4.2二維隨機變量函數(shù)的分布ppt課件

1、概率統(tǒng)計（ZYH） 本節(jié)討論如何由已知的二維隨機變量本節(jié)討論如何由已知的二維隨機變量(X,Y)的的分布去求它的函數(shù)分布去求它的函數(shù) Zg(X,Y)的分布的分布 設(shè)設(shè)(X,Y )是分布已知的二維隨機變量是分布已知的二維隨機變量, g(x, y)是是二元連續(xù)函數(shù)二元連續(xù)函數(shù), 那么那么Zg(X,Y)就是一個一維隨機就是一個一維隨機變量變量. 按定義按定義, 隨機變量隨機變量 Zg(X,Y)的分布函數(shù)應(yīng)為的分布函數(shù)應(yīng)為 4.2 二維隨機變量函數(shù)的分布二維隨機變量函數(shù)的分布),()(zYXgPzZPzFZ 概率統(tǒng)計（ZYH）例例1 設(shè)設(shè)(X, Y)的分布律的分布律 Y X 1 0 10 0.1 0.2

2、 0.21 0.1 0.1 0.3如右如右, 求求X+Y, max(X,Y )與與min(X,Y )的分布律的分布律.解解由由(X,Y)的分布律可列對應(yīng)表如下的分布律可列對應(yīng)表如下:pi j 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.3(X ,Y) (0,- -1) (0,0) (0,1) (1,- -1) (1,0) (1,1)X+ +Y - -1 0 1 0 1 2max(X,Y ) 0 0 1 1 1 1min(X,Y ) - -1 0 0 - -1 0 1概率統(tǒng)計（ZYH）分布律分布律pi j 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.3(X ,Y) (0,- -1) (0,0)

3、(0,1) (1,- -1) (1,0) (1,1)X+ +Y - -1 0 1 0 1 2max(X,Y ) 0 0 1 1 1 1min(X,Y ) - -1 0 0 - -1 0 1 3 . 05 . 02 . 0101),min(YX 7 . 03 . 010),max(YX + +3 . 03 . 03 . 01 . 02101YX將函數(shù)的所有可能取值重排并概率即可得將函數(shù)的所有可能取值重排并概率即可得概率統(tǒng)計（ZYH）設(shè)兩個獨立的隨機變量設(shè)兩個獨立的隨機變量X 與與Y 的分布律為的分布律為求隨機變量求隨機變量 Z=X+Y 的分布律的分布律.jijippyYxXP ,因因X與與Y 獨

4、立獨立, 所以所以解解例例2 2X ip317 . 03 . 0Y424 . 06 . 0jp ),(YX18. 012. 042. 028. 0YXZ+ + 3557YXZ+ + kzZP 35718. 054. 028. 0所求分布律：所求分布律：,jiyYxXP )2, 1()4, 1()2, 3()4, 3(概率統(tǒng)計（ZYH）(,)( , ),X Yf x yZXY + +設(shè)設(shè)的的密密度度為為則則的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為)(zZPzFZ yxyxfzyxdd),( + + xyOzyx + +( , )d dzxf x yyx+ + xty ( ,)d dzf x txtx+ ( ,)

5、d dzf x txxt+1) Z=X+Y 的分布的分布故故( )( ,)dZfzf x zxx+ + (, )df zy yy+ + 同同理理連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 概率統(tǒng)計（ZYH） 當當 X, Y 獨立時獨立時,也也可可表表示示為為)(zfZ + + yyfyzfzfYXZd)()()(xxzfxfzfYXZd)()()( + + .),()(),(的的兩兩個個邊邊緣緣分分布布密密度度分分別別為為其其中中YXyfxfYX卷積公式卷積公式 其它其它 , 0)1 , 0( , 1)(xxfX 其它其它 , 0)1 , 0( ,2)(yyyfY 例例3 設(shè)設(shè)X和和Y是

6、兩個相互獨立的隨機變量是兩個相互獨立的隨機變量, 分分布密度分別為布密度分別為和和求其和求其和 ZXY 的分布密度的分布密度概率統(tǒng)計（ZYH）解解 其它其它 , 0)1 , 0( , 1)(xxfX 其它其它 , 0)1 , 0( ,2)(yyyfY和和 + xxzfxfzfYXZd)()()( 10d)(xxzfY 其其它它,由卷積公式知由卷積公式知, ZXY的分布密度為的分布密度為 ztt0d2 11d2ztt010, z21, z 其其它它,2z22zz 010, z21, z 1d)(zzYttftxz zzYttf1d)(概率統(tǒng)計（ZYH）定理定理1),(222 NY),(211 N

7、X設(shè)設(shè)則則Z=X+Y亦服從正態(tài)分布亦服從正態(tài)分布, 且且).,(222121NYX+ + + +且相互獨立且相互獨立, 證證 + xxzfxfzfYXZd)()()(由卷積公式知由卷積公式知, ZXY 的分布密度為的分布密度為 + + xxzxd2)(2)(exp212222212121 + + + + + + + + + xzzxd2)(2exp21222122122221221212212221222121 tzx + + + + +22212212122122212221令令很繁的過很繁的過程程概率統(tǒng)計（ZYH）故令故令 + xxzfxfzfYXZd)()()( + + + + + +

8、+ + + xzzxd2)(2exp21222122122221221212212221222121 tzx + + + + +222122121221212221 + + + + + + ttzde21e2122)(222122221221 22212212)(2221e21z+ + + + ),(222121NYX+ + + +所所以以概率統(tǒng)計（ZYH）定理定理2), 2, 1(),(2niNXiii (獨立正態(tài)分布的線性組合定理）獨立正態(tài)分布的線性組合定理） 利用本定理和上節(jié)定理利用本定理和上節(jié)定理1, 不難得到更一般的不難得到更一般的態(tài)態(tài)分分布布相相互互獨獨立立且且分分別別服服從從正正

9、設(shè)設(shè)nXXX,21且且從從正正態(tài)態(tài)分分布布則則它它們們的的線線性性組組合合亦亦服服, niiiniiiniiiCCNXC12211, .,21為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中nCCC概率統(tǒng)計（ZYH）2) 最大值與最小值的分布最大值與最小值的分布),min(),max(YXNYXM ,( ),( ),XYX YFxFy設(shè)設(shè)相相互互獨獨立立 其其分分布布函函數(shù)數(shù)分分別別為為令令則有則有)(maxzMPzF ,zYzXP zYPzXP )()(zFzFYX )(minzNPzF 1zNP ,1zYzXP 1zYPzXP )(1)(11zFzFYX 1 1 1zYPzXP 概率統(tǒng)計（ZYH）結(jié)論結(jié)論的的

10、分分布布函函數(shù)數(shù)分分別別為為與與),min(),max(YXYX)()()(maxzFzFzFYX )(1)(1 1)(minzFzFzFYX 則則其其分分布布函函數(shù)數(shù)分分別別為為個個相相互互獨獨立立的的隨隨機機變變量量是是設(shè)設(shè)), 2 , 1(),(,21nixFnXXXiXni 推行推行)()()()(21maxzFzFzFzFnXXX )(1 )(1)(1 1)(21minzFzFzFzFnXXX 12,( ) ,nXXXF x若若相相互互獨獨立立且且同同服服從從分分布布則則nzFzF)()(max nzFzF)(1 1)(min 概率統(tǒng)計（ZYH）如如圖圖所所示示開開始始工工作作系系統(tǒng)

11、統(tǒng)損損壞壞時時當當系系統(tǒng)統(tǒng)用用備備并并聯(lián)聯(lián)串串聯(lián)聯(lián)連連接接方方式式分分別別為為接接而而成成聯(lián)聯(lián)統(tǒng)統(tǒng)由由兩兩個個相相互互獨獨立立的的子子系系設(shè)設(shè)系系統(tǒng)統(tǒng), ),(iii),(ii),(i),2121LLLLLXY1L2LXY2L1LXY2L1L),(),(,21 eeYXLL分分別別服服從從指指數(shù)數(shù)分分布布的的壽壽命命設(shè)設(shè).0, 0的的概概率率密密度度的的壽壽命命接接方方式式寫寫出出試試分分別別就就以以上上三三種種聯(lián)聯(lián)且且其其中中ZL 例例4概率統(tǒng)計（ZYH）() 串聯(lián)情況串聯(lián)情況,21就就停停止止工工作作系系統(tǒng)統(tǒng)中中有有一一個個損損壞壞時時由由于于當當LLL的的壽壽命命為為所所以以這這時時 L

12、).,min(YXZ 1e,0,( )0,0,xXxFxx 1e,0( )0,0yYyFyy )(1)(1 1)(minzFzFzFYX ()1e,00,0 zzz + + ()min()e,0( )0,0 zzfzz+ + XY1L2L解解概率統(tǒng)計（ZYH）的的壽壽命命為為所所以以這這時時 L).,max(YXZ )()()(maxzFzFzFYX (1e)(1e),00,0zzzz ()maxee()e,0( )0,0zz zzfzz+ + ,21才才停停止止工工作作系系統(tǒng)統(tǒng)都都損損壞壞時時由由于于當當且且僅僅當當LLL1e,0,( )0,0,xXxFxx 1e,0( )0,0yYyFyy XY2L1L() 并聯(lián)情況并聯(lián)情況概率統(tǒng)計（ZYH）