七年級上冊第四章幾何圖形初步教材分析文字稿及例題解析含答案

1、第四章幾何圖形初步教材分析一、教材分析1. 本章地位和作用本章是初中階段“圖形與幾何”領域的第一章，是初中幾何的起始章節(jié)，在前面兩個學段學習的“空間與圖形”內(nèi)容的基礎上，讓學生進一步欣賞豐富多彩的圖形世界，初步嘗試用數(shù)學的眼光觀察立體圖形與平面圖形，分析它們之間的關系并通過對線段和角等一些簡單幾何圖形的再認識，初步接觸由實驗幾何向推理幾何的過渡本章內(nèi)容是幾何知識的重要基礎，對后續(xù)幾何的學習有很重要的意義和作用（ 1） 內(nèi)容上：本章分為兩部分，第一部分“幾何圖形”，從觀察現(xiàn)實生活中的各種物體抽象出幾何圖形或幾何概念， 體會幾何圖形的抽象性特點和數(shù)學的抽象性 第二部分“線段、 角”是平面幾何中最基

2、礎也是最重要的圖形，有關線段和角的概念、公理、性質(zhì)，相關的畫法、計算、推理、幾何語言與圖形語言之間的轉化能力，對今后幾何學習將起到導向作用（ 2） 方法上： 三種數(shù)學語言 （文字語言、 符號語言、 圖形語言） 的轉化貫穿于學習的始終 要 學會用分析法、綜合法思考解決幾何問題，這也是今后解決幾何問題的基本方法（ 3） 思想上： 這一章中所涉及到從具體到抽象的思想、 把立體圖形轉化為平面圖形的思想、代數(shù)方法解決幾何問題的思想、數(shù)形結合的思想、運動變換的思想、分類討論的思想、方程的 思想以及應用意識的滲透2. 本章學習目標（ 1） 通過從實物和具體模型的抽象，了解幾何圖形、立體圖形與平面圖形以及幾何

3、體、平面和曲面、直線和曲線、點等概念（ 2）能畫出從不同方向看一些基本幾何體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）以及它們的簡單組合體得到的平面圖形；了解直棱柱、圓柱、圓錐的展開圖，能根據(jù)展開圖想象相應的幾何體，制作立體模型，在平面圖形和立體圖形相互轉換的過程中，培養(yǎng)空間觀念和空間想象力（ 3）進一步認識直線、射線、線段的概念，掌握它們的符號表示；掌握基本事實： “兩點確定一條直線”、“兩點之間，線段最短”，了解它們在生活和生產(chǎn)中的應用；理解兩點間距離的意義，能度量兩點間的距離；了解平面上兩條直線具有相交和不相交兩種位置關系；會比較線段的大??；理解線段的和、差及線段中點的概念，會畫一條線段等于已知線段（

4、4）理解角的概念，掌握角的符號表示；會比較角的大??；認識度、分、秒，并會進行簡單的換算，會計算角的和與差了解角的平分線、余角、補角的概念，知道余角和補角的性質(zhì)（ 5） 初步認識幾何圖形是描述現(xiàn)實世界的重要工具， 初步應用幾何圖形的知識解決一些簡單的實際問題， 培養(yǎng)學習圖形和幾何知識的興趣， 通過交流活動， 初步形成積極參與數(shù)學活動、主動與他人合作交流的意識3 .本章知識結構圖點、線、面、體從不同方向看立體圖形平面圖形幾何圖形展開立體圖形線段大小的比較直線、射線、線段兩點確定一條直線平面圖形角的度量兩點之間、線段最短角的大小比較與運算角的平分線余角和補角等角的補角相等等角的余角相等4 .重點、難

5、點重點：(1)幾何與圖形的基本概念， 線段、角的基本知識，圖形與幾何的知識與客觀實際的聯(lián)系.(2)熟悉一些基本的幾何語言，養(yǎng)成良好的幾何作圖的習慣，體會和模仿幾何計算的較為 規(guī)范的書寫方式.(3)結合立體圖形與平面圖形的互相轉化的學習，來發(fā)展空間觀念以及一些重要的概念、 性質(zhì).難點：(1)概念的抽象性：能由實物形狀想象(抽象)出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物形狀.(2)對圖形的表示方法，對幾何語言的認識與運用.(3)根據(jù)文字作圖的訓練，注意到其中可能蘊含的分類討論等情形.5.本章共16課時，具體分配如下(僅供參考)4.1 幾何圖形4課時4.2 直線、射線、線段3課時4.3 角5課時4.4 課題

6、學習2課時小結2課時二、教學建議1 .總體教學建議(1)教學中要注意與小學知識內(nèi)容的銜接，要在已有的知識基礎上教學，避免不適當?shù)闹貜?【小學要求】：對于一些簡單幾何體和平面圖形有一些感性的了解，能結合實例了解線段、 射線和直線，了解一些幾何體和平面圖形的基本特征，知道周角、平角，了解周角、平角、鈍角、 直角、銳角之間的大小關系，能辨認從不同方向(前面、側面、上面)看到的物體的形狀圖， 能認識最簡單的幾何體(長方體、正方體和圓柱)的展開圖 (2)要善于利用模型、生活實物、圖片、多媒體工具演示等要學生充分去體驗激發(fā)學生興 趣.多從生活中的實物出發(fā)，讓學生感受到圖形普遍存在于我們的周圍，運用信息技術

7、工具的 展現(xiàn)豐富多彩的圖形，進行動態(tài)演示.在實踐中培養(yǎng)學生學習的興趣.對于一些抽象的概念、 性質(zhì)等，也可借助實物或多媒體，讓學生在探索中逐步理解這些知識(3)要重視畫圖技能的培養(yǎng).應注意要求學生養(yǎng)成良好的習慣，畫圖要認真，圖應該畫得清楚、干凈，并能很好地表現(xiàn) 圖形之間的位置關系.在畫圖的過程中，一方面培養(yǎng)學生的繪圖技能，同時也培養(yǎng)學生嚴謹、 認真的學習態(tài)度，形成良好的個性品質(zhì).在這方面老師也應起到良好的示范作用.(4)要重視幾何語言的教學.幾何圖形是“空間與圖形”的研究對象，對它的一般描述表示是按“幾何模型一圖形一文 字一符號”這種程序進行的.其中，圖形是將幾何模型第一次抽象后的產(chǎn)物，也是形象

8、、直觀 的語言；文字語言是對圖形的描述、 解釋與討論；符號語言則是對文字語言的簡化和再次抽象.顯然，首先建立的是圖形語言，其次是文字語言，再次是符號語言，最后形成的是對于研究對象 的三種數(shù)學語言的綜合描述，有了這種整體認識，三種語言達到融匯貫通的程度，就能基本把 握對象了.要注意概念的定義和性質(zhì)的表述，逐步使學生懂得幾何語句的意義并能建立幾何語 句與圖形之間的聯(lián)系.準確的幾何語言應當貫穿課堂、作業(yè)、課外習題等各個環(huán)節(jié)，逐步訓練學生的幾何推理表 達.這些不僅是學習好本章的關鍵，同時對于學好以后各章也是很重要的.(5)在學習中通過對比(如直線、射線、線段)和類比(線段和角)加深理解.(6)注意訓練

9、幾何推理書寫方式，糾正用算術式進行幾何計算的習慣：1 1【“舊”習慣】90o 2 450 r新“寫法】 COB 1 AOB 1 90o 45o2 2【為什么習慣要“改” ？】體現(xiàn)了圖形語言和符號語言的對應；體現(xiàn)了推理的過程；從算術思 維到代數(shù)思維.(7)要通過立體圖形的三視圖與展開圖發(fā)展空間概念(不要過于總結規(guī)律).(8)要注重基本概念與性質(zhì)的教學.例如：在研究直線、線段、射線的有關概念時，容易出現(xiàn)延長直線或延長射線之類的錯誤，在第3頁共12頁用兩個大寫字母表示射線時，忽視第一個字母表示的是這條射線的頂點直線有這樣一個重要性質(zhì)： 經(jīng)過兩點有一條直線， 并且只有一條直線.即兩點確定一條直線 .線

10、段有這樣一條重要性質(zhì)：兩點的所有連線中，線段最短.簡單說成：兩點之間，線段最短這兩個性質(zhì)是研究幾何圖形的基礎，復習時應抓住性質(zhì)中的關鍵性字眼，不能出現(xiàn)似是而非的錯誤注意線段的中點是指把線段分成相等的兩條線段的點；而連結兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離.這里應特別注意線段與距離的區(qū)別，即距離是線段的長度，是一個量；線段則是一種圖形，它們之間是不能等同的在復習角的概念時，應注意理解兩種方式來描述，即一種是從一些實際問題中抽象地概括出來，即有公共端點的兩條射線組成的圖形，叫做角；另一種是用旋轉的觀點來定義，即一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形叫做角.角的兩種定義都告訴我們這樣一

11、些事實：（ 1）角有兩個特征：一是角有兩條射線，二是角的兩條射線必須有公共端點，兩者缺一不可；（ 2）由于射線是向一方無限延伸的，所以角的兩邊無所謂長短，即角的大小與它的邊的長短無關； （ 3）當角的大小一旦確定，它的大小就不因圖形的位置、圖形的放大或縮小而改變 .如一個37°的角放在放大或縮小若干倍的放大鏡下它仍然是37°不能誤認為角的大小也放大或縮小若干倍.另外對角的表示方法中， 當用三個大寫字母來表示時， 頂點的字母必須寫在中間，在角的兩邊上各取一點，將表示這兩個點的字母分別寫在頂點字母的兩旁，兩旁的字母不分前后在研究互為余角和互為補角時， 容易混淆這兩個概念.常常誤

12、認為互為余角的兩個角的和等于 180° ，互為補角的兩個角的和等于90° .（ 9 ）要準確把握好教學要求總體上說， 起始章的教學要求不宜過高， 要充分保護學生學習積極性， 避免產(chǎn)生畏難情緒，但是基礎知識要落實扎實，養(yǎng)成規(guī)范的表達分析習慣，為后續(xù)學習打好基礎，因此要注意根據(jù)學生具體情況來把握教學要求.立體圖形和平面圖形、點線面體的概念要求學生在實際背景中認識、理解這些概念，體會抽象的過程，而不是通過形式化的描述讓學生接受概念視圖的知識對于三視圖大部分內(nèi)容是安排在第 29章“視圖與投影”中的在這一章，沒有給出嚴格的三視圖的概念，是要求能從一組圖形中辨認出是從什么方向看得到的圖

13、形，能說出從不同方向看一些最基本的幾何體（長方體、正方體、圓柱、圓錐、球）以及它們的簡單組合所能得到的圖形（對于語言難以表達的，可畫出示意圖，基本形狀正確即可，不做尺寸要求）展開圖的要求教材從展開和折疊兩個方面都有要求，且教材中的習題中出現(xiàn)正方體表面有圖案的情況，這也是中考的一個熱點圓錐的側面展開圖在后面的章節(jié)還要再學習，其余的多面體的展開圖很少涉及，所以盡可能多做一些練習，盡量在本章中過關在教學中，可以從看圖分析圖形特點進行想象或先動手做再分析圖形，兩方面同時進行正方體的 11種展開圖，在操作中理解展開和折疊的過程，從不同的分類角度認識展開圖推理能力的要求教科書是按照“簡單說理”“說理”“推

14、理”“用符號表示推理”不同層次分階段逐步加深安排的在本章，不僅要求學生通過觀察、思考、探究等活動歸納出圖形的概念和性質(zhì)，還要“簡單說理” 直線和線段性質(zhì)的應用、 余角和補角的性質(zhì)的得出等都有簡單說理的成分 教 學中要注意利用這里“簡單說理”的因素，為后面逐步讓學生養(yǎng)成言之有據(jù)的習慣作準備規(guī)范的推理形式，學生雖然一開始接受有些困難，隨著教學的深入不斷地糾正、強化，學生是可以掌握的，為以后的幾何學習起到示范作用本章中線段的中點、角平分線、互余、互補、同角的余角（補角）相等，等角的余角（補角）相等，要從文、圖、式三方面加深理解，并加以應用，要配上適當?shù)木毩暎柟虒W生的說理（ 10）關于本章作圖的要求

15、：作一條線段等于已知線段作已知線段的中點作一個角等于已知角作一個角的平分線2. 各小節(jié)教學建議4 1 1 立體圖形與平面圖形知識點 1：在實際背景中了解立體圖形和平面圖形的概念，體會抽象的過程，能舉出實例教學建議：1 .理解從模型-圖形，就是數(shù)學化的過程.2 .能夠認清N棱柱和N棱錐，圓柱和圓錐，注意“棱”字和“錐”字的寫法；能區(qū)分棱柱（錐） 與圓柱（錐），能區(qū)分圓形和球體，不要求但也可以認識棱臺或圓臺知識點2：從不同角度看立體圖形得到平面圖形教學建議：簡單幾何體要求會畫圖；復雜幾何體能想象、辨認、說明即可知識點3：立體圖形的展開圖教學建議：1 對于立體圖形展開圖， 學生首先要分析認清立體圖形

16、的空間結構， 可以把每個面都標上它的位置名稱，在展開后方便分清每個面所達到的位置正方體的 11種展開圖，不要求學生記憶，重要的是展開和折疊的過程鼓勵學生自己動手嘗試圓錐的側面展開圖在后面圓一章中還能夠再學習，其余的多面體的展開圖很少涉及，所以盡可能多做一些練習，盡量在本章中過關2 . 通過“展開”和“圍成”兩種途徑認識常見幾何體的展開圖盡量提供學生動手操作的機會4 1 2 點、線、面、體知識點：能從幾何實體中抽象出點、線、面、體；知道“動成.教學建議：這部分學生在小學階段就有了相應的體驗，關鍵是學生能進一步抽象理解這些概念，如對第 5頁共 12頁點的認識，它只表示一個位置，沒有大小，甚至于無法

17、畫出來. 這里還要說明線分直線和曲線,面分平面和曲面.4. 2直線、射線、線段知識點1:三種基本幾何圖形的概念、表示、作圖、性質(zhì) 教學建議：聯(lián)系：射線、線段是直線的一部分，反向延長射線得到直線，兩方延長線段得到直線. 區(qū)別：名稱圖像表小延伸端點直線/B1 .直線AB（或直線BA）2 .直線l向兩端無 限延伸0不可度量射線/1 .射線AB2 .射線l向一端無 限延伸1不可度量線段aAB1 .線段AB（或線段BA）2 .線段a不可延伸2可度量知識點2:幾何語言和作圖；點和直線 教學建議：1 .應該學會“過某點”、“點在線上 /外”、“相交于某點”、“延長（到某點）”、“在 某線上截取"、

18、“連接 AB”、“作直線/射線/線段AB”、“有且只有”等說法，并能畫出相應 的圖形.2 .學生在書寫時可能會出現(xiàn)用小寫字母表示點的問題.知識點3:尺規(guī)作圖：作一條線段等于已知線段；疊合法比較兩條線段的長度大小 教學建議：要讓學生理解為什么在“射線”上截取，在直線或線段上截取行不行. 知識點4:線段的中點、N等分點的概念 教學建議：1.強調(diào)中點必須在線段上，可以提出探究性問題" MA=MB,能否斷言M就是線段AB的中 點？”，可以要學生利用尺規(guī)作圖進行探究.2.合理利用中點進行推理. 知識點5:線段的和差倍分 教學建議：1 .注意規(guī)范符號語言的書寫，要求學生模仿，從現(xiàn)在起必須變算術式

19、為幾何語言.2 .建議此時不上難題、綜合題，目的是先解決“三種語言”的問題，也為后續(xù)研究角的計 算打好基礎，分散難點.知識點1:角的兩種定義方法 教學建議：1 .通常情況下角的范圍是 (0o,180o .2 .明確角的分類.3 .在第二種定義下，說明角的范圍可以進一步擴展到0o和大于180°的角.知識點2：角的三種表示方法 教學建議：1 .角的表達規(guī)范問題.2 .書寫時盡量寫成簡潔的表達形式. 知識點3:角的大小、單位制、方位角 教學建議：1 .度分秒的轉換、計算是難點，學生對于60進制的換算還是不太適應.2 . 一般方位，都統(tǒng)一用“北偏 X”或“南偏X”表示；在圖中標記角度.4.

20、3. 2角的比較與運算知識點1:疊合法比較角度大?。唤欠志€的概念；角度和差倍分的計算 教學建議：1 .類比“線段”的研究來學習“角” .可以從以下方面作類比：定義、圖形、符號表示測量：測量工具、測量方法、度量單位比較大小：兩條線段/兩個角的大小關系的方法特殊位置：線段的等分點、角等分線和差倍分運算：感受運算中的推理和方程思想角的作圖：感受作圖中的方案設計2 .典型習題：線段角同一直線上有n個點，求線段的條數(shù).平面內(nèi)有共端點的n條射線，求角的個數(shù).已知：點C是直線AB上一點，滿足-1BC -AB , 2則點C有兩個可能位置：AC1BC2A已知：平面內(nèi)有 AOB,/ C射線 OC 滿足 BOC 1

21、 AOB, O_ B 則射線OC有兩個可能位置：C2已知：如圖，點C在線段AB上，M,N分別是線段 AC,BC中點，、，-1總有MN -AB .2已知：如圖，射線OC在AOB內(nèi)部，OM ,ON分別是 AOC, BOC平分線，A工士 -1 分/，M總有 MON - AOB ./2zCcN第7頁共12頁O步B*««A MCNB4. 3. 3余角和補角知識點：余角和補角的概念和計算教學建議：1 .明確這兩個概念僅表示數(shù)量關系、不涉及位置關系；但反過來，特殊的位置關系（垂直、鄰補角）則往往會出現(xiàn)兩個角互為余角/補角，可以用來計算角的大小.2 .可以考慮將性質(zhì)寫成 “已知-求證-證明

22、”的形式，讓學生初步感受幾何中的推理和證明.4.4課題學習制作長方體形狀的包裝紙盒通過這一學習體會長方體（立體圖形）與其側面展開圖（平面圖形）之間的關系.教學建議：可以安排與立體圖形展開圖教學結合進行.第四章幾何圖形初步小結復習1 .建立完善的認知結構，體會一些數(shù)學思想方法的應用.2 .注重滲透數(shù)學思想方法：分類討論思想、方程思想、數(shù)形結合思想等等. 分類討論思想例1.兩條相交直線與另外一條直線在同一平面內(nèi)，求它們的交點個數(shù)？分析 由于題設條件中并沒有明確這三條直線的具體位置，所以應分f#況討論.前兩條的關系很確定，當畫第三條時，會出現(xiàn)分類，或平行于某一條，或相交于同一個點，或相交不在同圖4第

23、9頁共12頁說明：在過平面上若干點可以畫多少條直線，應注意這些點的分情況討論；或在畫其它的圖形 時，應注意圖形的各種可能性 .方程思想在處理有關角的大小，線段大小的計算時常需要通過列方程來解決例.如果一個角的補角是 150°,求這個角的余角.分析若設這個角的大小為 x ,則這個角的余角是 90 -x, 列出方程求解.數(shù)形結合思想例.如圖，長方形紙片ABCD，點E、F分別在邊AB、CD上，連接EF.將/ BEF對折，點B落在直線EF上的點餐B處，得折痕EM ;將/ AEF對折，點A落在直線EF上的 點A'處，得折痕EN,求/ NEM的度數(shù).第8頁共12頁iA于是由這個角的補角是

24、150°可F A例2.點A, B, C 在同一條直線上， AB = 3 cm, BC=1 cm.求AC的長.說明：對于幾何中的一些概念、性質(zhì)及關系，應把幾何意義與數(shù)量關系結合起來加以認識，達 到形與數(shù)的統(tǒng)一.三、幾個主要知識點1 .從不同方向看例1.將兩個大小完全相同的杯子（如圖1-甲）疊放在一起（如圖 1-乙），則從上往下看圖乙,得到的平面圖形是（）解析：從上面往下看，可以看到上面杯子的底和兩杯子的口都是圓形，應用實線表示，故選C.例2.圖2是一個幾何體的實物圖，從正面看這個幾何體，得到的平面圖形是（）解析：此幾何體由上下兩部分組成，從正面看上面的幾何體，看到的是一個等腰梯形，從正

25、面看下面的幾何體，看到的是一個長方形，再根據(jù)上面的幾何體放置的位置特征，應選C.2 .展開與折疊例3.如圖3所示的平面圖形中，不可能圍成圓錐的是（）圖3解析：圓錐的展開圖是一個圓和一個扇形,D選項中是一個圓和一個三角形,不能圍成圓車B,故選 D.例4.圖4是正方體的展開圖，原正方體相對兩個面上的數(shù)字之和的最小值是解析：將正方體的展開圖折成正方體，可以得到2與6兩個面相對，3與4兩個面相對，1與5兩個面相對，所以相對兩個面上的數(shù)字之和的最小值是：1+5=6.故填6.3 .線段的性質(zhì)與計算例5.在修建崇欽高速公路時，有時需要將彎曲的道路改直，依據(jù)是 .解析：本題是線段性質(zhì)的實際應用，根據(jù)線段的性質(zhì)

26、直接得到答案.應填“兩點之間，線段最短.”例6.如圖5,點C是線段AB上的點，點D是線段BC的中點，若AB=12, 圖5AC=8,則 CD=.解析：由圖可知，CB=AB-AC=12-8=4.又因為D是BC的中點，所以 CD=1 BC=2.故填2. 24 .角度的計算例7.如圖6所示，已知 O是直線AB上一點，/1=40°, OD平分/BOC,則/ 2的度數(shù)是()A. 20B. 25 °C.30 °D.70第12頁共12頁O圖6OE± AB, /BOD=45,解析：由/ 1=40。及平角定義，可求出/BOC的度數(shù)，由角平分線的定義,通過/ BOC=2Z 2

27、可求出Z2的度數(shù).因為 71=40°,所以 /BOC=180_ZAOC=140. °，一一八八一1又因為OD是/BOC的平分線，所以 / 2=2 / BOC=70.。故選D.例8.如圖7,直線AB與直線CD相交于點 O, E是/AOD內(nèi)一點，已知則/COE的度數(shù)是（）A. 125 ° B. 135 °C. 145解析：因為OE，AB,所以/ BOE=90.因為 / BOD=45 ,所以 / DOE=45 .所以/COE=180-/DOE=135.故選 B.5 .余角與補角例9. (1)已知/“= 20°,則/ a的余角等于度(2) 一個角的補角

28、是 36° 35',這個角是.解析：（1）由余角定義，/ a的余角為：90 -20 =70° .故填70.（2）由補角定義，這個角是：180° -36° 35' =143° 25'.故填143° 25'.6 .規(guī)律探究問題例10.平面上不重合的兩點確定1條直線，不同三點最多可確定3條直線，若平面上不同的八個點最多可確定直線（）A. 25 條B. 26 條C. 27 條D. 28 條解析：用n表示平面上的點數(shù)，當 n=2時，有1條直線；當n=3時，最多有直線：2+1=3 （條）；當n=4時，最多有直線：3+2+1=6（條），由此可見，平面內(nèi)有n個點時，最多可畫出n（n一1）2條直線.所以平面上不同的八個點最多可確定直線：8（88 =28 （條）.故選D.2四、易錯點點撥舉例易錯點1對概念、性質(zhì)把握不準例1有下列說法：直線是射線長度的2倍；線段AB是直線BA的一部分；直線、射線、線段中，線段最短.其中說法正確的有（