曲線的凹凸性

1、5 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn) （一）新課引入（一）新課引入觀察圖中兩條曲線弧AB都是上升的，但弧ACB是凹的曲線弧， 弧ADB是凸的曲線弧，這就是曲線的凹凸性問題。 從圖中還可看出，沿弧ACB上各點(diǎn)作切線，切線總位于曲線下方，而弧ADB上各點(diǎn)處切線總位于曲線上方。因此可用曲線與切線的相對(duì)位置關(guān)系反映曲線的凹凸性。 （二）講授新課（二）講授新課 一、凹與凸的定義定義：曲線y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)各點(diǎn)處的切線位于曲線下方，稱曲線y=f(x)在區(qū)間（a,b）上是凹的，（a,b）是凹區(qū)間。如果切線位于曲線上方，稱曲線y=f(x)在區(qū)間（a,b）上是凸的，（a,b）是凸區(qū)間。 二、凹與

2、凸的判定yy 0)( yy0)( yyy 從+到 是減函數(shù)定理：設(shè)在區(qū)間（a,b）上 具有二階導(dǎo)數(shù)，（1）如果在（a,b）上有 ，曲線在區(qū)間（a,b）上是凹的；（2）如果在（a,b）上有 ，曲線在區(qū)間（a,b）上是凸的。 )(xfy 0 y0 yy凹凸從到+是增函數(shù)例1、判斷下列曲線的凹凸性。 xxy24 xxy2432122 xy 解： 在(-,+)上有 ，故 在 (-,+) 上是凹的。 0 yxxy24xyln 解：定義域?yàn)椋?，+） xy1xy2 1 0 yxyln 在（0，+）上有，故在（0，+）上是凸的。練習(xí)1、判斷下列曲線的凹凸性。exy1 xxyln解：eyxeyx 在(-,+)

3、上有 ，故 在 (-,+) 上是凸的。 0 yexy1 定義域?yàn)椋?，+） 1lnxyxy1 在(-,+)上有 ，故 在 (-,+) 上是凹的。 0 yxxyln例2、判斷曲線 的凹凸性。xy3解：xy23xy6 ， 當(dāng)x0時(shí) ， 故在（0，+）上曲線 是凹的。0 yxy3此時(shí)點(diǎn)（0，0）為曲線 由凸變?yōu)榘嫉姆纸琰c(diǎn)。xy3三、拐點(diǎn)：凹與凸的分界點(diǎn)。 注：拐點(diǎn)需將橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時(shí)給出例3、求 的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)。 )1ln(2xy解：（1） xyx212)1 (2)1 (222 xxy （2）令 得0 y11xx與（3） 分定義域成三個(gè)區(qū)間(-，-1)，（-1，1），（1，+）11xx與當(dāng)x-1

4、時(shí)， ，(-，-1)為凸區(qū)間0 y-1x1時(shí)， ，（1，+）為凸區(qū)間0 y （4）拐點(diǎn)為 )2ln, 1 (),2ln, 1(練習(xí)2、求 的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)。exxy 解： （1） eeyxxxeeeyxxxxx)2(2 （2）令 得x=-20 y （3）x=-2分定義域成兩個(gè)區(qū)間(-，-2)，（-2，+） 當(dāng)x-2 時(shí)， ，（-2，+）為凹區(qū)間（4）拐點(diǎn)為 0 y)2, 2(2e例4、求 的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)。243xy解：（1） )4(3231xy3535 )4()4(19292xxy (2) 不存在點(diǎn)為 x=4（3）x=4分定義域成兩個(gè)區(qū)間(-，4)，（4，+）當(dāng)x4 時(shí)， ，（4，+）為凸區(qū)

5、間（4）拐點(diǎn)為（4，2） y 0 y0 y練習(xí)3、求 的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)。) 1(313xxy 解：（1） ) 1(321xy3535 ) 1() 1(13232xxy (2) 不存在點(diǎn)為x=1( 3）x=1分定義域成兩個(gè)區(qū)間(-，1)，（1，+）當(dāng)x1時(shí)， ，（1，+）為凹區(qū)間（4）拐點(diǎn)為（1，1） y 0 y0 y本堂課重點(diǎn)討論了曲線的凹凸性與拐點(diǎn)，下面我們總結(jié)一下求 的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)的步驟：)(xfy （四） 課堂小結(jié)（1）求出（2）找出 的實(shí)根或 不存在點(diǎn)（3） 的實(shí)根或 不存在點(diǎn)將定義域分成若干個(gè)區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間上確定 的符號(hào)，從而確定 的凹凸區(qū)間。（4）若在 的實(shí)根或 不存在點(diǎn)兩側(cè)， 異號(hào)， 則 是 的拐點(diǎn)。 )(xf0)( xf )(xf0)( xf )(xf )(xf)(xfy 0)( xf