數(shù)學(xué)物理方法 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

1、數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法李祿山西大學(xué)理論物理研究所數(shù)學(xué)物理方法2015.02感興趣的方向感興趣的方向 光孤子傳輸理論 非線性動(dòng)力學(xué) 孤子理論 計(jì)算物理物理樓四層402-1房間電話(huà)學(xué)物理方法2015.02數(shù)學(xué)物理方法數(shù)學(xué)物理方法 復(fù)變函數(shù) 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方法2015.02參考書(shū)參考書(shū)數(shù)學(xué)物理方法，梁昆淼數(shù)學(xué)物理方法，郭本宏數(shù)學(xué)物理方法，姚端正，梁家寶數(shù)學(xué)物理方法，楊孔慶Methods of Mathematical Physics, R.Courant and D. Hilbert, Vol. 1 and 2, 1991Methods of Mathematica

2、l Physics, H.Jeffreys, 2007MatLab工程數(shù)學(xué)應(yīng)用，許波，劉征編著Maple計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)應(yīng)用及程序設(shè)計(jì)，李世奇，杜慧琴數(shù)學(xué)物理方法2015.02引言引言從數(shù)e講起211lim 1lim 12nnnnenn2.718281828e 0110 :12nn n1110 :12.593742460nn n2110 :12.704813829nn n3110 :12.716923932nn n4110 :12.718145927nn n5110 :12.718268237nn n6110 :12.718280469nn n數(shù)學(xué)物理方法2015.022312!3!nxxxxe

3、xn 1111 12!3!en 310 :2.71828182845905n e10:2.71828180114638n e210 :2.71828182845905n e級(jí)數(shù)的作用( )20000000()()()( )()1!2!nnfxfxfxf xf xxxxxxxn數(shù)學(xué)物理方法2015.02再看圓周率3.141592654 2lr227 1111111( 1)435721nnn 110 :3.04183961892940n 210 :3.13159290355855n 310 :3.14059265383979n 410 :3.14149265359003n 510 :3.14158

4、265358972n 610 :3.14159165358977n 710 :3.14159255358979n 810 :3.14159264358933n 910 :3.14159265258805n 1010:3.14159265405393n 數(shù)學(xué)物理方法2015.02有理數(shù)-無(wú)理數(shù)231 11 111 1131(1)(1)(1)1!22!223!2221 11323(1)!2222nxxxxn xn ( ,0)q q ppp有理數(shù)是互質(zhì)的整數(shù)且112是無(wú)理數(shù)1 11 111 1131 11323211!22!223!222!2222nn 910 :21.41421356237310n

5、 數(shù)學(xué)物理方法2015.02011lim 1nnen1111111lim( 1)435721NnNnn 1 11 111 1131 113232lim 11!22!223!222!2222nnn有理數(shù) 無(wú)理數(shù) 實(shí)數(shù)2?10 x 數(shù)學(xué)物理方法2015.02獨(dú)木橋數(shù)學(xué)物理方法2015.02孫悟空三打白骨精數(shù)學(xué)物理方法2015.02蜜蜂和蒼蠅數(shù)學(xué)物理方法2015.02UFO數(shù)學(xué)物理方法2015.02黃河十八灣和亞馬遜流域數(shù)學(xué)物理方法2015.02黃河大橋數(shù)學(xué)物理方法2015.02不識(shí)廬山真面貌，不識(shí)廬山真面貌，只因身在此山中。只因身在此山中。不識(shí)微積分真面貌，不識(shí)微積分真面貌，只因你在微積分中。只因

6、你在微積分中。數(shù)學(xué)物理方法2015.02第一章第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)及運(yùn)算復(fù)數(shù)及運(yùn)算第二節(jié)第二節(jié) 區(qū)域區(qū)域第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)第四節(jié)第四節(jié) 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性數(shù)學(xué)物理方法2015.02微積分微積分研究對(duì)象：研究對(duì)象：函數(shù)函數(shù)研究手段：研究手段：極限極限研究?jī)?nèi)容：研究?jī)?nèi)容：連續(xù)、微分、積分連續(xù)、微分、積分基礎(chǔ)：基礎(chǔ)：實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)及運(yùn)算復(fù)數(shù)及運(yùn)算復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)相等復(fù)數(shù)形如z=x+iy的數(shù)被稱(chēng)為復(fù)數(shù)，其中x , yR。x=Rez，y=Imz分別為z的實(shí)部和虛部，i為虛數(shù)單位，其意義為

7、i2=-1z1=z2當(dāng)且僅當(dāng)Rez1= Rez2且Imz1= Imz1數(shù)學(xué)物理方法2015.02復(fù)平面復(fù)數(shù)與平面向量一一對(duì)應(yīng)z平面復(fù)數(shù)z=x+iy虛軸實(shí)軸22|yxrz模zzkArgarg2幅角復(fù)數(shù)不能比較大小主幅角第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)及運(yùn)算復(fù)數(shù)及運(yùn)算數(shù)學(xué)物理方法2015.02主幅角的確定0, 0 ,arctan0, 0 ,arctan0, 0 ,arctan0, 0 ,arctanargyxxyyxxyyxxyyxxyz2arctan2xyiyxiyxiyxiyx特別地0, 0 ,20, 0 ,2argyxyxz第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)及運(yùn)算復(fù)數(shù)及運(yùn)算數(shù)學(xué)物理方法2015.02復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)的表示代

8、數(shù)表示： z=x+iy三角表示： z=r(cos+isin)指數(shù)表示： z=rexp(i)注意在三角表示和指數(shù)表示下，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)模相等且幅角相差2k第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)及運(yùn)算復(fù)數(shù)及運(yùn)算數(shù)學(xué)物理方法2015.02復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的運(yùn)算設(shè)z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是兩個(gè)復(fù)數(shù)加減運(yùn)算z1 z2 =(x1 x2) +i(y1 y2 )復(fù)數(shù)加減法滿(mǎn)足平行四邊形法則，或三角形法則z1 +(- z2)- z2第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)及運(yùn)算復(fù)數(shù)及運(yùn)算數(shù)學(xué)物理方法2015.02乘法運(yùn)算)( iexp )sin(i)cos( )( i)(21212121211221212121rrrryxyxyyx

9、xzz兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘等于它們的模相乘，幅角相加第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)及運(yùn)算復(fù)數(shù)及運(yùn)算數(shù)學(xué)物理方法2015.02除法運(yùn)算)( iexp )sin(i)cos( i2121212121222212212222212121rrrryxyxyxyxyyxxzz兩個(gè)復(fù)數(shù)相除等于它們的模相除，幅角相減第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)及運(yùn)算復(fù)數(shù)及運(yùn)算數(shù)學(xué)物理方法2015.02共軛運(yùn)算復(fù)數(shù)z=x+iy的共軛復(fù)數(shù)為z*=x-iy共軛復(fù)數(shù)為z*是復(fù)數(shù)z關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)及運(yùn)算復(fù)數(shù)及運(yùn)算數(shù)學(xué)物理方法2015.02復(fù)球面復(fù)球面無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)及運(yùn)算復(fù)數(shù)及運(yùn)算數(shù)學(xué)物理方法2015.02舉例*212121, 4i3

10、, 5 i5zzzzzz和求設(shè))Re(2iy,iy212121222111zzzzzzxzxz證明：為兩個(gè)任意復(fù)數(shù)，設(shè)用復(fù)數(shù)形式來(lái)表述。的直線方程將過(guò)兩點(diǎn)222111iy,iyxzxz4100i1) i1 (和求第一節(jié)第一節(jié) 復(fù)數(shù)及運(yùn)算復(fù)數(shù)及運(yùn)算數(shù)學(xué)物理方法2015.02第二節(jié)第二節(jié) 區(qū)域區(qū)域區(qū)域的概念區(qū)域的概念鄰域平面上以z0為中心，為半徑的圓的內(nèi)部的點(diǎn)所組成的集合，稱(chēng)為z0的 -鄰域|z-z0|z00|z-z0|z0數(shù)學(xué)物理方法2015.02開(kāi)集設(shè)G為一平面點(diǎn)集，z0為G中任意一點(diǎn)，如果存在z0的一個(gè)鄰域，使該鄰域的所有點(diǎn)都屬于G，那么稱(chēng)z0為G的內(nèi)點(diǎn)。如果G內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，那么

11、稱(chēng)G為開(kāi)集。Gz0第二節(jié)第二節(jié) 區(qū)域區(qū)域數(shù)學(xué)物理方法2015.02區(qū)域平面點(diǎn)集D稱(chēng)為一個(gè)區(qū)域，如果它滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：1. D是開(kāi)集；2. D是連通的。邊界設(shè)D為復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域，如果點(diǎn) p不屬于D，但是在 p的任何鄰域內(nèi)都包含有D中的點(diǎn)，這樣的點(diǎn) p稱(chēng)為D的邊界點(diǎn)。D的邊界點(diǎn)之全體稱(chēng)為D的邊界，一般用D來(lái)表示。閉區(qū)域區(qū)域D連同它的邊界D一起構(gòu)成閉區(qū)域，記為DDz1z2p第二節(jié)第二節(jié) 區(qū)域區(qū)域數(shù)學(xué)物理方法2015.02Rz |x yORx yORRz |x yROrRzr|10Im,|zRzx yR-ROxO y0Imzx y21O21argz第二節(jié)第二節(jié) 區(qū)域區(qū)域數(shù)學(xué)物理方法2015.02

12、單連通域與多連通域單連通域與多連通域設(shè)B為復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域，如果在其中作一條簡(jiǎn)單的閉曲線（自身不相交的閉合曲線），而曲線內(nèi)部總屬于B ，則稱(chēng)B為單連通區(qū)域，否則稱(chēng)為多連通區(qū)域。B單連通域B多連通域第二節(jié)第二節(jié) 區(qū)域區(qū)域數(shù)學(xué)物理方法2015.022|z|bzaz1Re|zz舉例用復(fù)數(shù)表示的平面點(diǎn)集2/1Rez22Reaz bzazRe,arg4arg0iziz111zz第二節(jié)第二節(jié) 區(qū)域區(qū)域數(shù)學(xué)物理方法2015.02第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)之定義復(fù)變函數(shù)之定義設(shè)G是一個(gè)復(fù)數(shù)z=x+iy的集合。如果有一個(gè)確定的法則存在，按照這一法則，對(duì)于集合G中的每一個(gè)復(fù)數(shù)z，有一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)=u

13、+iv與之對(duì)應(yīng)，那么稱(chēng)復(fù)變數(shù)是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)，或復(fù)變函數(shù)，記為=f(z)。說(shuō)明1如果z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著的唯一一個(gè)值，那么我們稱(chēng)f(z)是單值的；如果z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著多個(gè)的值，那么我們稱(chēng)f(z)是多值函數(shù)。數(shù)學(xué)物理方法2015.02說(shuō)明2復(fù)變函數(shù)=f(z)可以看作是z平面到平面上的一個(gè)映射。復(fù)變函數(shù)=f(z)可以寫(xiě)成=u(x,y)+iv(x,y)，其中是z=x+iy=f(z)z平面平面第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02舉例求由z1=i, z2=2+i, z3=1三點(diǎn)構(gòu)成的三角形經(jīng)函數(shù)w=z*變換后在平面上的圖形。z1z2z3z平面平面123第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物

14、理方法2015.02舉例求0, 0r1經(jīng)=iz變換后在平面上的圖形。z平面平面=iz=zexp(i/2)第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02復(fù)變函數(shù)舉例復(fù)變函數(shù)舉例基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)yiyeexzsincosyxzi性質(zhì)yeeezxzArg ,isinycosy,0 ;,0iyxzexeey時(shí)時(shí))exp()exp()exp(2121zzzz)exp()2iexp(zz第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02舉例求z平面上帶形區(qū)域-Rez+, 0Imz經(jīng) =ez 變換后在平面上的圖形。=ez0, 00,veuyRxx注意,0,0 xxR yuev

15、 第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02根式函數(shù)22sini22coskkrz是主幅角其中, 1 , 0,krezi記2sini2cos0r2sini2cos1r注意根式函數(shù)是多值函數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02限制值域單值化的主要途徑限制值域或擴(kuò)大定義域限制值域的幅角范圍為,2)限制值域的幅角范圍為0,)01第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02Riemann面擴(kuò)大定義域2sini2cosrRiemann第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02RiemannGeorg Friedrich Bernhard Rie

16、mann (1826-1866)1826年9月17日，生于德國(guó)北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一個(gè)鄉(xiāng)村的窮苦牧師。黎曼是世界數(shù)學(xué)史上最具獨(dú)創(chuàng)精神的數(shù)學(xué)家之一。黎曼的著作不多，但卻異常深刻，極富于對(duì)概念的創(chuàng)造與想象。黎曼在其短暫的一生中為數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域作了許多奠基性、創(chuàng)造性的工作，為世界數(shù)學(xué)建立了豐功偉績(jī)。 復(fù)變函數(shù)論的奠基人；黎曼幾何的創(chuàng)始人；組合拓?fù)涞拈_(kāi)拓者。在微積分理論、解析數(shù)論、代數(shù)幾何、數(shù)學(xué)物理、微分方程等領(lǐng)域做出了的創(chuàng)造性和開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn)。 數(shù)學(xué)物理方法2015.02舉例1設(shè) ，規(guī)定0arg(z-1)2，求(2), (i), (0), (-i)。1z,45) 1arg(,) 1arg(

17、,43) 1arg(, 0) 1arg(02izzizzzzzz0arg0arg(1)2z1)2(8/3 iexp2)(4ii2/iexp)0(8/5 iexp2)(4i0,i2) 1arg(iexp| 1|)(kkzzz第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02舉例2設(shè) ，規(guī)定(2)=1, 討論z沿C1或C2連續(xù)變化到原點(diǎn)時(shí)，函數(shù)(0)的值。1z當(dāng)z沿C1移動(dòng)到z=0時(shí)，arg(z-1)|z=0=i)2/iexp()0(,2) 1arg(21arg00zzz當(dāng)z沿C2移動(dòng)到z=0時(shí)，arg(z-1)|z=0 =-i)2/iexp()0(,2) 1arg(21arg00zzz0,

18、i2) 1arg(iexp| 1|)(kkzzz(2)=1第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02對(duì)數(shù)函數(shù), 2, 1, 0,2argilnLnkkzzz的主幅角是其中zzarg的主值被稱(chēng)為zzzzLniarglnln值值，有無(wú)窮多個(gè)給定一個(gè)zz:Ln性質(zhì)1第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02單值化的主要途徑限制值域或擴(kuò)大定義域限制值域Riemann面第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02注意符號(hào)lnz與ln|z|，以及Lnz的區(qū)別性質(zhì)2恒等式21212121LnLn/LnLnLnLnzzzzzzzz下列式子不成立znzzzzzznznLn

19、/1LnlnlnlnLnLnn2121第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02舉例計(jì)算Ln2， Ln(-1) ，Ln(-i)，Ln(1+i)O x y1+i2-i-1第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02三角函數(shù)izizeeiz21sinizizeez21coszzzcossintanzzzsincoscot性質(zhì)周期性恒等式非有界函數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02舉例1. 求解sinz=0的全部根2. 求解sinz=2的全部根, 2, 1, 0,22)32ln(i, 2, 1, 0,nnznnz第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物理方

20、法2015.02反三角函數(shù)1iLnArccos2zzz21iLnArcsinzizziz-1iz1Ln2iArctanz第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02雙曲函數(shù)zzeez21coshzzeez21sinhzzzzeeeeztanh性質(zhì)1. 以2i為周期2. 與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的關(guān)系3. 恒等式第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02反雙曲函數(shù)1LnsinhArc2zzz1LnArccosh2zzzz-1z1Ln21sinhArcz第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02冪函數(shù)zzLnexp第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)物理方法2015.02復(fù)變函數(shù)的極限復(fù)變函數(shù)的極限設(shè)函數(shù)=f(z)定義在z0的去心鄰域0|z-z0|0， () 0，使當(dāng)0|z-z0| 時(shí)，有| f(z)-A