABa,ADb,則ACab,DBab,AC22ACra-2ba22ab22-22MfrmCDBDBaba2ab222f2(1)(2)兩式相加得:ACDB結論：平行四邊形對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍思考1:如果將上面(1)(2)兩式相減，能得到什么結論呢?22AB2-2ab=-abab極化恒等式4對于上述恒等式，用向量運算顯然容易證明。那么基于上面的引例，你覺得極化恒等式的幾何意義是什么？幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線'1'平方差的丄.4fr122即：abACDB(

3、平行四邊形模式)4思考：在圖1的三角形ABD中（M為BD的中點），此恒等式如何表示呢?因為AC2AM，所以ab,21,2AM|DB(三角形模式)目標2-1:掌握用極化恒等式求數(shù)量積的值找到三例1.（2012年浙江文15）在ABC中，M是BC的中點，AM3,BC10,uuuuuur則ABAC解：因為M是BC的中點，由極化恒等式得:1BC2=9-100=-16421ABACAM|4【小結】在運用極化恒等式的三角形模式時，關鍵在于取第三邊的中點,角形的中線，再寫出極化恒等式。目標檢測（2012北京文13改編）已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點，則DEDA的值為.目標2-2:掌握用極化

4、恒等式求數(shù)量積的最值、范圍O在CD上,2.3例2.（自編）已知正三角形ABC內(nèi)接于半徑為2勺圓O,點P是圓O上的一個動點,則PAPB的取值范圍是.解：取AB的中點D，連結CD,因為三角形ABC為正三角形，所以O為三角形ABC的重心，且OC2OD2，所以CD3,ABAB)（也可用正弦定理求又由極化恒等式得：21-AB4所以當P在點C處時,PAPBPDPD因為P在圓O上，|PD|max3|PDmin當P在CO的延長線與圓O的交點處時,所以PAPB2,6【小結】涉及數(shù)量積的范圍或最值時，可以利用極化恒等式將多變量轉變?yōu)閱巫兞浚儆脭?shù)形結合等方法求出單變量的范圍、最值即可。目標檢測2（2010福建文1

5、1）若點O和點F分別為橢圓:為橢圓上的任意一點，則OPFP的最大值為2y1的中心和左焦點，點P3A.2B.3C.6D.8問題、疑惑、錯解匯集能力提升目標2-3:會用極化恒等式解決與數(shù)量積有關的綜合問題例3.（2013浙江理7）在1ABC中，Po是邊AB上一定點，滿足PoBAB，4且對于邊AB上任一點P，uunuuu恒有PBPCumrPoBA.ABC90°B.BAC90°C.ABACD.ACBC則()目標檢測（2008浙江理9）已知a,b是平面內(nèi)2個互相垂直的單位向量，若向量c滿足（ac）（bc）0,則c的最大值是（）廠A.1B.2C.J2D也2問題、疑惑匯集知識、方法總結本

6、課的主要學習內(nèi)容是什么？極化恒等式：平行四邊形模型：三角形模型：極化恒等式在處理與有關問題時，顯得較有優(yōu)越性。課后檢測1.在ABC中，BAC60°若AB2,BC3,D在線段AC上運動，DBDA的最小值為2.已知AB是圓O的直徑，AB長為2,C是圓O上異于A,B的一點，P是圓O所在平面上任意一點uuruuuuuur則PAPBPC的最小值為()A.1111B.c.D.4323.在ABC中,AB3,AC4,BACuuuuuu則PBPC的最大值為60°，若P是ABC所在平面內(nèi)一點，且AP2，3x224若點O和點F(2,0)分別是雙曲線2y1(a0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上任auuuuuu意一點則OPFP的取值范圍是5在RtABC,ACBC2，已知點P是ABC內(nèi)一點，貝UPC(PAPB)的最小值是6.已知A、B是單位圓上的兩點，O為圓心，且AOB120o,MN是圓0的一條直徑，點C在圓內(nèi)，且滿足OCOA(1)OB(01)，貝UCMCN的取值范圍是(A.1,